Zasada indukcji matematycznej

Transkrypt

1 Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,. dla każdego k N 0 takiego, że k n 0 prawdziwa jest implikacja ϕ(k) ϕ(k + 1). Wówczas ϕ(n) jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n n 0. Uwaga 1. Zauważmy, że jeśli zdanie ϕ(k) jest fałszywe to implikacja ϕ(k) ϕ(k + 1) jest automatycznie prawdziwa, więc wystarczy założyć, że zdanie ϕ(k) jest prawdziwe i z niego wywieść prawdziwość zdania ϕ(k + 1). Przykład 1. Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykażemy, że dla każdego n N zachodzi n = n(n + 1). Rozwiązanie. Skorzystamy z Twierdzenia 1. Bierzemy w nim ϕ(n) : n = n(n+1)/ i n 0 = Sprawdzamy prawdziwość ϕ(1). Istotnie ϕ(1) : 1 = 1(1 + 1)/ 1 = 1 jest prawdziwe.. Ustalmy k 1. Załóżmy, że ϕ(k) : k = k(k + 1)/ jest prawdziwe. Pokażemy, że ϕ(k + 1) : (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)/ jest również prawdziwe. Istotnie, przekształcając lewą stronę L równości w ϕ(k + 1) otrzymujemy kolejno L = k + (k + 1) k(k + 1) = + (k + 1) ponieważ ϕ(k) jest prawdziwe k(k + 1) + (k + 1) = (k + 1)(k + ) = = P, gdzie P jest prawą stroną równości w ϕ(k + 1). Zatem z zasady indukcji matematycznej ϕ(n) jest prawdziwe dla każdego n 1. 1

2 Definicja funkcji Niech X, Y będą zbiorami niepustymi. Funkcją odwzorowującą zbiór X w Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu ze zbioru Y. Jeśli takie przyporządkowanie oznaczymy symbolem f, to sformułowanie, że f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y zapisujemy jako f : X Y. Przy tych oznaczeniach definicję funkcji możemy zapisać w następujący sposób: x X!y Y f (x) = y. Uwaga. Zamiast słowa funkcja możemy równoważnie używać słów odwzorowanie lub przekształcenie. Jeśli zatem f : X Y, to powiemy, że f jest odwzorowaniem lub przekształceniem zbioru X w zbiór Y. Niech f : X Y będzie funkcją. Dziedziną funkcji f nazywamy zbiór D f = X. Argumentami funkcji f nazywamy elementy jej dziedziny. Przeciwdziedziną lub zbiorem wartości funkcji f nazywamy zbiór R f = f (X) = { f (x) : x X} Y. Jest to zatem zbiór tych y Y, dla których istnieje (niekoniecznie jeden) argument x X taki, że y = f (x). Wartością funkcji f dla argumentu x X nazywamy element y = f (x). Mówimy wtedy, że x przechodzi na y, lub x przechodzi na f (x), co zapisujemy jako x y lub x f (x). Wykres funkcji f : X Y definiujemy jako zbiór Γ f = {(x, f (x)) : x X} X Y. Zbiór wszystkich funkcji f : X Y oznaczamy symbolem Y X.

3 Przykłady funkcji 1. Identyczność. Niech X będzie zbiorem. Identycznością na X nazywamy funkcję id X : X X, id X (x) = x. Jest jasne, że zbiorem wartości id X jest X.. Funkcja charakterystyczna zbioru. Niech A X. Funkcją charakterystyczną zbioru A nazywamy funkcję 1 dla x A 1 A : X R, 1 A (x) =. 0 dla x A Jest jasne, że zbiorem wartości 1 X jest {0, 1}. y 3 Ćwiczenie 1. Dla X = ( 3, 3) oraz A = ( 1, ] znajdźmy wykres funkcji 1 A x 3 3. Całość z liczby. Dla x R niech [x] Z oznacza największą liczbę całkowitą nie większą niż x. Całością z liczby nazywamy funkcję [ ] : R R, x [x]. Ćwiczenie. Policzmy kilka całości z liczb. y 3 [7] =..... ; [ 7] =..... ; [1, ] =..... ; 1 [ 1, ] =..... ; [ π] = Jak wygląda wykres całości z liczby? x 3 3

