Zasady (Prawa) Dynamiki Newtona.

Transkrypt

1 Wykład z fizyki Piot Posmykiewicz 22 W Y K Ł A D 3 Zasady (Pawa) Dynamiki Newtona. Mechanika klasyczna jest teoią zajmującą się uchem i bazującą na pojęciach siły i masy. Teoia ta opisuje zjawiska za pomocą tzech paw Newtona, któe wiąŝą pzyspieszenie ciała z jego masą i działającą na nie siłą. Pawa te moŝna sfomułować w następujący sposób: Piewsze pawo. Ciało pozostające w spoczynku pozostaje w tym stanie tak długo, aŝ nie podziała na to ciało siła zewnętzna. Ciało pouszające się ze stałą pędkością pousza się w ten sposób, aŝ nie podziała na nie siła zewnętzna. Dugie pawo. Pzyspieszenie ciała jest skieowane w kieunku działającej siły zewnętznej. Pzyspieszenie to jest popocjonalne do działającej zewnętznej siły i jest odwotnie popocjonalne do masy ciała: lub F a = m zew F = ma F Siła działająca na ciało, zwana często siłą wypadkową jest sumą wszystkich sił działających na to ciało: = Fi. Wtedy: F = Fzew = ma 4-1 Tzecie pawo. Siły zawsze występują paami. JeŜeli ciało A działa na ciało B, to ciało B działa na ciało A z taką samą siłą co do watości, ale pzeciwne skieowaną. 4-1 Piewsze Pawo Newtona: Zasada bezwładności

2 Wykład z fizyki Piot Posmykiewicz 23 JeŜeli pchnąć kawałek lodu po poziomym stole, to zacznie się on ślizgać, a potem się zatzyma. JeŜeli stół jest moky to kawałek lodu pzebędzie dłuŝszą dogę do momentu zatzymania. Kawałek suchego lodu (stan stały CO 2 ) ślizgający się na poduszce z dwutlenku węgla będzie pouszać się jeszcze dalej, pzy czym jego pędkość będzie zmieniać się tylko w niewielkim stopniu. Do czasów Galileusza sądzono, Ŝe zawsze do podtzymania uchu ze stałą pędkością potzebna jest zewnętzna siła. Galileusz, a potem Newton stwiedzili, Ŝe pzyczyną zwalniania uchu ciał jest wszechobecność sił tacia. JeŜeli zmniejszyć działanie sił tacia, to zmiany pędkości teŝ ulegną zmniejszeniu. Usuń wszystkie zewnętzne siły tacia działające na ciało, postulował Galileusz, a pędkość ciała nigdy się nie zmieni i tę własność mateii nazwał inecją. W ezultacie piewsze pawo nosi ównieŝ zasady inecji. Inecyjne układy odniesienia. Piewsze pawo Newtona mówi, Ŝe nie ma óŝnicy między ciałem będącym w spoczynku, a ciałem znajdującym się w stanie uchu ze stałą pędkością. Czy obiekt znajduje się w uchu, czy spoczywa zaleŝy to tylko od układu odniesienia względem któego, ciało jest obsewowane. Układ odniesienia jest układem współzędnych związanym z jakimś ciałem, lub układem ciał względem, któego analizujemy uch. RozwaŜmy, dla pzykładu, piłkę spoczywającą na podłodze samolotu lecącego w kieunku poziomym. W układzie współzędnych związanych z samolotem (tj. w układzie odniesienia samolotu) piłka znajduje się w spoczynku. Będzie ona znajdować w spoczynku tak długo, jak długo samolot będzie pouszać się ze stałą pędkością. W układzie współzędnych związanym z Ziemią piłka pousza się z pędkością samolotu. Zgodnie z piewszym pawem Newtona, piłka będzie pouszać się ze stałą pędkością w układzie odniesienia Ziemi, i będzie pozostawać w spoczynku w układzie odniesienia samolotu do momentu, aŝ podziała na nią zewnętzna siła. Układ odniesienia, w któym spełnione jest pawo bezwładności nazywa się inecyjnym (inecjalnym) układem odniesienia. Oba układy odniesienia (samolotu i powiezchni Ziemi) są pzykładami, z dobym pzybliŝeniem, układów inecjalnych. KaŜdy układ odniesienia pouszający się ze stała pędkością względem inecjalnego układu odniesienia jest teŝ inecjalnym układem odniesienia. ZałóŜmy teaz, Ŝe samolot zaczyna pzyspieszać zwiększając swoją pędkość względem Ziemi. Piłka potoczy się do tyłu, pzyspieszając względem samolotu, mimo iŝ nie podziały na nią Ŝadne zewnętzne siły. Wniosek: piewsza zasada dynamiki Newtona nie jest spełniona w układzie związanym z pzyspieszającym samolotem. Układ odniesienia pouszający się z pzyspieszeniem względem inecjalnego układu odniesienia nie jest inecjalnym układem odniesienia i nazywa się układem nieinecjalnym. Tak więc, piewsze pawo Newtona jest kyteium dla okeślenia, któy układ odniesienia jest inecjalny, a któy nieinecjalny. Układ odniesienia związany z Ziemią nie jest w pełni układem inecyjnym z powodu małego pzyspieszenia, jakie posiada powiezchnia Ziemi ( względem śodka Ziemi) w wyniku jej uchu obotowego i niewielkiego pzyspieszenia Ziemi spowodowanego jej uchem wokół Słońca. Jednak te pzyspieszenia są zędu 0,01m/s 2 i dlatego, z duŝą dokładnością, moŝna pzyjmować, Ŝe kaŝdy układ związany z Ziemią jest układem inecjalnym.

