ZASTOSOWANIE WYKŁADNIKA HURSTA ORAZ FUNKCJI HÖLDERA W MODELU BLACKA-SCHOLESA

Transkrypt

1 Studia Ekoomicze. Zeszyty Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego w Katowicach ISSN Nr Iformatyka i Ekoometria 9 Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Wydział Zarządzaia Katedra Statystyki, Ekoometrii i Matematyki adriaa.mastalerz-kodzis@ue.katowice.pl ZASTOSOWANIE WYKŁADNIKA HURSTA ORAZ FUNKCJI HÖLDERA W MODELU BLACKA-SCHOLESA Streszczeie: W artykule zaprezetowao modyfikację klasyczego modelu Blacka- -Scholesa. Uwzględioo istieie efektu pamięci w fiasowych szeregach czasowych i wprowadzoo do modelu wycey istrumetów fiasowych wykładik Hursta oraz fukcję Höldera. Niiejszy artykuł składa się z części teoretyczej, w której przybliżoo założeia i postać teoretyczą klasyczego modelu Blacka-Scholesa oraz omówioo jego wybrae modyfikacje, a także z części aplikacyjej, w której ukazao efektywość uzyskaych rozwiązań. Słowa kluczowe: proces stochastyczy, model Blacka-Scholesa, istrumety pochode, wykładik Hursta, fukcja Höldera. JEL Classificatio: E44, G11, G17. Wprowadzeie Proces iwestycyjy jest związay z ryzykiem. Ryzyko a ryku kapitałowym moża mierzyć, miimalizować za pomocą odpowiedich metod optymalizacyjych, jedakże ie da się go wyelimiować. W celu zmiejszeia ryzyka istieje koieczość korzystaia z istrumetów możliwie ajlepiej zabezpieczających przed stratą fiasową. Takimi walorami są istrumety pochode, od lat wykorzystywae w procesie podejmowaia decyzji iwestycyjych. Zastosowaie istrumetów pochodych pozwala a efektywe zarządzaie ryzykiem fiasowym.

2 Zastosowaie wykładika Hursta oraz fukcji Höldera 17 Celem pracy jest wycea opcji oparta a klasyczym wzorcu Blacka- -Scholesa, zastosowaie modyfikacji modelu z wykorzystaiem wykładika Hursta oraz specyfikacja wartości wybraych parametrów w tym modelu, a także aaliza możliwości zastosowaia fukcji Höldera w zmodyfikowaym modelu Heyde a i Leoeki. W artykule w części pierwszej zaprezetowao rys historyczy omawiaych zagadień oraz krótko przedstawioo zaczeie i rodzaje istrumetów pochodych. W rozdziale drugim omówioo klasyczy model Blacka-Scholesa oraz jego wybrae modyfikacje, zaś rozdział trzeci zawiera propozycję polegającą a zastosowaiu jako miary ryzyka fukcji Höldera. Rozdział czwarty to aaliza empirycza będąca porówaiem omawiaych modeli. Artykuł kończy podsumowaie. 1. Istrumety pochode W dziełach Arystotelesa sprzed 400 lat moża zaleźć pierwsze iformacje dotyczące istrumetów pochodych. Trasakcje z wykorzystaiem tych istrumetów rozpowszechiły się a rykach towarowych w XVII-XVIII w. W 1944 r. a koferecji w Bretto Woods przyjęto system moetary oparty a walucie papierowej. Ustaloo zasady wymieialości walut w stosuku do dolara amerykańskiego i do złota (tzw. parytety). Zobowiązao baki cetrale do igerecji, w przypadku gdy ustaloe a koferecji stałe kursy walut będą się różić od kursów rykowych o więcej iż 1%. W 1973 r. porozumieie z Bretto Woods upadło a skutek zaczych podwyżek ce ropy przez kraje OPEC. Wprowadzeie zmieych kursów walutowych zwiększyło ryzyko związae z międzyarodowymi trasakcjami fiasowymi. Spowodowało to zapotrzebowaie a ryku a owe istrumety fiasowe, adające się do zarządzaia tym ryzykiem. W latach 80. XX w. wprowadzoo opcje a waluty, ideksy giełdowe i kotrakty termiowe. Istrumety pochode (derywaty) to walory, których cey (oraz wartości) zależą od ce iych istrumetów fiasowych (tzw. istrumetów bazowych). Zabezpieczają portfel iwestycyjy przed iekorzystymi ruchami ce a giełdach. Wykorzystując istrumety pochode, moża w dowoly sposób modelować fukcję wypłaty portfela, dopasowując ją do idywidualych potrzeb iwestora. Są arzędziem służącym do zmiejszeia ryzyka iwestycyjego, pozwalają a efektywe zarządzaie ryzykiem fiasowym. Wyróżia się astępujące istrumety pochode [Crawford, Se, 1998; Wero, Wero, 1998; Marciiak, 001; Mastalerz-Kodzis, 011; Jajuga, Jajuga, 015]: kotrakty termiowe, opcje oraz swapy.

