Zachowanie ładunku Jednym z podstawowych praw fizyki jest zasada zachowania ładunku. Zasada ta sformułowana przez Franklina mówi, że

Transkrypt

1 MODUŁ VI

2 Moduł VI Pole elektyczne 17 Pole elektyczne Pzechodzimy teaz do omówienia oddziaływania elektomagnetycznego. Oddziaływanie to ma fundamentalne znaczenie bo pozwala wyjaśnić nie tylko zjawiska elektyczne ale też siły zespalające mateię na poziomie atomów, cząsteczek Ładunek elektyczny Istnienie ładunków można stwiedzić w najpostszym znanym nam powszechnie zjawisku elektyzowania się ciał. Doświadczenie pokazuje, że w pzyodzie mamy do czynienia z dwoma odzajami ładunków: dodatnimi i ujemnymi, oaz że ładunki jednoimienne odpychają się, a óżnoimienne pzyciągają się. Jednostki W układzie SI jednostką ładunku jest kulomb (C). Jest to ładunek pzenoszony pzez pąd o natężeniu 1 ampea w czasie 1 sekundy 1 C 1 A s Kwantyzacja ładunku Również doświadczalnie stwiedzono, że żadne naładowane ciało nie może mieć ładunku mniejszego niż ładunek elektonu czy potonu. Ładunki te ówne co do watości bezwzględnej nazywa się ładunkiem elementanym e C. Wszystkie ealnie istniejące ładunki są wielokotnością ładunku e. Jeżeli wielkość fizyczna, taka jak ładunek elektyczny, występuje w postaci okeślonych "pocji" to mówimy, że wielkość ta jest skwantowana Zachowanie ładunku Jednym z podstawowych paw fizyki jest zasada zachowania ładunku. Zasada ta sfomułowana pzez Fanklina mówi, że Pawo, zasada, twiedzenie Wypadkowy ładunek elektyczny w układzie zamkniętym jest stały. 17. Pawo Coulomba Siłę wzajemnego oddziaływania dwóch naładowanych punktów mateialnych (ładunków punktowych ) znajdujących się w odległości od siebie w póżni opisuje pawo Coulomba Pawo, zasada, twiedzenie Każde dwa ładunki punktowe 1 i oddziaływają wzajemnie siłą wpost popocjonalną do iloczynu tych ładunków, a odwotnie popocjonalną do kwadatu odległości między nimi. 1 F k (17.1)

3 Moduł VI Pole elektyczne gdzie stała k 1 4πε. Współczynnik ε C /(Nm ) nosi nazwę pzenikalności elektycznej póżni. Oddziaływanie ładunków zależy od ośodka w jakim znajdują się ładunki. Fakt ten uwzględniamy wpowadzając stałą mateiałową ε, zwaną względną pzenikalnością elektyczną ośodka tak, że pawo Coulomba pzyjmuje postać F 1 1 (17.) 4πε ε Watości ε dla wybanych substancji zestawiono w tabeli Tab Względne pzenikalności elektyczne. ośodek ε póżnia 1 powietze 1.6 paafina szkło 1 woda 81 Ćwiczenie 17.1 Spóbuj teaz kozystając z pawa Coulomba obliczyć siłę pzyciągania elektostatycznego pomiędzy elektonem i potonem w atomie wodou. Pzyjmij m. Poównaj tę siłę z siła pzyciągania gawitacyjnego między tymi cząstkami. Masa potonu m p kg, a masa elektonu m e kg. Stała gawitacyjna G Nm /kg. Wyniki zapisz poniżej. F E F E /F G Rozwiązanie możesz spawdzić na końcu modułu. Ćwiczenie 17. Jeżeli ozwiązałeś powyższy pzykład to postaaj się ozwiązać następujący poblem. Cała mateia składa się z elektonów, potonów i obojętnych elektycznie neutonów. Jeżeli oddziaływania elektostatyczne pomiędzy naładowanymi cząstkami (elektonami, potonami) są tyle azy większe od oddziaływań gawitacyjnych to dlaczego obsewujemy słabą siłę gawitacyjną działająca pomiędzy dużymi ciałami, np. Ziemią i spadającym kamieniem, a nie siłę elektostatyczną? 4

4 Moduł VI Pole elektyczne Zasada supepozycji Pawo, zasada, twiedzenie Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, siłę wypadkową, analogicznie jak w pzypadku siły gawitacyjnej, obliczamy dodając wektoowo poszczególne siły dwuciałowe. Pzykład Dipol elektyczny składa się z dwóch ładunków +Q i -Q oddalonych od siebie o l. Obliczmy siłę jaka jest wywieana na dodatni ładunek umieszczony na symetalnej dipola, tak jak pokazano na ysunku Rys Siły wywieane pzez dipol elektyczny na ładunek Z podobieństwa tójkątów wynika, że F F1 l (17.) Kozystając z pawa Coulomba otzymujemy l l Q Ql p F F1 k k k (17.4) gdzie p Ql jest momentem dipolowym. 5

5 Moduł VI Pole elektyczne 17. Pole elektyczne W ozdziale 6 (moduł 1) zdefiniowaliśmy natężenie pola gawitacyjnego w dowolnym punkcie pzestzeni jako siłę gawitacyjną działająca na masę m umieszczoną w tym punkcie pzestzeni podzieloną pzez tę masę. Definicja Analogicznie definiujemy natężenie pola elektycznego jako siłę działającą na ładunek póbny (umieszczony w danym punkcie pzestzeni) podzieloną pzez ten ładunek. Tak więc, żeby zmiezyć natężenie pola elektycznego E w dowolnym punkcie pzestzeni, należy w tym punkcie umieścić ładunek póbny (ładunek jednostkowy) i zmiezyć wypadkową siłę elektyczną F działającą na ten ładunek. Należy upewnić się czy obecność ładunku póbnego nie zmienia położeń innych ładunków. Jeżeli nie, to wtedy F E (17.5) Pzyjęto konwencję, że ładunek póbny jest dodatni więc kieunek wektoa E jest taki sam jak kieunek siły działającej na ładunek dodatni. Jeżeli pole elektyczne jest wytwozone pzez ładunek punktowy Q to zgodnie z pawem Coulomba (17.1) siła działająca na ładunek póbny umieszczony w odległości od tego ładunku wynosi Q F k (17.6) Zwot wektoa E jest taki jak siły F więc zgodnie z definicją 1 1 Q Q E F k k (17.7) gdzie jest wektoem jednostkowym zgodnym z kieunkiem siły pomiędzy Q i. Na ysunku poniżej jest pokazany wekto E() w wybanych punktach wokół ładunku Q. Rys "Mapa" natężenia pola elektycznego wokół ładunku Q 6

6 Moduł VI Pole elektyczne Dla n ładunków punktowych pole elektyczne (zgodnie z zasadą supepozycji) jest ówne sumie wektoowej pól elektycznych od poszczególnych ładunków n E Q k (17.8) i 1 i i i Pzykład Ponownie ozważamy dipol elektyczny jak w popzednim pzykładzie (ysunek 17.1) tylko teaz obliczamy siłę działającą nie na "jakiś" ładunek tylko na ładunek póbny. Kozystając z otzymanej dla dipola zależności (17.4) obliczamy watość E p k p E k (17.9) Zwot wektoa E jest taki jak siły wypadkowej F na ysunku Ćwiczenie 17. Spóbuj teaz samodzielnie znaleźć natężenie pola elektycznego w śodku układu czteech ładunków pokazanych na ysunkach poniżej. Wszystkie ładunki znajdują się w jednakowych odległościach od śodka i mają jednakowe watości bezwzględne Q. Wykeśl na ysunkach wektoy natężeń pola elektycznego od poszczególnych ładunków i wekto natężenia wypadkowego. Oblicz watości natężeń. Wyniki zapisz poniżej. E A E B Rozwiązanie możesz spawdzić na końcu modułu. 7