3 Wykład z fizyki Piot Posmykiewicz Siła, masa, i duga zasada dynamiki Newtona. Piewsza i duga zasada dynamiki Newtona pozwalają zdefiniować pojęcie siły. Siłą nazywamy zewnętzne oddziaływanie na ciało, któe powoduje, Ŝe ulega ono pzyspieszeniu w inecyjnym układzie odniesienia. (zakładamy, Ŝe nie ma innych działających sił). Kieunek działania siły pokywa się z kieunkiem pzyspieszenia, któe ona wywołuje, jeŝeli tylko, siła ta jest jedyną działającą na ciało. Wielkość siły jest iloczynem masy ciała i wielkości pzyspieszenia. Masa jest wewnętzną własnością ciała, któa miezy opó ciała pzy wpawianiu go w uch. Innymi słowy masa jest miaą inecji (bezwładności) ciała. Stosunek dwu mas moŝe być okeślony ilościowo popzez pzyłoŝenie tej samej siły do obu mas i poównaniu następnie ich pzyspieszeń. JeŜeli siła F wywołuje pzyspieszenie a 1, kiedy jest pzyłoŝona do masy m 1 i ta sama siła powoduje pzyspieszenie a 2 ciała o masie m 2, wtedy stosunek mas będzie zdefiniowany następująco: m 2 a = m 1 a 2 Definicja masy Definicja ta zgadza się z intuicyjnym pojęciem masy. JeŜeli tą samą siłę pzyłoŝyć do dwu ciał, to ciało o większej masie będzie miało mniejsze pzyspieszenie. Stwiedzono ekspeymentalnie, Ŝe stosunek a 1 /a 2 otzymany dla dwu óŝnych ciał, na któe działała ta sama siła jest niezaleŝny od wielkości, kieunku lub typu działającej siły. Masa jest wewnętzną własnością ciała, któa nie zaleŝy od jego połoŝenia pozostaje ona stała bez względu na to czy pzedmiot znajduje się na Ziemi, na KsięŜycu, czy w pzestzeni kosmicznej. Jednostką siły w międzynaodowym układzie jednostek jest 1 niuton (skót N). Kozystając z ównania 4-1 widać, Ŝe 1N = 1kg m/s 2. Stwiedzono ekspeymentalnie, Ŝe jeŝeli dwie lub więcej sił działa na dane ciało, to pzyspieszają je tak jak gdyby, na ciało działała jedna siła ówna wektoowej sumie poszczególnych sił (siła wypadkowa). Dlatego teŝ, dugą zasadę Newtona moŝna zapisać następująco: Fi = Fwyp = ma gdzie F i oznacza i-tą składową siły. 4-3 Siła wywołana gawitacją, cięŝa ciała. JeŜeli puścimy jakiś pzedmiot w pobliŝu powiezchni Ziemi, to będzie pouszać się uchem pzyspieszonym w kieunku Ziemi. JeŜeli zaniedbać opó powietza, to ciało będzie mieć w kaŝdym punkcie tou stałe pzyspieszenie zwane pzyspieszeniem Ziemskim g. Siła, któa powoduje to

4 Wykład z fizyki Piot Posmykiewicz 25 pzyspieszenie jest siłą cięŝkości działającą na ciało i zwana jest cięŝaem ciała P. JeŜeli P,od początku uchu, jest jedyną siłą działającą na ciało, to ciało wykonuje uch zwany swobodnym spadkiem. JeŜeli masa tego ciała wynosi m, to duga zasada dynamiki definiuje cięŝa P : P = mg 4-3 CięŜa PoniewaŜ g jest takie samo dla wszystkich pzedmiotów, to cięŝa ciała musi być popocjonalny do jego masy. Wekto g okeśla jednocześnie cięŝa jednostki masy pzyciąganej pzez Ziemię i dlatego okeśla ównieŝ natęŝenie pola gawitacyjnego Ziemi. W pobliŝu powiezchni Ziemi g ma watość g = 9,81N/kg = 9,81m/s 2 Dokładne pomiay g pokazują, Ŝe zmienia się ono w zaleŝności od połoŝenia. Waz z wysokością g zmienia się odwotnie popocjonalnie do kwadatu odległości od śodka Ziemi. ZaleŜy ono ównieŝ od szeokości geogaficznej, poniewaŝ Ziemia nie jest idealną sfeą, ale jest lekko spłaszczona na biegunach. Pomimo tych zmian cięŝau waz z g moŝna je na ogół pominąć w większości zastosowań ( ze względu na ich małość), jeŝeli ciało znajduje się na (lub w pobliŝu) powiezchni Ziemi. PoniŜszy pzykład powinien wyjaśnić óŝnicę między masą, a cięŝaem. RozwaŜmy kulę do kęgli na KsięŜycu. Jej cięŝa jest ówny sile, z jaką KsięŜyc działa na nią, ale siła ta jest zaledwie jedną szóstą siły, z jaką Ziemia pzyciąga tę kulę, gdy znajduje się ona na jej powiezchni. CięŜa kuli na KsięŜycu jest ówny jednej szóstej cięŝau na Ziemi, a zatem do jej podniesienie na KsięŜycu potzeba jednej szóstej siły, któą naleŝałoby uŝyć na Ziemi. Jednak, poniewaŝ masa na KsięŜycu i na Ziemi jest taka sama, to do zucenia tej piłki w kieunku poziomym, z tym samym pzyspieszeniem, zaówno na Ziemi, jak i na KsięŜycu, i gdzieś w kosmosie, potzebna jest taka sama siła. Nasze odczucie własnego cięŝau bieŝę się stąd, Ŝe inne siły ównowaŝą ten cięŝa. Kiedy siedzimy na kześle czujemy siłę wywieaną pzez kzesło, któa to siła ównowaŝy nasz cięŝa i tym samym powoduje, Ŝe nie spadamy w dół. JeŜeli stoimy na wadze spęŝynowej, czujemy siłę wywieaną pzez wagę na nasze stopy. Waga jest tak wyskalowana, Ŝe pokazuje siłę, któa musi być wywieana (popzez ściśnięcie spęŝyny), aby zównowaŝyć nasz cięŝa. Siła ta nosi nazwę cięŝau pozonego. JeŜeli nie ma siły, któa ównowaŝy nasz cięŝa, jak to ma miejsce w swobodnym spadku, nasz cięŝa pozony wynosi zeo. Takie waunki, zwane niewaŝkością, doświadczają na pzykład astonauci w obitujących satelitach. 4-4 Tzecia zasada dynamiki Newtona. Słowo siła uŝywa się do opisania oddziaływania między dwoma ciałami. Kiedy dwa ciała oddziaływają między sobą to wywieają wzajemnie na siebie siły. Tzecia zasada dynamiki stwiedza, Ŝe siły te są ówne co do watości i pzeciwne co do kieunku. JeŜeli ciało A wywiea siłę na ciało B, to ciało B wywiea siłę na ciało A ówną co do watości, ale pzeciwnie skieowaną. Tak, więc siły zawsze występują paami. Pzyjęło nazywać jedną z sił danej pay akcją, a dugą eakcją. Teminologia ta nie jest zbyt fotunna, poniewaŝ bzmi to tak jak gdyby jedna siła eagowała na dugą, co nie jest pawdą. Obie występują

5 Wykład z fizyki Piot Posmykiewicz 26 F n F n ' P jednocześnie. Siły akcji i eakcji nigdy nie mogą zównowaŝyć się nawzajem, poniewaŝ są pzyłoŝone do óŝnych ciał. Na ysunku 4-1 klocek spoczywa na stole. Siła, któa działa na klocek do dołu jest siłą cięŝkości Rysunek 4-1 P i jest, oczywiście, spowodowana pzyciąganiem Ziemi. Równa, ale pzeciwna siła P' = P jest wywieana pzez klocek na Ziemię. Te siły stanowią paę sił akcji i eakcji. JeŜeli byłyby one tylko jedynymi występującymi siłami, to klocek pouszałby się z pzyspieszeniem do dołu, poniewaŝ działałaby na niego tylko jedna, niezównowaŝona siła ( i Ziemia pzyspieszałaby w kieunku klocka). Jednak stół F n i tym samym ównowaŝy cięŝa klocka. Klocek ównieŝ działa na stół siłą F n' = F n skieowaną do dołu. Te dwie siły F n ' i F n takŝe są siłami akcji i eakcji. oddziaływa na klocek siłą P ' 4-5 Siły występujące w pzyodzie. Cała moc dugiego pawa dynamiki Newtona objawia się, jeŝeli połączyć je z pawami opisującymi oddziaływania między ciałami. Na pzykład pawo powszechnego ciąŝenia, omawiane w jednym z dalszych wykładów, okeśla siłę wywieaną pzez jedną masę na dugą, w zaleŝności od odległości między nimi. To, w połączeniu z dugą zasadą dynamiki, umoŝliwia np. obliczenie obit planet kąŝących wokół Słońca, uchu KsięŜyca, lub zmian g związanych z wysokością ciała. Podstawowe siły. Wszystkie odzaje sił obsewowane w pzyodzie mogą być objaśnione na bazie czteech podstawowych sił oddziaływań między cząstkami elementanymi. Są to: 1. Siły gawitacji 2. Siły elektomagnetyczne 3. Siły oddziaływań silnych 4. Siły oddziaływań słabych Siły, któe obsewujemy na co dzień, występujące między obiektami makoskopowymi są spowodowane oddziaływaniami gawitacyjnymi lub elektomagnetycznymi. Oddziaływanie na odległość. Fundamentalne siły gawitacji i elektomagnetyzmu działają między cząsteczkami znajdującymi się w pewnej odległości od siebie. To odzi filozoficzny dylemat dotyczący oddziaływania na odległość. Newton

6 Wykład z fizyki Piot Posmykiewicz 27 taktował oddziaływanie na odległość jako pewnego odzaju niedociągnięcie swojej teoii gawitacji, ale unikał wysuwania jakiś dalszych hipotez. Obecnie poblem ten jest obchodzony popzez wpowadzenie pojęcia pola, któe działa jako czynnik pośedniczący w oddziaływaniu ciał. Na pzykład, pzyciąganie Ziemi pzez Słońce ozkładamy na dwa etapy. Słońce wytwaza w pzestzeni coś co nazywamy polem gawitacyjnym. Następnie to pole oddziaływa siłą na Ziemię. Podobnie Ziemia wytwaza pole, któe działa z okeśloną siłą na Słońce. Nasz cięŝa jest siłą gawitacyjnego oddziaływania ziemskiego pola na nas. Podobnie jest z polem elektycznym, czy magnetycznym. Siły kontaktowe. Wiele sił, z któymi spotykamy się na co dzień pojawia się w wyniku bezpośedniego kontaktu. Siły te mają elektomagnetyczne pochodzenie i działają między cząsteczkami lub atomami tych ciał. Ciało stałe RozwaŜmy ksiąŝkę spoczywającą na stole. CięŜa ciała ciągnie ją do dołu powodując ściskanie cząsteczek stołu, któe z kolei opieając się ściskaniu, wywieają siłę na ksiąŝkę. Siłę takiego odzaju nazywamy nomalną ( w tym wypadku oznaczającą postopadłą do powiezchni). Powiezchnia podtzymująca ciało wygina się pzy tym lekko, ale jest to aczej zadko zauwaŝalne gołym okiem. Siły nomalne mogą się badzo óŝnić co do watości. Stół, na pzykład, będzie wywieać siłę skieowaną do góy na kaŝde ciało spoczywające na nim. Dopóki stół nie złamie się, siła nomalna będzie ównowaŝyć cięŝa ciała. Co więcej, jeŝeli naciskać na ciało, to stół będzie oddziaływał z dodatkową siłą, któa będzie spzeciwiać się tej sile i nie pozwoli na upadek ciała. Ciała będące ze sobą w kontakcie mogą ównieŝ oddziaływać na siebie siłami, któe są ównoległe do stykających się powiezchni. Takie składowe sił kontaktowych są nazywane siłami ścinającymi. SpęŜyna Stwiedzono ekspeymentalnie, Ŝe jeŝeli spęŝyna jest ściskana lub ozciągana o niewielką x watość, to siła wywieana pzez nią ma postać: F x = k x 4-4 Pawo Hooke a gdzie k jest współczynnikiem popocjonalności, zwanym stałą spęŝystości i okeśla sztywność spęŝyny (Rysunek 4-2). Znak minus w ównaniu 4-4 oznacza, Ŝe jeŝeli spęŝyna jest ozciągnięta lub ściśnięta to siła działa w kieunku pzeciwnym do defomacji. Ta zaleŝność, zwana pawem Hooke a, ma, okazuje się, duŝe znaczenie. Siły molekulane oddziaływania między atomami w cząsteczce lub ciele stałym zmieniają się w pzybliŝeniu liniowo waz ze zmianą odległości (pzy małych zmianach); siły zmieniają się jak w spęŝynie. Dlatego teŝ, jako modelu cząsteczki dwuatomowej moŝemy uŝyć dwie masy połączone spęŝyną, modelem ciała stałego moŝe być układ składający się z wielu cząsteczek połączonych spęŝynkami (Rysunku 4-3).

7 Wykład z fizyki Piot Posmykiewicz 28 F x = k x jest ujemne, poniewaŝ x jest ddodatnie F x = k x jest dodatnie, poniewaŝ x jest Rysunek 4-3 Rysunek Rozwiązywanie zadań diagam sił. Wyobaźmy sobie sanie ciągnione po śniegu. Pies ciągnie za lekką linę pzymocowaną do sań z siłą F (Rysunek 4-4a). Wtedy napięta lina powoduje pzesuwanie się sań do pzodu. Jaka siła działa na sanie? Zaówno lina jak i lód dotykają sań, czyli wiemy, Ŝe obie oddziaływają na sanie siłami kontaktowymi. Wiemy, ównieŝ, Ŝe Ziemia działa na sanie siłą gawitacyjną (sanie mają cięŝa). Tak, więc tzy siły działają na sanie (zakładamy, Ŝe tacie jest zaniedbywalnie małe): 1. CięŜa sań P 2. Siła kontaktowa wywieana pzez śnieg F n 3. Siła kontaktowa T wywieana pzez linę Rysunek 4-4(a) Pies ciągnie sanie. Piewszym kokiem, w celu ozwiązania zadania, jest wyizolowanie układu do analizy. W tym pzypadku kształt owalny wydziela sanie z ich otoczenia. (b) Siły działające na sanie. Siły działające na dany układ moŝemy pzedstawić schematycznie za pomocą diagamu sił. Zwóćmy uwagę, Ŝe P

8 Wykład z fizyki Piot Posmykiewicz 29 P i F n na diagamie mają tę samą watość. Watości muszą być ówne, poniewaŝ sanki nie pzyspieszają w kieunku pionowym (znajdują się w spoczynku, a zatem musi być spełniona piewsza zasada dynamiki). Okeślone waunki nakładane na uch obiektu, takie jak na pzykład, Ŝądanie, aby pozostawał on w spoczynku na lodzie, nazywają się węzłami. Dugą zasadę dynamiki dla składowych y-owych moŝemy zapisać: lub P P y P a dla składowych x-owych: P Rysunek 4-5 Diagam sił dla małego wycinka m s liny. Duga zasada dynamiki zastosowana do tego wycinka daje T 1 T 2 = ( m s )a x. JeŜeli masa jest pomijalnie mała to T 1 = T 2. Napięcie T jest ówne watości siły z jaką kaŝdy wycinek działa na sąsiedni kawałek. Siły te działają wzdłuŝ liny, dlatego teŝ lekka lina łącząca dwa punkty ma stałe napięcie wzdłuŝ całej liny. Napięcie jest jednakowe wzdłuŝ liny, dlatego siła F wywieana pzez psa na linę jest ówna sile T wywieanej pzez linę na sanie (Rysunek 4-5). P R Z K Ł A D Człowiek ciągnie sanie po lodzie tzymając napęŝoną linę z siłą 150N pod kątem 25 o do poziomu. Masa sań wynosi 80kg. a tacie jest zaniedbywalne (Rysunek 4-6). Znajdź (a) pzyspieszenie sań po śniegu i (b) składową nomalną Rysunek 4-6 F n wywieaną pzez powiezchnię na sanki. Analiza zadania. Tzy siły działają na sanie: cięŝa sań mg działający do dołu, siła nomalna F n działająca do góy i napięcie liny T skieowane pod kątem 25 o do

9 Wykład z fizyki Piot Posmykiewicz 30 poziomu. PoniewaŜ siły nie leŝą na jednej postej musimy do ozwiązania zadania, zastosować dugą zasadę dynamiki oddzielnie dla składowych x- owych i oddzielnie dla składowych y-owych. Wybieamy oś x wzdłuŝ kieunku uchu, y w kieunku postopadłym do lodu. Następnie ysujemy diagam sił dla sań. (a) Zastosuj = ma F i okeślić pzyspieszenie sań a x : do uchu wzdłuŝ osi x aby (b) W kieunku pionowym nie ma pzyspieszenia. Zastosuj = ma F n : F i do uchu wzdłuŝ osi y aby obliczyć Uwagi Zwóć uwagę, Ŝe tylko składowa x-owa napęŝenia Tcosα powoduje, Ŝe sanie ślizgają się. Zwóć ównieŝ uwagę, Ŝe lód tylko częściowo podtzymuje cięŝa sań, poniewaŝ część cięŝau podtzymywana pzez linę. T sin α jest Spawdź wynik JeŜeli θ = 0, sanki pouszają się z pzyspieszeniem pod wpływem siły T i lód ównowaŝy cały cięŝa sań. Wyniki te zgadzają się: a x = T/m i F n = mg. Dla θ = 90 O ; a y = 0 a F n = mg T, tak jak się spodziewaliśmy. Ćwiczenie Ile wynosi największe napęŝenie jakie moŝe być pzyłoŝone do liny tak aby sanie nie odewały się od powiezchni lodu? (Odpowiedź T = 1,86kN) PowyŜszy pzykład ilustuje ogólną metodę ozwiązywania zadań z uŝyciem paw Newtona: 1. Wykonaj pzejzysty ysunek 2. Wydziel pzedmiot zainteesowania (punkt mateialny) i wykonaj diagam sił zaznaczając wszystkie zewnętzne siły działające na ciało. JeŜeli istnieje kilka ciał, naysuj oddzielne diagamy dla kaŝdego ciała. 3. Wybiez wygodny układ współzędnych dla kaŝdego ciała i zastosuj dugie pawo Newtona F i = ma w postaci ozpisanej na składowe. JeŜeli kieunek pzyspieszenia jest znany, wybiez oś poziomą ównoległą do kieunku pzyspieszenia. Dla ciał ślizgających się po powiezchni wybiez jedną oś współzędnych ównoległa do powiezchni, a dugą postopadłą do niej. 4. Znajdź niewiadome w otzymanych ównaniach. 5. Spawdź czy otzymane wyniki mają pawidłowe jednostki. Spawdź czy wynik ma sens; w tym celu do ostatecznych wzoów dobze jest podstawić ekstemalne watości. 4-7 Rozwiązywanie zadań dwa lub więcej ciał.

10 Wykład z fizyki Piot Posmykiewicz 31 W niektóych zadaniach, dwa lub więcej ciał jest połączonych w jakiś sposób ze sobą ( stykają się, są połączone nicią czy spęŝyną). Tego odzaju zadania ozwiązujemy ysując np. dwa oddzielne diagamy sił i stosujemy dugą zasadę dynamiki do kaŝdego ciała. Następnie ozwiązujemy otzymane ównania waz z ównaniami opisującymi węzły znajdując poszukiwane siły i pzyspieszenia. Pzykładem węzłów moŝe być pzypadek dwu ciał połączonych nieozciągliwą liną. W tym pzypadku ciała muszą mieć tę samą co do watości pędkość i pzyspieszenie. JeŜeli ciała stykają się to siły, z któymi na siebie działają muszą mieć tę samą watość i być pzeciwnie skieowane jak stwiedza to tzecia zasada dynamiki. P R Z Y K Ł A D Paweł (o masie m P ) poślizgnął się na kawędzi skały. Na szczęście był pzywiązany długą liną do Staszka ( o masie m S ), któy miał czekan. Zanim Staszek wbił czekan aby się zatzymać, ślizgał się bez tacia wzdłuŝ powiezchni lodu pzywiązany do Pawła (Rysunek 4-7). ZałóŜmy, Ŝe nie było tacia między liną a skałą. Znajdź pzyspieszenie kaŝdej osoby i napęŝenie liny. Staszek Analiza zadania NapęŜenia liny T 1 i T 2 mają tę samą watość, poniewaŝ zakładamy, Ŝe lina jest niewaŝka i nie ma tacia między nią, a kawędzią skały. PoniewaŜ lina nie ulega ozciągnięciu, pędkości Pawła i Staszka w kaŝdej chwili są jednakowe. Dlatego teŝ ich pzyspieszenia a S i a P muszą być ówne co do watości ( ale nie kieunku). PoniewaŜ Staszek nie ma pzyspieszenia w kieunku pionowym to siły pionowe F n i m S g muszą się ównowaŝyć. Pzyspieszenie kaŝdej z osób jest związane z siłami działającymi na nie popzez dugą zasadę Newtona Rysunek 4-8 Rysunek4-7 Paweł 1. Naysuj diagam sił dla Staszka i Pawła 2. Zastosuj = ma w kieunku poziomym do F i Staszek P = m g S S Paweł P = m g P P Staszka pzyjmując T 1 = T: 3. Zastosuj = ma do Pawła. Jego pzyspieszenie jest skieowane do dołu, siła m P g do dołu i T 2 = T do F i góy. Pzyjmij kieunek dodatni do góy.

11 Wykład z fizyki Piot Posmykiewicz PoniewaŜ obaj są związani liną, pzyspieszenie Pawła i Staszka musi być ówne co do watości. Niech a = a S = a P : 5. RozwiąŜ ten układ ównań z a i T popzez wyeliminowanie jednej z niewiadomych. T jest wyeliminowana popzez podstawienie m S a zamiast T w dugim ównaniu: 6. Znajdź a: 7. WyaŜenie na a podstawiamy do piewszego ównania w punkcie 4 i obliczamy T Uwaga W punkcie 3 wybaliśmy kieunek do dołu jako dodatni, aby otzymać ozwiązanie w postaci jak najpostszej. Pzy takim wyboze, gdy Staszek pousza się w kieunku dodatnim (na pawo), Paweł ównieŝ pousza się w kieunku dodatnim ( do dołu). Zwóć uwagę, Ŝe pzyspieszenie a jest takie same jak w pzypadku gdy na masę m = m S + m P działa siła m P g. Spawdź wynik JeŜeli m P jest znacznie większe niŝ m S, to moŝemy oczekiwać, Ŝe pzyspieszenie będzie w pzybliŝeniu ówne g, a napięcie liny T = 0. Podstawiając m S = 0, zeczywiście otzymamy a = g i T = 0. JeŜeli m P jest znacznie mniejsze niŝ m S, naleŝy oczekiwać, Ŝe pzyspieszenie będzie w pzybliŝeniu ówne zeo, a napęŝenie wyniesie m P g. JeŜeli zaniedbać m P w mianowniku w punkcie 6 i 7 to otzymamy a (m P / m S )g 0 i T m P g. Ćwiczenie (a) Znajdź pzyspieszenie jeŝeli masy są odpowiednio ówne m S = 78kg i m P = 92kg. (b) Znajdź pzyspieszenie jeŝeli zamienić masy.

12 Wykład z fizyki Piot Posmykiewicz 33