Wykład1. Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości.

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład1. Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości."

Mikołaj Wawrzyniak
6 lat temu
Przeglądów:

1 WKŁAD. Wład. Element logii matematcznej i teoii mnogości. Definicja zdania Zdaniem w logice nazwam wowiedź zbudowaną zgodnie z zasadami ustalonego jęza tóej można zisać jednoznacznie jedną z dwu ocen: awdę lub fałsz -nazwane watościami logicznmi danego zdania i oznaczane odowiednio smbolami 0. Definicja fom zdaniowej Fomą zdaniową nazwam wowiedź tóa może zawieać zmienne zbudowaną według taich samch eguł gamatcznch ja zdanie. Fat że jest zmienną fom zdaniowej oznaczam isząc. Uwaga. Każde zdanie jest fomą zdaniową. Uwaga. Istnieją fom zdaniowe nie będące zdaniami. Zasada twozenia zdań z fom zdaniowch Z fom zdaniowej można otzmać zdanie na dwa sosob: a Pzez odstawienie w miejsce zmiennch obietów w stosunu do tóch będziem mogli stosować ocen logiczne awdziwości i fałszu. b Pzez stosowanie wantfiatoów w odniesieniu do wstęującch w fomie zdaniowej zmiennch. Stosowanie wantfiatoa dużego do fom oznacza utwozenie zdania. Stosowanie tóe cztam: dla ażdego elementu ze zbiou jest wantfiatoa małego do fom oznacza utwozenie zdania tóe cztam: istnieje element ze zbiou tai że. Definicja Jeśli zaesem zmienności zmiennej w fomie jest zbió to zbió tch wszstich elementów zbiou tóe odstawione w miejsce zmiennej w fomie dają zdanie awdziwe oznaczam jao :. Pzład. Pzedział domnięt a b gdzie a b są liczbami zeczwistmi taimi że a b można zaisać jao R : a b. Zasada wefiacji awdziwości zdań złożonch Ocen awdziwości zdań złożonch doonujem na odstawie infomacji o awdziwości ich sładniów zgodnie z nastęującmi ustaleniami: a jest awdą wted i tlo wted gd : b /8

2 /8 jest awdą wted i tlo wted gd : Definicja tautologii Pawem logicznm albo tautologią nazwam zdanie złożone tóe jest awdziwe niezależnie od watości logicznch zdań sładowch Waz ważniejszch aw achunu zdań Własności zbioów liczbowch. Podzielność liczb całowitch elacja zstawania modulo twiedzenie chińsie o esztach. Liczb całowite Liczb 0±±±3... nazwam liczbami całowitmi. Zbió wszstich liczb o całowitch oznaczam zez Z. Liczbami natualnmi nazwam zbió liczb całowitch dodatnich: 3... i oznaczam zez N. Własnościami liczb całowitch zajmuje się Teoia Liczb - najstasza obo Geometii dsclina matematczna. Wiele najtudniejszch dotąd jeszcze nieozwiązanch oblemów matematcznch wwodzi się właśnie z Teoii Liczb. Obecnie zomnim i ogłębim szeeg zagadnień dotczącch liczb całowitch a taże zedstawim ila najważniejszch oblemów woół tóch oncentuje się atualn nut badań. Algotm Eulidesa

3 Piewszego w histoii matemati algotm to właśnie Algotm Eulidesa. Służ on do znajdowaniu najwięszego wsólnego dzielnia dwóch liczb natualnch. Definicja Niech d i n będą liczbami natualnmi. Mówim że d dzieli n jeśli istnieje taa liczba natualna że n = d. Liczbę d nazwam wówczas dzielniiem liczb n. Pzład 6 dzieli 4 onieważ 8 = 6 4. Natomiast 6 nie dzieli 0 onieważ ównanie 0 = 6 nie ma ozwiązań w liczbach natualnch. Fat odzielności liczb n zez d zaisujem jao d n. Uwaga Każda liczba natualna n ma sończoną liczbę óżnch dzielniów. Oznaczam ją zez τ n. Na zład τ0 = 6 onieważ 0 ma sześć óżnch dzielniów: Liczbę dzielniów danej liczb n możem odcztać z nastęującego Diagamu Leibniza: Liczba gwiazde widniejącch nad n to liczba jej dzielniów τ n. Twiedzenie. O dzieleniu z esztą Dla dowolnch liczb całowitch n i d z czm d > 0 istnieje doładnie jedna aa liczb całowitch i taa ze n = d + 0 < d. Liczbę nazwam iloazem a esztą z dzielenia n zez d. Pzład. Jeśli n = 5 i d = 7 to = 3 i = 4 onieważ 3/8

