Siły centralne, grawitacja (I)

Transkrypt

1

2 Pojęcia Gawitacja postawowe (I) i histoia Siły centalne, gawitacja (I) Enegia potencjalna E p B A E p ( ) E p A W ( ) F W ( A B) B A F Pawo gawitacji (siła gawitacji) - Newton 665 M N k F G G F, F kg U F G M G M gh h Z

3 Pojęcia Gawitacja postawowe (II) i histoia Doświaczenie Cavenisha stała G T I L L F M F G M LG LF G L MT M g G G M N kg g Ziei Ziei Ziei Ziei Ziei G Heny Cavenish (73-80) (5,45 g/c 3 ) g G 3 4 Ziei

4 Pojęcia Gawitacja postawowe (III) i histoia Pojęcie gaientu F ga U U x cos y sin z z x cos cos y sin cos z z sin i x, j, k y z i, j, k z i, j, k sin

5 Pojęcia Gawitacja postawowe (IV) i histoia Pole gawitacyjne na zewnątz kuli (I) Kulę ożey pozielić na nieskończenie wiele cienkich koncentycznych powłok Postaay się wykazać że oziaływanie gawitacyjne asy punktowej z taką powłoką ożna zeukować o oziaływania asy punktowej z asą punkową leżącą w śoku asy powłoki (o opowieniej asie). ozpatzy oziaływanie ięzy eleentai asy powłoki a asą : F = G M s. Ze wzglęu na syetię pobleu wiziy, że skłaowe pionowe wektoa F zniosą się i pozostanie tylko oziaływanie w kieunku : F = G M s Całkowitą siłę otzyay całkując : F = G M s cosφ. Musiy powiązać ze sobą: M, s,, fi i theta cosφ Powiezchnia pasa ięzy θ i θ: π sinθθ, zaś powiezchnia całej powłoki: a jej asa M. Otzyujey: M = π sinθ 4π Mθ oaz F = GM sinθcosφ θ. s Z twiezenia kosinusów: = + s scosφ oaz s = + cosθ Dugie z powyższych óżniczkujey stonai: ss = sinθθ Ganice całkowania: θ: 0 π φ: 0 φ aks 0 s: +

6 Pojęcia Gawitacja postawowe (V) i histoia Pole gawitacyjne na zewnątz kuli (II) θ: 0 π φ: 0 φ aks 0 s: + F = G න M GM cosφ = s න sinθcosφ s θ = ss = sinθθ cosφ = + s s = GM + න + s F = GM s s + ቤ = G M Powtazając powyższe la nieskończonej ilości powłok o poieniu o 0 o otzyay, że: Oziaływanie ięzy kulą o asie M a asą punktową oległą o niej o ożna taktować jak oziaływanie ięzy woa asai punktowyi i M oległyi o.

7 Pojęcia Gawitacja postawowe (VI) i histoia Pole gawitacyjne wewnątz sfey. Sfea a asę i jest jej gubość jest nieskończenie ała. Na owolną asę punktową leżącą wewnątz sfey ziała siła popocjonalna o asy (wielkości) powiezchni i owotnie popocjonalna o kwaatu oległości asy punktowej o tej powiezchni: F () ~ A () () Wewnątz sfey siła oziaływania gawitacyjnego jest ówna zeu. 3. Z ozważań geoetycznych wynika, że: A 4. Z obu powyższych wiać, że: F F = A A = A = 5. Wynika stą, że wkłay o A i A znoszą się. Można w ten sposób pozielić całą powiezchnię sfeyczną i uzyskać siłę wypakową ówną zeo. Pole wewnątz sfey o owolnej gubości też jest zeo, ponieważ ożna pozielić tą sfeę na szeeg cienkich wastw współśokowych.

8 Pojęcia Gawitacja postawowe (VII) i histoia Pole gawitacyjne wewnątz kuli. Kula a asę M. Na owolną asę punktową leżącą wewnątz sfey ziałają siły pochozące o zewnętznej powłoki i o kuli znajującej się ięzy śokie ukłau a aktualny położenie asy punktowej. Wewnątz sfey siła oziaływania gawitacyjnego jest ówna zeu. Oziaływanie ięzy kulą o asie M a asą punktową oległą o niej o ożna taktować jak oziaływanie ięzy woa asai punktowyi i M oległyi o. F = G න M M = G න 0 M 4 4 4πx x = 3 Gρπ 3 = 4 3 Gρπ 3 π3

9 Pojęcia Gawitacja postawowe (VIII) i histoia Pole gawitacyjne kuli F = 4 3 Gρπ F = G M

10 Pojęcia postawowe i histoia Gawitacja (IX) Masa zeukowana 0 CM = - CM G G const const G G CM CM CM CM CM 0 0 ) (

11 Pojęcia postawowe i histoia Gawitacja (X) Masa zeukowana ) ( G G G G 0 CM = - CM Dla atou woou: e e e e p e e

12 Pojęcia Gawitacja postawowe (XI) i histoia Pawa Keplea (I). Planety pouszają się po toach eliptycznych. Słońce znajuje się w jeny z ognisk elipsy.. Poień wozący planety zakeśla w ównych czasach ówne pola (pękość polowa jest stała). 3. Stosunek kwaatów czasów obiegu planet wokół Słońca ówny jest stosunkowi tzecich potęg użych półosi.

13 Pojęcia Gawitacja postawowe (XII) i histoia Pawa Keplea (II). Planety pouszają się po toach eliptycznych. Słońce znajuje się w jeny z ognisk elipsy. Wszystkie kzywe stożkowe ożna opisać ównanie we współzęnych biegunowych: p ecos, - współzęne punktu; p paaet kąta ozwacia e iośó kzywej, ecyujący o jej kształcie: 0<e< elipsa e=0 okąg, szczególny pzypaek elipsy; e= paabola; e> hipebola.

14 Pojęcia Gawitacja postawowe (XIV) i histoia Pawa Keplea (IV) 3. Stosunek kwaatów czasów obiegu planet wokół Słońca ówny jest stosunkowi tzecich potęg użych półosi. uch planety wokół Słońca obywa się po wpływe siły ośokowej, któą stanowi siła ich wzajenego pzyciągania gawitacyjnego: Pzyspieszenie ośokowe a z jaki pousza się planeta wynosi: Zapisując la tego ukłau ugą zasaę ynaiki Newtona ostaniey: