Ruch pod wpływem sił zachowawczych

Transkrypt

1 Ruch pod wpływem sił zachowawczych Fizyka I (B+C) Wykład XV: Energia potencjalna Siły centralne Ruch w polu grawitacyjnym Pole odpychajace

2 Energia potencjalna Równania ruchu Znajomość energii potencjalnej jest rownoważna znajomości siły (zachowawczej): F = E p Czy znajac E p ( r) możemy rozwiazać równania ruchu ciała? Możemy wyznaczyć zależność F ( r) i skorzystać z II zasady dynamiki... albo Możemy wykorzystać zasadę zachowania energii: E = E k ( r) + E p ( r) = const W zależności od zagadnienia jeden albo drugi sposób może być bardziej użyteczny... A.F.Żarnecki Wykład XV 1

3 Ruch prostoliniowy Energia potencjalna Dla ruchu prostoliniowego pod działaniem siły zachowawczej F (x), energia potencjalna E p = E p (x) ( ) dx 2 + E p (x) = const E = m 2 dt dx 2 = dt m (E E p(x)) Rozdzielajac zmienne i całkujac otrzymujemy: dt = dx 2m (E E p (x)) t = x dx 2m ( x E Ep (x ) ) Znajac E p (x) możemy zawsze znaleźć zwiazek między x i t. A.F.Żarnecki Wykład XV 2

4 Energia potencjalna Ruch prostoliniowy Przykład: F = F i x = const E p (x) = F x F x = de p dx Przyjmujac, że x = 0 w chwili t = 0 mamy: 2 m t = 2 F [ E + F x ] x 0 t = m 2 x 0 dx E + F x = 2 2 E + F x E F F F 2m t + E = E + F x x = 1 2 ( F m ) t 2 + 2E m t 1 2 a t2 + v t v - predkość w chwili t = 0 energia całkowita E = mv2 2 > 0 A.F.Żarnecki Wykład XV 3

5 Siła centralna Rozważmy ruch punktu materialnego o masie m w polu centralnej siły zachowawczej F = F (r) i r zasada zachowania energii: E = mv2 2 + E p (r) = const zasada zachowania momentu pędu: L = m r v = const Zachowanie momentu pędu ruch płaski v = i r dr dt + i θ r dθ dt v 2 = ( ) dr 2 + r 2 ω 2 dt Wstawiajac do wyrażenia na energię kinetyczna L = m r 2 ω E = E k + E p = m 2 ( dr ) 2 + L2 dt 2 m r 2 + E p(r) = m 2 ( dr dt ) 2 + Ep eff (r) równanie różniczkowe dla składowej radialnej problem jednowymiarowy A.F.Żarnecki Wykład XV 4

6 Siła centralna Energia efektywna Efektywna energia potencjalna w polu siły centralnej: E eff p (r) = L 2 2 m r 2 + E p(r) Jeśli L 0 to zasada zachowania momentu pędu przeciwstawia się zbliżeniu ciała do źródła siły (r = 0). bariera centryfugalna energia dośrodkowa siła odśrodkowa F o = d dr ( L 2 2 m r 2 ) = L2 m r 3 = m r ( dθ dt ) 2 A.F.Żarnecki Wykład XV 5

7 Siła centralna Ruch radialny Jednowymiarowe zagadnienie ruchu radialnego: dr = dt t = 2 r m ( E E eff p (r)) dr ( r 2 eff E E p (r ) ) Ep eff m (r) = L2 2 m r 2 + E p(r) Ruch może się odbywać tylko w obszarze E E eff p (r) 0 dla L 0 istnieje ograniczenie na odległość najmiejszego zbliżenia: r r min teoretycznie można wymyśleć siłę centralna silniejsza od siły odśrodkowej jeśli E < Ep eff ( ) to ciało nie może dowolnie oddalić się od centrum siły: r r max ruch w ograniczonym obszarze A.F.Żarnecki Wykład XV 6

8 Ruch katowy Siła centralna Zachowany moment pędu: L = m r 2 ω ω = dθ dt θ θ = = L m r 2 t 0 L m r 2 dt Możemy wyprowadzić równanie na tor ciała porównujac zależności od czasu: dt = 2 m dr ( eff E E p (r) ) = θ θ = m r 2 L dθ m r 2 2 m L dr ( eff E E p (r) ) równanie toru we współrzędnych biegunowych A.F.Żarnecki Wykład XV 7

9 Ruch katowy Siła centralna Zmiana kata biegunowego przy przejściu ciała od r min do r max θ = r max r min m r 2 2 m L dr ( eff E E p (r) ) Tor będzie krzywa zamknięta, jeśli θ = 2π m n m, n - liczby całkowite Warunek ten spełniony jest tylko dla dwóch pól: (niezależnie od warunków poczatkowych) E p (r) 1 r - siła grawitacyjna, siła kulombowska E p (r) r 2 - siły sprężystości A.F.Żarnecki Wykład XV 8

10 Ruch w polu grawitacyjnym energia efektywna Pole grawitacyjne Ogólne wyrażenie na energię potencjalna: E p (r) = k r k > 0 siła przyciagaj aca wybieramy E p ( ) = 0 Charakter ruch zależy od energii całkowitej: E 1 > 0 - tor otwarty E 2 < 0 - tor zamknięty E 3 = E min - ruch po okręgu A.F.Żarnecki Wykład XV 9

11 Ruch w polu grawitacyjnym Model A.F.Żarnecki Wykład XV 10

12 Ruch w polu grawitacyjnym Równanie toru Rozwiazujemy: θ θ = = m r 2 2 m d ( 1 r ) 2mE L 2 L dr ( eff E E p (r) ) = + 2mk L 2 ( 1r ) ( 1r ) 2 = 2m L 2 Gdzie wprowadziliśmy parametry: p = mk L2 oraz ε = 1 + 2EL2 mk 2 Otrzymaliśmy całkę postaci: dr r 2 ( E + k r ) d ( 1 r 1 p ε 2 p 2 ( 1 r 1 p ) L2 2mr 2 dx = arccos(x) = r = p 1 x ε cos(θ θ ) ) 2 A.F.Żarnecki Wykład XV 11

13 Ruch w polu grawitacyjnym Równanie toru Otrzymaliśmy równanie krzywej stożkowej (we współrzędnych biegunowych) r(θ) = ε - mimośród orbity ε = 1 + 2EL2 mk 2 p 1 + ε cos(θ θ ) p = L2 mk ε = r AB ε = 0 - ruch po okręgu o promieniu p ε < 1 - ruch po elipsie E < 0 ε = 1 - ruch po paraboli E = 0 ε > 1 - ruch po hiperboli E > 0 Osie elipsy: 2a = 2p 1 ε 2 = k 2 E - zależy tylko od energii 2b = 2p 1 ε 2 = L 2m E - zależy także od momentu pędu A.F.Żarnecki Wykład XV 12

14 Ruch w polu grawitacyjnym Ruch po okręgu Przypadek szczególny: ε = 0 E = E min = m k2 2 L 2 minimalna energia całkowita przy ustalonym L W przypadku L = 0 mamy ruch po odcinku o długości 2a = k 2 E ; b = 0 A.F.Żarnecki Wykład XV 13

15 Ruch w polu grawitacyjnym Ruch po elipsie Warunek: E min < E < 0 Ruch ograniczony do: r min < r < r max Ep eff (r min ) = Ep eff (r max ) = E Źródło siły znajduje się w jednym z ognisk elipsy. Długa półoś zależy wyłacznie od energii; spłaszczenie zależy od momentu pędu A.F.Żarnecki Wykład XV 14

16 Ruch w polu grawitacyjnym Prawa Keplera I. Każda planeta kraży po elipsie ze Słońcem w jednym z jej ognisk II. Promień wodzacy każdej planety zakreśla równe pola w równych czasach III. Kwadrat okresu obiegu każdej planety wokół Słońca jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej elipsy Okres obiegu możemy wyznaczyć z prędkości polowej Podnoszac do kwadratu T = S ( ds ) = π a b L dt 2m = πk ds dt = L 2m, 2a = m 2 E 3 k 2 E, 2b = L 2m E T 2 = π2 k 2 m 2 E 3 = 4π2 m k a 3 A.F.Żarnecki Wykład XV 15

17 Ruch w polu grawitacyjnym Ruch po paraboli Przypadek szczególny: E = 0 Ruch jest nieskończony, ciało nie jest zwiazane przez centrum siły. Jednak oddalajac sie do nieskończoności ciało będzie poruszać się coraz wolniej. Asymptotycznie zatrzyma się. A.F.Żarnecki Wykład XV 16

18 Ruch w polu grawitacyjnym Ruch po hiperboli Dla E > 0 Ruch jest nieskończony. Asymptpotycznie prędkość ciała daży do v = 2E m > 0 orbity komet nieperiodycznych Im mniejsze L tym mniejsza odległość zbliżenia r min A.F.Żarnecki Wykład XV 17

19 Ruch w polu grawitacyjnym Rodzaje orbit Kształt orbity zależy od energii całkowitej E i momentu pędu ciała L ε = 1 + 2EL2 mk 2 E = 0 E < 0 E > 0 Orbity o tej samej wartości L, lecz o różnych wartościach E A.F.Żarnecki Wykład XV 18

20 Ruch w polu sił Potencjał odpychajacy E p (r) = + k r k > 0 A.F.Żarnecki Wykład XV 19

21 Ruch w polu sił Potencjał odpychajac Uzyskane rozwiazanie pozostaje słuszne, z dokładnościa do zmiany znaku k zmiana znaku p r(θ) = p ε cos(θ θ ) 1 Jak porzednio ε = 1 + 2EL2 mk 2 Teraz jednak zawsze E > 0 Im większe ε, tym większy kat rozwarcia hiperboli A.F.Żarnecki Wykład XV 20