Funkcje. Granica i ciągłość.
|
|
- Stanisław Bielecki
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Ćwiczenia : zad Kolokwium nr 9, : materiał z zad Ćwiczenia : zad Kolokwium nr 10, : materiał z zad Konw. 10, : zad Funkcje. Granica i ciągłość. Uwaga: Zapis sgn(x) oznacza znak liczby x : sgn(x) = 1 dla x > 0 sgn(x) = 0 dla x = 0 sgn(x) = 1 dla x < 0 Uwaga: Zapis {x} oznacza część ułamkową liczby x. {x} = x [x], gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x. Naszkicować wykres funkcji f danej wzorem 344. sgn(sinx) 345. {x} ({x}) 0 dla x < 0 x dla 0 x < f(x) = x +4x dla 1 x < 3 4 x dla x 3 { x dla x 347. f(x) = 348. x sgn(x) dla x = x 1 {x} 350. sgn(x 3 x) 351. x 3 sgn(x) 35. [ ] x+ 1 x 353. f(x) = x 1 x f(x) = x 8x f(x) = x +x+ x x 356. f(x) = {cosx} 357. f(x) = [ 4 arctgx] 358. f(x) = {sinx} {sinx} π 359. f(x) = [x]+x 360. f(x) = {x}+x 361. f(x) = [ ] x 1 Obliczyć następujące granice: ( ) lim x 7 x limxsin lime 1/x x 6x 7 x 0 x x 0 3 x x 3 x 6x lim 366. lim 367. lim x 8 x 8 x 3 x+ x 5 x 5 ( lim x 1 1 x 3 ) x x lim 370. lim 1 x 3 x 1 x 10 1 x 1/ 6x 5x+1 x 3 +3x +x x x (x 1) x 371. lim 37. lim 373. lim x x x 6 x 0 x x 1 x 1 x x 374. lim x + x+ x x 375. lim 376. lim 377. lim x x + x +1 x x +1 1/x +1 1/x +1 1/x lim 379. lim 380. lim x 0+ 1/x 1 x 0 1/x 1 x + 1/x Dla których wartości parametrów a, b funkcja f określona wzorem ax+b dla x < 1 f(x) = x dla 1 x < ax b dla x x 0+ lnx 1+lnx Lista Strony 4-61
2 jest ciągła? Naszkicować wykres funkcji f dla każdej pary parametrów (a,b), dla których funkcja f jest ciągła. 38. Dla których wartości parametrów a, b funkcja f określona wzorem x dla x < 1 f(x) = x +ax+b dla 1 x < x+3 dla x jest ciągła? Naszkicować wykres funkcji f dla każdej pary parametrów (a,b), dla których funkcja f jest ciągła. Do podanych f, x 0 i ε dobrać takie δ, aby x (x 0 δ,x 0 +δ) f(x) f(x 0 ) < ε 383. f(x) = x, x 0 = 5, ε = 1/ f(x) = 1/x, x 0 = 4, ε = 1/ f(x) = x, x 0 = 1, ε = 1/ f(x) = x 3, x 0 = 0, ε = 1/ f(x) = x, x 0 = 30, ε = 1/ f(x) = x 4, x 0 = 10, ε = Oszustwo 389. (przykład funkcji nieciągłej): Funkcja f(x) = x jest nieciągła. Dowód: Przeprowadzimy dowód nie wprost. Zakładając, że funkcja f jest ciągła, weźmy w definicji Cauchy ego ciągłości ε = 1. Wtedy istnieje takie δ > 0, że dla y spełniających nierówność y x < δ zachodzi x y < 1. Jednak ta ostatnia nierówność nie zawsze jest prawdziwa, gdyż dla x > 1 δ i y = x+ δ otrzymujemy x y = xδ + δ 4 > 1. Oszustwo 390. (przykład funkcji ciągłej): Funkcja { sin 1 f(x) = dla x 0 x 0 dla x = 0 jest ciągła. Dowód: Oczywiście f jest ciągła w każdym punkcie oprócz 0, pozostaje więc wykazać ciągłość w 0. Przeprowadzimy dowód niewprost. Zakładając, że f jest nieciągła w 0, weźmy ε = 1. Wtedy istnieje takie δ > 0, że dla x spełniających nierówność x < δ zachodzi f(x) 0 1. Ale biorąc x = 1, gdzie n > 1, otrzymujemy f(x) = 0 i x < δ. Zatem πn πδ f(x) 0 = 0 < 1, skąd sprzeczność. Wskazać taką liczbę M, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność 391. f(x) = x4 +13x +7 5x 4 +x f(x) = x f(x) M. 39. f(x) = 5x4 +x + x 4 +13x f(x) = x1000 x 393. f(x) = e sinx x 4 +3 Oszustwo 396. Niech f,g : [0,1] R będą takimi funkcjami ciągłymi, że f(0) = 5, f(1) = 7, g(0) = 8, g(1) = 4. Wtedy istnieje takie c (0,1), że f(c) = g(c). Lista Strony 4-61