4 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X, T będą zbiorami. Indeksowaną rodziną podzbiorów zbioru X definiujemy jako dowolną funkcję f : T X, f (t) = A t X, która przyporządkowuje każdemu t T pewien podzbiór A t w X. Indeksowaną rodzinę zbiorów oznaczać będziemy przez (A t ). Elementy zbioru T nazywamy indeksami. Ćwiczenie 3. Weźmy zbiór indeksów T = {1,, 3, 4}, zbiór X = N oraz f (t) = A t = {n N : n < t }. Wówczas: A 1 = ; A = ; A 3 = ; A 4 = Ćwiczenie 4. Weźmy zbiór indeksów T = N, zbiór X = R oraz Wówczas: f (n) = A n = {x R : n < x n}. A 1 = ; A 3 = ; A 10 = ; A 105 =

5 Uogólnione sumy i iloczyny zbiorów Niech X, T będą zbiorami. Niech (A t ) będzie dowolną indeksowaną rodziną podzbiorów zbioru X. Uogólnioną sumę zbiorów A t, t T, definiujemy jako zbiór A t = {x X : t T x A t }. Zatem uogólniona suma rodziny zbiorów jest najmniejszym zbiorem zawierającym wszystkie zbiory tej rodziny. Uogólniony iloczyn zbiorów A t, t T, definiujemy jako zbiór A t = {x X : t T x A t }. Zatem uogólniony iloczyn rodziny zbiorów jest największym zbiorem zawartym w każdym zbiorze tej rodziny. Uwaga 3. Własności uogólnionej sumy i iloczynu można zapisać następująco: x A t x A t, x A t x A t Uwaga 4. W przypadku, gdy zbiór indeksów pokrywa się z liczbami naturalnymi począwszy od ustalonej n N, czyli T = N n = {n, n + 1, n +,...}, używane są oznaczenia: t N n A t = A k, k=n t N n A t = k=n A k Przykład. Jeśli zbiór indeksów T = {t 1,..., t n } jest skończony to A t = A t1 A tn, A t = A t1 A tn. Ćwiczenie 5. Weźmy zbiór indeksów T = {1,, 3, 4} oraz f (t) = A t = {n N : n < t } N. Wówczas: A t = ; A t =

6 Ćwiczenie 6. Weźmy zbiór indeksów T = N oraz f (n) = A n = {x R : n < x n} R. Wówczas: A t = ; A t = Własności uogólnionych sum i iloczynów zbiorów Stwierdzenie 1. Dla dowolnych niepustych zbiorów X, T, oraz dowolnej indeksowanej rodziny podzbiorów (A t ) zbioru X zachodzą następujące własności: 1. Dla każdego s T mamy. Dla każdego s T mamy A s A t. A t A s. 3. Jeśli istnieją t 1,..., t n T takie, że t T A t A t1 A tn, wówczas A t = A t1 A tn. 4. W szczególności, jeśli istnieją t 1,..., t n T takie, że A t1 A tn = X, wówczas A t = X. 5. Jeśli istnieją t 1,..., t n T takie, że t T A t1 A tn A t, wówczas A t = A t1 A tn. 6. W szczególności, jeśli istnieją t 1,..., t n T takie, że A t1 A tn =, wówczas A t =. 7. Zachodzą uogólnione prawa de Morgana: A t = A t, A t = A t. 6

7 Ćwiczenie 7. Weźmy zbiór indeksów T = N oraz Wówczas: f (n) = A n = {x R : ( 1) n x > n} R. A 1 = ; A = ; A k 1 = ; A k = ; A t = ; A t =

