11. 3.BRYŁY OBROTOWE. Walec bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu prostokąta dokoła prostej zawierającej jeden z jego boków

Transkrypt

1 ..BRYŁY OBROTOWE Wae była obotowa powstała w wyniku obotu postokąta dokoła postej zawieająej jeden z jego boków pomień podstawy waa wysokość waa twoząa waa Pzekój osiowy waa postokąt o boka i Podstawa waa - koło o pomieniu P p Powieznia bozna waa postokąt o boka i P b Wzó na poe powiezni ałkowitej waa: Wzó na objętość waa: P

2 Pzykład.... Pzekątna pzekoju osiowego waa ma długość 8. Poe powiezni boznej waa jest zteokotnie większe od poa jego podstawy. Obiz objętość waa. Komentaz Dane: Szukane: Wzoy: d 8? Pb 4 P p P b P 4 b P p 4 / : P p Układamy ównanie z niewiadomymi i. Obie stony ównania moŝemy podzieić pzez, bo > 0 Wykozystują twiedzenia Pitagoasa układamy dugie ównanie z niewiadomymi i. ( ) d Budujemy układ ównań z niewiadomymi i. Układ ozwiązujemy metodą podstawiania.

3 ( ) / : ( ) Obizamy 4 Obizamy Pzykład... Objętość waa jest ówna 6, a jego powieznia bozna po ozwinięiu jest kwadatem. Obiz wysokość waa Komentaz Powieznia bozna waa Dane: Szukane: Wzoy: / : Powieznia bozna waa jest kwadatem, zatem Obizamy pomień waa Obizamy wysokość waa

4 Pzykład... Obiz ie waŝy 00m miedzianego dutu o śedniy mm, jeŝei ięŝa g właśiwy miedzi jest ówny 8,96. Wynik podaj w kg z dokładnośią do jednego m miejsa po pzeinku. Komentaz Dut, o któym mowa w zadaniu jest waem. Dane: Szukane: m? 00 m 00000mm mm g 0,00kg 0,00kg ρ 8,96 8,96 8,96 m 0mm 000mm kg 0, mm Wzoy: m ρ ( ) m ρ m 0, m 0, , m 0, / m,8 W zadaniu naeŝy pamiętać o zamianie jednostek. W zdaniu wykozystamy wzó na ięŝa właśiwy. Wzó ten moŝna napisać na g podstawie podanej jednostki:, m gdzie g jest jednostką masy m, natomiast m jednostką objętośi Stąd ięŝa właśiwy wyaŝa się wzoem m ρ Obizamy masę dutu m

5 StoŜek była obotowa powstała w wyniku obotu tójkąta postokątnego dokoła jednej z pzypostokątny pomień podstawy stoŝka wysokość stoŝka twoząa stoŝka Pzekój osiowy stoŝka tójkąt ównoamienny o podstawie i amieniu kąt ozwaia stoŝka β kat nayenia twoząej do płaszzyzny podstawy β Podstawa stoŝka - koło o pomieniu P p Powieznia bozna stoŝka wyinek koła o pomieniu, opaty na łuku długośi P b P b 60 Wzó na poe powiezni ałkowitej stoŝka Wzó na objętość stoŝka P

6 Pzykład..4. Obiz objętość stoŝka, jeŝei jego twoząa długośi 6 twozy z podstawą kąt 60. Komentaz Dane: Szukane: Wzoy: 6? 60 Obizamy wysokość, kozystają z definiji sinusa: pzypostokatna _ napzeiw_ sin pzeiwpostokatna sin sin / :

7 ( 8 ) Obizamy pomień, kozystają z twiedzenia Pitagoasa. Obizmy objętość stoŝka. Pzykład..5. Powieznią bozną stoŝka jest wyinek koła o kąie 40 i pomieniu. Obiz poe podstawy stoŝka. Dane: Szukane: Wzoy: 40 P p? P p P b P b 60 P b P b P b 96 / : 8 Komentaz Wzó na poe powiezni boznej stoŝka: P b jest to znany nam wzó 60 na poe wyinka koła. WykaŜemy, Ŝe poe powiezni boznej stoŝka wyaŝa się wzoem P b. Wyinek koła, któy jest powieznią bozną stoŝka jest opaty na łuku. Wykozystamy znany nam wzó na długość łuku i zapiszemy ównanie: / 60 / P b : Obizamy poe powiezni boznej stoŝka. Obizamy pomień stoŝka

8 P p Obizamy poe podstawy stoŝka P p 8 64 Pzykład..6. Jedna z pzypostokątny tójkąta postokątnego ma długość i twozy z pzeiwpostokątną kąt 60. Obiz poe powiezni i objętość były powstałej z obotu tójkąta wokół postej zawieająej pzeiwpostokątną. Komentaz Tójkąt ABC jest tójkątem postokątnym, w któym kąt BAC ma miaę 90. W wyniku obotu tego tójkąta dookoła pzeiwpostokątnej otzymujemy dwa stoŝki mająe wspóną podstawę. Dane : Szukane: a? 60 P? Wzoy: a b P Objętośią powstałej były jest suma objętośi stoŝków. Poe powiezni powstałej były jest suma pó powiezni bozny stoŝków. Obizamy, kozystają z definiji sinusa: pzypostokatna _ napzeiw_ sin pzeiwpostokatna

9 : / sin 60 sin a 4 a Obizamy, kozystają z twiedzenia Pitagoasa. / 60 b b b tg a b tg Obizamy b, kozystają z definiji tangensa: pzy pzypostokatna napzeiw pzypostokatna tg ( ) b a 4 Obizamy, kozystają z twiedzenia Pitagoasa. Wykozystujemy ówność 4 b a P 6 P Obizamy i P

10 Kua była obotowa powstała w wyniku obotu koła dokoła jego śedniy R pomień kui R Wzó na poe powiezni kui Wzó na objętość kui: P 4 R 4 R Sfea powieznia kui Koło wiekie pzekój kui płaszzyzną pzeodząą pzez jej śodek. Pzykład..7. Obiz ie azy zwiększy się poe powiezni kui, a ie azy jej objętość jeŝei pomień kui wzośnie tzykotnie. Komentaz Dane: Szukane: Wzoy: 4? P 4? P P 4 P 4 4 ( ) P 4 ( ) 9 9 P 4 Odp.: Objętość kui zwiększyła się 7azy, a jej poe powiezni 9 azy. Obizamy ie azy zwiększy objętość kui. Obizamy ie azy zwiększy poe powiezni kui.

11 Pzykład..8. Do pojemnika w kształie waa o śedniy 9 m zawieająego pewną iość wody, wzuono kuę o pomieniu m. Obiz, o ie miimetów podniesie się poziom wody w nazyniu, wiedzą, Ŝe kua ta ałkowiie zanuzyła się w wodzie. Komentaz Po wzueniu kui do pojemnika poziom wody podniósł się o Dane: Szukane: Wzoy: R m? 9m 4 R - objętość wody w pojemniku - objętość kui ( ) 4 ( ) R 4 4,5 ( ) 4,5 4 0,5 0,5 9 0, 5 0,5 / : 0,5 6 7 m 60 7 mm 6mm Obizmy Odp.: Poziom wody w nazyniu podniósł się o około 6 mm.

12 ĆWICZENIA Ćwizenie... (pkt.) Obiz objętość waa wiedzą, Ŝe jego pzekój osiowy jest kwadatem o boku długośi 6 m. semat oeniania Nume odpowiedzi Odpowiedź Lizba punktów Podanie pomienia i wysokośi waa. Podanie objętośi waa. Ćwizenie... (pkt.) Pzekątna pzekoju osiowego waa d m jest nayona do podstawy pod kątem 45. Obiz poe powiezni ałkowitej i objętość waa. semat oeniania Nume Odpowiedź Lizba punktów odpowiedzi Podanie wysokośi waa. Podanie pomienia waa. Podanie poa powiezni ałkowitej waa. Ćwizenie... (pkt.) Kąt ozwaia stoŝka 60 i jego pomień 4m. Obiz objętość stoŝka. semat oeniania Nume Odpowiedź Lizba punktów odpowiedzi Podanie wysokośi stoŝka. Podanie objętośi stoŝka. Ćwizenie..4. (4pkt.) Obiz poe powiezni i objętość stoŝka, któego powieznią bozną jest wyinek koła o pomieniu 6 i kąie 0. semat oeniania Nume odpowiedzi Odpowiedź Lizba punktów Podanie pomienia stoŝka. Podanie wysokośi stoŝka Podanie poa powiezni stoŝka. 4 Podanie objętośi stoŝka.

13 Ćwizenie..5. (pkt.) Kua o pomieniu R i stoŝek mają ówne objętośi. Poe powiezni boznej stoŝka jest tzy azy większe od poa powiezni jego podstawy. Znajdź wysokość stoŝka semat oeniania Nume odpowiedzi Odpowiedź Lizba punktów Podanie pomienia stoŝka. Podanie wysokośi stoŝka.