3 Dowód: Z własności Darboux funkcji ciągłych zastosowanej do funkcji f wynika, że dla pewnego c (0,1) mamy f(c) = 6. Podobnie, stosując własność Darboux do funkcji g otrzymujemy g(c) = 6. A zatem f(c) = g(c), co należało dowieść. Wskazać błąd w powyższym rozumowaniu i podać poprawny dowód Dowieść, że równanie x = (1,000001) x ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste. Wskazać konkretny (być może niepotrzebnie duży) przedział, w którym znajduje się rozwiązanie Dla których liczb n {, 4, 10, 0, 50, 100, 00, 500, 1000, 10 5, 10 10, 10 30, , } wykres funkcji f(x) = x przecina wykres funkcji g(x) = x n +4, jeżeli za jednostkę na osiach przyjmiemy 1 cm. Przyjąć promień wszechświata równy 10 8 cm. Punkty przecięcia wykresów leżące w innych wszechświatach nas nie interesują. Jak zmieni się odpowiedź, gdy wykonamy rysunek biorąc za jednostkę na osiach średnicę atomu (10 8 cm) lub średnicę jądra atomowego (10 13 cm)? 399. Dowieść, że równanie x = 5π cosx ma co najmniej 10 rozwiązań rzeczywistych Dowieść, że równanie x = 5π cos ( x 3) ma więcej niż 1000 rozwiązań rzeczywistych. Wyznaczyć asymptoty funkcji f określonej wzorem 401. f(x) = x +x+1+ x 404. f(x) = log 4 ( x +8 x ) 40. f(x) = 3 x 3 +x 403. f(x) = x3 +1 x +5x+4 + x Do podanych f, x 0 i ε dobrać takie k N (dowolne, nie musi być najmniejsze), aby przy δ = 10 k spełniony był warunek x (x 0 δ,x 0 +δ) f(x) f(x 0 ) < ε 405. f(x) = x 10, x 0 =, ε = 1/ f(x) = x 100, x 0 = 5, ε = f(x) = x 1000, x 0 = 10, ε = (tak, do plus setnej) 408. f(x) = x 1/10, x 0 = 1111, ε = 10 5 Twierdzenie o trzech funkcjach: Jeżeli funkcje f, g, h są określone w otoczeniu punktu x 0 [,+ ] (mogą nie być określone w samym x 0 ), a przy tym f(x) g(x) h(x) Lista Strony 4-61
4 dla x bliskich x 0, to z istnienia i równości granic funkcji f oraz h w punkcie x 0 wynika lim g(x) = lim x x 0 x x0 f(x) = x x0 lim h(x). To samo stosuje się do granic jednostronnych. Obliczyć granice sin(x 1000 ) 409. lim x + x Korzystając ze zbieżności obliczyć ( 411. lim 1+ 1 ) x +x x + x 413. lim x + ( 416. lim 417. lim x + x x limx { 1/x 1000} (uwaga: część ułamkowa) x lim (x+1) x 414. lim x + ( lim 1+ 1 x = e x + x) x + ( 1+ 1 x ( 1+ 1 ) 7x +5x+1 x ) x 415. lim x x f(x), gdzie lim x + x) f(x) = x + (1+ 1 ) (x+1) x 418. lim (1+ 1 ) (x+1) x+1 x x x + x x Dla podanej funkcji f wyprowadzić oszacowanie postaci f(x) f(x 0 ) < C δ ( 1+ 1 x ) x prawdziwe dla dowolnego δ > 0 oraz dowolnych x, x 0 D f spełniających warunek x x 0 < δ f(x) = x, D f = [1,+ ) 40. f(x) = x +1, D f = R 41. f(x) = 1 x +1, D f = R 4. f(x) = x 3, D f = [ 10,5] 43. Wskazać odpowiednie liczby wymierne dodatnie C oraz δ, a następnie udowodnić, że x (7 δ, 7+δ) 3 x C < Wskazać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C, a następnie udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność gdzie f(x) = x f(x) f(y) C x y, Lista Strony 4-61