8 Obraz zbioru wyznaczony przez funkcję Niech f : X Y i weźmy zbiór A X. Obraz zbioru A wyznaczony przez funkcję f definiujemy jako zbiór { } f (A) = { f (x) : x A} = f (x) Y. x A Innymi słowy y f (A) x A y = f (x). Przykład Dla zbiorów jednoelementowych mamy f ({a}) = { f (a) }.. Analogicznie, dla zbiorów skończonych mamy f ({a 1, a,..., a k }) = { f (a 1 ), f (a ),..., f (a k ) }. 3. Przeciwdziedzina R f = f (X) funkcji f : X Y jest obrazem X wyznaczonym przez f. Stąd takie oznaczenie! Obcięcie funkcji f : X Y do zbioru A definiujemy jako funkcję f A wzorem f A (x) = f (x) dla każdego x A. : A Y, zadaną Innymi słowy, zmniejszamy jedynie dziedzinę tej funkcji nie zmieniając jej wartości na argumentach. Uwaga 5. Znajdowanie obrazu zbioru A X przez funkcję f : X Y polega na znalezieniu zbioru wartości obcięcia f A : A Y. Ćwiczenie 8. Niech f : R R będzie dana wzorem f (x) = x. Znajdźmy f ([ 1, )). y x 3 4 8

9 Przeciwobraz zbioru wyznaczony przez funkcję Niech f : X Y i weźmy zbiór B Y. Przeciwobraz zbioru B wyznaczony przez funkcję f definiujemy jako zbiór f 1 { } (B) = {x X : f (x) B} = x X : f (x) = b. b B Innymi słowy x f 1 (B) f (x) B. Uwaga 6. Z powyższej definicji łatwo wywnioskować, że dla danych a X i B Y odpowiedź na pytanie: Czy a f 1 (B)? jest równoważna odpowiedzi na pytanie: Czy f (a) B? Przykład 4. W poniższych przykładach rozpatrujemy funkcję f : X R. 1. Dla zbiorów jednoelementowych mamy f 1 ({b}) = { x X : f (x) = b }. Jest to zatem zbiór rozwiązań jednego równania.. Dla zbiorów skończonych mamy f 1 ({b 1, b,..., b k }) = { } { } x X : f (x) = b 1 x X : f (x) = bk = { } x X : f (x) = b 1 f (x) = b k. Jest to zatem suma rozwiązań kilku równań. 3. Dla połprostych w R mamy f 1 ((, b)) = { x X : f (x) < b }, f 1 ((, b]) = { x X : f (x) b }, f 1 ((b, + )) = { x X : f (x) > b }, f 1 ([b, + )) = { x X : f (x) b }. Jest to zatem zbiór rozwiązań jednej nierówności. 4. Dla odcinków w R mamy f 1 ((b 1, b )) = { } x X : b 1 < f (x) < b, f 1 ((b 1, b ]) = { } x X : b 1 < f (x) b, f 1 ([b 1, b )) = { } x X : b 1 f (x) < b, f 1 ([b 1, b ]) = { } x X : b 1 f (x) b. Jest to zatem zbiór rozwiązań układu dwóch nierówności. 5. Dla każdej funkcji f : X Y łatwo widać, że f 1 (Y) = X. 9

10 Ćwiczenie 9. Niech f : R R będzie dana wzorem f (x) = x. Znajdźmy f 1 ([1, 4)). y x 3 4 Ćwiczenie 10. Czy dla f : R R, f (x) = x + sin x, zachodzi 1 f 1 ([1, ))? Własności obrazów i przeciwobrazów Twierdzenie. Niech f : X Y oraz A, B X oraz C, D Y. Wówczas 1. f ( ) = ;. f (A B) = f (A) f (B); 3. f (A B) f (A) f (B); 4. f (A) \ f (B) f (A \ B); 5. A f 1 ( f (A)); 6. f 1 ( ) = ; 7. f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D); 8. f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D) 9. f 1 (C \ D) = f 1 (C) \ f 1 (D); 10. f ( f 1 (C)) C. Ponadto, jeśli (A t ) jest indeksowaną rodziną zbiorów w X oraz (C t ) jest indeksowaną rodziną zbiorów w Y, wówczas 11. f ( ) A t = f (A t ); 13. f 1( ) C t = f 1 (C t ); 1. f ( ) A t f (A t ); 14. f 1( ) C t = f 1 (C t ). Przykład Z powyższego twierdzenia widzimy jak znaleźć przeciwobraz sumy dwóch odcinków. Na przykład f 1 ([a, b) (c, d)) = f 1 ([a, b)) f 1 ((c, d)).. Punktu 3. nie można wzmocnić. Zobaczymy to biorąc funkcję f (x) = 0 i dowolne dwa zbiory A, B takie, że A B =. Wówczas f (A B) = {0} = f (A) f (B). 10