3 18. Model Blacka-Scholesa i jego modyfikacje.1. Klasyczy model Blacka-Scholesa Model Blacka-Scholesa jest matematyczym modelem ryku, który opisuje dyamikę ce istrumetów fiasowych w czasie, służy do wycey istrumetów pochodych [Black, Scholes, 1973; Wero, Wero, 1998; Steele, 001; Oksedal, 003; Shreve, 004; Kaufma, 005; Mastalerz-Kodzis, 011]. Celem modelu jest miimalizacja strat związaych z chybioymi trasakcjami kupa i sprzedaży a giełdzie. Model wycey opcji pozwala określić zmieość cey a podstawie daych historyczych lub a podstawie ce opcji, umożliwia efektywe zarządzaie ryzykiem. Model posiada licze założeia teoretycze, m.i. zakłada się, że: ryek działa w sposób ciągły, krótkotermiowa wola od ryzyka stopa procetowa ie zmieia się w okresie ważości opcji, stopy zwrotu mają rozkład logarytmiczo- -ormaly ze stałymi parametrami, akcje są ieskończeie podziele, cey kupa i sprzedaży są takie same, akcje ie dają dywided w okresie ważości opcji, ie jest uwzględioy koszt trasakcji, ie uwzględia się podatków oraz ie ma arbitrażu. Model jest bliski rzeczywistości, tz. cey opcji uzyskae przy jego zastosowaiu są bliskie rzeczywistym ceom rykowym. Aalizując postać rówań modelu, moża wysuąć astępujące wioski: wzrost cey akcji pociąga za sobą wzrost cey opcji, im dłuższy czas do wygaśięcia opcji, tym wyższa wartość opcji, wzrost stopy procetowej powoduje wzrost wartości opcji oraz odchyleie stadardowe mierzy ryzyko istrumetu bazowego, jego wzrost powoduje wzrost cey opcji. Cea Blacka-Scholesa europejskiej opcji kupa a istrumet bazowy wyrażoa jest wzorem: r( T t ) Ct = StΦ ( d1) Ke Φ ( d ) (1) gdzie: S t cea istrumetu bazowego w chwili t, K cea wykoaia opcji, (T t) termi wygaśięcia opcji (liczoy w latach), R stopa procetowa (w skali roku), σ zmieość ce istrumetu bazowego, Φ( ) dystrybuata stadardowego rozkładu ormalego,

4 Zastosowaie wykładika Hursta oraz fukcji Höldera 19 S t σ S + r ( T t) K + t σ l l + r ( T t) oraz d = K 1, d =. σ T t σ T t Cea Blacka-Scholesa europejskiej opcji sprzedaży a istrumet bazowy wyrażoa jest wzorem: ( ) ( ), r( T t) Pt = StΦ d1 + Ke Φ d () przy ozaczeiach jak wyżej. Opisay model stał się podstawą liczych prac z zakresu iżyierii fiasowej. Założeia modelu ie zawsze w praktyce są spełioe, zatem istieje koieczość z jedej stroy specyfikacji modelu, z drugiej zaś jego ciągłego dopasowywaia do zmieiającego się ryku fiasowego... Modyfikacja modelu Blacka-Scholesa z wykorzystaiem wykładika Hursta Licze aalizy empirycze zachowaia się szeregów czasowych ce istrumetów giełdowych spowodowały, że współcześie zaczeie orygialego wzoru Blacka-Scholesa jest ieco miejsze. W literaturze z dziedzi fiasów i ekoomii zazaczoo astępujące własości giełdowych stóp zwrotów: istieje korelacja pomiędzy kolejymi wartościami szeregów giełdowych, istieje pamięć w fiasowych szeregach czasowych, długotermiowa zależość oraz stopy zwrotu posiadają rozkład leptokurtyczy, który ma wyższe maksimum i cięższe (grubsze) ogoy iż rozkład Gaussa. C.C. Heyde i N.N. Leoeko [005] zapropoowali model ce akcji wykorzystujący geometryczy ruch Browa z fraktalym zachowaiem czasu. Opisao w im ceę akcji za pomocą stochastyczego rówaia różiczkowego: dp t = P t { μ dt + σ dw ( T t )} (3) gdzie: μ oraz σ są stałymi, zaś W jest stadardowym ruchem Browa. Heyde i Leoeko przyjęli założeie, że proces stochastyczy T t : 0 posiada stacjoare przyrosty oraz grube ogoy. Moża go aproksymować procesami, które posiadają własość asymptotyczego samopodobieństwa. Wzór wycey europejskiej opcji kupa ma wówczas postać: rtt Ct = S0Φ ( d3 ) Ke Φ ( d 4 ) (4) atomiast cea europejskiej opcji sprzedaży wyraża się wzorem: rtt P = S Φ d + Ke Φ (5) t ( ) ( ) 0 3 d 4

5 0 S0 σ S + r Tt K + 0 σ l l + r Tt dla d K,, pozostałe ozaczeia tj. we wzorze (1). 3 = d 4 = σ Tt σ Tt Porówując wzory, moża zauważyć, że w klasyczej formule Blacka- -Scholesa (1)-() występuje proces cey istrumetu podstawowego {S t } oraz czas pozostały do wygaśięcia opcji (T t). Natomiast wzory (4)-(5) zawierają S 0 ceę istrumetu podstawowego w chwili 0. Ozacza to, że aby dokoać wycey, ie musimy zać całego przebiegu cey istrumetu podstawowego. Proces stochastyczy T t, który jest procesem o przyrostach stacjoarych oraz skończeie wymiarowym rozkładzie o tzw. grubych ogoach, moża przybliżać za pomocą rozkładu zmieej losowej t + t H (T 1 1), gdzie H jest wykładikiem Hursta [Wero, Wero, 1998; Mastalerz-Kodzis, 003] 1, a T 1 ma w przybliżeiu ν ν ν rozkład RG( ) odwroty rozkład Gamma o parametrach, ν dla v > 4., 3. Zastosowaie fukcji Höldera do wycey opcji W modelu Blacka-Scholesa zakłada się, że stopy zwrotu mają rozkład logarytmiczo-ormaly ze stałymi parametrami. Model Heyde a i Leoeki zakłada, że proces posiada stacjoare przyrosty oraz grube ogoy. Moża wykazać, że istieje wiele procesów a ryku fiasowym, które ie posiadają przyrostów stacjoarych. Wówczas jedym z możliwych arzędzi służących do modelowaia tego typu procesów są multiułamkowe procesy ruchów Browa, w których za zmieość procesu odpowiada fukcja Höldera Fukcja Höldera Niech będzie daa fukcja f : D R (D R) oraz parametr α (0,1). Fukcja f : D R jest fukcją klasy C α Höldera (f C α ), jeżeli istieją stałe c > 0 oraz h 0 > 0 takie, że dla każdego x oraz wszystkich h takich, że 0 < h < h 0 spełioa jest ierówość [Peltier, Lévy Véhel, 1995; Daoudi, Lévy Véhel, Meyer, 1998; Mastalerz-Kodzis, 003, 013]: 1 Wykładik Hursta ależy do przedziału [0,1] i dzieli szeregi o przyrostach stacjoarych a: persystete o dodaej korelacji pomiędzy kolejymi realizacjami [0, 1/) i atypersystete, w których korelacja jest ujema (1/,0].