5 Ćwiczenia : zad Konw : zad Kolokwium nr 11, : materiał z zad Zadania powtórzeniowe. 45. W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru. Kres może być{ liczbą rzeczywistą lub może być} równy albo +. 5m n A = : m,n N = {1,,3,...} { mn } m 45.. B = n+7 : m,n N C = { x : x (,1) } D = { x 3 : x (,1) } E = { 3x +y 3 : x,y (,1) } 46. W każdym z zadań udziel czterech niezależnych odpowiedzi TAK/NIE O zdaniu T (n) wiadomo, że prawdziwe jest T (1), a ponadto dla każdej liczby naturalnej n zachodzi implikacja T (n) T (n+). Czy stąd wynika, że prawdziwa jest implikacja a) T (008) T (3009) b) T (008) T (3010) c) T (009) T (3010) d) T (009) T (3011) 46. Szereg liczbowy o wyrazach rzeczywistych a n jest zbieżny. Czy stąd wynika, że zbieżny jest szereg a) a n b) c) 008a n d) an (a n +1) 46.3 Szereg liczbowy o wyrazach rzeczywistych a n jest zbieżny. Czy stąd wynika, że rozbieżny jest szereg a) a n b) c) 008a n d) an (a n +1) 46.4 Czy funkcja { ax f(x) = 3 +bx +cx+d dla x 0 ex 3 +fx +gx+h dla x > 0 jest ciągła, jeżeli a) a = 3, b = 4, c = 5, d = 6, e = 7, f = 8, g = 9, h = 30 b) a = 5, b = 16, c = 9, d = 4, e = 1, f = 0, g = 1, h = 4 c) a =, b = 3, c = 5, d = 7, e = 11, f = 13, g = 17, h = 19 d) a = 009, b = 010, c = 011, d = 008, e = 009, f = 010, g = 007, h = 008 Lista Strony 4-61
6 47. Dowieść, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność ( ) n+5 < 3 5 n. n 48. Obliczyć granicę ( n k +1 lim n n nk + n nk +3 n nk +4 n nk +5 n nk +n ) n 9 +n 4 dla tak dobranej wartości rzeczywistej dodatniej parametru k, aby powyższa granica była dodatnia i skończona. 49. Wyznaczyć asymptoty funkcji f danej wzorem 430. Dane są takie ciągi (a n ) i (b n ), że ε>0 f(x) = x +x+1. a n < ε oraz b n +5 < ε. n 6/ε ε>0 n 10/ε Niech c n = a n +b n. Wskazać odpowiednią liczbę rzeczywistą r oraz liczbę naturalną P i udowodnić, że c n +r < ε. ε>0 n P/ε 431. W każdym z zadań udziel czterech niezależnych odpowiedzi TAK/NIE Czy zbieżny jest szereg 1 a) 1 c) 1+n b) d) 1 1+ n 1 1+n n 431. Czy zbieżny jest szereg ( 1) n a) ( 1) n c) 1+n ( 1) n b) 1+ n ( 1) n d) 1+n n Czy ciąg (a n ) określony wzorem a n = nk +1 n nk + n nk +3 n nk +4 n nk +5 n nk +n n 7 +n jest zbieżny dla a) k = 5 b) k = 6 c) k = 7 d) k = 8 Lista Strony 4-61
7 431.4 O zdaniu T (n) wiadomo, że prawdziwe jest T (1), a ponadto dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest implikacja T (n+) T (n). Czy stąd wynika, że fałszywa jest implikacja a) T (008) T (3009) b) T (008) T (3010) c) T (009) T (3010) d) T (3009) T (011) 43. W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru. Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być równy albo A = { n +n n : n N = {1,,3,...} } 43.. B = { } n +n+1 n : n N C = { log x : x (1,8]} D = { log x : x (1,16]} E = { log x : x (1,3]} 433. Dobrać odpowiednią liczbę rzeczywistą dodatnią M i dowieść, że dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej x zachodzi nierówność M 14x009 +x M. 11x 009 +x Obliczyć granicę (n!) 009 lim. n n! 435. Naszkicować wykres funkcji f określonej wzorem x dla x < a f(x) = x dla a x b x dla x > b dla każdej pary parametrów a < b, dla której funkcja f jest ciągła Obliczyć granicę w zależności od parametru naturalnego n. ( lim x n +x n +x n) x Lista Strony 4-61
8 437. Wyznaczyć wszystkie pary parametrów rzeczywistych (a, b), dla których funkcja f określona wzorem { x f(x) = +4x dla x (, 1) (, + ) ax +b dla x [ 1, ] jest ciągła Dobrać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią δ i udowodnić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x (8 δ, 8+δ) zachodzi nierówność 3 x < Dana jest funkcja f : R R określona wzorem f(x) = log ( x +1). a) Wyznaczyć asymptoty funkcji f. b) Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność f(x) f(y) x y Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = x Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y [1,10] zachodzi nierówność f(x) f(y) 010 x y Naszkicować wykres funkcji f określonej wzorem 3 dla x < a x f(x) = 4 dla a x < b 3 dla b x < c x 4 dla x c dla każdej trójki parametrów a < b < c, dla której funkcja f jest ciągła. 44. Obliczyć granicę (( ( log x +1 )) ( ( log 4 x 6 +1 )) + ( ( log 8 x 3 +1 ))). lim x 443. Obliczyć sumę szeregu 1 n 4. n=3 Lista Strony 4-61
9 444. W każdym z 4 poniższych zadań udziel 4 niezależnych odpowiedzi TAK/NIE Czy funkcja jest ciągła, jeżeli { a f(x) = x dla x < 0 bx +cx+d dla x 0 a) a = 4, b = 3, c =, d = 1... b) a = 5, b = 4, c = 3, d =... c) a = 9, b = 5, c = 3, d = 1... d) a = 7, b =, c =, d = Czy funkcja jest ciągła, jeżeli { a f(x) = x dla x < 1 bx +cx+d dla x 1 a) a = 4, b = 3, c =, d = 1... b) a = 5, b = 4, c = 3, d =... c) a = 9, b = 5, c = 3, d = 1... d) a = 7, b =, c =, d = Czy podany szereg jest zbieżny n a) n+1... b) n n c)... d) n n n Czy podany szereg jest zbieżny a) n ( 1) n n+1... b) n ( 1) n n+1... c) ( 1) n n... d) ( 1) n n n... Lista Strony 4-61
10 Ćwiczenia : zad Kolokwium nr 1, : materiał z zad Ćwiczenia : zad Kolokwium nr 13, : materiał z zad Szeregi potęgowe. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego 10 n x n n x n n +n n n!x n 454. x n 447. n 10 n n+5 x 3n+7 n 6 n 451. (54n+1) n x 3n (81n+) n n x n+5 x n 448. n(n+1) (n)!x n 45. (n!) 3 Obliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego ( ) n! 4n 457. n n xn x n 459. n!x n 460. n n!(3n)! 461. (n)!(n)! xn 46. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego 8 n n 8 n x3n. Konwersatorium 14, Obliczyć sumy szeregów potęgowych 463. x n x n nx n n ( ) 3n 10 n x n3 n x n 456. n ( ) n+10 x n n n+7 x 6n n 466. Podać przykład szeregu potęgowego o promieniu zbieżności i sumie równej 7 dla x = Podać przykład dwóch szeregów potęgowych o promieniach zbieżności 1, których suma jest szeregiem potęgowym o promieniu zbieżności Podać przykład takiego szeregu zbieżnego a n o sumie 100 i wyrazach dodatnich, że a n = n dla n Podać przykład takiego szeregu a n rozbieżnego do, że a n = n dla nieskończenie wielu n Podać przykład takiego szeregu rozbieżnego i jest mniejsza od 1. a a n, że granica n lim n+1 a n istnieje Lista Strony 4-61
11 471. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego wielu n. a n, że a n+1 a n = dla nieskończenie Uzupełnienie: liczby zespolone, zespolone szeregi liczbowe i potęgowe. 47. Sprawdzić, że a +b a+bi = ± +a a +b +isgn(b) a, jeśli b 0. Rozwiązać równania i układy równań z = z 474. z = z i = z i = z i = z 478. z +z = i 479. z +iz = z = z z z = 8i 48. z 4 +10z +61 = 0 { z { = z z z z = 1 = z 1 z 1 +z = 1 { { z1 +iz 485. = 1 z1 +z 486. = 1 z +iz 1 = z 1 +z = i 487. z 5 = 1 (Wsk. z 4 +z 3 +z +z +1 = (z +az ±1)(z +bz ±1) ) Rozwiązać równania i nierówności. Zaznaczyć zbiór rozwiązań na płaszczyźnie zespolonej Rez +Rez z z z = z z +i z i 49. Im z +1 = Rez = 0 z +1 z 494. W trójkącie prostokątnym P QD kąt przy wierzchołku P jest prosty, a przy tym P Q = 1 i P D = 4. Ponadto punkt C jest środkiem odcinka P D, punkt A jest środkiem odcinka P C, punkt B jest środkiem odcinka AC. Punkt E leży na prostej P D, przy czym <) P QA+<) P QB +<) P QC = <) P QD +<) P QE. Obliczyć P E. Wykład. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach zespolonych Warunek konieczny zbieżności Jeżeli z n nie dąży do 0, to szereg z n jest rozbieżny. Jeżeli Zbieżność bezwzględna z n <, to szereg z n jest zbieżny. Kryterium d Alemberta Lista Strony 4-61
12 Jeżeli lim z n+1 n z n < 1, to szereg z n jest zbieżny. z Jeżeli lim n+1 n z n > 1, to szereg z n jest rozbieżny, a co więcej lim z n = +. n Kryterium Cauchy ego n Jeżeli lim z n < 1, to szereg z n jest zbieżny. n n Jeżeli lim z n > 1, to szereg z n jest rozbieżny, a co więcej n lim z n = +. n Uogólnienie kryterium o szeregach naprzemiennych Jeżeli ciąg (a n ) jest zbieżnym do zera nierosnącym ciągiem liczb rzeczywistych dodatnich, to dla dowolnej takiej liczby zespolonej z, że z = 1 oraz z 1, szereg a n z n jest zbieżny. Powyższe jest prawdą także dla z < 1, ale wówczas na ogół stosujemy inne kryteria. Inne kryteria Jeżeli szeregi z n i y n są zbieżne, to szeregi (z n ±y n ) są zbieżne i wówczas (z n ±y n ) = z n ± y n. Jeżeli szereg z n jest zbieżny, a szereg y n jest rozbieżny, to szeregi są rozbieżne. (z n ±y n ) Dla dowolnej liczby zespolonej c 0 szereg cz n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg z n. Jeśli oba szeregi są zbieżne, to cz n = c z n. Zbieżność szeregu nie zależy od zmiany lub pominięcia skończenie wielu początkowych wyrazów. Szereg z n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są jednocześnie szeregi Rez n oraz Imz n. Jeśli podane szeregi są zbieżne, to z n = Rez n +i Imz n. Obszar zbieżności szeregu potęgowego jest kołem o środku w zerze i promieniu R [0,+ ], zwanym promieniem zbieżności szeregu. Przy R = 0 koło zbieżności degeneruje się do punktu 0, przy R = + obszarem zbieżności jest cała płaszczyzna zespolona. Lista Strony 4-61
