Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Transkrypt

1 Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane są następujące zastrzeżenia: x 4x + 3 x + x 0, (1) 0, () 1 1 x 1, (3) arc sin 1 x > 0. (4) Dla rozwiązania zastrzeżenia (1) naszkicujemy wykresy wyrażeń podmodułowych 1 3 1

2 Z rysunku widać, że mamy do rozpatrzenia cztery przypadki: a) x ( ; 1), b) x 1; ), c) x ; 3), c) x 3; + ). W przypadku a) warunek (1) jest równoważny nierówności x 4x x + x 0, x x 1 0. Pierwiastkami trójmianu stojącego po lewej stronie są liczby = 1 oraz + = 1+. Z wykresu rozwiązanie powyższej nierówności kwadratowej jest postaci x ( ; ; + ). Uwzględniając zastrzeżenie przypadku a) otrzymujemy rozwiązanie w tym przypadku x ( ; 1. (5) W przypadku b) warunek (1) jest równoważny nierówności x + 4x 3 + x + x 0, x + 6x 7 0. Pierwiastkami trójmianu stojącego po lewej stronie są liczby 6 = 3 + oraz 6+ = 3. Z wykresu rozwiązanie powyższej nierówności kwadratowej jest postaci x 3 ; 3 +. Uwzględniając zastrzeżenie przypadku b) otrzymujemy rozwiązanie w tym przypadku x 3 ;. (6) W przypadku c) warunek (1) jest równoważny nierówności x + 4x 3 + x + x 0, x + 4x 3 0. Pierwiastkami trójmianu stojącego po lewej stronie są liczby 4 = 3 oraz 4+ = 1. Z wykresu rozwiązanie powyższej nierówności kwadratowej jest postaci x 1; 3. Uwzględniając zastrzeżenie przypadku c) otrzymujemy rozwiązanie w tym przypadku x ; 3). (7) W przypadku d) warunek (1) jest równoważny nierówności x 4x x + x 0,

3 x 4x Pierwiastkami trójmianu stojącego po lewej stronie są liczby 4 = 1 oraz 4+ = 3. Z wykresu rozwiązanie powyższej nierówności kwadratowej jest postaci x ( ; 1 3; + ). Uwzględniając zastrzeżenie przypadku d) otrzymujemy rozwiązanie w tym przypadku x 3; + ). (8) Sumując rozwiązania (5), (6), (7) i (8), otrzymujemy rozwiązanie zastrzeżenia (1) x ( ; 1 3 ; + ). (9) Z zastrzeżenia () otrzymujemy natychmiast x 4. (10) Zauważmy, że zastrzeżenie (4) jest równoważne warunkowi 1 x > 0. Zatem warunki (3) i (4) możemy łącznie zapisać w postaci nierówności podwójnej 0 < 1 x 1. (11) Rozwiążemy najpierw nierówność lub równoważnie 0 < 1 x (1 x) () > 0. Szkicujemy wykres lewej strony tej nierówności -4 1 Z wykresu mamy rozwiązanie powyższej nierówności x ( 4; 1). (1) Druga z nierówności (11) jest równoważna nierówności 1 x x 4 3 0

4 x 3 0. Powyższa nierówność jest równoważna koniunkcji ( x 3) () 0 0. Dla rozwiązania pierwszego czynnika tej koniunkcji szkicujemy wykres lewej strony nierówności -4-3/ Z wykresu odczytujemy rozwiązanie uwzględniając drugi czynnik koniunkcji x ( ; 4) 3 ; + ). (13) Biorąc część wspólną rozwiązań (1) i (13) otrzymujemy łączne rozwiązanie zastrzeżeń (3) i (4) x 3 ; 1). (14) Osatecznie dziedziną funkcji f jest część wspólna warunków (9), (10) i (14) D f = 3 ; 1. Zadanie. Dane są funkcje f (x) = 1 (log x 1) i g (x) = 3 arctg (x 1). a) Wyznacz złożenia f g i g f oraz ich dziedziny naturalne. b) Zdefiniuj funkcje h i k tak, aby f = k h. c) Wyznacz funkcję odwrotną względem funkcji g. Rozwiązanie. Zauważmy, że D f = (0; + ) i D g = R. a) (f g) (x) = f (g (x)) = f (3 arctg (x 1)) ( 1 (g f) (x) = g (f (x)) = g = 3 arctg ( ) (log x 1) ( 1 (log x 1) Dziedziną f g otrzymujemy następująco = 1 (log (3 arctg (x 1)) 1), ) 3 arctg (x 1) > 0 arctg (x 1) > 0 x 1 > 0 i stąd D f g = ( 1 ; + ). Łatwo widać, że D g f = (0; + ). ) 1 = 3 arctg (log x ). 4

5 b) Zdefiniujmy h (x) = log x i k (x) = 1 (x 1). Wówczas f = k h. Inne rozwiązanie otrzymamy, gdy h (x) = log x 1 i k (x) = 1 x. c) Sprawdzimy różnowartościowość funkcji g. Weźmy dowolne x 1, x R i załóżmy, że g (x 1 ) = g (x ), tzn. Dzieląc stronami przez 3, otrzymujemy 3 arctg (x 1 1) = 3 arctg (x 1). arctg (x 1 1) = arctg (x 1). Z różnowartościowości funkcji arkus tangens dostajemy x 1 1 = x 1. Dodając do obu stron 1 i dzieląc przez, otrzymujemy x 1 = x. Na mocy definicji funkcja g jest różnowartościowa. Dla wyznaczenia wzoru na funkcję odwrotną rozwiązujemy równanie y = 3 arctg (x 1) względem niewiadomej x. Dzieląc stronami przez 3, otrzymujemy arctg (x 1) = y 3. Obliczamy z obu stron wartość funkcji tangens x 1 = tg y 3. Pamiętajmy jednak, że funkcją odwrotną względem funkcji arkus tangens jest funkcja tangens na przedziale ( π, ) π. Musimy więc zażądać, by 3π < y < 3π. Dalej mamy x = tg y Ostatecznie, g 1 (x) = tg x (, x 3π ; 3π ). Zadanie 3. Funkcję wymierną f rozłóż na ułamki proste, gdy f (x) = x 00 x 4 5x 3 + 0x 16. Rozwiązanie. Rozkładamy mianownik funkcji f na czynniki. x 4 5x 3 + 0x 16 = ( x 4 16 ) 5x ( x 4 ) = ( x 4 ) ( x + 4 5x ) = (x ) (x + ) (x 1) (x 4). 5

6 Zatem rozkład na ułamki proste jest postaci x 00 (x ) (x + ) (x 1) (x 4) = A x + B x + + Mnożąc stronami przez mianownik lewej strony, dostajemy C x 1 + D x 4. (15) x 00 = A (x + ) (x 1) (x 4) + B (x ) (x 1) (x 4) + C (x ) (x + ) (x 4) + D (x ) (x + ) (x 1) x 00 = Ax 3 3Ax 6Ax + 8A + Bx 3 7Bx + 14Bx 8B + Cx 3 4Cx 4Cx + 16C + Dx 3 Dx 4DD x 00 = (A + B + C + D) x 3 + ( 3A 7B 4C D) x + ( 6A + 14B 4C 4D) x + (8A 8B + 16C + 4D). Otrzymana równość wielomianów daje nam układ równań A +B +C +D = 0 3A 7B 4C D = 6A +14B 4C 4D = 0 8A 8B +16C +4D = 40. (16) Mnożąc stronami przez 4 równanie pierwsze i dodając do trzeciego oraz mnożąc stronami przez 4 równanie drugie i dodając do czwartego, dostajemy układ równań { A +18B = 0. (17) 4A 36B = 3 Dzieląc otrzymane równania odpowiednio przez i cztery, mamy { A +9B = 10. (18) A 9B = 8 Jeśli teraz dodamy stronami równania układu (18), to otrzymamy A =, czyli A = 1. Z drugiego równania układu (18) otrzymujemy 9B = 9, czyli B = 1. Podstawiając otrzymane A i B do pierwszego i drugiego równania układu (16), otrzymujemy układ równań { C +D = 0 4C D = 6. Dodając stronami, mamy 3C = 6, skąd C =. Z pierwszego z ostatnich równań, wstawiając znalezione C, mamy D =. Wstawiając współczynniki A, B, C, D do równości (15), dostajemy ostatecznie f (x) = 1 x 1 x + + x 1 x 4. 6

7 Zadanie 4. Rozwiąż równanie log 4 x = (log x) log Rozwiązanie. Dziedziną danego równania jest oczywiście D = (0; + ). Korzystając z wzoru na zamianę podstaw logarytmów i definicji logarytmu, dostajemy log x log 4 (log x) + 3 = 0 (log x) + 1 log x + 3 = 0. Mnożąc stronami przez i podstawiając t = log x, otrzymujemy równanie kwadratowe t + t + 6 = 0. Pierwiastkami tego równania są liczby = oraz niewiadomej x, mamy alternatywę Stąd ostateczne rozwiązanie Zadanie 5. Rozwiąż nierówność log x = log x = 3. x = 4 x = 1. 1 x + 1 x x x 3 x x 3. = 3. Wracając do Rozwiązanie. Zauważmy, że rozkładem na czynniki drugiego mianownika jest x x 3 = (x 3) (x + 1), więc wspólnym mianownikem lewej strony będzie (x 3) (x + 1) i dziedziną nierówności jest D = R \ { 1, 3}. Przenosimy wszystkie niezerowe składniki na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika x 3 x + x (x + 1) (x 3) (x + 1) x 3 x x 1 0. (x 3) (x + 1) Rozkładając licznik na czynniki i przechodząc do iloczynu, przy założeniu, że x 1 i x 3, otrzymujemy równoważnie ( x 1 ) (x + 1) (x 3) (x + 1) 0 i po podzieleniu stronami przez x 1 mamy Szkicujemy wykres lewej strony (x + 1) (x 3)

8 -1 3 Z wykresu odczytujemy ostateczne rozwiązanie x ( ; 3) \ { 1}. 8