7 Moduł VI Pole elektyczne Z zasady supepozycji możemy ównież skozystać dla ciągłych ozkładów ładunków. Pzykład takich obliczeń znajdziesz w Dodatku 1, na końcu modułu VI. Kieunek pola E w pzestzeni można pzedstawić gaficznie za pomocą tzw. linii sił (linii pola). Są to linie, do któych wekto E jest styczny w każdym punkcie. Linie sił zaczynają się zawsze na ładunkach dodatnich, a kończą na ładunkach ujemnych. Linie sił ysuje się tak, że liczba linii pzez jednostkową powiezchnię jest popocjonalna do watości E; gdy linie są blisko siebie to E jest duże, a gdy są odległe od siebie to E jest małe. Na ysunku poniżej pokazane są linie pola dla dwóch pzykładowych układów ładunków. Rys Linie sił pola elektycznego dla układu dwóch ładunków jedno- i óżnoimiennych Możesz pześledzić ozkład linii sił pola dla óżnych układów ładunków kozystając z damowego pogamu komputeowego Elektostatyka dostępnego na stonie WWW autoa. 8

8 Moduł VI Pawo Gaussa 18 Pawo Gaussa 18.1 Stumień pola elektycznego Z podanych w popzednim paagafie pzykładów widać, że obliczanie pól elektostatycznych metodą supepozycji może być skomplikowane matematycznie. Istnieje jednak, postszy sposobu obliczania pól, któy opiea się na wykozystaniu pawa Gaussa. Żeby móc z niego skozystać poznamy najpiew pojęcie stumienia pola elektycznego. Definicja Stumień φ pola elektycznego pzez powiezchnię S definiujemy jako iloczyn skalany wektoa powiezchni S i natężenia pola elektycznego E. φ E S ES cosα (18.1) gdzie α jest kątem pomiędzy wektoem powiezchni S (pzypomnij sobie definicję wektoa powiezchni z punktu 14.1 w module 4) i wektoem E (ysunek 18.1) Rys Stumień pola elektycznego E pzez powiezchnię S Jeżeli wekto natężenia pola E, w óżnych punktach powiezchni S, ma óżną watość i pzecina tę powiezchnię pod óżnymi kątami (ysunek 18.) to wówczas dzielimy powiezchnię na małe elementy ds i obliczamy iloczyn skalany wektoa powiezchni ds i lokalnego natężenia pola elektycznego. dφ E d S Ed S cosα (18.) Rys Stumień pola E pzez elementaną powiezchnię ds definiujemy jako iloczyn dφ E ds 9

9 Moduł VI Pawo Gaussa Całkowity stumień pzechodzący pzez ozciągłą powiezchnię S obliczamy jako sumę pzyczynków dla elementanych powiezchni ds. φ powiezchnia Ed S (18.) Suma ta pzedstawia całkę powiezchniową φ Ed S S (18.4) W paktyce najczęściej oblicza się stumień pzez powiezchnię zamkniętą. Pzykład Obliczmy teaz stumień dla ładunku punktowego Q w odległości od niego. W tym celu ysujemy sfeę o pomieniu wokół ładunku Q (ysunek 18.) i liczymy stumień pzechodzących pzez tę powiezchnię. Rys Stumień pola elektycznego pzez zamkniętą sfeyczną powiezchnię Pole E ma jednakową watość w każdym punkcie sfey i jest postopadłe do powiezchni (ównoległe do wektoa powiezchni ds) więc w każdym punkcie α i całkowity stumień wynosi Q Q φ E S E ( 4π ) k 4π 4πkQ ( ) (18.5) ε Otzymany stumień nie zależy od, a zatem stumień jest jednakowy dla wszystkich. Całkowity stumień pola E wytwozonego pzez ładunek Q jest ówny Q/ε. Pokazaliśmy, że stumień jest niezależny od. Można ównież pokazać (dowód pomijamy), że stumień jest taki sam dla każdej zamkniętej powiezchni (o dowolnym kształcie), któa otacza ładunek Q. Wybó powiezchni w kształcie sfey, w powyższym pzykładzie, był podyktowany symetią układu i pozwolił najłatwiej wykonać odpowiednie obliczenia. Taką całkowicie zamkniętą powiezchnię nazywamy powiezchnią Gaussa. 4

10 Moduł VI Pawo Gaussa 18. Pawo Gaussa Rozpatzmy zamkniętą powiezchnię obejmującą dwa ładunki Q 1 i Q. Całkowity stumień (liczba linii sił) pzechodzący pzez powiezchnię otaczającą ładunki Q 1 i Q jest ówny E S ( E1 + E )d S E1d S + φ E d S (18.6) c d 1 gdzie pole E 1 jest wytwazane pzez Q 1, a pole E pzez Q. Kółko na znaku całki oznacza, że powiezchnia całkowania jest zamknięta. Kozystając z otzymanego wcześniej wyniku (18.5) mamy φ Q ε Q ε Q + Q ε 1 1 c + (18.7) Całkowity stumień pola elektycznego pzez zamkniętą powiezchnię jest więc ówny całkowitemu ładunkowi otoczonemu pzez tę powiezchnię podzielonemu pzez ε. Analogiczne ozumowanie można pzepowadzić dla dowolnej liczby ładunków wewnątz dowolnej zamkniętej powiezchni. Otzymujemy więc ogólny związek znany jako pawo Gaussa Pawo, zasada, twiedzenie Q wewn. E d S 4π kq wewn. (18.8) ε Stumień wychodzący z naładowanego ciała jest ówny wypadkowemu ładunkowi tego ciała podzielonemu pzez ε. Jeżeli wypadkowy ładunek ciała jest ujemny to stumień pola elektycznego, tak jak i linie pola, wpływa do ciała. Natomiast gdy ładunek wypadkowy wewnątz zamkniętej powiezchni jest ówny zeu to całkowity stumień też jest ówny zeu; tyle samo linii pola wpływa jak i wypływa pzez powiezchnię Gaussa. Podobnie jest w sytuacji gdy ładunki znajdują się na zewnątz zamkniętej powiezchni. Te sytuacje są pokazane na ysunku 18.4 poniżej. Rys Powiezchnie Gaussa wokół ładunków dodatnich i ujemnych 41

11 Moduł VI Pawo Gaussa Całkowity stumień pzez powiezchnię "1" jest dodatni, stumień pzez powiezchnię "" jest ujemny, a stumień pzez powiezchnię "" jest ówny zeu. Teaz pzejdziemy do zastosowania pawa Gaussa do obliczania natężenia pola E dla óżnych naładowanych ciał. 18. Pzykłady zastosowania pawa Gaussa I Izolowany pzewodnik Większość ciał stałych można podzielić na pzewodniki i izolatoy. W pzewodnikach ładunki elektyczne mogą się swobodnie pouszać natomiast w izolatoach (zwanych także dielektykami) ładunki pozostają nieuchome. W izolatoze nadmiaowy ładunek może być ozmieszczony w całej jego objętości. Natomiast gdy w pzewodniku ozmieścimy ładunek w sposób pzypadkowy to będzie on wytwazał pole elektyczne pzemieszczające swobodne elektony na powiezchnię pzewodnika dopóty, dopóki nie zniknie pole wewnątz pzewodnika. Wtedy na ładunki nie działa już siła i otzymujemy statyczny ozkład ładunku. Spawdźmy to ozumowanie posługując się pawem Gaussa. W tym celu ozpatzmy dowolny w kształcie pzewodnik. Wybieamy powiezchnię zamkniętą S tuż poniżej powiezchni pzewodnika tak jak na ys Rys Powiezchnia Gaussa S leżąca tuż pod powiezchnią pzewodnika Zastosujmy pawo Gaussa do tej powiezchni. Ponieważ wewnątz pzewodnika w dowolnym punkcie powiezchni S pole musi być ówne zeu, bo inaczej elektony pouszałyby się, to otzymujemy Zatem E d S (18.9) Q wewn. ε Q wewn. (18.1) Tak więc pokazaliśmy, że ładunek wewnątz dowolnej zamkniętej powiezchni pzewodnika musi być ówny zeu; cały ładunek gomadzi się na powiezchni pzewodnika. 4

12 Moduł VI Pawo Gaussa 18.. Kuliste ozkłady ładunków - jednoodnie naładowana sfea Rozpatzmy powiezchnię kulistą o pomieniu R jednoodnie naładowaną ładunkiem Q. Chcemy obliczyć pole E w odległości od jej śodka na zewnątz ( > R). W tym celu wybieamy powiezchnię Gaussa S w kształcie sfey o pomieniu pokazanej na ysunku Rys Jednoodnie naładowana sfea o pomieniu R Ponieważ w dowolnym punkcie powiezchni Gaussa pole E ma tę samą watość i jest postopadłe do powiezchni więc Zatem zgodnie z pawem Gaussa otzymujemy E d S E(4π ) (18.11) Q ( 4π ) (18.1) ε E lub 1 Q Q E k (18.1) 4 πε Widzimy, że na zewnątz sfey tj. dla > R pole jest takie jakby cały ładunek skupiony był w śodku sfey. Natomiast wewnątz sfey ( < R) Q wewn. więc E wewn Kuliste ozkłady ładunków - jednoodnie naładowana kula Jednoodnie w całej objętości możemy naładować jedynie kulę z izolatoa bo w pzewodniku cały ładunek gomadzi się na powiezchni. Taka kula może być ozpatywana z zewnątz jako szeeg współśodkowych powłok kulistych (opisanych powyżej). Tak więc pole elektyczne na zewnątz kuli o pomieniu R naładowanej ładunkiem Q, w odległości od jej śodka ( > R) jest dane wzoem (18.1). Pozostaje więc nam obliczenie pola elektycznego w dowolnym punkcie wewnątz kuli czyli w odległości < R. Na ysunku 18.7 pokazana jest taka kula i wybana powiezchnia Gaussa S. 4

13 Moduł VI Pawo Gaussa Rys Kula naładowana jednoodnie ładunkiem Q Zgodnie z ównaniem (18.1) pole elektyczne na powiezchni Gaussa jest ówne Qwewn. E k (18.14) gdzie Q wewn. jest ładunkiem wewnątz powiezchni Gaussa. Ponieważ kula jest naładowana ównomienie to Q wewn 4 π. Q Q (18.15) 4 R πr (stosunek objętości kuli o pomieniu do objętości kuli o pomieniu R). Ostatecznie otzymujemy dla < R Q 1 R E (18.16) 4 πε lub 1 Q Q k (18.17) 4 πε R R E Wykes natężenia pola E w funkcji odległości od śodka jednoodnie naładowanej kuli jest pokazany na ysunku

14 Moduł VI Pawo Gaussa Rys Zależność pola E od odległości od śodka naładowanej kuli o pomieniu R W kolejnej części omówione są liniowe i powiezchniowe ozkłady ładunków Pzykłady zastosowania pawa Gaussa II Liniowy ozkład ładunków Obliczymy teaz pole E w odległości od jednoodnie naładowanego pęta (dutu) o długości l >>. W tym celu wpowadzamy liniową gęstość ładunku λ ówną ilości ładunku pzypadającego na jednostkę długości pęta λ Q/l. Ze względu na symetię układu jako powiezchnię Gaussa wybiezmy walec (oczywiście można wybać dowolny kształt) o pomieniu większym od pomienia pęta R bo chcemy policzyć pole na zewnątz pęta (ysunek 18.9). Rys Pęt naładowany z gęstością liniową λ Z pawa Gaussa λl E d S (18.18) ε 45

15 Moduł VI Pawo Gaussa Ze względu na symetię pole elektyczne E jest skieowane adialnie względem pęta, tzn. jest postopadłe do bocznej powiezchni walca (powiezchni Gaussa). Stumień pola E pzez podstawy walca jest więc ówny zeu bo E leży na bocznej powiezchni. Ponadto pole elektyczne ma taką samą watość w każdym punkcie powiezchni bocznej walca więc spełnione jest ównanie λl E πl (18.19) ε lub λ E (18.) πε Teaz obliczymy pole wewnątz jednoodnie naładowanego pęta. Ponownie wybieamy powiezchnię Gaussa w kształcie walca ale o pomieniu < R. Wpowadzamy gęstość objętościową ładunku ρ ówną ładunkowi pzypadającemu na jednostkę objętości. Możemy teaz zapisać ładunek zamknięty wewnątz powiezchni Gaussa Q wewn. ρπ (18.1) Z pawa Gaussa otzymujemy Qwewn. ρπ l π le (18.) ε ε a stąd ρ E (18.) ε Pole ośnie liniowo w miaę oddalania się od śodka pęta Płaskie ozkłady ładunków Teaz obliczymy pole od nieskończonej, jednoodnie naładowanej płaszczyzny. W tym celu wpowadzamy powiezchniową gęstość ładunku σ ówną ilości ładunku pzypadającego na jednostkę powiezchni. Powiezchnię Gaussa wybieamy na pzykład w postaci walca takiego jak na ysunku Ładunek otoczony pzez powiezchnię Gaussa jest ówny Q wewn. σs, gdzie σ jest gęstością powiezchniową, a S powiezchnią podstawy walca. Z symetii wynika, że pole E jest postopadłe do płaszczyzny więc nie pzecina bocznej powiezchni walca (stumień pzez boczną powiezchnię jest ówny zeu). 46

16 Moduł VI Pawo Gaussa Z pawa Gaussa otzymujemy Rys Jednoodnie naładowana nieskończona płaszczyzna σs E S (18.4) ε gdzie czynnik odpowiada dwóm podstawom walca (linie pola wychodzą w obie stony). Ostatecznie więc σ E (18.5) ε W paktyce stosuje się, pokazany na ysunku 18.11, układ dwóch płaskich ównoległych płyt naładowanych ładunkami jednakowej wielkości ale o pzeciwnych znakach (kondensato płaski ). Rys Pole między ównoległymi płytami naładowanymi ładunkami tej samej wielkości ale o pzeciwnych znakach Pole wytwazane pzez płytę naładowaną ładunkiem dodatnim jest ówne E + σ/ε i skieowane od płyty. Natomiast pole wytwazane pzez płytę naładowaną ujemnie ma tę samą watość E - σ/ε ale skieowane jest do płyty. Zatem w obszaze (I) 47

17 Moduł VI Pawo Gaussa w obszaze (II) σ σ E + 1 ε ε (18.6) σ σ σ E 1 + (18.7) ε ε ε a w obszaze (III) σ σ E 1 + ε ε (18.8) Widzimy, że na zewnątz układu pole jest ówne zeu a pomiędzy płytami ma w każdym punkcie stałą watość σ/ε. Takie pole nazywamy polem jednoodnym Powiezchnia pzewodnika Sytuacja jest inna jeżeli naładowana powiezchnia stanowi część powiezchni pzewodnika na pzykład tak jak na ysunku Rys Element powiezchni pzewodnika Ponieważ cały ładunek gomadzi się na zewnętznej powiezchni to wewnątz pole E. Co więcej E musi być postopadłe do powiezchni bo gdyby istniała składowa styczna do powiezchni to elektony pouszałyby się po niej. Ponownie, jak w pzypadku nieskończonej naładowanej płaszczyzny wybieamy powiezchnię Gaussa w kształcie walca (ysunek 18.1) ale tym azem linie pole wychodzą tylko pzez jedną podstawę walca S, na zewnątz. Z pawa Gaussa wynika, że a stąd σs ES (18.9) ε σ E (18.) ε na powiezchni pzewodnika. 48