13 Na okręgu będącym brzegiem koła zbieżności szereg potęgowy może być zbieżny w częsci punktów, a w części rozbieżny. Zbadać zbieżność szeregów: 1 n n +in+1 n 3 +i 497. n n +i 498. n+i n +i Wyznaczyć obszary zbieżności zespolonych szeregów potęgowych: 499. n z n 8z n nz n n z 6n 50. n!z n 503. n EGZAMIN: Czwartek 31 stycznia 013 r. godz. 8:30-11:30, s. HS, WS. EGZAMIN POPRAWKOWY: Środa 13 lutego 013 r. godz. 8:30-11:30, s. HS. Zadania powtórzeniowe. Ćwiczenia Konwersatorium, W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru. { } A = 7n 30 : n N N = {1,,3,4,5,...} { } B = (7n 30) : n N { } C = (7n 30) : n 3 N { } D = 7m (7n 30) : m,n N E = { (log (n +1)) log 3 (n } +4) (log 8 (n +4)) log 9 (n +1) : n N Lista Strony 4-61
14 505. W każdym z poniższych 9 pytań w miejscu kropek postaw jedną z liter Z, R, N: Z - jest Zbieżny (tzn. musi być zbieżny) R - jest Rozbieżny (tzn. musi być rozbieżny) N - może być zbieżny lub rozbieżny (tzn. Nie wiadomo, czasem jest zbieżny, a czasem rozbieżny) Wiadomo, że szereg a n jest zbieżny. Co można wywnioskować o zbieżności szeregu a) a n... b) ( 1) n a n... ( ) c) (a n+1 a n )... d) a n+1 a n... e) a n 1... f) (a n +( 1) n )... ( g) an... h) log 3 a n + )... i) a n Na każde z 8 pytań udziel odpowiedzi TAK lub NIE. Czy funkcja f określona wzorem x 5 dla x < a f(x) = 4 dla a x < b x 5 dla b x jest ciągła, jeżeli j) a = 7, b = 5... k) a = 7, b = 3... l) a = 5, b = 3... m) a = 5, b = 1... n) a = 3, b = 1... o) a = 3, b = 1... p) a = 1, b = 1... q) a = 1, b = Na każde z 15 pytań udziel odpowiedzi TAK lub NIE. Ciąg (a n ) jest zbieżny i jego granica jest równa 7. Czy stąd wynika, że a) n a n > 0... b) N n N a n > 0... c) N n N a n > 0... d) n a n < 7... e) n a n < 7... f) a n < 7... N n N g) a n < 7... N n N h) x a n > x... n i) x n a n < x... Lista Strony 4-61
15 j) N n N a n 7 < k) N n N a n 7 < l) N n N a n 7 < 1 n... m) N n N a n 7 < 1 n... n) N n N a n+1 a n < o) a n+1 a n < 1 N n N Uwaga: Zmienne n, N przebiegają liczby naturalne, a zmienna x liczby rzeczywiste W każdym podpunkcie podaj przykład podzbioru lub podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych o podanych własnościach. a) inf A = 4, supa = 4, inf{a : a A} = 4 b) supb =, supc = 3, sup(b C) = 1 c) inf D = 10, inf E = 10, inf(d E) = 17 d) inf F = inf G =, supf = supg = 5, zbiory F,G są rozłączne e) 0 < suph = sup{h : h H} < Rozstrzygnąć zbieżność szeregu (n+1) ( 1) n n Wyznaczyć promień zbieżności zespolonego szeregu potęgowego z n (n!) n n n Dobrać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C i udowodnić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej x zachodzą nierówności C 3x x+5 4C. 7x x Obliczyć granicę lim n ( n n + n+1 n +1 + n+ n + + n+3 n +3 + n+4 n+n n +4 n +n 513. W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru. Niech { x f n (x) = 3 dla x < x n dla x Lista Strony 4-61 ).
16 A = {f (x) : x ( 1, 4]} B = {f 3 (x) : x ( 1, 4]} C = {f 4 (x) : x ( 1, 4]} D = {f 5 (x) : x ( 1, 4]} E = {f 6 (x) : x ( 1, 4]} 514. Przy każdym z poniższych 9 zdań w miejscu kropek postaw jedną z liter P, F, N: P - jest Prawdą (tzn. musi być prawdziwe) F - jest Fałszem (tzn. musi być fałszywe) N - może być prawdziwe lub fałszywe (tzn. Nie wiadomo, czasem bywa prawdziwe, a czasem fałszywe) O zdaniu T (n) wiadomo, że T (7) jest fałszywe, T (77) jest prawdziwe, a ponadto dla każdej liczby naturalnej n zachodzi implikacja T (n) T (n+1). Co można wywnioskować o prawdziwości zdania: a) T (3)... b) T (33)... c) T (333)... d) T (3) T (333)... e) T (333) T (3)... f) T (3) T (33)... g) T (33) T (3)... h) T (33) T (333)... i) T (333) T (33) Podaj wartości granic j) lim arctgx =... k) lim arctgx =... x + x l) lim x + log x =... m) lim x 0 +log x =... n) lim x + x =... o) lim x x =... Lista Strony 4-61
17 516. Na każde z 15 pytań udziel odpowiedzi TAK lub NIE. O zbiorze A wiadomo, że Czy stąd wynika, że a A a 7 oraz a A a > a) supa = 7... b) supa 7... c) supa 7... d) supa < 8... e) supa > 6... f) inf A = 6,9... g) inf A < 7... h) inf A > 6... i) inf A > 8... j) 7 A... k) 7 A... l) a A a 7 < m) a A a 7 > n) a A a 7 < o) a A a 7 > Lista Strony 4-61
18 517. W każdym z poniższych 14 pytań w miejscu kropek postaw jedną z liter Z, R, N: Z - jest Zbieżny (tzn. musi być zbieżny) R - jest Rozbieżny (tzn. musi być rozbieżny) N - może być zbieżny lub rozbieżny (tzn. Nie wiadomo, czasem jest zbieżny, a czasem rozbieżny) Co można wywnioskować o zbieżności szeregu jego wyrazy są różne od zera, a ponadto a) lim n a n =... b) lim n a n = 1... c) lim n a n = 1... d) lim n a n = 0... e) n lim a n = 1... f) n lim a n = 1... g) n lim a n =... a n+1 h) n lim =... a n a n+1 i) lim n = 1... a n a n+1 j) n lim = 1 a n... a n+1 k) lim n = 0... a n a n+1 l) n lim = 1 a n... a n+1 m) lim n = 1... a n a n+1 n) lim n =... a n a n, jeżeli wiadomo, że wszystkie 518. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność ( ) n+8 < 6 n. n 519. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego a n o wyrazach dodatnich, że a n = 5 oraz a n = a 4 n. Uzasadnić poprawność podanego przykładu. 50. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu 9n 8 7n n 9 n 8n Lista Strony 4-61
19 51. Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y [ 3, 3] zachodzi nierówność f(x) f(y) 3 4 x y, gdzie f(x) = x W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru. { } mn 5.1. A = m +n : m,n N N = {1,,3,4,5,...} { } mn 5.. B = m +n : m,n 4 N { } mn 5.3. C = m +n +1 : m,n N { } D = 3 log (n+1) : n N { } E = 3 log 3 (3n+1) : n N 53. W każdym podpunkcie podaj przykład podzbioru lub podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych o podanych własnościach. że a) inf A = 3, supa = 4, inf{ a : a A} = 1 b) inf B =, inf C = 3, inf(b C) = 7 c) supd = 10, supe = 10, sup(d E) = 7 d) inf F = inf G = 0, supf = supg = 6, inf(f G) = sup(f G) e) 0 < suph = sup{h 4 : h H} < Podać przykład takiego szeregu zbieżnego a n o wyrazach różnych od zera, a n = 1 Uzasadnić poprawność podanego przykładu. oraz a n =. 55. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność 13n n Rozstrzygnąć zbieżność szeregu 9n 8 n 7n n 9 8n Obliczyć granicę lim n ( 1 5 n n n n n n n + n Lista Strony 4-61 ).
20 58. Wyznaczyć przedział zbieżności rzeczywistego szeregu potęgowego 3 n x 3n. n 59. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu liczbowego o wyrazach zespolonych n p +i n 7 i w zależności od parametru całkowitego dodatniego p Wyznaczyć promień zbieżności rzeczywistego szeregu potęgowego (n)! x n. n! n n 531. Wyznaczyć przedział zbieżności rzeczywistego szeregu potęgowego x n (n!) Wyznaczyć obszar zbieżności zespolonego szeregu potęgowego i n z n n. n 533. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego ( 1) n n! x n n n Czy podany szereg jest zbieżny? n a) n+1... b) ( ) n n... n+1 ( ) n n ( ) n n 3 c)... d)... n+1 n Niech f : R R będzie funkcją określoną wzorem f(x) = a A {x} b B {x}, gdzie {x} oznacza część ułamkową liczby x, a wyrażenia {x} występują w wykładnikach potęg. W każdym z podpunktów uzupełnij brakującą liczbę rzeczywistą dodatnią tak, aby funkcja f zdefiniowana powyższym wzorem była ciągła. Wpisz NIE, jeśli uważasz, że liczba rzeczywista dodatnia o żądanej własności nie istnieje. a) a =..., A = 6, b = 5, B = 5 b) a =, A =..., b = 3, B = 5 c) a =, A = 6, b =..., B = 3 d) a =, A = 4, b = 3, B =... Lista Strony 4-61
EGZAMIN, ANALIZA 1A, zadań po 5 punktów, progi: 30=3.0, 36=3.5, 42=4.0, 48=4.5, 54=5.0
EGZAMIN, ANALIZA A, 5.0.04 zadań po 5 punktów, progi: 30=3.0, 36=3.5, 4=4.0, 48=4.5, 54=5.0 Zadanie. W każdym z zadań.-.5 podaj w postaci uproszczonej) kresy zbioru oraz napisz, czy kresy należą do zbioru
Bardziej szczegółowoEGZAMIN, ANALIZA 1A, zadań po 5 punktów, progi: 20=3.0, 24=3.5, 28=4.0, 32=4.5, 36=5.0
Zadanie. W każdym z zadań.-.5 podaj kresy zbioru oraz napisz, czy kresy należą do zbioru (napisz TAK lub NIE). Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być równy albo +. Za każde zadanie, w którym podasz
Bardziej szczegółowoEGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ (CZEŚĆ 1)
WROCŁAW, 12 GRUDNIA 2014 EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ (CZEŚĆ 1) ZA KAŻDE ZADANIE MOŻNA DOSTAĆ OD 0 DO 5 PUNKTÓW. PIERWSZA CZEŚĆ SKŁADA SIE Z 5 ZADAŃ TESTOWYCH I TRWA 80 MINUT OD 10:00 DO 11:20, PO NIEJ
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13
35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.
Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowo1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoTematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoCzęść całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Sprawdzian nr 2: 25..204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -48) Sprawdzian nr 3: 9.2.204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -88) Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoMatematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.
Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Wydział MIiM UW, 2/ 24 października 22 ostatnie poprawki: 9 czerwca 23 Szanowni Państwo, zgodnie z zapowiedzią, na każdym kolokwium w pierwszym semestrze
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoCiągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowogranicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N
14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoWykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoKurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoFUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoEgzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I
Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Czas na rozwiązanie zadań cz. I: 2 godz. Do zdobycia: 60 pkt. Nie wolno korzystać z notatek, kalkulatorów, telefonów, pomocy sąsiadów,
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoE-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17
41. Niech z = 5 + 4i. Dla podanych liczb m, n podać taką liczbę całkowitą k, aby 5 zachodziła równość z m z n =z k. Uwaga na sprzężenie w drugim czynniku po lewej stronie. a) m = 1, n = 1, k = 9 ; b) m
Bardziej szczegółowo1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004
ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ POZIOM PODSTAWOWY Klasa 1 Klasa 1
Klasa 1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 18 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym. 3. W zadaniach
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoTO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
Bardziej szczegółowoKLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowo