ZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.

Transkrypt

1 ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją takie układy odniesienia, w których jeśli na ciało nie działa żadna siła lub wypadkowa siła jest równa zeru to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym Układy odniesienia, w których słuszna jest I zasada dynamiki Newtona nazywają się układami inercjalnymi Takim układem jest układ heliocentryczny o środku w Słońcu i o osiach skierowanych na stałe gwiazdy Każdy układ odniesienia poruszający się ruchem prostoliniowym jednostajnym względem układu inercjalnego jest też układem inercjalnym Układy związane z powierzchnią Ziemi nie są układami inercjalnymi, ponieważ po pierwsze Ziemia porusza się po torze krzywoliniowym względem Słońca, a po drugie obraca się wokół własnej osi Efekty związane z nieinercjalnością takich układów można często pominąć i w pierwszym przybliżeniu można uważać te układy za inercjalne Pozostałe dwie zasady dynamiki obowiązują w układach inercjalnych II zasada dynamiki Przyspieszenie a wywołane przez jedną lub więcej sił działających na ciało jest proporcjonalne do wypadkowej tych sił F, zgodne z kierunkiem wypadkowej i odwrotnie proporcjonalne do masy m ciała F a =, m lub F = ma (31) 1

2 dv Równanie to oznacza, że zmianę ruchu ciała ( a = ) Definiując pęd p p = mv, powoduje siła (32) otrzymamy: dv d dp F = m = mv = ( ) (33) Równanie (33) zostało oryginalnie podane przez Newtona, jako treść II zasady dynamiki, postać (31) jest jego szczególnym przypadkiem, kiedy masa ciała nie zależy od czasu Równanie (31) 2 dr F = m 2 nazywane jest równaniem ruchu Jego rozwiązanie, czyli podanie wektora położenia r( t) wymaga znajomości prędkości i położenia ciała w pewnej chwili czasu ( tzw warunki początkowe ) Mechanika klasyczna daje, więc możliwość, w postaci tej zasady, określenia położenia ( r( t) ) i prędkości ciała ( v( t) ) w dowolnej chwili czasu, jeśli tylko znamy jego położenie i prędkość w pewnej chwili czasu III zasada dynamiki F 12 F 21 Jeśli ciało 1 działa na ciało 2 siłą F, 21 to ciało 2 działa na ciało 1 siłą F, 12 tak, że siły wzajemnego oddziaływania są równe co do wartości i przeciwnie skierowane F = F (34) Zasada względności Galileusza 2

3 Rozważymy dwa układy inercjalne: nieruchomy O i poruszający się względem niego z stałą prędkością v układ O W chwili początkowej t = zakładamy, że układy pokrywały się W chwili późniejszej rysunek: t przyjmiemy konfigurację układów, którą ilustruje r r F = F r OO Zachodzi: r = r + r, OO (35) r = xex + yey + zex, gdzie roo = vtex, r = xe + ye + ze x y z Rozpisując równanie (35) na składowe i przyjmując ważne w mechanice klasycznej założenie, że czas w obu układach płynie tak samo, dostajemy x = vt+ x, y= y, z= z, t= t, x = x v t, y = y, z = z, t = t (36) Przekształcenia (36) noszą nazwę przekształceń (transformacji) Galileusza Przy prędkościach bliskich prędkości światła ( 8 c = 31 m/ s) przekształcenia te tracą ważność Po zróżniczkowaniu zależności (35) względem czasu otrzymamy dr dr OO dr = +, 3