6 Zastosowaie wykładika Hursta oraz fukcji Höldera 1 ( ) ( ) α f x + h f x c h (6) Niech x 0 będzie dowolym puktem z dziedziy fukcji f (x 0 D R). Fukcja f : D R jest w pukcie x 0 fukcją klasy α α C Höldera, x 0 ( f C x0 ) jeżeli istieją stałe ε, c > 0 takie, że dla każdego x (x 0 ε, x 0 + ε) spełioa jest ierówość: α f ( x) f ( x ) c x (7) 0 x 0 Puktowym wykładikiem Höldera fukcji f w pukcie x 0 azywamy liczbę α f (x 0 ) daą wzorem α α x = sup α : f C. Fukcją Höldera dla fukcji f f ( ) { } 0 x0 azywamy fukcję, która każdemu puktowi x D przyporządkowuje liczbę α f (x). Procesy o przyrostach stacjoarych mogą być modelowae za pomocą ułamkowego ruchu Browa. Są oa zależe od stałego parametru wykładika Hursta. Procesy o przyrostach stacjoarych i iestacjoarych moża modelować za pomocą multiułamkowego procesu ruchu Browa realizacje procesów są wówczas zależe od fukcji Höldera. 3.. Multiułamkowy proces ruchu Browa i estymacja fukcji Höldera Procesy ułamkowe są szczególym przypadkiem multiułamkowych, stała wartość fukcji Höldera to wykładik Hursta. Niech H t : [0, ) (0,1) będzie fukcją Höldera o wykładiku α > 0. Uogólioym multiułamkowym procesem ruchu Browa z parametrem fukcyjym H(t) i λ liczbą rzeczywistą azywamy proces { BH,λ () t } t taki, że dla każdego t R: R itξ e 1 BH, λ () t = () db( ξ ) (8) H t + 0,5 = 0 D ξ gdzie D 0 = { ξ : ξ < 1}, dla wszystkich 1, { 1 D = ξ : λ ξ < λ }. i Dla procesu ruchu Browa { Bi, = BH ( ), 0 i } estymator ma postać: log( π / S ( )) ˆ k, i H i /( 1) = (9) log 1 dla S k, m i k / () + i = 1 j= i k / B j+ 1, B j, ( ) i dla t z przedziału [k/,1 (k/)].

7 W przypadku aalizy empiryczej, z uwagi a uwzględieie efektu pamięci w szeregach, ależy brać pod uwagę długie szeregi czasowe. Im obserwacje są bardziej odległe w czasie, tym mają miejszy wpływ a wartości bieżące szeregów i a poziom ryzyka. Wyestymowae wartości fukcji Höldera mogą być iterpretowae jako miary ryzyka, wyzaczają prawdopodobieństwo zmiay kieruku Uwagi o zastosowaiu fukcji Höldera jako miary zmieości w modelu Blacka-Scholesa W formule Blacka-Scholesa występuje proces stochastyczy T t, który jest procesem o przyrostach stacjoarych oraz skończeie wymiarowym rozkładzie o tzw. grubych ogoach. Heyde i Leoeko wykazali, że proces te moża przybliżać za pomocą rozkładu zmieej losowej t + t H (T 1 1), gdzie H jest wykładikiem Hursta (stałym dla całego procesu). Jedakże licze badaia empirycze potwierdzają, że procesy giełdowe ie posiadają przyrostów stacjoarych. Wówczas stały w czasie wykładik Hursta ależy zastąpić zmieiającą się w czasie fukcją Höldera. Zatem zamiast stałej wartości H, ależałoby posłużyć się wyestymowaymi puktowymi wykładikami Höldera [Peltier, Lévy Véhel, 1995; Daoudi, Lévy Véhel, Meyer, 1998; Mastalerz-Kodzis, 003] dla daych historyczych oraz ich aproksymatami dla daych aktualych oraz dla wyzaczaia progoz. 4. Aaliza empirycza dla WIG 0 i opcji kupa a WIG0 Badaia empirycze zostały przeprowadzoe a podstawie otowań ideksu WIG0 oraz opcji kupa a WIG0 o umerze OW0D (termi wykupu: r.). Okres aaliz obejmuje otowaia WIG0 od r. do r., zaś w przypadku opcji kupa okres r. [www 1; www ]. Na rysuku 1 przedstawioo wartości ideksu WIG0 w okresie r. Dla szeregu WIG0 a potrzeby specyfikacji parametrów modelu Heyde a i Leoeki wyzaczoo w Programie GRETL wykładik Hursta. Na podstawie aalizy przeskalowaego zakresu ustaloo wielkość wykładika Hursta rówą 0,57. Wszelkie obliczeia, mające a celu przybliżeie procesu T t, zostały wykoae w arkuszu kalkulacyjym MS Excel. Gdy szereg ie ma przyrostów stacjoarych, ie powio się wyzaczać wykładika Hursta. Jedak wykoao obliczeia w celu porówaia efektywości uzyskaych rozwiązań optymalych.

