O y. Rys Opis położenia punktu za pomocą wektora wodzącego

Transkrypt

1 5..1. To, pędkość i pzśpiezenie punktu Rozpatzm uch punktu mateialnego względem pzjętego układu odnieienia uważanego za nieuchom. b poznać uch tego punktu, w każdej chwili muim mieć możliwość wznaczenia miejca, w któm ię ten punkt znajduje. Do okeślenia położenia dowolnego punktu M (. 5.1) w każdej chwili względem nieuchomego punktu wtacz podanie wektoa o początku w punkcie i końcu w ozważanm punkcie M. z L hodogaf wektoa wodzącego M wekto wodząc R pi położenia punktu za pomocą wektoa wodzącego Wektoową funkcję czau = ( t ) (5.1) nazwam wektoem wodzącm. Wekto ten możem zapiać analitcznie w potokątnm układzie wpółzędnch,, z za pomocą jego wpółzędnch w potaci funkcji wektoowej: ( ) ( ) ( ) ( ) lub ównoważnch tzech ównań kalanch = t = t i+ t j+ z t k (5.) ( ) ( ) ( ) = t, = t, z= z t. (5.3) Równanie (5.1) lub (5.) nazwam wektoowm ównaniem uchu, a tz ównania (5.3), ównoważne wektoowemu, kalanmi lub algebaicznmi ównaniami uchu.

2 Gd punkt M będzie ię pouzał, wekto będzie zmieniał z upłwem czau woją watość i kieunek, a koniec tego wektoa zakeśli kzwą L, któą będziem nazwać toem punktu lub hodogafem wektoa wodzącego. Jak już powiedziano w p..3.7, hodogaf ozpatwanej funkcji wektoowej to linia zakeślona pzez końce wektoów, któch początki znajdują ię w jednm punkcie. W czaie uchu punktu M wekto wodząc tego punktu będzie zmieniał woją watość i kieunek. Załóżm, że w chwili czau t 1 położenie punktu M 1 wznacza wekto wodząc 1 = (t 1 ), a w chwili t = t 1 + t punkt zajmuje położenie M wznaczone pzez wekto wodząc = (t ), jak na. 5.. Widzim, że po upłwie czau t = t t 1 wekto wodząc uzkał pzot = 1. Iloaz / t jet wektoem wpółliniowm z wektoem, czli jet kieowan wzdłuż cięciw M 1 M. Jeżeli pzot czau t będzie dążł do zea, to w ganic otzmam pochodną wektoa względem czau: 91 lim t 0 t d = =, nazwaną pędkością punktu. znacza to, że pędkością punktu nazwam pochodną względem czau wektoa wodzącego tego punktu: = d. (5.4) z L M 1 = d 1 M t R. 5.. Pędkość punktu Łatwo zauważć, że jeżeli punkt M dąż do punktu M 1, to cięciwa M 1 M dąż do tcznej do tou w punkcie M 1. Wnika tąd, że pędkość punktu jet tczna do tou punktu M, czli tczna do hodogafu wektoa wodzącego.

3 9 Gd wekto wodząc zapizem w potaci (5.), to zgodnie z podanmi w p..3.7 zaadami óżniczkowania jego pochodna d d d dz = = i+ j+ k. (5.5) Po zapianiu pędkości w układzie wpółzędnch,, z = i+ j+ z k (5.6) i podtawieniu do ównania (5.5) oaz po poównaniu wazów pz tch amch weoach otzmam wzo na wpółzędne pędkości: d d dz =, =, =. (5.7) z Widzim, że wpółzędne pędkości ą ówne pochodnm względem czau odpowiednich wpółzędnch wektoa wodzącego. Watość pędkości okeśla wzó: = + +. (5.8) z W czaie uchu punktu M jego pędkość w ogólnm pzpadku uchu zmienia zaówno woją watość, jak i kieunek. Jeżeli a dwóch położeń punktu M, odpowiadającch chwilom t 1 i t = t 1 + t, wekto pędkości oznaczm odpowiednio pzez 1 i i pzeuniem je tak, ab ich początki znalazł ię w jednm punkcie 1 (. 5.3), to widzim, że pędkość w czaie t = t t 1 uzkała pzot = 1. Końce tch wektoów leżą na linii, któą nazwam hodogafem pędkości. a = d hodogaf pędkości 1 t 1 R Pzśpiezenie punktu Wielkością chaaktezującą zmianę pędkości w czaie jet wekto / t o kieunku pzotu pędkości. Jeżeli pzot czau t będzie dążł do zea, to

