PRACOWNIA FIZYCZNA I

Transkrypt

1 Skrypt do laboratorium PRACOWNIA FIZYCZNA I Ćwiczenie 2: Wyznaczanie czasu zderzenia dwóch ciał. Opracowanie: mgr Tomasz Neumann Gdańsk, 2011 Projekt Przygotowanie i realizacja kierunku inżynieria biomedyczna - studia międzywydziałowe współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

2 Politechnika Gdańska, międzywydziałowy kierunek Inżynieria Biomedyczna USTALENIA WSTĘPNE Wymagania wstępne: Zapoznanie się z wiadomościami teoretycznymi oraz przebiegiem ćwiczenia zawartymi w instrukcji do ćwiczenia. Cele ćwiczenia: 1. Usystematyzowanie wiedzy z zasady zachowania pędu i zasady zachowania energii mechanicznej punktu materialnego. 2. Zapoznanie studentów z metodą pomiaru zjawisk fizycznych, które zachodzą w czasie rzędu mikro sekund. 3. Wykonanie pomiaru napięcia ładowania i rozładowania kondensatora dla różnych stałych czasowych i różnych energii kinetycznych ciał. 4. Analiza zebranych danych pomiarowych, niepewności pomiarowych oraz wyznaczenie czasu zderzeń badanych obiektów. 5. Oszacowanie niepewności czasu zderzeń. 6. Sformułowanie wniosków. Wykaz przyrządów niezbędnych do wykonania ćwiczenia: Rys. 1: Układ pomiarowy: 1 - masywna i nieruchoma szyna; 2 - badane ciała; 3 - stojak z regulacją wysokości; 4 - układ RC; 5 - zasilacz prądu stałego; 6 - woltomierz analogowy; 7) przymiar liniowy. Wykaz literatury podstawowej: 1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - Podstawy fizyki. 2. M. Skorko - Fizyka dla studentów wyższych technicznych studiów zawodowych. 2

3 3. H. Szydłowski - Pracownia fizyczna wspomagana komputerem. 4. K. A. Tsokos - Physics for IB diploma. WPROWADZENIE DO ĆWICZENIA Zderzeniami ciał rządzą zasady zachowania pędu i zachowania energii. Ze względu, które wielkości są zachowane rozróżniamy zderzenie niesprężyste (tylko zachowany jest pęd całkowity układu) oraz sprężyste (tu spełnione są obydwie ww. zasady zachowania). W wyniku zderzenia niesprężystego ciał, łączą się one w jeden obiekt jak na rysunku 2. Dla tego zde- Rys. 2: Przykład zderzenia idealnie centralnie niesprężystego. rzenia zasadę zachowania pędu w postaci skalarnej możemy zapisać w postaci m 1 v 1 m 2 v 2 = (m 1 + m 2 )v 3, (1) na podstawie której wyznaczymy prędkość v 3 ciał po zderzeniu W wyniku zderzenia ciała straciły energię o wartości v 3 = m 1v 1 m 2 v 2 m 1 + m 2. (2) E s = 2 m 1m 2 m 1 + m 2 v 1 v 2 (3) Zderzenie sprężyste pokazane na rysunku 3 wymaga spełnienia jednocześnie zasady zachowania pędu i energii postaci Rys. 3: Przykład zderzenia idealnie centralnie sprężystego. ZZP : m 1 v 1 m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2 ZZE : 1 2 m 1v m 2v2 2 = 1 2 m 1u m 2u 2 2. (4) 3

4 Rozwiązując układ równań 4 uzyskamy prędkości ciał po zderzeniu idealnie centralnie sprężystym w postaci u 1 = (1 m 1 m 2 )v 1 + 2v m 1 m 2, (5) (1 m 2 )v 2 + 2v 1 m u 2 = m. (6) 2 m 1 Z wzoru 5 i 6 wynika, że jeżeli ciała mają taką samą masę tj. m 1 = m 2 = m, to w wyniku zderzenia idealnie sprężystego ciała te wymienią się prędkościami. Jeżeli rozważamy przypadek w którym m 2, to ciało m 1 w wyniku zderzenia idealnie sprężystego zmieni wyłącznie zwrot swojej prędkości na przeciwny. Należy jednak zwrócić uwagę, że podczas zderzenia sprężystego, ciała pozostają przez pewien czas w kontakcie ze sobą - ciała te ulegają odkształceniu. Deformacja kul polega na wgnieceniu się sprężystym tych ciał. Zakładając takie Rys. 4: Odkształcenie w zderzeniu sprężystym ciał. przybliżenie, możemy określić odległość najbliższego zbliżenia ciał poprzez formułę x max = τv wzg π, (7) w którym τ jest czasem zderzenia, a v m prędkością względną kul przed zderzeniem. Wzór 7 wynika wprost z zamiany energii kinetycznej ciał na energię potencjalną sprężystości. Zmiana energii potencjalnej sprężystości będzie powodowana poprzez siłę sprężystości F s = kx, (8) w którym k opisuje współczynnik sprężystości ciał natomiast x jest względnym odkształceniem ciał. Wiedząc, że siła ta będzie miała największą wartość w x max oraz współczynnik sprężystości k możemy przedstawić za pomocą częstości ω oraz masy zredukowanej µ, wartość największego oddziaływania ciał wynosi F max = µ πv wzg. (9) τ Masę zredukowana układu dwóch ciał obliczamy za pomocą zależności 4 µ = m 1m 2 m 1 + m 2 (10)

5 Należy jednak pamiętać, że parametry zderzenia x max i F max określone wzorem 7 i 9 są pewnym oszacowaniem tych wielkości. W rzeczywistym zderzeniu ciał, odkształcenie ciał jest funkcją wielu zmiennych, czyli jest wiele parametrów, aby w prosty sposób wyjaśnić cały proces zderzenia. PRZEBIEG ĆWICZENIA Czas trwania zderzenia dwóch ciał można wyznaczyć za pomocą układu przedstawionego na rysunku 5. Rys. 5: Schemat układu pomiarowego. Gdy kula znajduje się w pozycji B wówczas następuje ładowanie kondensatora do wartości U 0 zgodnie z równaniem [ t U l (t) = U 0 1 exp( RC )], (11) w którym iloczyn RC jest stałą czasową i odpowiada za szybkość ładowania kondensatora (napięcie zasilania U 0 jest ustalane na początku ćwiczenia i nie jest zmieniane w trakcie trwania pomiarów). W momencie, kiedy kula zostanie zwolniona z pozycji B i osiągnie pozycję A, to przez pewien czas, w wyniku zderzenia, układ ponownie będzie tworzył układ zamknięty, z tą różnicą, że następować będzie rozładowanie kondensatora. Tempo rozładowania jest opisane zależnością U r (t) = U 0 exp ( t ). (12) RC Po pojedynczym akcie zderzenia i spadku napięcia na kondensatorze do wartości U 1 możemy wyznaczyć czas zderzenia poprzez przekształcenie równania 12 do postaci τ = RC ln U 0 U 1 (13) Prędkość ciała tuż przed zderzeniem możemy wyznaczyć z zasady zachowania energii. Przyjmując energię potencjalną równą zero na poziomie A oraz zaniedbując wszelkie opory 5

6 ruchu, można zapisać zasadę zachowania energii mechanicznej w postaci 0 + mg(h 2 h 1 ) = mv (14) Przekształcając równanie 14 wyznaczymy prędkość kuli v tuż przed zderzeniem v = 2g(h 2 h 1 ). (15) Pomiar napięcia ładowania U l, napięcia rozładowania U r oraz wysokości h 1 i h 2 jest niezbędny do wyznaczenia czasu zderzenia oraz wyznaczenia parametrów zderzenia x max oraz F max. Do pomiarów należy także dobrać odpowiednie wartości oporu R, aby stała czasowa nie miała zbyt dużej lub zbyt małej wartości co może utrudnić odczytanie napięcie rozładowania U r lub wpłynąć na wartości niepewności pomiarowe. Zadania do wykonania 1. Wyznaczyć czas zderzenia kul o różnych masach (masę wyznaczamy na podstawie znajomości materiału kulki oraz poprzez pomiar średnicy) i prędkościach z szyną (prędkość wyznaczamy z zależności 15). Wszystkie pomiary napięcia na kondensatorze po zderzeniu powtarzamy kilkukrotnie. 2. Oszacować parametry zderzenia x max i F max. 3. Zastanowić się, czy są przesłanki, by przeprowadzić analizę wpływu prędkości i rodzaju materiału na czas zderzenia. Porównać wartości F max z ciężarem kul. OPRACOWANIE DANYCH POMIAROWYCH Do obliczenia wartości czasu zderzenia τ potrzebne są wartości U 0, U 1, R i C, dlatego w pierwszym rzędzie należy ocenić niepewności standardowe pomiaru tych wielkości. Ponieważ wartość napięcia U 0 powinna być stała podczas wykonywania ćwiczenia, wnioskujemy, że niepewność eksperymentatora e U 0 oraz odchylenie wyników od średniej S Uo są równe zero. Wówczas niepewność maksymalna napięcia U 0 jest zależna od klasy przyrządu oraz wybranego zakresu i wynosi U 0 = klasa przyrządu zakres liczba działek gdzie: dz U 0 = dz U to najmniejsza działka na skali miernika. Niepewność standardowa kilkukrotnie mierzonego napięcia U 1 wynosi S U1 = zaś jej maksymalna niepewność wynosi ( dz U 1 ) dz U 0 ; (16) + S 2 U 1, (17) U 1 = 3S U1. (18) 6

7 Względna niepewność oporu R podana przez producenta wynosi δ R = 1%. Do niepewności podanej przez producenta dodajemy także niepewność związaną z oporem przewodów doprowadzających o wartości 0, 5Ω. Niepewność maksymalna oporu R wynosi więc R = ( δ R R , 5) Ω. (19) Na podstawie danych producenta niepewność względna pojemności C wynosi δ C = 2% czyli maksymalna niepewność C wynosi C = δ C C. (20) Mając określone powyższe niepewności oraz stosując metodę różniczki zupełnej obliczamy maksymalną niepewność τ czasu zderzenia z zależności τ = τ R + τ C + RC U 0 + RC U 1. (21) R C Parametry zderzenia x max oraz F max są tylko oszacowaniem, więc nie trzeba określać ich niepewności, jednak na podstawie uzyskanych wartości należy przedyskutować we wnioskach przebieg zderzenia ciał. SPRAWDŹ CZY ROZUMIESZ - ZADANIA PROBLEMOWE 1. Pocisk o masie m lecący poziomo, uderza w drewniany klocek o masie M zawieszony U 0 na nieważkiej i nierozciągliwej linie o długości l. W wyniku uderzenia pocisk pozostaje w klocku, a lina, na której jest on zawieszony odchyla się kąt α od pionu. Wyznacz prędkość, z jaką poruszał się pocisk przed zderzeniem. 2. Kula o masie m 1 poruszająca się z prędkością v 1 uderza w poruszającą się z naprzeciwka z tą samą prędkością kulę o masie m 2. Jaki musi być stosunek mas tych kul, aby w wyniku zderzenia sprężystego kula pierwsza odbiła się od kuli drugiej i poruszała się z prędkością o 50% większą niż przed zderzeniem? Jaka będzie w tym przypadku prędkość kuli drugiej? 3. Dwie kule, jedna o masie m 1 i druga o masie m 2, wiszą na nieważkich niciach o długości l tak, że w położeniu równowagi stykają się ze sobą. Kulę o masie m 1 wychylono z położenia równowagi podnosząc ją o h 1 względem położenia równowagi tak, że nić jest nadal napięta. Po uwolnieniu kuli o masie m 1, zderza się ona doskonale niesprężyście z kulą o masie m 2. Wyznaczyć maksymalną wysokość, na jaką wzniosą się kule po zderzeniu. U 1 7

8 PRACOWNIA FIZYCZNA I - KARTA POMIARÓW WYZNACZANIE CZASU ZDERZEŃ DWÓCH CIAŁ nazwisko i imię data wykonania 1) Wyznaczenie średnicy kulek lp Materiał i I φ i [ ] II φ i [ ] III φ i [ ] 2) Pomiary dla kulki I i h 1i [ ] h 2ia [ ] h 2ib [ ] U 1ia [ ] U 1ib [ ] R =...; C =...; U 0 =...; dz U 0 =...; klasa:...;liczba działek =...; 3) Pomiary dla kulki II i h 1i [ ] h 2ia [ ] h 2ib [ ] U 1ia [ ] U 1ib [ ] R =...; C =...; U 0 =...; dz U 0 =...; klasa:...;liczba działek =...; 4) Pomiary dla kulki III i h 1i [ ] h 2ia [ ] U 1ia [ ] R =...; C =...; U 0 =...; dz U 0 =...; klasa:...;liczba działek =...;... podpis prowadzącego zajęcia 8