8 Zastosowaie wykładika Hursta oraz fukcji Höldera 3 Rys. 1. Notowaia WIG0 dae empirycze w okresie r. Następie wyestymowao fukcję Höldera dla szeregu WIG0. Rysuek przedstawia wyestymowae puktowe wykładiki Höldera za okres r. oraz aproksymatę ajlepiej dopasowaą do wykładików. Rys.. Wyestymowae puktowe wykładiki Höldera dla daych WIG0 w okresie r. wraz z aproksymatą wielomiaową Traktując dae dla ideksu WIG0 jako szereg czasowy okazało się, że ie jest to szereg o przyrostach stacjoarych 3. Wartości fukcji Höldera w badaym okresie zmieią się pod wpływem czasu i ależą do przedziału (0,6; 0,77). Stała wartość wykładika Hursta jest rówa 0,57. Świadczy to o istieiu efektu pamięci w szeregu daych giełdowych ideksu WIG0. Ryek zatem ie jest efektywy, wartości ideksu ie odzwierciedlają wszystkich dostępych iformacji, które dostały się a ryek. 3 Wyestymowae puktowe wykładiki Höldera zależą od długości przedziału estymacji, które bierze się do aaliz [Mastalerz-Kodzis, 003].

9 4 Wyzaczoo cey opcji kupa za pomocą klasyczej formuły Blacka- -Scholesa, dla formuły Heyde a i Leoeki oraz posługując się wyestymowaymi wykładikami Höldera. Na rysuku 3 zamieszczoo wyiki obliczeń porówaie ce teoretyczych opcji w diach r. Rys. 3. Cey zamkięcia opcji kupa OW0D w diach r. oraz teoretycze cey opcji uzyskae za pomocą modelu Blacka-Scholesa i jego modyfikacji Z przeprowadzoych aaliz moża wysuąć astępujące wioski: 1. W klasyczym modelu Blacka-Scholesa (1) zajomość wartości istrumetu bazowego w chwili t jest koiecza. Pozwala to a precyzyje wyzaczaie teoretyczej cey istrumetu pochodego w momecie czasowym t;. Modyfikacja Heyde a i Leoeki (4) pozwala a wyzaczeie cey opcji kupa a WIG0 bez potrzeby zajomości wartości istrumetu bazowego w chwili t. Do obliczeń wystarczy zajomość wartości istrumetu podstawowego w chwili t = 0 oraz wartości wykładika Hursta. Zakłada się bowiem istieie efektu pamięci w szeregu czasowym istrumetu bazowego. Model Heyde a i Leoeki jest zależy jedak od procesu stochastyczego T t oraz od parametru odwrotego rozkładu Gaussa (parametru ν). Moża także zapisać, że ajlepsze dopasowaie występuje dla wartości parametru ν rówe; Moża stwierdzić, że zapropoowae uogólieie modelu Blacka-Scholesa, polegające a uwzględieiu efektu długiej pamięci w postaci zastosowaia wykładika Hursta, pozwala a skutecze modelowaie i efektywe zarządzaie ryzykiem iwestycyjym. 4. Aproksymacja wyestymowaych, puktowych wykładików Höldera i wstawieie ich zamiast stałego w czasie wykładika Hursta do modelu Blacka-Scholesa pozwoliły a uzyskaie zbliżoych rozwiązań. Jedakże koiecza jest dalsza aaliza własości zapropoowaej modyfikacji modelu,

10 Zastosowaie wykładika Hursta oraz fukcji Höldera 5 bowiem omawiay model ie posiada już przyrostów stacjoarych (puktowe wykładiki Höldera zmieiają się pod wpływem czasu, ich zmieość jest taka, jak zmieości istrumetu bazowego). Podsumowaie W pracy krótko omówioo klasyczy model Blacka-Scholesa z 1973 r. oraz jego wybrae modyfikacje. Skupioo się a wersjach modelu wykorzystujących istieie efektu pamięci. Zaprezetowao uogólieie modelu Blacka-Scholesa zapropoowae przez Heyde a i Leoekę z 005 r., przeprowadzoo specyfikacje parametrów modelu dla daych z GPW w Warszawie. Omówioo możliwość zastosowaia wyestymowaych puktowych wykładików Höldera do wycey opcji. Modyfikacje modelu Blacka-Scholesa umożlwiają wykoaie precyzyjego opisu istrumetów fiasowych. Naukowcy oraz praktycy giełdowi są zaiteresowai problemem wycey walorów giełdowych celem osiągaia korzyści fiasowych oraz w celu zapobiegaia stratom. Uwzględieie efektu pamięci w fiasowych szeregach czasowych oraz ich iestacjoarości w kostrukcji modelu wycey staowi istoty elemet wpływający a efektywość omawiaych modeli. Literatura Black F., Scholes M. (1973), The Pricig of Optios ad Corporate Liabilities, Joural of Political Ecoomy, No. 81, s Crawford G., Se B. (1998), Istrumety pochode. Narzędzie podejmowaia decyzji fiasowych, K.E. Liber, Warszawa. Daoudi K., Lévy Véhel J., Meyer Y. (1998), Costructio of Cotiuous Fuctios with Prescribed Local Regularity, Joural of Costructive Approximatios, Vol. 14(3), s Heyde C.C., Leoeko N.N. (005), Studet Processes, Advacess i Applied Probability, Vol. 37, No., s Jajuga K., Jajuga T. (015), Iwestycje. Istrumety fiasowe, aktywa iefiasowe, ryzyko fiasowe, iżyieria fiasowa, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa. Kaufma P. (005), New Tradig Systems ad Methods, Joh Wiley&Sos, New York. Marciiak Z. (001), Zarządzaie wartością i ryzykiem przy wykorzystaiu istrumetów pochodych, SGH, Warszawa. Mastalerz-Kodzis A. (003), Modelowaie procesów a ryku kapitałowym za pomocą multifraktali, Prace Naukowe Akademii Ekoomiczej im. Karola Adamieckiego w Katowicach, Katowice.

11 6 Mastalerz-Kodzis A. (011), Wykorzystaie strategii zabezpieczających w zarządzaiu portfelem iwestycji kapitałowych [w:] A. Jaiga-Ćmiel, A. Mastalerz-Kodzis, J. Mika, E. Pośpiech, M. Trzęsiok, J. Trzęsiok (red.), Metody i modele aaliz ilościowych w ekoomii i zarządzaiu, cz. 3, Wydawictwo Uiwersytetu Ekoomiczego w Katowicach, s Mastalerz-Kodzis A. (013), Zastosowaie fukcji Höldera w modelu FRAMA, Studia Ekoomicze. Zeszyty Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego w Katowicach, r 159, s Oksedal B. (003), Stochastic Differetial Equatios, Spriger, New York. Peltier R.F., Lévy Véhel J. (1995), Multifractioal Browia Motio: Defiitio ad Prelimiary Results, INRIA Recquecourt, Rapport de recherché, No Shreve S. (004), Stochastic Calculus for Fiace, Cotiuous-Time Models, Spriger, New York. Steele J.M. (001), Stochastic Calculus ad Fiacial Applicatios, Spriger, New York. Wero A., Wero R. (1998), Iżyieria Fiasowa, Wydawictwa Naukowo- -Techicze, Warszawa. [www 1] (dostęp: ). [www ] (dostęp: ). THE APPLICATION OF HURST EXPONENT AND HÖLDER FUNCTION IN BLACK-SCHOLES MODEL Summary: I the article we have preseted the modificatio of a classic Black-Scholes model. We have cosidered the existece of memory effect i fiacial time series ad itroduced valuatios of fiacial istrumets, Hurst expoet ad Hölder fuctio ito the model. The article cosists of the theoretical part, i which we have preseted the assumptios ad the theoretical form of a classic Black-Scholes model ad discussed its selected modificatios, as well as the applicatio part, which illustrates the effectiveess of the obtaied solutios. Keywords: stochastic process, Black-Scholes model, derivative istrumets, Hurst expoet, Hölder fuctio.