Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Transkrypt

1 Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Obowiązkowa znajomość zagadnień Charakterystyka drgań gasnących i niegasnących, ruch harmoniczny. Wahadło fizyczne, długość zredukowana wahadła fizycznego. Moment bezwładności, twierdzenie Steinera. Budowa wahadła rewersyjnego, istota pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego, zalety pomiaru w stosunku do pomiaru za pomocą wahadła fizycznego. Zadania do wykonania I. Poznanie podstaw teoretycznych zjawiska drgań, ze szczególnym uwzględnieniem ruchu harmonicznego. II. Poznanie budowy i działania wahadła rewersyjnego. III. Wykonanie pomiarów okresów drgań wahadła. IV. Zestawienie wyników i obliczenie wartości lokalnego przyspieszenia ziemskiego. Wiadomości wprowadzające Jednym z najczęściej występujących w przyrodzie zjawisk jest zjawisko drgań. Zasadniczą cechą drgań jest okresowość. Rozróżniamy dwa podstawowe rodzaje ruchu drgającego: a b Rys. 1. Amplituda drgań w funkcji czasu: a) drgania niegasnące, b) drgania gasnące 1

2 a) gdy w równych odstępach czasu powtarza się regularnie ten sam ciąg identycznych stanów układu (rys. 1a) drgania niegasnące. b) gdy okresowo powtarzają się podobne ciągi stanów układu, lecz wartość maksymalnego wychylenia z położenia równowagi maleje (rys. 1b) drgania gasnące. Wśród licznych rodzajów drgań niegasnących, najprostszym w opisie matematycznym (opisany funkcją sinusoidalną) jest ruch harmoniczny. Maksymalne wychylenie układu z położenia równowagi nazywamy amplitudą drgań, a najkrótszy czas po jakim wychylenie, prędkość i przyśpieszenie ruchu przyjmą tę samą wartość okresem drgań. W wahadle matematycznym poruszające się ciało jest punktem materialnym, zawieszonym na nieważkiej, nierozciągliwej nici o długości l. Na ciało to działa stała siła grawitacji. Gdy wahadło odchylone jest z położenia równowagi, składowa siły grawitacji wzdłuż nici P n jest równoważona przez nić, a składowa prostopadła do nici P s działająca w kierunku punktu równowagi nadaje ciału przyspieszenie. Ruch ciała ograniczony nicią jest ruchem po okręgu. Wahadło takie jest idealizacją wahadła fizycznego, którym nazywamy ciało sztywne wahające się wokół poziomej osi obrotu O pod wpływem siły ciężkości P (rys. 2). Oś obrotu nie może pokrywać się ze środkiem ciężkości wahadła S, bo wówczas drganie by nie występowało. Długość zredukowana L wahadła fizycznego jest równa takiej długości wahadła matematycznego, które posiada ten sam okres drgań, co dane wahadło fizyczne. Rys. 2. Wahadło fizyczne Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest niezależność okresu drgań od maksymalnego wychylenia dla niewielkich wychyleń wahadła. Okres drgań wahadła fizycznego opisuje teoretycznie zależność: 2

3 gdzie: a odległość między osią zawieszenia i środkiem ciężkości, I moment bezwładności wahadła. (1) Moment bezwładności I jest miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem wybranej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa taką samą rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała. Moment bezwładności ciała składającego się z n punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu: (2) Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Zwykle mierzy się go w kg m². Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach dm, oraz niech r oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór: gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości V ciała. (3) Chcąc na bazie wzoru (1) wyznaczyć przyśpieszenie ziemskie g należy oprócz okresu drgań T i masy wahadła m (które można zmierzyć bezpośrednio) znać również wielkości odległości pomiędzy osiami a oraz moment bezwładności I, których pomiar jest bardzo kłopotliwy. Wahadło rewersyjne Aby uniknąć powyższych trudności, stosujemy wahadło fizyczne o dwóch osiach obrotu (O 1, O 2 ) umieszczonych po przeciwnych stronach środka ciężkości S (rys. 3). Jest to tzw. wahadło rewersyjne dla którego okresy drgań są takie same dla obu zawieszeń wahadła. Jeżeli punkt O 1 jest punktem zawieszenia, to okres wahań: 3

4 (4) gdzie: I 1 moment bezwładności wahadła względem osi O 1, a odległość między pierwszą osią zawieszenia a środkiem ciężkości. Analogicznie dla drugiej osi obrotu okres wahań: gdzie: I 2 moment bezwładności wahadła względem osi O 2, b odległość między drugą osią zawieszenia a środkiem ciężkości. (5) Twierdzenie Steinera mówi, że moment bezwładności I bryły względem dowolnej osi równy jest momentowi bezwładności tej bryły względem osi przechodzącej przez jej środek ciężkości (i równoległej do danej osi), powiększonemu o iloczyn masy tej bryły przez kwadrat odległości między osiami: gdzie: I S moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez środek ciężkości. (6) (7) Rys. 3. Wahadło fizyczne dwuosiowe Dla wahadła rewersyjnego okresy T 1 i T 2 są równe, a więc: 4

5 czyli: ( )( ) (9) (8) Przypadek, gdy b = a nic nie mówi o wzajemnym położeniu osi O 1, O 2 i może zajść, gdy mamy ciało zarazem sztywne i symetryczne. Natomiast z drugiej części równania (9)otrzymujemy zatem: Po uwzględnieniu powyższych zależności otrzymujemy: (10) (11) zatem: ( ) (12) (13) Wielkość l zr jest długością zredukowaną wahadła rewersyjnego i jak widać z równania jest równa l zr = a + b czyli odległości między osiami obrotu wahadła, którą można łatwo zmierzyć liniałem. Okres wahań wahadła zawieszonego na osi O 1 jest równy okresowi wahań tego wahadła zawieszonego w punkcie O 2 odległym od punktu O 1 o długość zredukowaną. Na tej podstawie zarysowała się idea prostego i dokładnego pomiaru przyspieszenia ziemskiego, bez wyznaczania I S, m oraz położenia środka ciężkości, tylko przez łatwy pomiar odległości między osiami obrotu oraz okresu T. Jak jednak praktycznie znaleźć osie mając bryłę o zadanym już kształcie, a więc o z góry ustalanym położeniu środka masy S oraz wartościach I i m? Praktycznie przesuwanie osi obrotu jest bardzo trudne. Znacznie łatwiej postąpić odwrotnie zamocować na stałe obie osie, zmieniać zaś położenie środka masy, a wraz z nim I S aż do spełnienia warunku T 1 = T 2.Tak też postępujemy w ćwiczeniu korzystając z modelu wahadła rewersyjnego (rys. 4). 5

6 Rys. 4. Laboratoryjny model wahadła fizycznego, rewersyjnego Na pręcie mającym na stałe zainstalowane dwie osie obrotu (O 1 i O 2 ) umieszczamy ciężarek. Przesuwając ciężarek wzdłuż pręta i mierząc okresy względem obu osi poszukujemy takiego położenia ciężarka, w którym T 1 = T 2, czyli miejsca w którym zależności okresu od położenia ciężarka dla obu osi przetną się (rys. 5). Należy zaznaczyć, że pomiary należy wykonywać przy małych amplitudach wychyleń wahadła (nie większych niż 5 10 ). Tylko wtedy spełnione będzie przybliżenie, że wahadło wykonuje drgania harmoniczne. X 0 Rys. 5. Zależność okresu wahań od położenia soczewki wahadła. 6

7 Wykonanie ćwiczenia i opracowanie wyników ĆWICZENIE 1 1. Jeden ciężarek znajduje się między osiami O 1 i O 2. Drugi ciężarek umieszczamy w położeniu najbliższym osi obrotu O Uruchamiamy wahadło i mierzymy czas 20 wahnięć wokół osi O 1, czyli 20T 1. Wyznaczamy okres drgań T Odwracamy wahadło, mierzymy czas 20 wahnięć wokół osi O 2, czyli 20T 2. Wyznaczamy okres drgań T Przesuwamy ciężarek znajdujący się poza osiami obrotu o 2 cm ponownie mierzymy czas 20 wahnięć wokół osi O 1 a następnie osi O 2. Postępujemy w ten sposób (mierząc za każdym razem odległość ruchomego ciężarka od osi O 1 i czas 20 okresów względem obu osi) do momentu, gdy ciężarek znajdzie się na końcu wahadła. Wyniki zapisujemy w formie tabelki: Odległość od osi obrotu [cm] T 1 [s] T 1 [s] 20T 2 [s] T 2 [s] 5. Wykorzystując dane z tabelki rysujemy, analogicznie do (rys. 5.), zależności okresów T 1 oraz T 2 od odległości ciężarka od osi O 1. Znajdujemy na nim punkt przecięcia krzywych x 0 (pomiary wykonujemy w pobliżu jednego z punktów przecięcia krzywych paraboli). Do sprawozdania załączamy wykres, wykonany na papierze milimetrowym na którym zaznaczamy punkt przecięcia krzywych, czyli szukany T 1 = T Mierzymy odległość l zr miedzy osiami (długość zredukowaną). 7. Znalezioną wartość T i l zr podstawiamy do przekształconego wzoru (13), z którego obliczamy wartość lokalną przyspieszenia ziemskiego oraz niepewność pomiarową tej wartości. Wyznaczenie niepewności pomiarowej przyśpieszenia ziemskiego. Przekształcamy wzór (13), aby wyznaczyć g (przekształcenie zamieszczamy w sprawozdaniu!!!!) czyli do postaci: (14) Następnie niepewność pomiarową g liczymy metoda pochodnej logarytmicznej. 7

8 Wzór (14) logarytmujemy obustronnie: ĆWICZENIE 1 Otrzymujemy: (15) Różniczkując równanie (15) i podstawiając zamiast różniczek odpowiednie wartości błędów bezwzględnych, otrzymujemy wyrażenie na maksymalny błąd względny: (16) Maksymalny błąd względny jest więc sumą błędów względnych wartości składowych. Mnożąc uzyskane wyrażenie (16) przez g, uzyskuje się wyrażenie na maksymalny błąd bezwzględny: ( ) (17) Gdzie Δl zr i ΔT są błędami z jakimi zostały wykonane pomiary. W tym przypadku należy przyjąć następujące wartości: Δl zr = 0,01m ΔT = 0,1s. 8. Wyznaczoną wielkość porównujemy z wartością tablicową (załącznik nr 1) i oceniamy czy z dokładnością do wyznaczonej niepewności pomiarowej zastosowano poprawną metodę pomiarową. 8

9 ZAŁĄCZNIK NR 1 ĆWICZENIE 1 Wartości przyśpieszenia ziemskiego w różnych miejscach na kuki ziemskiej, a szczególności w Polsce Miejsce Wartość przyśpieszenia ziemskiego [m/s 2 ] Na biegunie 9,8333 Na równiku 9,7803 Na poziomie morza, 45 O szer. geogr. (normalne) 9,8067 Kraków 9,8105 Wrocław 9,8113 Warszawa 9,8123 Poznań 9,8126 Gdańsk 9,8145 Uniwersytet Rolniczy Wydział leśny Katedra Mechanizacji Prac Leśnych Laboratorium Fizyki instrukcja do ćwiczeń Rok akademicki 2012/2013 9