4 w ganic otzmam pochodną pędkości względem czau, nazwaną pzśpiezeniem a punktu M: d lim = = a. t 0 t Pzśpiezenie punktu jet pochodną pędkości względem czau albo dugą pochodną wektoa wodzącego względem czau. d d a = = 93. (5.9) Kieunek pzśpiezenia jet tczn do hodogafu pędkości. W potokątnm układzie wpółzędnch,, z pzśpiezenie a możem zapiać w natępując poób: a = ai+ a j+ az k. (5.10) W celu wznaczenia wpółzędnch pzśpiezenia zóżniczkujem względem czau pędkość ważoną wzoem (5.6): d d d d a = = i+ j+ z k. (5.11) Po uwzględnieniu zależności (5.7) wpółzędne pzśpiezenia będą opiane zależnościami: a d d d d d z d z = =, a = =, a z = =. (5.1) Z powżzch wzoów wnika, że wpółzędne pzśpiezenia punktu w nieuchomm potokątnm układzie wpółzędnch ą piewzmi pochodnmi względem czau wpółzędnch pędkości lub dugimi pochodnmi względem czau odpowiednich wpółzędnch tego punktu. Znając wpółzędne pzśpiezenia, jego moduł obliczm ze wzou: a = a + a + a. (5.13) z 5... Pędkość i pzśpiezenie punktu w natualnm układzie wpółzędnch W popzednim punkcie wznaczliśm wpółzędne pędkości i pzśpiezenia a w potokątnm układzie wpółzędnch,, z. Na podtawie takiego potę-

5 94 powania nie można utalić, jak pouza ię punkt względem tou L i jak zmieniają ię moduł i kieunki wektoów pędkości i pzśpiezenia a w funkcji pzebtej dogi l. W celu udzielenia odpowiedzi na potawione ptanie pzjmijm w punkcie M lokaln układ wpółzędnch potokątnch o oiach, n, b o kieunkach odpowiednio tcznm, nomalnm n i binomalnm b do kzwej w ozważanm punkcie M (. 5.4). Kieunki oi, n, b takiego układu wpółzędnch będą okeślone odpowiednio weoami e, e n i e b. Tak zdefiniowane weo e, e n i e b wznaczają w każdm punkcie linii (tou) L pawokętn układ wpółzędnch, któ nazwam układem natualnm. b z e b n e n (l) M e L R Ruch punktu w natualnm układzie wpółzędnch Wkażem, że jeżeli dane jet wektoowe ównanie tou w funkcji dogi l miezonej wzdłuż tou: to weo te ą opiane wzoami: e = ( l ), (5.14) d d =, e = ρ, e = e e n, (5.15) n b gdzie ρ jet pomieniem kzwizn w punkcie M. W tm celu pzedtawm fagment linii L w płazczźnie ściśle tcznej n widzianej od ton tzałki oi binomalnej b (. 5.5). Na toze (linii) obiezm punkt M i dugi M tak, ab długość l dogi miezona po łuku MM bła niewielka. Jeżeli weźmiem ganicę iloazu pzotu wektoa wodzącego i pzotu dogi l

6 d lim =, 0 l to otzmam pochodną wektoa wodzącego względem dogi l. Moduł tej pochodnej jet ówn jedności, ponieważ gd l będzie dążć do zea, to długość cięciw MM = będzie dążć do długości łuku l: 95 lim l 0 l d = = 1. Zatem pochodna ważona wzoem: e = d jet ówna weoowi tcznej e do tou w punkcie M. n (l+ l) n N ρ L (l) e n M e e e M e R Ruch punktu w płazczźnie ściśle tcznej b udowodnić łuzność wzou na weo nomalnej e n w punkcie M, wkeślam tczną oaz jej weo e i nomalną n, a w punkcie M weo tcznej i nomalną n. Punkt pzecięcia oi n i n oznaczm pzez N. Widzim, że weo e podcza pzemiezczania ię z punktu M do M doznał pzotu e. Jeżeli zbudujem wekto będąc iloazem pzotu e i długości łuku l i wznaczm ganicę tej wielkości pz l dążącm do zea, to otzmam dugą pochodną wektoa wodzącego względem dogi l: e e lim l 0 l d e d = =. (a)

7 96 Kieunek tego wektoa będzie nomaln do kzwej w punkcie M, ponieważ jeżeli punkt M będzie ię zbliżał do punktu M, to kąt międz pzotem e i weoem e będzie dążł do kąta potego. Można to też wkazać analitcznie. Wiadomo, że iloczn weoa pomnożonego kalanie pzez iebie będzie ówn jedności: e e = 1. Po zóżniczkowaniu tej zależności względem czau mam: d e e d e =0 lub e = 0, a po podzieleniu pzez / d e d e = e = 0. Z powżzego wnika, że duga pochodna wektoa wodzącego względem dogi jet wektoem potopadłm do oi tcznej. Wznaczm obecnie moduł dugiej pochodnej wektoa wodzącego względem dogi l. Z unku 5.5 można zauważć, że a małch pzotów tójkąt e e i tójkąt N M M ą podobne. Możem zatem napiać: e e e =. MN Wiadomo także, że gd l będzie dążć do zea, to długość pzotu będzie dążć do długości łuku l, czli = l. Powżzą ówność zapizem zatem w potaci: e e =, l MN a po obliczeniu ganic tej ówności mam: e d e d e 1 1 lim = = = = = l 0 l MN MN ρ, ponieważ z geometii analitcznej wiadomo, że ganica: lim M M MN = ρ jet pomieniem kzwizn, czli pomieniem koła ściśle tcznego w ozpatwanm punkcie.

8 tatecznie moduł dugiej pochodnej wektoa wodzącego względem dogi l jet ówn odwotności pomienia kzwizn, nazwanej kzwizną w ozważanm punkcie: 97 d 1 =. (5.16) ρ Weo oi nomalnej e n otzmam pzez podzielenie wektoa (a) o kieunku nomalnej pzez jego moduł (5.16): e n d d d = = = ρ. d 1 ρ Dla wpowadzenia wzoów na pędkość i pzśpiezenie a punktu M pzedtawim wekto wodząc (t) w potaci funkcji złożonej: (t) = [l(t)]. Z definicji pędkości i ze wzou (.51) na obliczanie pochodnej funkcji złożonej mam: d d = =. W powżzm wzoze piewza pochodna jet wliczonm weoem e oi tcznej, a duga modułem pędkości ównm pochodnej dogi względem czau: Zatem pędkość pzedtawia wzó: =. (5.17) = e. (5.18) tzmaliśm zatem potwiedzenie, że pędkość punktu jet tczna do tou. Pzśpiezenie obliczm, licząc pochodną pędkości względem czau. Koztając ze wzou na pochodną ilocznu, otzmam: a d de d de d d = e + = e + = e +. Po podtawieniu do tego wzou zależności na weo nomalnej: d e n = ρ

9 98 otzmujem wzó na pzśpiezenie punktu M w natualnm układzie wpółzędnch: d a = e + ρ e n (5.19) lub a = a+ an. (5.0) Z otzmanego wzou wnika, że pzśpiezenie w ozważanm układzie wpółzędnch, n, b ma dwie kładowe: tczną a i nomalną a n (kieowaną do śodka kzwizn) i leż w płazczźnie ściśle tcznej n. Moduł tch kładowch ą natępujące: d a =, a n = ρ, (5.1) a watość pzśpiezenia całkowitego obliczm ze wzou: a = a + a n. () Ze wzoów (5.1) widać, że pzśpiezenie tczne a jet miaą zmian pędkości i jet ówne zeu, gd moduł pędkości będzie tał, z kolei pzśpiezenie nomalne a n jet miaą zakzwienia tou. W uchu potoliniowm pzśpiezenie nomalne jet ówne zeu. W uchu punktu po kzwej płakiej znane ą kieunki kładowch pzśpiezenia albo ich wznaczenie nie natęcza więkzch tudności, ponieważ wekto obu kładowch pzśpiezenia będą leżał w płazczźnie uchu. W pzpadku uchu pzetzennego punktu pz obliczaniu omawianch kładowch pzśpiezenia mogą ię pojawić tudności natu matematcznej. Pzkład 5.1. Punkt pouza ię w płazczźnie zgodnie z ównaniami uchu: = 4t + 1, = 3t. Wznaczć ównanie tou, pędkość, pzśpiezenie tczne nomalne i całkowite oaz pomień kzwizn a czau t 1 = 0,5. Pzjąć wmia w metach, a cza w ekundach. Rozwiązanie. W celu wznaczenia ównania tou punktu należ z ównań uchu weliminować paamet t (cza). Po wznaczeniu z dugiego ównania uchu czau i podtawieniu do piewzego otzmujem:

10 99 9 ( 1) =. 4 Równanie to pzedtawia paabolę. Wpółzędne pędkości punktu wznaczm ze wzoów (5.7), a jej moduł ze wzou (5.8). d d = t = 8, = = 3, 1 = + = 64t + 9,a( t1 ) = = 5 = 5m /. Wpółzędne pzśpiezenia i jego watość wliczm ze wzoów (5.1) i (5.13): a d d = = 8, a = = 0, a = a + a = = 8 m/ Pzśpiezenie tczne obliczm z piewzego wzou (5.1): d t a = = 64 = 64t t, 64t a( t1) 3 = = = 64, m/ W celu wznaczenia pzśpiezenia nomalnego pzekztałcim wzó (5.) do potaci: a = a a n. Po podtawieniu do tego wzou wliczonch wżej watości liczbowch otzmam pzśpiezenie nomalne w chwili : t 1 ( ) ( ) a t = 8 64, = 48, m/. n 1 Pomień kzwizn obliczm z dugiego wzou (5.1): 5 ρ = = = 5,m. a 4,8 n

11 100 Pzkład 5.. Dane ą kinematczne ównania uchu punktu M w potokątnm układzie wpółzędnch: 3 = 3t 6t, =3 t 3t, gdzie i ą podane w metach, a cza w ekundach. Wznaczć ównanie tou, pomień kzwizn, pędkość, pzśpiezenie tczne, nomalne i całkowite. To oaz kładowe pędkości i pzśpiezenia a chwili początkowej t = 0 pzedtawić na unku. Rozwiązanie. Jeżeli dugie ównanie uchu pomnożm tonami pzez i dodam do piewzego, to otzmam ównanie tou w potaci: 1 = +. 0 a 0 M a 0 B 0 0 a R Pędkość i pzśpiezenie punktu we wpółzędnch potokątnch na płazczźnie Jet to ównanie potej, któa odcina na oi odciętch odcinek = 4 m i na oi zędnch odcinek B = m (. 5.6). Położenie punktu M na potej (toze) a chwili początkowej t = 0 wznaczm z ównań uchu: 0 =, 0 =3. Ponieważ pomień kzwizn jet ówn niekończoności ( ρ = ), pzśpiezenie nomalne jet ówne zeu: a n = = 0. ρ Wpółzędne potokątne pędkości i pzśpiezeń oaz ich moduł obliczm tak jak w popzednim pzkładzie. Pędkość:

12 101 Pzśpiezenie: d d = ( t) ( t) = 31+ 4, = = , (a) 1 3 = + = 3 ( 1+ 4t) + ( 1+ 4t) = 5( 1+ 4t). (b) 4 a d d = = 1, a = = 6, a = a + a = = 6 5 m/ Pzśpiezenie tczne: d a = a = m = 3 5 4= 6 5 /. Z otzmanch wników widzim, że punkt M pouza ię po potej ze tałm pzśpiezeniem kieowanm tak jak na unku. Pędkości w chwili początkowej otzmam po podtawieniu do wzoów (a) i (b) t = = 3, = = m, 0 5 /. 0 0 Pzkład 5.3. Tzpień B (. 5.7a) jet docikan do mimośodu w kztałcie tacz kołowej o pomieniu tak, że cał cza pozotaje z nim w kontakcie. ś obotu mimośodu pzechodzi pzez punkt oddalon od śodka tacz C o C = e. Mimośód obaca ię wokół oi obotu ze tałą pędkością kątową ω = π 1. Wznaczć pędkość i pzśpiezenie tzpienia a czau t1 = 0,5, jeżeli oś tzpienia pokwa ię z oią tak jak na unku. Rozwiązanie. Dla obliczenia pędkości i pzśpiezenia tzpienia muim ułożć jego ównanie uchu, np. ównanie punktu. Na podtawie. 5.7b możem napiać: = = D + D = eco ϕ + CD =. = ecoϕ+ einϕ = ecoϕ+ e in ϕ ( )

13 10 a) b) C B e ϕ C D B R Wznaczenie uchu tzpienia B ϕ = ωt = πt otz- (a) Po podtawieniu do tej zależności, zgodnie z teścią zadania, mam ównanie uchu punktu : = e co π t + e in π t. Pędkość punktu otzmam po obliczeniu pochodnej tego ównania względem czau: = d e πinπtcoπt = eπinπt + = e in πt e π in( πt) = eπinπt. (b) 4 e in πt Po zóżniczkowaniu powżzego wzou względem czau i upoządkowaniu wazów otzmam pzśpiezenie: π πco( πt)( e in πt) + e in ( πt) e a = π π 4 e co t +. (c) 4 ( e in πt) e in πt Po podtawieniu do wzoów (b) i (c) t 1 = 0,5 otzmam watość pędkości i pzśpiezenia a tego czau: ( t ) eπ,a ( t ) 1 e π = 1 =. e