4 5 = < 7. Jeśli n = 5 i d = 7 to = 4 i = 3 onieważ 5 = < 7. Definicja. Najwięszm wsólnm dzielniiem liczb natualnch m i n nazwam najwięszą liczbę natualną dzielącą jednocześnie m i n. Oznaczam ją zez m n. Na zład = 54 onieważ 54 dzieli zaówno liczbę 00 ja i 770 i jest najwięszą liczbą natualną o tej własności. Oiszem teaz zasadę działania Algotmu Eulidesa ozwalającego dla zadanch liczb natualnch m i n znaleźć ich najwięsz wsóln dzielni NWD m n. Pzuśćm że m n. W iewszm ou wonujem dzielenie m zez n i otzmujem zgodnie z twiedzeniem o dzieleniu z esztą iloaz i esztę m n dla 0 n. Jeżeli 0 to możem wonać dugie dzielenie n zez tóe daje dugi iloaz i dugą esztę : m n dla 0. Jeżeli onownie 0 to dzielim znowu zez i dostajem iloaz 3 i esztę 3 sełniające wauni Jest jasne że w ońcu otzmam 0 dla ewnego natualnego onieważ ciąg liczb całowitch... jest z malejąc i oganiczon z dołu zez 0. 3 Twiedzim teaz że jeżeli 0 to NWDm n = W istocie wstacz zauważć że ówność m = n + ociąga za sobą ówność NWDm n =. Stosując to sostzeżnie do olejnch ówności otzmam NWD m n =. 4/8

5 Pzład Niech m = 00 a n = 770. Powtazając dzielenie z esztą na olejnch aach dostajem ciąg ówności: 00 = = = = 54. Zatem NWD = 54. Algotm Eulidesa ozostaje wciąż jedną z najbadziej efetwnch metod wznaczania najwięszego wsólnego dzielnia. Algotm Eulidesa ma zastosowanie w bujnie ozwijającej się ostatnio Ktogafii dziedzinie zajmującej się szfowaniem infomacji. Liczb iewsze Każda liczba natualna n > osiada co najmniej dwa óżne dzielnii i n. Definicja Liczbę > nazwam liczbą iewszą jeżeli i są jednmi jej dzielniami. Liczbę natualną n > tóa nie jest iewszą nazwam liczbą złożoną. Liczb iewsze możem ozoznać w Diagamie Leibniza jao te nad tómi świecą doładnie dwie gwiazdi. Twiedzenie Eulides Liczb iewszch jest niesończenie wiele. Dowód. Pzuśćm że = < = 3 <... < są wszstimi liczbami iewszmi. Pzjmijm P =... + i niech będzie dzielniiem iewszm liczb P. Wted liczba nie może bć z żadną z liczb i gdz w zeciwnm azie dzieliłab óżnicę P... = co jest niemożliwe. Zatem... nie są wszstimi liczbami iewszmi. Twiedzenie Odstę omiędz olejnmi liczbami iewszmi mogą bć dowolnie duże. Poof. W istocie niech n będzie liczbą natualną Rozważm ciąg n 5/8

6 olejnch liczb natualnch n! + n! n! + n. Ponieważ żadna z nich nie moż bć liczbą iewszą twiedzenie jest udowodnione. Znacznie tudniej udowodnić awdziwość nastęującego twiedzenia znanego jao Postulat Betanda. Twiedzenie Postulat Betanda W ażdm zedziale [n n] n =...znajduje się liczba iewsza. A jeszcze tudniejsze są dowod słnnego Twiedzenia Diichleta cz Twiedzenia o Liczbach Piewszch. Twiedzenie 5. Twiedzenie Diichleta Jeżeli a b = to ciąg atmetczn an + b n = 0... zawiea niesończenie wiele liczb iewszch. Twiedzenie Twiedzenie o Liczbach Piewszch Niech πn oznacza liczbę liczb iewszch w zedziale [N]. Wówczas Podstawowe Twiedzenie Atmeti Twiedzenie Każda liczba całowita n > ozłada się na iloczn liczb iewszch n... t gdzie... t są liczbami iewszmi Zauważm że jeżeli n = ab to liczb a i b nie mogą bć jednocześnie więsze od n. Stąd wnia że dowolna liczba złożona n osiada dzielni iewsz niezewższającch n. Rozład liczb na iloczn otęg óżnch liczb iewszch. n... gdzie... i i 0 dla i 3... nazwam ozładem anonicznm liczb n Twiedzenie Podstawowe Twiedzenie Atmeti Rozład anoniczn liczb całowitej n > jest jednoznaczn. 6/8

7 Na zład 00 = 7 3 jest jednm możliwm ozładem anonicznm liczb 00. Podobnie 5! = = Funcja Eulea. Niech N będzie liczbą natualną. Smbolem ϕn oznaczam liczbę niesacalnch ułamów właściwch o mianowniu N. Na zład ϕ8 = 6 bo istnieje doładnie 6 taich ułamów o mianowniu 8: Funcja N ϕn nosi nazwę Funcji Eulea. Tabela oczątowch watości funcji Eulea: N ϕn Watość ϕn zależ od ozładu liczb N na cznnii iewsze. Na zład jeżeli N = jest liczbą iewszą to ϕ =. Ogólnie jeśli liczba iewsza dzieli N to należ ominąć wszstie ułami tóch liczni dzieli się zez. Ta obsewacja ozwala na znalezienie wzou na funcję ϕn. Twiedzenie Niech N... N na cznnii iewsze. Wówczas N N.... będzie anonicznm ozładem liczb Wzó owższ można zaisać w ostaci ównoważnej. N... Pzład Obliczm watość funcji Eulea dla N = 00. Ponieważ 7/8

8 00 = 7 3 więc na moc wzou owżej mam ϕ00 = 6 0 = 70. Wniose. Dla dowolnch liczb całowitch dodatnich M N taich że NWD M N = zachodzi wzó ϕmn = ϕmϕn. Funcja Eulea osiada jeszcze wiele innch cieawch własności tóe oznam w dalszm ciągu. 8/8

Podobne dokumenty

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Algebra liniowa z geometrią analityczną WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór