Metody Statystyczne II

Transkrypt

1 Metody Statytycze II dr Dorota Węziak-Białowolka Itytut Statytyki i Demograii

2 Iormacje orgaizacyje Koultacje: poiedziałek 5:3 6:3 5F lub 73F Materiały: Zaliczeie: w ormie egzamiu kładającego ię z części teoretyczej i praktyczej

3 Literatura. Jajuga Krzyzto Statytycza aaliza wielowymiarowa. Warzawa: PWN.. Rózkiewicz Małgorzata.. Metody ilościowe w badaiach marketigowych. Warzawa: Wydawictwa Naukowe PWN. 3. Rózkiewicz Małgorzata.. Narzędzia tatytycze w aalizach marketigowych. Warzawa: C.H.Beck. 4. Morrio Doald F., 99, Wielowymiariowa aaliza tatytycza, Warzawa: PWN 5. Laza, S. T., Flaherty, B. P., & Colli, L. M. 3. Latet cla ad latet traitio aalyi. J. A. Schika, & W. F. Velicer (Ed.), Hadbook o Pychology: Vol.. Reearch Method i Pychology (pp ). Hoboke, NJ: Wiley. 6. Pampel Fred C... Logitic Regreio. A primer. Sage Publicatio, Ic 7. Kapla David 9. Structural equatio modelig. Foudatio ad Eteio. Sage: Lo Agele, Lodo, New Delhi, Sigapore. Rozdziały -3.

4 Zagadieia omawiae w ramach Metod Statytyczych II ) Wprowadzeie do wielowymiarowej aalizy tatytyczej ) Metody klayikacji 3) Regreja logitycza 4) Aaliza główych kładowych 5) Ocea jakości kali pomiarowej - aaliza rzetelości, aaliza traości, aaliza jedowymiarowości 6) Wprowadzeie do modelowaia zmieych ukrytych 6.. Aaliza czyikowa w podejściu ekploracyjym modelowaie zmieych ukrytych - ciągłych 6.. Wtęp do modelowaia rówao trukturalych a przykładzie koirmacyjej aalizy czyikowej modelowaie zmieych ukrytych ciągłych

5 WPROWADZENIE DO WIELOWYMIAROWEJ ANALIZY STATYSTYCZNEJ

6 Pla wykładu Wielowymiarowy rozkład tatytyczy Wielowymiarowy rozkład ormaly Próby z wielowymiarowego rozkładu ormalego Wiokowaie a podtawie prób z wielowymiarowego rozkładu ormalego

7 Zmiea loowa wielowymiarowa Uogólieie pojęcia ciągłej zmieej loowej a zmiee wielowymiarowe Określmy -wymiarową zmieą loową jako wektor T,,, złożoy z jedowymiarowych ciągłych zmieych loowych o gętościach ( ),, ( ) oraz o dytrybuatach F ( ),, F ( ). Wektor T,,, azywać będziemy wektorem realizacji zmieej loowej

8 Zmiea loowa wielowymiarowa - ukcja gętości Fukcję () = (,, ) azywać będziemy ukcją gętości wektora loowego lub łączą ukcją gętości zmieych loowych,, Właości ukcji ():. (). ( ) d czyli: R ( ) d d d

9 Zmiea loowa wielowymiarowa - dytrybuata Fukcję F() = P(,, ) azywać będziemy dytrybuatą wektora loowego lub dytrybuatą łączego rozkładu zmieych loowych,,

10 Zmiea loowa wielowymiarowa rozkłady brzegowe W wielowymiarowej aalizie tatytyczej częto muimy zać rozkład tylko pewego zbioru zmieych loowych. Takie rozkłady azywamy rozkładami brzegowymi. Jeżeli zbiór zmieych loowych podzielimy a dwa podzbiory w atępujący poób: to łącza gętość m pierwzych zmieych loowych ma potać: m a rozkład te azyway jet m-wymiarowym rozkładem brzegowym

11 Zmiea loowa wielowymiarowa rozkłady warukowe W wielowymiarowej aalizie tatytyczej częto muimy zać rozkład pewego zbioru zmieych loowych wiedząc, że pewe ie zmiee loowe przyjęły określoe wartości liczbowe lub mogą przyjmować wartości tylko z pewego podzbioru. Takie rozkłady azywamy rozkładami warukowymi Gętość warukowego rozkładu zmieej = (,,, m ) przy utaloych wartościach zmieej = ( m+, m+,, ) ma potać: ) ( ),..., (,...,,,...,,,...,, ) ( m m m

12 Zmiea loowa wielowymiarowa - iezależośd Zbiór zmieych loowych dzielimy a dwa podzbiory w atępujący poób: Fukcję gętości wektora loowego = (,,, m ) określimy jako ( ) Fukcję gętości wektora loowego =( m+, m+,, ) określimy jako ( ) Łączą ukcję gętości wektora loowego jako () = (, ) Jeśli wektory loowe i ą iezależe, to: () = (, ) = ( ) ( ) ) ( ) (,...,,,...,, ) ( m m m...,...,,

13 Zmiea loowa wielowymiarowa momety () Wartość oczekiwaa wektora loowego Macierz kowariacji m-wymiarowego wektora loowego E E E E T E E E

14 Zmiea loowa wielowymiarowa momety () Właości: Jeśli wektory loowe i Y ą iezależe, to E(Y T )=E()E(Y) T Jeżeli A macierz taka że EA = A, B macierz taka, że EB = B, E=μ, E E E T to jeżeli Y=A i Z = B:. EY = E(A) = AE() = Aμ. COV(Y,Y) = Σ YY =A Σ A T 3. COV(Y,Z) = Σ YZ =A Σ B T

15 Wielowymiarowy rozkład ormaly () Fukcja gętości jedowymiarowej zmieej o rozkładzie ormalym: < < + ; σ > Fukcja gętości iezależych zmieych loowych o rozkładach ormalych: T i i i i ep det ep,...,, ep

16 Wielowymiarowy rozkład ormaly () Fukcja gętości iezależych zmieych loowych o rozkładach ormalych: Liczba parametrów: : N(μ, Σ) U: N(, I) tadardowy rozkład ormaly : N(, σ I) lub : N(μ, σ I) eryczy rozkład ormaly T i i i i ep det ep,...,,

17 Wielowymiarowy rozkład ormaly właości () Σ ii ) ) Jeżeli Σ = Σ T =, to i ą iezależe σ ij = σ ji =, to i i j ą iezależe 3) Addytywość Jeśli i ą iezależe, to Y = + : N(μ + μ, Σ + Σ ) Twierdzeie odwrote rówież jet prawdziwe

18 Wielowymiarowy rozkład ormaly właości () 4) Warukowy rozkład = : = : N(μ + Σ Σ - ( - μ ), Σ - Σ Σ - Σ ) 5) Stadaryzacja wielowymiarowego rozkładu ormalego U = B - ( - μ), gdzie BB T = Σ ma rozkład U:N(, I), zaś UU T ma rozkład χ z topiami wobody 6) A dowola macierz rzeczywita, : N(μ, Σ), Y = A, Z = A + C Y: N(A μ, A ΣA T ) Z: N(A μ+c, A ΣA T ) 7) Jeśli wektor loowy : N(μ, Σ), to wzytkie jego rozkłady brzegowe ą rozkładami ormalymi. Twierdzeie odwrote ie jet prawdziwe

19 Próby z wielowymiarowego rozkładu ormalego () Pobieramy próbę loową protą z populacji o wielowymiarowym rozkładzie ormalym () ukcja gętości wektora loowego w populacji N-elemetowa próba złożoa z -wymiarowych wektorów N-elemetowa próba, czyli próba złożoa z N łączych oberwacji a każdą z zmieych i Oberwacje te moża zapiać w potaci macierzy daych: N N N

20 Próby z wielowymiarowego rozkładu ormalego () N N N Pojedycza, k-ta oberwacja, k = [ k k k ], jet zatem realizacją loowej zmieej wielowymiarowej Mówi ię rówież o k-tym pośród N obiektów, z których każdy jet opiyway przez cech

21 Próby z wielowymiarowego rozkładu ormalego tatytyki z próby () Dla pojedyczej próby mamy: Średia: Wektor średich z próby (wektor złożoy ze średich obliczoych dla każdej z cech) Kowariacja: Macierz złożoa z kowariacji każdej z cech z każdą N N N S

22 Próby z wielowymiarowego rozkładu ormalego tatytyki z próby () Etymatorem ajwiękzej wiarygodości wektora wartości oczekiwaych jet Etymatorem ajwiękzej wiarygodości macierzy Σ jet macierz S N N N S

23 Próby z wielowymiarowego rozkładu ormalego tatytyki z próby (3) Właości macierzy S: ) Macierz S jet etymatorem obciążoym ES N N ) Macierz S jet tochatyczie zbieża do Σ 3) Macierz ~ S N k k k T jet etymatorem ieobciążoym ~ S N S N

24 Rozkład Wiharta () Dae ą wektory iezależe o tym amym rozkładzie: Z k : N(, Σ) Macierz V k T Z k Z k ma rozkład Wiharta z topiami wobody i zapiuje ię to: V: W(Σ, ) Jeżeli = oraz Σ = [], to rozkład Wiharta jet rozkładem chi-kwadrat z = topiami wobody Macierz kowariacji S z N-elemetowej próby protej z wielowymiarowej populacji ormalej ma rozkład Wiharta W(Σ, N-)

25 Rozkład Wiharta () Rozkład Wiharta jet addytywy: Jeżeli A, A, A 3,, A k ą iezależymi macierzami loowymi o rozkładach Wiharta z tą amą macierzą Σ i liczbą topi wobody rówą odpowiedio,, 3,, k, to uma tych macierzy ma rozkład Wiharta z macierzą Σ i liczbą topi wobody = k

26 Rozkład T -Hotelliga Jeżeli: : N(μ, Σ), S jet macierzą loową o rozkładzie Wiharta S: W(Σ, N-), to: T N S T ma rozkład T -Hotelliga z N topiami wobody Jeżeli i S ą iezależe, to tatytyka F N N T ma rozkład F z oraz (N-) topiami wobody (N>) N liczebość próby liczba zmieych jedowymiarowych w wektorze loowym

27 Etymacja μ i Σ Etymacja puktowa wektora wartości oczekiwaych μ Jeżeli : N(μ, Σ), to etymatorami MNW ą ˆ, ˆ S, zaś : N, N Etymacja przedziałowa wektora wartości oczekiwaych Obzar uości dla wektora wartości oczekiwaych przy daym poziomie uości a podtawie próby, w wyiku której otrzymao oraz S

28 Przedziały uości Roy a i Boy ego Przedziały uości Roy a i Boy ego dla pozczególych elemetów wektora wartości oczekiwaych Przedziały uości Roy a i Boy ego dla różicy średich Wektor a jet kolumowym wektorem, w którym wartością ozaczoe ą brae pod uwagę wartości oczekiwae. Pozotałe elemety przyjmują wartość.

29 Weryikacja hipotez o μ () Weryikacja hipotezy mówiącej o tym, że wartości oczekiwae w populacji ą rówe kokretemu wektorowi wartości H H Różica : Statytyka tetująca: ma rozkład T -Hotelliga z N- topiami wobody T N T N( ) S ( ) F T, gdzie ( N ) det S N( )( ) T det S ma rozkład F z oraz (N-) topiami wobody (N>) Obzar krytyczy: P(F F α (, N-)) = α : T

30 Weryikacja hipotez o μ () Weryikacja hipotezy mówiącej o rówości wartości oczekiwaych w dwóch populacjach o wielowymiarowych rozkładach ormalych a podtawie prób N i N - elemetowych Statytyka tetująca:, gdzie Obzar krytyczy: P(F F α (, N +N --)) = α ) ( ) ( * S N N N N T T : : H H ) ( T N N N N F ) ( * S N N S N N S

31 Weryikacja hipotez o Σ () Weryikacja hipotezy mówiącej o tym, że macierz kowariacji ma określoą potać w populacji H H : : Statytyka tetująca: W N tr U ldetu, gdzie U S Obzar krytyczy: P(W χ α,v) = α, v=(+)/

32 Weryikacja hipotez o Σ () H : Tet Bartletta o eryczości (zczególy przypadek tetu ) H : H H : : ki ki Statytyka tetująca: W N tr U l det U,, gdzie U Bartlett wykazał, że lepzym prawdziaem powyżzej pary hipotez jet tatytyka ( N 6 Obzar krytyczy: P(χ χ α,v) = α gdzie v=(+)/ 5 ) l R S k