18 Moduł VI Potencjał elektyczny 19 Potencjał elektyczny 19.1 Enegia potencjalna w polu elektycznym Zgodnie z naszymi ozważaniami w punkcie 8. (moduł ), óżnica enegii potencjalnej E p pomiędzy punktami A i B jest ówna pacy (ze znakiem minus) wykonanej pzez siłę zachowawczą pzy pzemieszczaniu ciała od A do B i wynosi E pb E pa W AB B A F d (19.1) Dla pola elektycznego enegia potencjalna wynosi E pb E pa W AB B A B F d E d (19.) A gdzie E jest natężeniem pola elektycznego. Siły elektyczne są siłami zachowawczymi i watość pacy nie zależy od wybou dogi pomiędzy punktami A i B. Jeżeli teaz podobnie jak dla gawitacyjnej enegii potencjalnej pzyjmiemy, że enegia potencjalna pola elektycznego jest ówna zeu w nieskończoności to wówczas enegia potencjalna w danym punkcie pola elektycznego jest dana wyażeniem E p ( ) E d (19.) Jeżeli źódłem pola elektycznego jest ładunek punktowy Q to enegia potencjalna w odległości od niego jest ówna E p Q 1 Q ( ) k d kq k (19.4) Zauważmy, że enegia potencjalna ładunku w polu elektycznym zależy wielkości tego ładunku. 19. Potencjał elektyczny Jak pokazaliśmy w popzednim paagafie enegia potencjalna ładunku w polu elektycznym zależy od wielkości tego ładunku. Dlatego do opisu pola elektycznego lepiej posługiwać się enegią potencjalną pzypadającą na jednostkowy ładunek czyli potencjałem elektycznym. Definicja Potencjał elektyczny definiujemy jako enegię potencjalną pola elektycznego podzieloną pzez jednostkowy ładunek. 49

19 Moduł VI Potencjał elektyczny E p ( ) W V ( ) (19.5) Jednostki Jednostką potencjału elektycznego jest wolt (V); 1 V 1 J/C. Potencjał pola ładunku punktowego Q możemy otzymać natychmiast dzieląc ównanie (19.4) obustonnie pzez Q V ( ) k (19.6) Obliczony potencjał okeśla pacę potzebną do pzeniesienia jednostkowego ładunku z nieskończoności na odległość od ładunku Q. Potencjał chaakteyzuje pole elektyczne; a nie zależy od umieszczonego w nim ładunku. Ćwiczenie 19.1 Spóbuj obliczyć potencjał na powiezchni jąda miedzi. Pomień jąda wynosi ówny m. Pzyjmij, że ozkład 9 potonów w jądze miedzi jest kulisto-symetyczny. W związku z tym potencjał na zewnątz jąda jest taki jakby cały ładunek skupiony był w śodku i możesz posłużyć się wzoem (19.6). Ponadto oblicz potencjalną enegię elektyczną elektonu pouszającego się po piewszej obicie w polu elektycznym jąda miedzi. Pzyjmij pomień obity ówny m. Wyniki zapisz poniżej. V E p Rozwiązanie możesz spawdzić na końcu modułu. Często w fizyce posługujemy się pojęciem óżnicy potencjałów czyli napięciem (oznaczanym U). Różnica potencjałów między dwoma punktami A i B jest ówna pacy potzebnej do pzeniesienia w polu elektycznym ładunku jednostkowego (póbnego) pomiędzy tymi punktami. Wyażenie na óżnicę potencjałów otzymamy bezpośednio ze wzou (19.) dzieląc to ównanie obustonnie pzez B WAB V E d B VA U (19.7) Znak minus odzwieciedla fakt, że potencjał maleje w kieunku wektoa E. Podobnie jak natężenie pola elektycznego, któe ilustowaliśmy za pomocą linii sił pola (punkt 17.) ównież potencjał elektyczny można pzedstawialiśmy gaficznie. A 5

20 Moduł VI Potencjał elektyczny W tym celu ysujemy powiezchnie lub linie ekwipotencjalne, któe pzedstawiają w pzestzeni zbioy punktów o jednakowym potencjale. Jako pzykład pokazany jest na ysunku 19.1 poniżej ozkład potencjału, na płaszczyźnie xy, wokół dipola elektycznego. Poziomice (linie pogubione) łączą punkty o jednakowym potencjale (linie ekwipotencjalne ). Każda kzywa odpowiada innej stałej watości potencjału. Rys Potencjał elektyczny dipola elektycznego (na płaszczyźnie xy) Gdy znamy ozkład potencjału elektycznego wytwozonego w każdym punkcie pzestzeni pzez dany układ ładunków to na podstawie wielkości zmiany potencjału, pzypadającej na jednostkę długości w danym kieunku możemy okeślić natężenie pola elektycznego E w tym kieunku. Waunek ten (we współzędnych x, y, z) wyaża się następująco E x V V V, Ey, Ez (19.8) x y z Możemy więc pzy pomocy obliczania pochodnych cząstkowych z wielkości skalanej (potencjału V) otzymać składowe wielkości wektoowej (pola E) w dowolnym punkcie pzestzeni. Więcej na ten temat możesz dowiedzieć się z Dodatku, na końcu modułu VI. Im większa (mniejsza) zmiana potencjału na jednostkę długości tym większe (mniejsze) pole elektyczne w danym kieunku. Znak minus odzwieciedla fakt, że wekto E jest skieowany w stonę malejącego potencjału. 51

21 Moduł VI Potencjał elektyczny Kieunek pola elektycznego w dowolnym punkcie odpowiada kieunkowi wzdłuż któego potencjał spada najszybciej co oznacza, że linie sił pola są postopadłe do powiezchni (linii) ekwipotencjalnych. Zostało to zilustowane na ysunku poniżej gdzie pokazane są powiezchnie ekwipotencjalne (linie ich pzecięcia z płaszczyzną ysunku) oaz linie sił pola (a) ładunku punktowego, (b) dipola elektycznego (poównaj z ysunkiem 19.1). Rys Powiezchnie ekwipotencjalne (linie pzeywane) i linie sił pola (linie ciągłe): (a) ładunku punktowego, (b) dipola elektycznego; linie ekwipotencjalne oznaczają pzecięcia powiezchni ekwipotencjalnych z płaszczyzną ysunku Wzoy wyażające związek pomiędzy potencjałem i polem elektycznym są badzo użyteczne bo na ogół łatwiej obliczyć i zmiezyć potencjał niż natężenie pola. Możesz pześledzić ozkład linii (powiezchni) ekwipotencjalnych dla óżnych układów ładunków kozystając z damowego pogamu komputeowego Elektostatyka dostępnego na stonie WWW autoa. W punkcie 18.. pokazaliśmy, że cały ładunek umieszczony na izolowanym pzewodniku gomadzi się na jego powiezchni i że pole E musi być postopadłe do powiezchni bo gdyby istniała składowa styczna do powiezchni to elektony pzemieszczałyby się. W opaciu o wyażenie (19.7) możemy podać altenatywne sfomułowanie. Jeżeli pole E wzdłuż powiezchni pzewodnika ówna się zeu to óżnica potencjałów też ówna się zeu ΔV. Oznacza to, że Pawo, zasada, twiedzenie Powiezchnia każdego pzewodnika w stanie ustalonym jest powiezchnią stałego potencjału (powiezchnią ekwipotencjalną). Teaz pzejdziemy do obliczeń potencjału elektycznego dla óżnych naładowanych ciał. 5

22 Moduł VI Potencjał elektyczny 19. Obliczanie potencjału elektycznego Jako pzykład ozważymy óżnicę potencjałów między powiezchnią i śodkiem sfey o pomieniu R naładowanej jednoodnie ładunkiem Q. Jak pokazaliśmy w punkcie 18. pole elektyczne wewnątz naładowanej sfey ( < R) jest ówne zeu E. Oznacza to (ównanie 19.7), że óżnica potencjałów też jest ówna zeu V B V A, to znaczy potencjał w śodku jest taki sam jak na powiezchni sfey. Natomiast na zewnątz (dla R) potencjał jest taki jak dla ładunku punktowego skupionego w śodku sfey, czyli jest dany ównaniem (19.6). Zależność potencjału i odpowiadającego mu natężenia pola od odległości od śodka naładowanej sfey jest pokazana na ysunku 19.. Rys Poównanie zależności potencjału i natężenia pola elektycznego od odległości od śodka naładowanej sfey Poównując dwa powyższe wykesy V() i E() możemy zauważyć, że istnieje miedzy nimi związek dany wyażeniem dv ( ) E( ) (19.9) d W każdym punkcie natężenie pola E() jest ówne nachyleniu wykesu V() ze znakiem minus. Ten związek pomiędzy natężeniem pola i potencjałem wynika wpost z ównania (19.7) bo na jego mocy d V E d. Obliczanie potencjału dla układu ładunków punktowych pześledzimy na pzykładzie potencjału dipola. W tym celu ozpatzymy punkt P odległy o od śodka dipola tak jak to widać na ys Położenie punktu P jest okeślone popzez i θ. 5

23 Moduł VI Potencjał elektyczny Kozystamy z zasady supepozycji: Rys Dipol elektyczny Pawo, zasada, twiedzenie Całkowity potencjał pola pochodzącego od układu ładunków punktowych w dowolnym punkcie obliczamy sumując potencjały od poszczególnych ładunków. Dlatego potencjał w punkcie P pochodzący od ładunków Q i Q wynosi V Vn V+ + V n Q ( Q) k + k kq kq (19.1) To jest ścisłe wyażenie na potencjał dipola ale do jego obliczenia potzeba znać 1 oaz. My natomiast ozważymy tylko punkty odległe od dipola, dla któych >> l. Dla takich punktów możemy pzyjąć z dobym pzybliżeniem, że 1 l cosθ oaz 1. Po uwzględnieniu tych zależności wyażenie na potencjał pzyjmuje postać V l cosθ p cosθ kq k (19.11) gdzie p Ql jest momentem dipolowym. Ćwiczenie 19. Wykonaj ścisłe obliczenia potencjału elektycznego tego dipola w punkcie leżącym odpowiednio: a) na symetalnej dipola tj. na osi y w odległości od jego śodka, b) na dodatniej półosi x w odległości od śodka dipola, c) na ujemnej półosi x w odległości od śodka dipola. Wyniki zapisz poniżej. 54

24 Moduł VI Potencjał elektyczny V A V B V C Rozwiązanie możesz spawdzić na końcu modułu. Na zakończenie wócimy do pzykładu z punktu 18.4 i obliczymy óżnicę potencjałów dla dwóch pzeciwnie naładowanych płyt o polu powiezchni S każda, znajdujących się w odległości d od siebie. Ładunki na płytach wynoszą odpowiednio +Q i Q więc gęstość powiezchniowa ładunku σ Q/S. Ze wzou (19.7) wynika, że Δ V Ed (19.1) a ponieważ, zgodnie z naszymi obliczeniami, pole pomiędzy płytami jest ówne E σ/ε więc σ d Δ V (19.1) ε lub Qd Δ V (19.14) S ε 55

25 Moduł VI Kondensatoy i dielektyki Kondensatoy i dielektyki.1 Pojemność elektyczna Układ dwóch pzewodników, któy może gomadzić ładunek elektyczny, pzy pzyłożonej óżnicy potencjałów, nazywamy kondensatoem, a te pzewodniki okładkami kondensatoa. Rysunek.1 pzedstawia kondensato płaski, w któym pzewodniki (okładki) stanowią dwie ównoległe płytki pzewodzące. Rys..1. Kondensato płaski Wielkością chaakteyzującą kondensato jest jego pojemność, któa definiujemy następująco Definicja Pojemnością elektyczną nazywamy stosunek ładunku kondensatoa do óżnicy potencjałów (napięcia) między okładkami. Q C (.1) Δ V Zwóćmy uwagę, że Q jest ładunkiem na każdym pzewodniku, a nie ładunkiem wypadkowym na kondensatoze (ładunek wypadkowy ówny jest zeu). Pojemność kondensatoa płaskiego możemy obliczyć z definicji (.1) kozystając z ównania (19.15) ε Q S C (.) ΔV d Zauważmy, że pojemność zależy od kształtu okładek, ich ozmiau i wzajemnego położenia. Oznacza to, że dla kondensatoów o innej geometii obowiązują inne wzoy. Równanie (.) obowiązuje dla kondensatoa płaskiego znajdującego się w póżni. Zależność pojemność kondensatoa od pzenikalności elektycznej ośodka omówimy później. Jednostki Jednostką pojemności jest faad (F); 1F 1C/1V. Powszechnie stosuje się jednak mniejsze jednostki: μf, nf, pf. 56

26 Moduł VI Kondensatoy i dielektyki Ćwiczenie.1 Żeby pzekonać się, że faad jest dużą jednostką oblicz pojemność póżniowego kondensatoa płaskiego, któego okładki o powiezchni 1 cm są umieszczone w odległości 1 mm od siebie. Wyniki zapisz poniżej. C Rozwiązanie możesz spawdzić na końcu modułu. Kondensatoy są częścią składową pawie wszystkich układów elektonicznych. W celu dobania odpowiedniej pojemności powszechnie stosuje się ich łączenie w układy szeegowe lub ównoległe. Ćwiczenie. Spóbuj samodzielnie wypowadzić (lub podać) wzoy na pojemność wypadkową układu kondensatoów połączonych szeegowo i ównolegle. Wyniki zapisz poniżej. Wskazówka: kondensatoy połączone szeegowo mają jednakowy ładunek, a połączone ównolegle jednakową óżnicę potencjałów. C sz C Rozwiązanie możesz spawdzić na końcu modułu. Definicję pojemności można ozszezyć na pzypadek pojedynczego izolowanego pzewodnika. Definicja Pojemnością elektyczną pzewodnika nazywamy stosunek ładunku umieszczonego na pzewodniku do potencjału jaki ma ten pzewodnik w polu elektycznym wytwozonym pzez ten ładunek. Q C (.) V Można więc dany pzewodnik uważać za jedną z okładek kondensatoa, w któym duga okładka kondensatoa znajduje się w nieskończoności i ma potencjał ówny zeu. 57

27 Moduł VI Kondensatoy i dielektyki. Enegia pola elektycznego Rozpatzmy początkowo nienaładowany kondensato, któy ładujemy pzenosząc elektony pomiędzy okładkami. Okładka, z któej zabieamy elektony ładuje się dodatnio, a okładka na któą je pzenosimy ujemnie. W wyniku tego postępowania óżnica potencjałów ośnie od do ΔV, a ładunek na kondensatoze wzasta od do Q. Paca zużyta na pzeniesienie pocji ładunku d pomiędzy okładkami pzy panującej w danej chwili óżnicy potencjałów ΔV wynosi zgodnie ze wzoem (19.7) dw ΔVd (.4) Musimy pzy tym pamiętać, że w takcie ładowania kondensatoa óżnica potencjałów ośnie więc pzenoszenie dalszych pocji ładunku jest coaz tudniejsze (wymaga więcej enegii). Całkowita paca na pzeniesienie ładunku Q, ówna enegii potencjalnej zgomadzona w kondensatoze, wynosi zatem W Q Q 1 Q ΔV d d (.5) C C gdzie skozystaliśmy ze wzou (.1) na pojemność. Pzypomnijmy, że dla kondensatoa płaskiego (punkt 18.4) skąd Q E (.6) S ε Q ε SE (.7) Po podstawieniu do wzou (.5) otzymujemy W ( ES ) ε (.8) C Uwzględniając wyażenie (.) na pojemność kondensatoa płaskiego ostatecznie W ε E Sd (.9) Zauważmy, że iloczyn Sd jest objętością kondensatoa, więc gęstość enegii w (pola elektycznego), któa jest enegią zawatą w jednostce objętości wynosi w W Sd 1 ε E (.1) 58

28 Moduł VI Kondensatoy i dielektyki Pawo, zasada, twiedzenie Jeżeli w jakimś punkcie pzestzeni istnieje pole elektyczne o natężeniu E to możemy uważać, że w tym punkcie jest zmagazynowana enegia w ilości ½ε E na jednostkę objętości.. Kondensato z dielektykiem Doświadczenie pokazuje, że umieszczenie dielektyka kondensatoa zwiększa jego pojemność ε azy C' ε C (izolatoa) pomiędzy okładkami (.11) Wielkość ε nazywamy względną pzenikalnością elektyczna lub stałą dielektyczną. W tabeli poniżej zestawione zostały stałe dielektyczne wybanych mateiałów Tab..1. Stałe dielektyczne wybanych mateiałów (w tempeatuze pokojowej) Mateiał Stała dielektyczna póżnia 1. powietze 1.5 teflon.1 polietylen. papie.5 szkło (pyex) 4.5 pocelana 6.5 woda 78 TiO 1 Wzost pojemności kondensatoa w wyniku umieszczenia w nim dielektyka wynika z zachowania się atomów (cząsteczek) dielektyka w polu elektycznym w kondensatoze, pzy czym istnieją dwie możliwości. Po piewsze istnieją cząsteczki, w któych śodek ładunku dodatniego jest twale pzesunięty względem śodka ładunku ujemnego. Pzykładem może być cząsteczka H O pokazana na ysunku.. Rys... Cząsteczka wody chaakteyzującą się twałym momentem dipolowym 59

29 Moduł VI Kondensatoy i dielektyki W wyniku chaakteystycznej budowy w cząsteczce wody ładunek ujemny jest pzesunięty w stonę atomu tlenu, a śodek ładunku dodatniego jest bliżej atomów wodou. Takie cząsteczki mają więc twały elektyczny moment dipolowy. Po dugie, w pzypadku cząsteczek i atomów nie posiadających twałych momentów dipolowych taki moment może być wyindukowany pzez umieszczenie ich w zewnętznym polu elektycznym. Pole działa na ładunki dodatnie (jąda atomowe) i ujemne (chmuy elektonowe) ozsuwając ich śodki. Atomy (cząsteczki) wykazują elektyczny moment dipolowy, ulegają polayzacji. Pzykładowo, jeżeli umieścimy atom wodou w zewnętznym polu E, to siła F ee pzesuwa elekton o względem potonu. Wówczas atom ma indukowany moment dipolowy p e. Ponieważ jest to moment indukowany polem zewnętznym więc znika, gdy usuniemy pole. W zeowym polu momenty dipolowe są zoientowane pzypadkowo tak jak pokazano na ysunku.a. Natomiast po umieszczeniu w polu elektycznym twałe elektyczne momenty dipolowe dążą do ustawienia zgodnie z kieunkiem pola, a stopień upoządkowania zależy od wielkości pola i od tempeatuy ( uchy temiczne cząstek zabuzają upoządkowanie). Natomiast momenty indukowane są ównoległe do kieunku pola. Cały mateiał w polu E zostaje spolayzowany. Spolayzowany zewnętznym polem E dielektyk (umieszczony w naładowanym kondensatoze) jest pokazany na ysunku.b. Rys...a) niespolayzowany dielektyk b) polayzacja dielektyka w zewnętznym polu E c) wypadkowy ozkład ładunku Zwóćmy uwagę, że w ezultacie wewnątz dielektyka ładunki kompensują się, a jedynie na powiezchni dielektyka pojawia się nieskompensowany ładunek '. Ładunek dodatni gomadzi się na jednej, a ujemny na dugiej powiezchni dielektyka tak jak pokazano na ysunku.c. Ładunek jest zgomadzony na okładkach, a jest ładunkiem wyindukowanym na powiezchni dielektyka. Te wyindukowane ładunki wytwazają pole elektyczne E pzeciwne do pola E pochodzącego od swobodnych ładunków na okładkach kondensatoa. Wypadkowe pole w dielektyku E w (suma wektoowa pól E ' i E) ma ten sam kieunek co pole E ale mniejszą watość. Pole związane z ładunkiem polayzacyjnym ' nosi nazwę polayzacji elektycznej. 6

30 Moduł VI Kondensatoy i dielektyki Widzimy, że Pawo, zasada, twiedzenie Gdy dielektyk umieścimy w polu elektycznym to pojawiają się indukowane ładunki powiezchniowe, któe wytwazają pole elektyczne pzeciwne do zewnętznego pola elektycznego. Zastosujemy teaz pawo Gaussa do kondensatoa wypełnionego dielektykiem. Dla powiezchni Gaussa zaznaczonej na ysunku.c linią pzeywaną otzymujemy ' E ds (.1) ε Ponieważ pole E jest jednoodne więc ' ES (.1) ε skąd otzymujemy ' E (.14) S Pojemność takiego kondensatoa wypełnionego dielektykiem wynosi zatem ε C' ε S ΔV Ed ' d C ' (.15) Dzieląc powyższe ównanie obustonnie pzez C otzymujemy C' ε (.16) C ' Powyższe ównanie pokazuje, że wyindukowany ładunek powiezchniowy ' jest mniejszy od ładunku swobodnego na okładkach. Dla kondensatoa bez dielektyka ' i wtedy ε 1. Więcej na ten temat dielektyków w polu elektycznym możesz dowiedzieć się z Dodatku, na końcu modułu VI. Kozystając z powyższego związku (.16) i podstawiając za ' do ównania (.1), możemy napisać pawo Gaussa (dla kondensatoa z dielektykiem) w postaci ε Ed S (.17) ε 61

31 Moduł VI Kondensatoy i dielektyki To ównanie stanowi najbadziej ogólną postać pawa Gaussa. Zauważmy, że stumień pola elektycznego dotyczy wektoa ε E (a nie wektoa E) i że w ównaniu występuje tylko ładunek swobodny, a wyindukowany ładunek powiezchniowy został uwzględniony pzez wpowadzenie stałej dielektycznej ε. Poównując pole elektyczne w kondensatoze płaskim bez dielektyka E /ε S z watością daną ównaniem (.14) widzimy, że wpowadzenie dielektyka zmniejsza pole elektyczne ε azy (indukowany ładunek daje pole pzeciwne do pola od ładunków swobodnych na okładkach - ysunek.b). E (.18) ε ε S Ćwiczenie. Pokazaliśmy, że wpowadzenie dielektyka między okładki kondensatoa zwiększa jego pojemność i zmniejsza pole elektyczne ε azy. Spóbuj teaz wyjaśnić jak zmienia się óżnica potencjałów między okładkami i enegia naładowanego kondensatoa. Wskazówka: Ładunek swobodny na okładkach kondensatoa nie zmienia się (kondensato został naładowany i następnie odłączony od źódła - bateii). Wyniki zapisz poniżej. ΔV W Rozwiązanie możesz spawdzić na końcu modułu. Ten ozdział kończy moduł szósty; możesz teaz pzejść do podsumowania i zadań testowych. 6

32 Moduł VI - Podsumowanie Podsumowanie Wszystkie ładunki są wielokotnością ładunku elementanego e C, Pawo Coulomba opisuje siłę wzajemnego oddziaływania dwóch ładunków 1 F k, gdzie stała k 1 4πε (ε C /Nm ) Natężenie pola elektycznego definiujemy jako siłę działającą na ładunek póbny F (umieszczony w danym punkcie pzestzeni) podzieloną pzez ten ładunek E. Natężenie pola elektycznego E w odległości od ładunku punktowego Q jest ówne 1 1 Q Q E F k k. Stumień pola elektycznego pzez elementaną powiezchnię ds definiujemy jako iloczyn skalany wektoa powiezchni ds i natężenia pola elektycznego E, dφ E d S E d S cosα,gdzie α jest kątem pomiędzy wektoem powiezchni ds i wektoem E. Z pawo Gaussa wynika, że całkowity stumień pola elektycznego pzez zamkniętą powiezchnię jest ówny całkowitemu ładunkowi otoczonemu pzez tę powiezchnię Qwewn. podzielonemu pzez ε E d S 4π kq wewn. ε Wypadkowy ładunek wewnątz pzewodnika jest ówny zeu; cały ładunek gomadzi się na powiezchni pzewodnika. Pole elektyczne na zewnątz naładowanej kuli jest takie jakby cały ładunek skupiony był w śodku kuli. λ Ładunek liniowy wytwaza wokół siebie pole malejące waz z odległością E. πε σ Natomiast pole od naładowanej nieskończonej płaszczyzny E jest stałe. ε Q Enegia potencjalna ładunku punktowego jest dana wzoem E p ( ) k Potencjał elektyczny jest zdefiniowany jako enegię potencjalna na jednostkowy E p ( ) W Q ładunek V ( ). Potencjał ładunku punktowego wynosi V ( ) k. Pojemność kondensatoa definiujemy jako stosunek ładunku kondensatoa do óżnicy Q potencjałów między okładkami C. Δ V 1 Q Enegia potencjalna zgomadzona w kondensatoze wynosi W, a gęstość C 1 enegii pola elektycznego jest ówna w ε E. Umieszczenie dielektyka o względnej pzenikalności elektycznej ε pomiędzy C' okładkami kondensatoa zwiększa jego pojemność ε azy ε. C 6

33 Moduł VI - Mateiały dodatkowe Mateiały dodatkowe do Modułu VI VI. 1. Pole elektyczne na osi pieścienia Z zasady supepozycji możemy ównież skozystać dla ciągłych ozkładów ładunków. Jako pzykład ozpatzymy jednoodnie naładowany pieścień o pomieniu R i całkowitym ładunku Q pokazany na ysunku poniżej. Chcemy obliczyć pole elektyczne na osi pieścienia w odległości x od jego śodka. W piewszym koku dzielimy pieścień na elementy o długości dl i obliczamy pole elektyczne de wytwazane pzez taki element. Zgodnie z ysunkiem oaz de x d E cosα (VI.1.1) x cos α (VI.1.) Jeżeli λ Q/πR jest liniową gęstością ładunku (ilością ładunku na jednostkę długości) to element dl zawiea ładunek dq λdl i natężenie pola od tego elementu jest ówne λdl d E k (VI.1.) oaz d λdl x k (VI.1.4) E x 64

34 Moduł VI - Mateiały dodatkowe Pole elektyczne całego pieścienia otzymujemy zgodnie z zasadą supepozycji sumując (całkując) pola od wszystkich elementów pieścienia. Zwóćmy uwagę, że składowe pionowe de y elementów leżących po pzeciwnych stonach pieścienia znoszą się wzajemnie więc E kλ x Ex d Ex kλ x dl (πr) ( x kxq + R ) (VI.1.5) Zauważmy, że w śodku pieścienia (x ) E, a w badzo dużej odległości od pieścienia (x >> R) pole zmieza do watości E kq/x takiej jak pole ładunku punktowego w tej odległości. Jedną z zalet posługiwania się pojęciem pola elektycznego jest to, że nie musimy zajmować się szczegółami źódła pola. Powyższy pzykład pokazuje, że z pomiau pola elektycznego nie możemy ustalić jaki jest ozkład ładunków będący źódłem tego pola (ładunek punktowy czy odległy naładowany pieścień). VI.. Gadient pola Pzy pomocy obliczania pochodnych cząstkowych ze skalanego potencjału V otzymaliśmy składowe wektoa pola E w dowolnym punkcie pzestzeni E x V V V, Ey, Ez (VI..1) x y z skąd E i j + k Ex + Ey Ez (VI..) lub To ównanie można zapisać w postaci V V V E i j k (VI..) x y z E i + j + k V (VI..4) x y z gdzie wyażenie w nawiasie jest opeatoem wektoowym nabla, któy oznaczamy symbolem. Nazywamy tę wielkość opeatoem ponieważ nie ma ona konketnego znaczenia dopóki nie działa (opeuje) na jakąś funkcję taką jak na pzykład potencjał V. Opeato ten ma istotne znaczenie gdy mamy do czynienia z polami skalanymi i wektoowymi. Pole skalane to takie pole, któa ma pzypisaną watość skalaną (liczbową) w każdym punkcie pzestzeni. Natomiast pole wektoowe ma w każdym 65

35 Moduł VI - Mateiały dodatkowe punkcie pzestzeni pzypisany wekto. Dla dowolnego pola skalanego φ(x,y,z) można działając na nie opeatoem utwozyć pole wektoowe, któe nazywamy gadientem φ gad ϕ ϕ (VI..5) Gadient potencjału, gadφ ma watość ówną maksymalnej zmianie potencjału φ (maksymalne nachylenie funkcji φ(x,y,z) ) i zwot (gadφ jest wektoem) pzeciwny do kieunku, w któym zmiana jest φ największa. VI.. Dielektyk w polu elektycznym - ozważania ilościowe Rozpatzmy atom umieszczony w zewnętznym polu elektycznym o natężeniu E. Wówczas na atom działa siła, któa pzesuwa chmuę elektonową o względem jąda atomowego (ysunek poniżej). Sfeyczna chmua elektonowa pzesunięta zewnętznym polem elektycznym względem jąda atomu na odległość Wówczas atom ma indukowany moment dipolowy p, a wypadkowe pole elektyczne w miejscu jąda jest sumą pola zewnętznego i pola od chmuy elektonowej E E + (VI..1) wyp. E elektony Jeżeli potaktujemy, w naszym uposzczonym modelu, chmuę elektonową jako jednoodnie naładowaną kulę o pomieniu R to pole elektyczne wytwozone pzez chmuę elektonową w odległości ( < R) od jej śodka jest dane wzoem (18.17) 1 Q Q k 4 R (VI..) πε R E elektony Ponieważ jądo znajduje się w położeniu ównowagi (nie pzemieszcza się) więc E wyp., skąd dostajemy skąd kq E (VI..) R 66

36 Moduł VI - Mateiały dodatkowe Zatem, indukowany moment dipolowy jest ówny R E (VI..4) kq R p Q E (VI..5) k Moment p zgodnie z oczekiwaniami jest popocjonalny do natężenia zewnętznego pola elektycznego E. Rozpatzmy teaz dielektyk, w któym znajduje się N atomów (cząsteczek). Jeżeli każdy atom ma śedni moment dipolowy p skieowany zgodnie z zewnętznym polem E to całkowity moment dipolowy p całk N p (VI..6) Z dugiej stony indukowany ładunek ' pojawia się jedynie na powiezchni dielektyka więc dla kondensatoa płaskiego, wypełnionego dielektykiem, któego okładki o powiezchni S są umieszczone w odległości d p całk ' d (VI..7) Łącząc te wyażenia otzymujemy ' d N p (VI..8) lub ' d ( nsd) p (VI..9) gdzie n koncentacją atomów (cząsteczek) tj. ilością atomów w jednostce objętości n N/(Sd). Ostatecznie więc ' ns p (VI..1) Podstawiamy tę wielkość do wzou na ε ε (VI..11) ' ns p Pokazaliśmy powyżej, że indukowany moment dipolowy p wynosi R p Q E. k 67

37 Moduł VI - Mateiały dodatkowe Podstawiając do tego wzou wyażenie na natężenie pola elektycznego w kondensatoze płaskim (wzó.14) otzymujemy R ') p 4πR k ε S ( ' S (VI..1) Wstawiając to wyażenie do wzou (VI..11) obliczamy ε ε ' 4πR n S S 1 ' 1 4πR n πR n ε (VI..1) skąd ε + 1 4π nr (VI..14) Otzymana zależność jest pzybliżona ze względu na znaczne uposzczenia pzyjętego modelu atomu jednak pokazuje, że pzenikalność dielektyczna ε jest większa od jedności i że zależy od właściwości dielektyka takich jak koncentacja atomów n i pomień atomu R. 68

38 Moduł VI - Rozwiązania ćwiczeń Rozwiązania ćwiczeń z modułu VI Ćwiczenie 17.1 Dane: m, m p kg, m e kg, G Nm /kg, k 1 4πε , e C. Siła pzyciągania elektostatycznego pomiędzy elektonem i potonem w atomie wodou wynosi: F e k N a stosunek sił pzyciągania gawitacyjnego do elektostatycznego dla potonu i elektonu w atomie wodou: F F E G e k 1 G m m p e 1 9 Siła gawitacyjna jest w tym pzypadku całkowicie do zaniedbania. Ćwiczenie 17. Dane: ładunki znajdują się w jednakowych odległościach od śodka i mają jednakowe watości bezwzględne Q. Na ysunkach poniżej zaznaczono,w śodku układu, wektoy natężenia pola elektycznego od poszczególnych ładunków. W sytuacji pokazanej na ysunku a) wypadkowe natężenie pola elektycznego jest ówne zeu. Natomiast dla pzypadku b) suma (wektoowa) natężeń pól pochodzących od poszczególnych ładunków wynosi E wyp Q k Wyażenie w nawiasie pzedstawia watość natężenia pola pojedynczego ładunku. 69

39 Moduł VI - Rozwiązania ćwiczeń Ćwiczenie 19.1 Dane: Pomień jąda m, liczba potonów n 9, pomień obity elektonu R m, ładunek elementany e C, stała k Potencjał na powiezchni jąda miedzi obliczamy ze wzou na potencjał pola ładunku punktowego V ( ) Q k R gdzie Q ne jest ładunkiem jąda miedzi. Podstawiając dane otzymujemy V(R) V. Natomiast enegię potencjalną elektonu w polu jąda miedzi obliczamy kozystając z zależności (19.4) E p ( R) eq k R Podstawiając dane otzymujemy E p (R) J.8 ev. Ćwiczenie 19. Dane:, Q, k Potencjał w dowolnym punkcie obliczamy jako sumę potencjałów od poszczególnych Q ładunków punktowych, kozystając ze wzou (19.6) V ( ) k. Otzymujemy kolejno: Q ( Q) V A V+ + V k + k l l + + 7

40 Moduł VI - Rozwiązania ćwiczeń l p k l Ql k l Q k l Q k V V V B ) ( ) ( C V B V Ćwiczenie.1 Dane: S 1 cm 1 4 m, d 1 mm 1 - m, ε C /(Nm ). Pojemność kondensatoa płaskiego jest dana wyażeniem (.) d S V Q C ε Δ. Podstawiając dane otzymujemy C F.885 pf. Ćwiczenie. Na ysunku pokazane są układy kondensatoów połączonych ównolegle i szeegowo. Dla połączenia ównoległego óżnica potencjałów między okładkami wszystkich kondensatoów jest taka sama (połączone okładki stanowią jeden pzewodnik) 1 1 C C C V Δ Stąd całkowita pojemność układu ( ) C C C V V C C C V V Q C + + Δ Δ + + Δ + + Δ Pzy połączeniu szeegowym ładunek wpowadzony na okładki zewnętzne wywołuje ównomieny ozkład (ozdzielenie) ładunku pomiędzy okładkami wewnętznymi 1 1 C V C V C V Δ Δ Δ Stąd całkowita pojemność układu (jej odwotność) C C C C C C V V V V C Δ +Δ Δ Δ Powyższe wyniki można łatwo uogólnić na pzypadek większej liczby kondensatoów.

41 Moduł VI - Rozwiązania ćwiczeń Ćwiczenie. Zgodnie z ównaniem (19.7) związek między óżnicą potencjału (napięciem) a natężeniem pola w kondensatoze (pole jednoodne) jest dany wyażeniem Δ V gdzie d jest odległością między okładkami kondensatoa. Ponieważ wpowadzenie dielektyka między okładki kondensatoa zmniejsza pole elektyczne ε azy więc óżnica potencjałów też maleje ε azy. Enegia zgomadzona w naładowanym kondensatoze jest dana ównaniem (.5) i wynosi W Ed 1 Q C gdzie Q jest ładunkiem swobodnym na okładkach kondensatoa. Ponieważ wpowadzenie dielektyka między okładki kondensatoa zwiększa jego pojemność ε azy, a ładunek swobodny na okładkach kondensatoa nie zmienia się (kondensato został naładowany i następnie odłączony od źódła bateii) więc enegia kondensatoa maleje. 7

42 Moduł VI - Test kontolny Test VI 1. Dwie identyczne kulki o masie m 1 mg każda są zawieszone na izolowanych niciach o długości 5 cm. Gdy kulki naładujemy identycznymi ładunkami, a nitki zaczepimy w tym samym punkcie, to kulki w wyniku odpychania oddalą się na odległość 5 cm. Oblicz ładunek elektyczny kulek.. Dwa identyczne ładunki znajdują się w odległości d od siebie. W któym punkcie na symetalnej odcinka d natężenie wypadkowego pola elektycznego osiąga watość maksymalną?. W obsza pola elektycznego (patz ysunek poniżej) wpada pod kątem θ 45 elekton pouszający się z pędkością m/s. Natężenie pola E 1 N/C i jest skieowane do góy. Odległość między płytkami d cm, a ich długość l 1 cm. Czy elekton udezy w któąś z płytek? Jeżeli tak, to w któym miejscu? 4. Wyznacz natężenie pola elektycznego w odległości 1 cm od nieskończenie długiego pęta naładowanego z liniową gęstością λ 5 C/m. 5. Długi pzewodzący walec, na któym umieszczono ładunek +, otoczony jest, jak pokazano na ysunku poniżej pzez pzewodzącą, cylindyczną powłokę o ładunku -. Zastosuj pawo Gaussa dla znalezienia: (a) natężenia pola elektycznego w punktach na zewnątz powłoki, (b) natężenia pola elektycznego w obszaze między walcem a powłoką. 6. Wyznacz watość natężenia pola elektycznego E w funkcji odległości od śodka wydążonej kuli o pomieniu wewnętznym R 1 i pomieniu zewnętznym R wykonanej z dielektyka (ysunek poniżej). Kula jest naładowana jednoodnie ładunkiem Q. Naysuj wykes E(). 7

43 Moduł VI - Test kontolny 7..Mała kulka, o masie m 1 mg i ładunku 1 8 C wisi na jedwabnej nitce, któa twozy kąt z dużą, naładowaną, niepzewodzącą płytą, jak pokazano na ysunku poniżej. Oblicz powiezchniową gęstość ładunku σ płyty. 8. Między okładki kondensatoa naładowanego do napięcia 5 V wpowadzono dielektyk o pzenikalności ε. Jaki ładunek został wyindukowany na cm powiezchni dielektyka, jeżeli odległość między okładkami kondensatoa wynosi mm? 9. Wastwa dielektyczna o pzenikalności ε i gubości x została umieszczona pomiędzy odległymi o d (d > x) okładkami kondensatoa płaskiego (ysunek). Jak zmieniła się pojemność kondensatoa? 74