Analiza Matematyczna. Teoria Liczb Rzeczywistych

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna. Teoria Liczb Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk 12 marca / 23

2 Teoria Liczb Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem ØØÔ»»Ù Ö ºÔ Û Ø º ÙºÔл Ò Ù» 2 / 23

3 Zbiory Liczbowe Aksjomat Archimedesa Właściwości Niezupełność 3 / 23

4 Zbiory Liczbowe Zbiory Liczbowe Aksjomat Archimedesa Właściwości Niezupełność N = {1,2,...} zbiór liczb naturalnych, Z zbiór liczb całkowitych, Q zbiór liczb wymiernych, R zbiór liczb rzeczywistych. N Z Q R C 4 / 23

5 Liczby wymierne Zbiory Liczbowe Aksjomat Archimedesa Właściwości Niezupełność { } Q = m n m,n Z, n 0, m 1 n 1 m 2 n 2 m 1 n 2 = m 2 n 1, Q = Q /, Q jest ciałem ułamków pierścieniaz. 5 / 23

6 Dodawanie liczb wymiernych Zbiory Liczbowe Aksjomat Archimedesa Właściwości Niezupełność Definicja 1. m 1 n 1 + m 2 n 2 = m 1n 2 +n 1 m 2 n 1 n 2 x,y Q x+y = y +x(przemienność dodawania), x,y,z Q (x+y)+z = x+(y +z) (łaczność dodawania), Istnieje liczba0 Q, taka że x Q x+0 = 0+x = x (liczba neutralna), x Q istnieje liczba przeciwna( x) Q, taka że x+( x) = ( x)+x = 0. 6 / 23

7 Mnożenie liczb wymiernych Zbiory Liczbowe Aksjomat Archimedesa Właściwości Niezupełność Definicja 2. m 1 n 1 m2 n 2 = m 1m 2 n 1 n 2 x,y Q xy = yx (przemienność mnożenia), x,y,z Q (xy)z = x(yz) (łaczność mnożenia), Istnieje liczba1 Q, taka że x Q 1 x = x 1 = x. x,y,z Q x(y +z) = xy +xz oraz(x+y)z = xz +yz (rozdzielność mnożenia względem dodawania), x Q, x 0 x 1 Q (element odwrotny) taki że x x 1 = x 1 x = 1 7 / 23

8 Porównywanie liczb wymiernych Zbiory Liczbowe Aksjomat Archimedesa Właściwości Niezupełność Definicja 3. m 1 n 1 < m 2 n 2 ( m1 n 2 < m 2 n 1 in 1 n 2 > 0 ) albo ( m1 n 2 > m 2 n 1 in 1 n 2 < 0 ) a > b a+c > b+c, a > b,c > 0 ac > bc. 8 / 23

9 Aksjomat Archimedesa Zbiory Liczbowe Aksjomat Archimedesa Właściwości Niezupełność Twierdzenie 4. Dla dowolnej liczbya Q jedynkę(1) można powtórzyć tyle razy, że suma zostanie większa oda. Nieograniczoność zbioru liczb wymiernych. Dowolny odcinek jest krótszy od pewnej wielokrotności każdego innego odcinka. 9 / 23

10 Podstawowe własnoći liczb wymiernych Zbiory Liczbowe Aksjomat Archimedesa Właściwości Niezupełność Dowolna własność liczb wymiernych jest wnioskiem 16 podstawowych. Przykład 5. Niecha > b orazc > d. Wtedya+c > b+d. 10 / 23

11 Niezupełność zbioru liczb wymiernych Zbiory Liczbowe Aksjomat Archimedesa Właściwości Niezupełność Twierdzenie 6. Dowód. Załóżmy, że 2 Q 2 = m n (ułamek nieskracalny). (1) Wtedym 2 = 2n 2 czylimjest liczba parzysta,m = 2m 1. Podstawiajac do (1), otrzymamy po skróceniu 2m 2 1 = n 2, czylinteż jest liczb a parzyst a. Sprzeczność. 11 / 23

12 Niezupełność zbioru liczb wymiernych A Zbiory Liczbowe Aksjomat Archimedesa Właściwości Niezupełność E D B C 12 / 23

13 Niezupełność zbioru liczb wymiernych A Zbiory Liczbowe Aksjomat Archimedesa Właściwości Niezupełność E D B C 13 / 23

14 Kresy zbioru Wartość bezwzględna Podzbiory R Otoczenia 14 / 23

15 Liczby rzeczywiste. Definicja przez własności Kresy zbioru Wartość bezwzględna Podzbiory R Otoczenia ZbiórRjest uzupełnieniem zbioruq: jest ciałem względem dodawania i mnożenia, okreslona relacja mniejszoćsi, spełniony jest aksjomat Archimedesa, spełniony jest aksjomat ciagłości Aksjomat 7 (Aksjomat ciagłości). Niech zbiórrbędzie podzielony na dwa niepuste podzbioryaib:r = A B w ten sposób, że każda liczbaajest mniejsza od każdej liczbyb, to wówczas zachodzi jedna z dwóch możliwości: albo w zbiorzeaistnieje największy element, albo w zbiorzeb istnieje najmniejszy element. 15 / 23

16 Liczby rzeczywiste. Sposób konstruktywny Kresy zbioru Wartość bezwzględna Podzbiory R Otoczenia a = a 0,a 1 a 2 a 3..., a i {0,1,2,...,9} dlai > 0, a 0,a 1 a 2 a 3...a n = a 0,a 1 a 2 a 3...(a n 1) , = 0, / 23

17 Kresy zbioru NiechAbędzie podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych,a R. Kresy zbioru Wartość bezwzględna Podzbiory R Otoczenia Definicja 8. ZbiórAjest ograniczonycm z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczbam R, taka że x A x M (względnie x M). Zbiór, ograniczony z dołu i z góry nazywa się ograniczonym. Definicja 9. ElementM A nazywa się maksymalnym (minimalnym), jeżeli x A x M (x M): M = maxa (mina). Definicja 10. Najmniejsza z liczbm R, takich że x A x M, jest górnym kresem zbiorua: Definicja 11. Największa z liczbm R, takich że x A x M, jest dolnym kresem zbiorua: M = supa. M = infa. 17 / 23

18 Kresy zbioru. Twierdzenie Kresy zbioru Wartość bezwzględna Podzbiory R Otoczenia Twierdzenie 12. Niepusty zbiór ograniczony z góry (z dołu) ma górny (dolny) kres. Dowód. Rozważamy zbiór ograniczony z góry. Określimy dwa podzbioryr:a 1 = {y R x A,x y} ia 2 = {z R x A,x > z}. A 1 jest dopełnieniema 2. A 1 jest niepustym. A 2 jest niepustym. y A 1, z A 2 spełnia się nierównośćz < y, ponieważ x A,z < x ix y. Za moca aksjomatu ciagłości istnieje albo najmniejszy element A 1, albo największy elementa 2. verte 18 / 23

19 Kresy zbioru, cd Kresy zbioru Wartość bezwzględna Podzbiory R Otoczenia Dowód. cd. A 2 nie ma największego elementu. A więcmina 1 = supa. Przykład 13. NiechA = {1/n n N} R. Wtedy: supa = 1, infa = 0, maxa = 1, min A nie istnieje. 19 / 23

20 Wartość bezwzględna Kresy zbioru Wartość bezwzględna Podzbiory R Otoczenia Definicja 14. x = { x, x 0 Twierdzenie ab = a b, 2. a+b a + b. x, x < 0 Dowód. a a a, b b b ( a + b ) a+b ( a + b ) 20 / 23

21 PodzbioryR Kresy zbioru Wartość bezwzględna Podzbiory R Otoczenia Definicja 16. Zbiór{x R a x b}, gdziea < b, nazywa się przedziałem domkniętym, oznacza się przez[a,b]. Punktyaib to sa kresy albo końce przedziału, a dowolna liczbax,a < x < b jest punktem wewnętrznym przedziału. Zbiór{x R a < x < b}, gdziea < b, nazywa się przedziałem otwartym, oznacza się przez(a,b). Zbiór{x R a x < b} ({x R a < x b}) nazywa się przedziałem półotwartym, oznacza się przez[a,b) (względnie(a,b]). ZbiórRoznaczamy przez(,+ ), nazywamy również prosta. Jeżelix < y, to mówimy, żexjest po lewej ody,y jest po prawej odx. Zbiór{x R a x} ({x R x b}) nazywa się półprosta, oznacza się przez[a,+ ) (względnie(,b]). Zbiór{x R a < x} ({x R x < b}) nazywa się półprost a otwart a, oznacza się przez(a,+ ) (względnie (,b)). 21 / 23

22 Otoczenia punktu Kresy zbioru Wartość bezwzględna Podzbiory R Otoczenia Definicja 17. Przedział(a ε,a+ε) (gdzieε > 0) jest ε-otoczeniem punktua. Dowolny przedział otwarty, zawierajacy punktajest otoczeniem punktua. Przedział(a εa) (a,a+ε) (gdzieε > 0) jest ε-sasiedztwem punktua. Dowolny przedział otwarty, zawierajacy punktazwyłaczeniem jego samego jest sasiedztwem punktua. Przedział(a ε, a) (gdzie ε > 0) jest lewym otoczeniem punktua. Przedział(a, a + ε) (gdzie ε > 0) jest prawym otoczeniem punktua. 22 / 23

23 Otoczenie nieskończoności Kresy zbioru Wartość bezwzględna Podzbiory R Otoczenia Definicja 18. Zbiór{x R A < x }, gdziea > 0, nazywa się otoczeniem nieskończoności ( ). Zbiór{x R A < x}, gdziea > 0, nazywa się otoczeniem plus nieskończoności (+ ). Zbiór{x R x < A}, gdziea > 0, nazywa się otoczeniem minus nieskończoności ( ). Uwaga 19. Przedział nazywa się również odcinkiem. Zamiast nawiasów kwadratowych[] używa się również nawiasów katowych:. 23 / 23