Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Transkrypt

1 Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa, a zatem i stopa zwrotu (zwrot) R t z inwestycji w akcję na okres t 1,t (kupno w momencie t 1, sprzedaż w momencie t) jest zmienną losową R t P t p t 1 D t 1,t p t 1, tzn. może przyjąć pewne wartości r t,1,...,r t,m z pewnym (zwykle nieznanym) prawdopodobie ństwem: P R t r t,1 p 1,..., P R t r t,m p m. Oczekiwany zwrot tj. wartość oczekiwana E R t stopy zwrotu: E R t r t,1 p 1... r t,m p m. Ryzyko R t dla akcji to odchylenie standardowe zmiennej losowej R t : R t Var R t E R t E R t 2. Uwaga Do obliczeń przyjmuje się empiryczną wartość oczekiwaną ( średnia arytmetyczna rzeczywistych stóp zwrotu r t n dla akcji w minionych okresach t n 1, t n, n 1, 2,...,m : r t m 1 m r t n, n 1 oraz empiryczne odchylenie standardowe : m 1 r m 1 t n r t 2. n 1

2 Instrumenty pochodne Kontrakt terminowy (Futures) to papier wartościowy zobowiązujący jedną ze stron do zakupu (pozycja długa - long), a drugą do sprzedaży (pozycja krótka - short) bazowego papieru wartościowego lub towaru po ustalonej cenie X w ustalonym okresie T, T. Ponieważ f T T X f T T 1 to wartość teoretyczna f t kontraktu terminowego (dla pozycji długiej) w momencie t T : f t t Xe T t. gdzie: t - rzeczywista cena bazowego papieru (towaru) w momencie t, - siła oprocentowania ( nominalna stopa procentowa do kapitalizacji ciągłej) dla lokat bezpiecznych (np. obligacji rządowych). W chwili t T : portfel A : kontrakt (f t ) plus kwota dająca X po czasie T t (Xe T t ) portfel B : papier bazowy ( t ) w chwili T : portfele A i B dają papier bazowy, więc V A T V B T T V A t V B t f t Xe T t t

3 Opcja kupna (call) to papier wartościowy dający prawo (ale nie obowiązek) do zakupu bazowego papieru wartościowego (towaru) po ustalonej cenie X w ustalonym momencie T (opcja europejska), albo do ustalonego momentu T (opcja amerykańska). Wartość teoretyczna c T - dla europejskiej, C T - dla amerykańskiej opcji kupna w momencie T : c T C T T X max T X, c T max T 1, Wartość teoretyczna c t - dla europejskiej, C t - dla amerykańskiej opcji kupna akcji w momencie t T (wg modelu Blacka - cholesa): gdzie: c t f t t Xe T t. c t C t c t,t t d Xe T t d T t, - odchylenie standardowe stopy zwrotu R t dla akcji, - dystrybuanta rozkładu normalnego N ; 1 :

4 Uwaga Mamy zawsze d 1 e x2 2 dx, 2 d ln t X d 2 T t 2 T t c t t Xe T t.. Opcja sprzedaży (put) to papier wartościowy dający prawo (ale nie obowiązek) do zakupu bazowego papieru wartościowego (towaru) po ustalonej cenie X w ustalonym momencie T (opcja europejska), albo do ustalonego momentu T (opcja amerykańska). Wartość teoretyczna p T - dla europejskiej, P T - dla amerykańskiej opcji sprzedaży w momencie T : p T P T max X T, p T max 1 T, Wartość teoretyczna p t dla europejskiej opcji sprzedaży akcji w momencie t T spełnia

5 warunek parytetu kupno - sprzedaż : p t t c t Xe T t, stąd p t t d 1 Xe T t d T t 1 t d Xe T t d T t. Wyjaśnienie warunku: p t t c t Xe T t, W chwili t T : portfel A : opcja kupna (c t ) plus kwota dająca X po czasie T t (Xe T t ) portfel B : opcja sprzedaży (p t ) plus papier bazowy ( t ) w chwili T : portfele A i B mają wartości: V A T V B T T gdy T X X gdy T X T gdy T X X gdy T X V A T V B T V A t V B t c t Xe T t p t t Wyjaśnienie warunku: C t c t W chwili t T : portfel A : opcja kupna (C t ) plus kwota dająca X po czasie T t (Xe T t ) w chwili T : portfele A w przypadku realizacji opcji w momencie t ma w momencie t wartość: a w przypadku niezrealizowania opcji W chwili T : a w przypadku niezrealizowania opcji V A r t t X Xe T t V A n t C t Xe T t V A r T T Xe T t X T

6 V A n t C T X max T X, X max T,X. Uwaga Dla amerykańskiej opcji sprzedaży akcji można podać tylko oszacowanie wartości teoretycznej P t : P t t C t Xe T t P t C t Xe T t t. Jeśli t X X e T t, to wykonanie opcji amerykańskiej w momencie t T daje w momencie T wartość X t e T t X, czyli więcej niż maksymalny zysk X, w przypadku przetrzymania opcji do momentu T. Wartość teoretyczna futures (dla pozycji długiej) w zależności od momentu t oraz ceny (przy X 1, T 1, dla. 9 oraz dla : t f t 1 exp. 9 1 t f t 1

7 Wartość teoretyczna futures (dla pozycji długiej) w zależności od ceny (przy X 1, T 1,. 9 dla t. 25, t. 5 t. 75, t. 95 : Wartość teoretyczna futures (dla pozycji długiej) w zależności od momentu t (przy X 1, T 1,. 9, dla 75, 1, 125, 15 : t

8 Cena teoretyczna opcji call w zależności od momentu t oraz ceny (przy X 1,T 1, dla.3,. 4 oraz dla, : t Cena teoretyczna opcji call w zależności od ceny (przy X 1,T 1,. 3,. 4 dla t.25, t. 5 t. 75, t. 95 :

9 Cena teoretyczna opcji call w zależności od momentu t (przy X 1,T 1,. 3,. 4 dla 75, 1, 125, 15 : t