Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Transkrypt

1 Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie i są stałymi. Rozwiązanie Do równania rekurencyjnego (1) podstawmy w postaci, gdzie jest pewną, różną od zera, stałą do wyznaczenia. Otrzymamy w ten sposób równanie: Po uproszczeniu przez, uzyskamy równanie kwadratowe na : Równanie to ma dwa rozwiązania: i. Związek rekurencyjny (1) jest liniowy i jednorodny. Oznacza to, że jeśli pewien ciąg jest jego rozwiązaniem, to jest nim także, gdzie jest stałą. Z kolei jeśli znaleźlibyśmy dwa rozwiązania oraz, to rozwiązaniem będzie także ich suma:, a nawet kombinacja, z dowolnymi stałymi oraz. Takie dwa rozwiązania otrzymaliśmy już powyżej: oraz. Wynika stąd, że ogólne rozwiązanie równania (1) ma postać: Aby znaleźć stałe i wykorzystamy warunki początkowe.

2 Musi zachodzić: Rozwiązując ten układ równań ze względu na i otrzymujemy:, i wzór na wyraz ogólny ciągu ma w tym przypadku postać: Ze względu na drugi człon, ciąg ten jest rozbieżny przy. Teraz muszą być spełnione warunki: Po rozwiązaniu tego układu widzimy, że,. Wzór na wyraz ogólny ciągu ma teraz postać: Jasne jest, że w tym przypadku zachodzi: Zadanie 2 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie oraz są stałymi. Rozwiązanie Podobnie jak w poprzednim zadaniu, podstawimy do równania rekurencyjnego (10) w postaci, gdzie jest pewną niezerową stałą. Otrzymamy w ten sposób równanie:

3 Po skróceniu obu stron przez, dochodzimy do równania kwadratowego na niewiadomą : Jedynym (ale za to podwójnym) jego rozwiązaniem jest. Z poprzedniego zadania wiemy, że jeśli związek rekurencyjny jest liniowy i jednorodny (a tak jest w istocie w (10), to rozwiąznie ogólne jest kombinacją liniową rozwiązań szczególnych (,,,...):, z dowolnymi stałymi,,,... W naszym przypadku mamy dwa niezależne rozwiązania, gdyż rekurencja (10) jest rekurencją "o dwa". Jednym z tych rozwiązań jest, naturalnie,, a drugie ma postać, o czym łatwo jest się przekonać wstawiając je do (10). Widzimy zatem, że ogólne rozwiązanie równania (10) ma postać: Stałe i wyznaczymy z warunków początkowych: Układ ten spełniony jest przez liczby oraz i, w konsekwencji: Oczywiste jest, że ciąg ten jest rozbieżny. Zadanie 3 Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie: gdzie. Wskazówka Należy wykazać ograniczoność i monotoniczność ciągu. Rozwiązanie Ciąg w treści zadania zdefiowany jest nieliniową rekurencją, którą można opisać wzorem: W tego typu problemach w ogólności nie potrafimy znaleźć jawnego wzoru na i musimy się

4 ograniczyć do zbadania samej granicy. Wygodnie jest rozpocząć rozwiązywanie zadania od wykonania szkicu przebiegu funkcji podobnego do tego z rysunku Przedstawiony jest na nim - przy użyciu czerwonych strzałek - sposób obliczania kolejnych wyrazów ciągu, przy czym punktem startowym jest. W treści zadania, ale rysunek wygląda bardzo podobnie dla wszystkich i został wykonany dla takiej jego wartości, dla której wygląda najbardziej przejrzyście. Punkt jest rozwiązaniem równania, a zatem jest punktem stałym odwzorowania. Rys Rekurencja opisana wzorem (16) dla. Rysunek ten sugeruje, że nasz ciąg po pierwsze jest ograniczony z góry przez liczbę, a po drugie - rosnący. Te dwie jego własności poniżej udowodnimy. Ograniczoność. Ograniczoność ciągu wykażemy, korzystając z metody indukcji matematycznej. Dla mamy. Teraz dowodzimy następującej implikacji: Znajdźmy znak wyrażenia : przy czym ostatnia nierównosć wynika z założenia indukcyjnego. Ciąg jest więc w istocie ograniczony: Monotoniczność. Obliczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu: Końcowa nierówność wynika z wykazanej wyżej własności (20) i oznacza, że nasz ciąg jest

5 rosnący. Jak wiadomo w zbiorze liczb rzeczywistych ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę. Oznaczmy ją literą. Skoro granica ta istnieje to możemy po obu stronach równania (16) przejść z do nieskończoności, otrzymując równanie: które ma dwa rozwiązania: lub. Tylko jedna z tych dwóch liczb może być granicą ciągu. Jednakże rosnący ciąg liczb dodatnich nie może być zbieżny do zera. Stąd: Zadanie 4 Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie: gdzie. Wskazówka Należy wykazać ograniczoność i monotoniczność ciągu. Rozwiązanie Ponownie mamy do czynienia z nieliniową rekurencją opisaną wzorem: Przebieg funkcji przedstawiony jest na rysunku Punktem startowym jest w tym zadaniu, ale rysunek - podobnie jak w poprzednim zadaniu - został wykonany dla innej wartości, dla której wygląda bardziej przejrzyście, a zasadnicze własności ciągu (którymi zajmiemy się poniżej) przy tym się nie zmieniają. Punkt jest rozwiązaniem równania, a zatem jest punktem stałym odwzorowania.

6 Rys Rekurencja opisana wzorem (24) dla ). Z rysunku możemy się zorientować, że ciąg malejący, co poniżej ściśle wykażemy. jest ograniczony z dołu przez liczbę oraz że jest Ograniczoność. Tak jak poprzednio ograniczoność ciągu udowodnimy metodą indukcji matematycznej. Dla mamy. Teraz dowodzimy implikacji: Znajdziemy znak wyrażenia : Otrzymana nierówność wynika z założenia indukcyjnego. Ciąg jest więc faktycznie ograniczony z dołu: Monotoniczność. Obliczymy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu: Wyrażenie to jest ujemne, co jest konsekwencją własności (28) i oznacza, że ciąg jest malejący. Ciąg monotoniczny i ograniczony ma na pewno granicę, którą oznaczymy literą. Skoro granica ta istnieje, to możemy po obu stronach równania (24) przejść z do nieskończoności, otrzymując: Równanie to ma dwa rozwiązania: lub i tylko jedna z tych liczb może być granicą

7 ciągu. Ciąg ograniczony z dołu przez liczbę nie może być jednak zbieżny do. Stąd wynika, że: Zadanie 5 Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie: gdzie. Wskazówka Należy rozłożyć ciąg na dwa podciągi ograniczone i monotoniczne. Rozwiązanie 1 Rekurencja tym razem opisana jest wzorem: Przebieg funkcji przedstawiony jest na rysunku 3. Jest ona w interesującym nas przedziale malejąca, a ciąg wydaje się oscylować wokół punktu, który jest rozwiązaniem równania i jednocześnie kandydatem na granicę ciągu. Rysunek ten mówi nam, że musimy zmienić nasz sposób postępowania w stosunku do poprzednich zadań, gdyż w tym przykładzie nie mamy do czynienia z ciągiem monotonicznym. Jednakże można mieć nadzieję, że monotoniczne (i ograniczone) okażą się jego podciągi: ten o indeksach parzystych, czyli oraz ten o indeksach nieparzystych, czyli, gdzie.

8 Rys 3. Rekurencja opisana wzorem (32) dla. Musimy więc zacząć od przekształcenia rekurencji (32) w rekurencję "o dwa": i rozpatrzenia kolejno podciągów "parzystego" i "nieparzystego". Ciąg o indeksach parzystych. Mamy następującą rekurencję ("o jeden") w zmiennej : Z rysunku możemy wnosić, że ciąg ten jest malejący i ograniczony z dołu przez liczbę ( jest punktem stałym funkcji, ale także ). Wykażemy poniżej, że tak jest w istocie. Ograniczoność. Ograniczoność ciągu udowodnimy --- jak zwykle --- metodą indukcji matematycznej. Dla mamy. Teraz dowiedziemy prawdziwości implikacji: Znajdziemy znak wyrażenia : gdzie ostatnia nierówność wynika z założenia indukcyjnego. Ciąg jest więc rzeczywiście ograniczony z dołu: Monotoniczność.

9 Obliczymy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu: co wynika z (38) i oznacza, że ciąg jest malejący. Ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę, którą oznaczymy literą. Skoro granica ta istnieje to możemy po obu stronach równania (35) przejść z do nieskończoności, otrzymując: Równanie to ma dwa rozwiązania: oraz, ale granicą musi być ta druga liczba, gdyż jest ograniczony z dołu przez dwójkę. Mamy zatem: Ciąg o indeksach nieparzystych. Mamy teraz rekurencję w zmiennej : Na podstawie rysunku wydaje się, że ciąg ten powinien być rosnący i ograniczony z góry przez liczbę. Ograniczoność. Ograniczoność ciągu wykażemy ponownie metodą indukcji matematycznej. Dla mamy. Teraz dowiedziemy, że: Następnie rozpatrzymy wyrażenie : Jak widzimy, ciąg jest ograniczony z góry: Monotoniczność. Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu wyraża się wzorem analogicznym do (39) : i jest dodatnia, co jest konsekwencją (45). Mamy do czynienia z ciągiem ograniczonym i monotonicznym, a zatem ma on granicę ( ). Przechodąc z do nieskończoności po obu stronach równania (42) otrzymujemy:

10 Jest to równanie identyczne do (40) i oczywiście ma takie same rozwiązania. Mamy więc: Ponieważ, więc oba podciągi zbieżne są do tej samej granicy. Jest to też granica samego ciągu, gdyż do podciągu "parzystego" i "nieparzystego" należą wszystkie wyrazy ciągu (wystarczyłoby nawet, gdyby należały tylko prawie wszystkie). Rozwiązanie 2 Udowadniamy najpierw, że na granicę jest Zapiszmy różnicę (prosty dowód indukcyjny). Jak już wiemy kandydatem następująco W liczniku odtworzyła nam się różnica dla wyrazu wcześniejszego! Mamy dla dowolnego skąd otrzymujemy twierdzenia o trzech ciągach mamy. Wyrażenie po prawej stronie nierówności zbiega do zera wobec tego z Zadanie 6 Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie: gdzie. Wskazówka Należy rozłożyć ciąg na dwa podciągi ograniczone i monotoniczne. Rozwiązanie

11 Rekurencja dana jest wzorem: Wykres funkcji przedstawiony jest na rysunku 4 i, jak widać, dla dodatnich wartości jest ona malejąca. W konsekwencji ciąg oscyluje wokół punktu, który jest rozwiązaniem równania i może ewentualnie stanowić jego granicę. Postąpimy więc podobnie jak poprzednio - rozłożymy ciąg na dwa podciągi: oraz, gdzie. Rys. 4. Rekurencja opisana wzorem (49) dla. Przekształcimy teraz rekurencję (49) na rekurencję "o dwa": i badać będziemy osobno podciągi "parzysty" i "nieparzysty". Ciąg o indeksach parzystych. Mamy następującą rekurencję ("o jeden") w zmiennej : Z rysunku wynika, że ciąg ten powinien być rosnący i ograniczony z góry przez liczbę stały dla funkcji oraz ). Wykażemy te własności poniżej. (punkt Ograniczoność. Znów stosujemy indukcję matematyczną. Dla mamy:, gdyż. Teraz wykazujemy, że:

12 Zbadamy znak wyrażenia : Ciąg jest więc ograniczony z góry: Monotoniczność. Obliczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu: co wynika z (55). Oznacza to, że badany podciąg jest rosnący. Podciąg "parzysty" jest monotoniczny i ograniczony, a zatem ma granicę ( równanie: ). Liczba ta spełnia które ma dwa rozwiązania: : oraz, przy czym ta druga liczba jest szukaną granicą podciągu Ciąg o indeksach nieparzystych. Mamy teraz następującą rekurencję w zmiennej : Na podstawie rysunku podejrzewamy, że podciąg ten jest malejący i ograniczony z dołu przez liczbę. Ograniczoność. Dla mamy. Teraz musimy dowieść, że:

13 Rozpatrzymy wyrażenie : Podciąg jest więc ograniczony z dołu: Monotoniczność. Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu wyraża się wzorem podobnym do (56): Mamy więc do czynienia z podciągiem ograniczonym i monotonicznym, a zatem ma on granicę ( ) spełniającą równanie: Jest to równanie identyczne do (57) i oczywiście ma takie same rozwiązania. Otrzymujemy więc: Jak widzimy, więc oba podciągi mają tę samą granicę. Podobnie jak w poprzednim przykładzie wnosimy stąd, że jest ona też granicą samego ciągu. Zadanie 7 Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie: dla przypadków:..

14 Wskazówka Należy zbadać, czy ciąg jest ograniczony i monotoniczny. Rozwiązanie Rekurencja w tym przypadku dana jest wzorem: Zbadamy, czy uda się wykazać, że ciąg jest monotoniczny i ograniczony.. Przebieg funkcji przedstawiony jest na rysunku 5a, gdzie zaznaczone zostały także kolejne wyrazy ciągu. Szkic ten podpowiada nam, że ciąg jest rosnący i ograniczony z góry przez dwójkę (która jest jedynym punktem stałym odwzorowania ), co postaramy się poniżej udwowodnić. Rys 5a. Rekurencja opisana wzorem (66), gdy. Ograniczoność. Ograniczoność ciągu wykażemy korzystając, jak zwykle, z indukcji matematycznej. Dla mamy. Teraz dowodzimy następującej implikacji: Znajdziemy znak wyrażenia : co wynika z założenia indukcyjnego. Ciąg jest więc rzeczywiście ograniczony:

15 Monotoniczność. Obliczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu: Ciąg jest więc rosnący. Zauważmy, że w przeciwieństwie do poprzednich przykładów, ostatnia nierówność jest prawdziwa niezależnie od tego, czy, czy, więc słuszna będzie ona także w podpunkcie b. Rys 5b. Rekurencja opisana wzorem (66) dla. Wynika stąd, że ciąg ma granicę i spełnia ona równanie: którego jedynym rozwiazaniem jest. Liczba ta musi więc być szukaną granicą ciągu:. Sytuacja, z jaką mamy teraz do czynienia, przedstawiona jest na rysunku 5b. Kolejne wyrazy ciągu "uciekają" od punktu stałego, a kolejnego punktu stałego odwzorowanie nie ma. To że ciąg jest rzeczywiście rosnący, wykazaliśmy już zresztą w ścisły sposób w punkcie a. Wiedza ta wystarcza nam do wyciagnięcia wniosku, że ciąg jest rozbieżny. Granicą może być bowiem tylko punkt stały, a innego takiego punktu poza dwójką nie ma. Rosnący ciąg liczb, dla którego nie może być jednak zbieżny do.