4 czyli v = v + v (37) Wzór (37) to wzór na składanie prędkości Różniczkowanie wzoru (37) prowadzi do zależności dv dv dv = + (38) dv Ponieważ układy O i O są inercjalne to = i otrzymamy a = a (39) Otrzymaliśmy wynik, że przyspieszenie ciała w układach odniesienia poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym jest takie samo Wobec tego mamy: F = ma = ma = F i stąd wynika zasada względności Galileusza: Wszystkie mechaniczne zjawiska w różnych inercjalnych układach odniesienia przebiegają tak samo, co nie pozwala za pomocą doświadczeń mechanicznych ustalić, czy dany układ spoczywa, czy porusza się jednostajnie po linii prostej Siły bezwładności Siły bezwładności pojawiają się w układach nieinercjalnych Układ odniesienia jest nieinercjalny jeśli porusza się ruchem postępowym z pewnym przyspieszeniem względem układu inercjalnego lub/i obraca się względem układu inercjalnego Siła bezwładności w ruchu postępowym Zbadamy jaki wpływ na II zasadę dynamiki ma nieinercjalność układu odniesienia spowodowana przyspieszonym ruchem postępowym Załóżmy, że ruch ciała P opisujemy w 4

5 układzie inercjalnym O oraz w układzie nieinercjalnym O poruszającym się ruchem postępowym względem układu O z przyspieszeniem a y y P F r r OO O r x O z x z W układzie inercjalnym O mamy F = ma Jak widać na rysunku r = r + r, OO (31) i podobnie, jak przy transformacji Galileusza v = v + v dv dv dv (311) = + a = a, + a a = a a i po pomnożeniu przez masę m, mamy ma = ma ma (312) Ponieważ F = ma, oraz oznaczając Fb = ma widzimy, że w układzie nieinercjalnym II zasadę dynamiki należy zmodyfikować dodając do rzeczywistej siły F siłę bezwładności F b Siła bezwładności układu O : F b nie wynika z oddziaływania innych ciał na ciało P lecz z przyspieszenia ma = F + F b (313) 5

6 Siłę bezwładności F b odczuwa np pasażer ruszającego lub hamującego autobusu Siła ta nie istnieje jednak dla obserwatora, który opisuje ruch pasażera w autobusie stojąc na przystanku ( w układzie inercjalnym ) Siły bezwładności w ruchu obrotowym Teraz zakładamy, że układ O wykonuje tylko ruch obrotowy względem układu O, dla prostoty z stałą prędkością kątową ω, wokół osi z = z, a ciało P znajduje się na płaszczyźnie xy z z ω y x O O r = r P F y x W układzie O zachodzi F = ma Jak widać na rysunku r = r = xe + ye x y (314) Po zróżniczkowaniu równania (314) względem czasu uzyskamy dr dx dy de de x = ex + ey + x + y y (315) dx Część równania (315) dy e x + ey oznacza prędkość ciała P w układzie O - oznaczmy de de x y ją przez v Natomiast i oznaczają pochodne wirujących wektorów i na podstawie wzoru (216) z poprzedniego wykładu otrzymamy de x dey = ωey, = ωex Równanie (315) może być więc zapisane w postaci 6

7 v = v + x ωe y ωe y x (316) Wyrażenie (316) można uogólnić do postaci v = v + ω r, (317) ponieważ ex ey ez ω r = ω = ωxe ωye x y y x Różniczkowanie wyrażenia (317) prowadzi do wyniku dv dω dr a = + r + ω (318) Dalej otrzymamy podobnie jak przy obliczeniu (317) dv = a + ω v dω oraz zachodzi = ( z założenia stałej prędkości kątowej ) i dr 2 2 ω = ω ( v + ω r ) = ω v + ω ( ω r ) = ω v + ω( ωr ) r ( ω ) = ω v ( ω ) r Powyższe przekształcenia sprowadzają równanie (318) do postaci 2 a = a + 2 ω v ω r, (319) lub 2 ma = ma + 2mv ω+ mω r (32) Wprowadzając oznaczenia: ma = F - siła rzeczywista 2 mω r = F od - odśrodkowa siła bezwładności 2mv ω = FC - siła bezwładności Coriolisa Otrzymujemy, że w obracającym się z stałą prędkością kątową układzie nieinercjalnym, zmodyfikowana II zasada dynamiki przyjmuje postać: 7

8 ma = F + F + F, od C (321) gdzie obok siły rzeczywistej występują dodatkowo siły bezwładności odśrodkowa i Coriolisa 8