Szkic notatek do wykładu Analiza Funkcjonalna MAP9907
|
|
- Maciej Marczak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Szkic otatek do wykładu Aaliza Fukcjoala MAP9907 Prowadzący: prof dr hab Tomasz Dowarowicz Sporządził: Paweł Szołtysek Spis treści I Wstęp do Aalizy Fukcjoalej 0 Przestrzeie Metryka Kula 3 Zbiory otwarte i domkięte 4 Zbieżość 5 Ciągłość, ograiczoość i jedostaja ciągłość 6 Homeomorfizm 7 Własości topologicze i metrycze 8 Lipschitz 9 Podstawowość, zupełość 0 Ośrodkowość Całkowita ograiczoość Zwartość II 3 Przestrzeie produktowe przeliczale Aaliza Fukcjoala 4 Przestrzeie liiowo metrycze 5 Przestrzeie liiowe uormowae 6 Przestrzeie Baacha 7 Baza Hamela 8 Baza Schaudera 9 Iloczy skalary 0 Przestrzeń uitara Rzuty Ortogoalizacja Gramma-Schmidta 3 Pozostałe twierdzeia dotyczące przestrzei 4 Operatory i fukcjoały 5 *-słabość
2 Wstęp do Aalizy Fukcjoalej 0 Przestrzeie Przestrzeń metrycza (topologia): ( X, d) Przestrzeń mierzala: ( X,, ) Przestrzeń liiowa: ( X,, ) Metryka Metryka w przestrzei X to fukcja d : X X [0, ) spełiająca trzy aksjomaty metryki: ) tożsamości d( 0 x y ) symetrii d( d( y, x) 3) ierówości trójkąta d( z) d( d( y, z) X prosta rzeczywista d( x y X przestrzeń rzeczywista -wymiarowa taksówkowa: dt ( x, x, x),( y, y, y) i x y supremum: dsup ( x, x),( y, y, y) sup xi yi ( xi yi ) i euklidesowa: de( x, x, x),( y, y, y) 3 X zbiór fukcji ograiczoych f : A d sup f, g sup f ( x) g( x) xa 4 Przestrzeń mierzala (,, ) X L ( ) d ( f, g) d ( f, g) X L ( ) f : : f g d f g f : : Kula otwarta o środku w pukcie d fd f d Kula r r to zbiór K r) K ( x) x y : d( r d ( d ;d kwadraty osiowe o bokach r sup i i x X i promieiu r 0 w przestrzei metryczej ( X, d) ;dt kwadraty diagoale o bokach r Jeśli w X są dwie metryki d i d oraz dla dowolych r Kd ( r) K ( r) d to d d i
3 d( if{ r : y K( r)} Kula w przestrzei fukcyjej d sup L L 3 Zbiory otwarte i domkięte Zbiór U ( X, d) jest otwarty, jeśli x Ur0 K( r) U Dla każdego r 0, K( r) jest zbiorem otwartym Suma dowolej rodziy zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym Przekrój skończoej rodziy zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym Zbiór F jest domkięty, jeśli jego dopełieie jest otwarte Przekrój dowolej rodziy zbiorów domkiętych jest domkięty Suma skończoej rodziy zbiorów domkiętych jest domkięta, d( x y Ciąg K( r) ( x r, x r) a b b a a b b a a b b a ( a, b), K, (, a) ( a, ) ( a, a) ( a, a ) [ a, b] jest domkięty, gdyż jego dopełieie to (, a ) ( b, ), czyli zbiór otwarty (, a] jest domkięty, gdyż jego dopełieie to ( a, ), czyli zbiór otwarty, ie jest ai otwarty, ai domkięty 4 Zbieżość ( ) X w ( X, d) jest zbieży do x X co zapisujemy x x lub lim x, jeśli x lim d( x, x) 0 (Zbieżość ciągu liczbowego) Zbiór F jest domkięty wtedy i tylko wtedy, jeśli z faktu, że że F x x lim x i F wyika, x x 3
4 5 Ciągłość, ograiczoość, jedostaja ciągłość Niech ( X, d) i ( Y, e) będą przestrzeiami metryczymi Fukcja f : X Y jest ciągła, jeśli: (Heie) z faktu, że lim x x wyika, że lim f ( x) f ( x) ; (Cauch d( e f ( x), f ( ) 3 otwartegov Y x X 0 0 y ) ; przeciwobraz f ( V) { x X : f ( x) Y} jest otwarty w X Nierówość Schwartza: fg f Podzbiór przestrzei metryczej (, d) Jedostaja ciągłość fukcji: g X jest ograiczoy, jeśli jest o zawarty w pewej kuli x, yd( e f ( x), f ( x : - fukcja ciągła iejedostajie y x d( x, x x ) x ( Y, d),( Z, e) - przestrzeie metrycze X B( Y, Z) { zbiór fukcji ograiczoych f : Y Z} f d sup f f f 6 Homeomorfizm Fukcja f : X Y jest homeomorfizmem, jeśli jest oa odwracala (różowartościowa i a), ciągła i odwrota do iej też jest ciągła Fukcja f : X Y jest jedostajym homeomorfizmem, jeśli jest oa homeomorfizmem, jedostajie ciągła i odwrota do iej też jest jedostajie ciągła 7 Własości topologicze i metrycze Własość przestrzei ( X, d) jest topologicza, jeśli ma ją każda przestrzeń homeomorficza z ( X, d) Własość przestrzei ( X, d) jest metrycza, jeśli ie jest oa topologicza, ale ma ją każda przestrzeń jedostajie homeomorficza z ( X, d) 8 Lipschitz Waruek Lipschitza c ye f ( x), f ( cd( Fukcja Lipschitzowska (spełiająca waruek Lipschitza) jest zawsze jedostajie ciągła Jeśli f ' istieje a całej dziedziie to f ' c f jest Lipschitzowska ze stałą c Z f ( x) f ( twierdzeia Lagrage a, f '( ) c x y 4
5 Nie każda fukcja jedostajie ciągła jest Lipschitzowska y x a ( 0, ) x y x y 9 Podstawowość, zupełość Ciąg podstawowy (Cauchy ego) x ) w przestrzei ( X, d) spełia waruek ( (, ) 0 0 m d x 0 m x Każdy ciąg zbieży jest podstawowy Każdy ciąg podstawowy jest ograiczoy (ciąg iepodstawow X (0,] d x y ależy do X) Jeżeli x jest podstawowy to Przestrzeń (, d) (, d) x (ciąg podstawowy, ale ie jest zbieży gdyż graica ie xx istieje graica lim d ( x) X jest zupeła, jeśli każdy ciąg podstawowy jest zbieży X przestrzeń zupeła; F zbiór domkięty w X Wtedy (F,d) zupeła 3 [0,], [0, ) 4 Zbiory skończoe Zupełość ie jest własością topologiczą d( x y x (0,] [, ) Podstawowość ciągu ie musi być zachowaa przez fukcję ciągłą, ale jest zachowaa przez fukcję jedostajie ciągłą 0 Ośrodkowość Przestrzeń ( X, d) jest ośrodkowa, jeśli istieje w iej zbiór przeliczaly gęsty (ośrodek) Każdy podzbiór prostej Jeśli ( X, d) jest ośrodkowa i Y X to ( Y, d) też jest ośrodkowa Ośrodkowość jest własością topologiczą Obraz zbioru gęstego jest gęsty Przestrzeń polska homeomorficza przestrzeń z przestrzeią ośrodkową zupełą Przestrzeń jest zupeła, jeśli dla każdej przestrzei metryczej ( Y, d) takiej, że Y X, X jest zbiorem domkiętym 5
6 Całkowita ograiczoość ( X, d) jest całkowicie ograiczoa jeśli F X K( ) Przestrzeń całkowicie ograiczoa jest ograiczoa Przestrzeń ograiczoa ie musi być całkowicie ograiczoa X dowola ieograiczoa, p R d dyskreta Całkowita ograiczoość jest zachowywaa przez homeomorfizm jedostajy, ale ie zwykły 6 xf Zwartość Przestrzeń metrycza ( X, d) jest zwarta, jeśli jest całkowicie ograiczoa i zupeła Przez -sieć możemy pokazać, że daa przestrzeń jest całkowicie ograiczoa; pukty w odległości od siebie i koła a tych puktach pokrywają całą przestrzeń Poadto z dowolego miejsca w przestrzei odległość do każdego takiego puktu jest coajwyżej Następujące waruki są rówoważe: X jest zwarta ( x ) X ( x ) x X (każdy ciąg zawiera podciąg zbież k x k ) JI 3 X U J I, card( J U X (z każdego pokrycia otwartego moża wybrać JI podpokrycie skończoe) 4 ( Y, e) F Y f : X F homomorficza F domkięty w Y 5 ( Y, ) jest zupeła ( Y, e) f : X Y homomorficza e 6 { F } I to rodzia podzbiorów domkiętych w X, scetrowaa, tz F J I, card( J ) J Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa Za ośrodek moża wziąć sumę -sieci przy malejącym do 0 Zbiór zwarty jest domkięty Fukcja f : ( X, d) ( Y, e) spełia waruek Lipschitza jeśli c 0 ye f ( x), f ( cd( f :, f '( x) c jeśli (Lipschitz ze stałą c) ( x) f ( f '( z) c x y Jeśli ( X, d) to przestrzeń metrycza zupeła, f : X X - Lipschitzowska ze stałą c< to! x* X takie, że f(x*)=x* oraz dla x X ciąg x f ( x) x*
7 Liczeie pierwiastków 5 x x x 5 f '( x) x,5 c x [, ) Zaczyając od dowolego x i iterując dojdziemy do jedyego puktu stałego, czyli (tu) 5 Całkowicie ograiczoy => istieje homeomorficzy obraz X iezupeły Abstrakcyje liczbowe przestrzeie metrycze f : X X [0, ) Wprowadzamy pseudometrykę: d( if f ( x ) f ( x) f ( x, : N0,, x X Iterpretacja: f y =cea za podróż z X do Y 3 Przestrzeie produktowe przeliczale Ciąg (X, d ) przestrzei metryczych ograiczoych Dla X = X X X skończoych: d sup ( = sup d x, y d tax ( = d x, y d euk ( = d x, y Dla X = X X X ieskończoych: d sup ( = sup d x,y d tax y = M d x,y M 0, N, d tax y = δ x y c x (k) x x (k) x (X, d x ) jest zupeła (zwarta) (X, d ) jest zupeła (zwarta) Aaliza Fukcjoala 4 Przestrzeie liiowo metrycze Przestrzeń liiowo metrycza jest to kompilacja przestrzei liiowej X, +,, metryczej (X, d) i ciągłości działań Jest to więc przestrzeń (X, d, +, ) z ciągłymi działaiami: +: X X, d sup (X, d) i : X R, d sup (X, d) (R, x y, +, ) (R, d euk, +, ) 7
8 3 l = x R N : x <, d l = x y l = x R N : x <, d l = x y 4 c = x R N, limx istieje, d sup c b = x R N - ciągi ograiczoe, d c 0 = x R N, limx = 0, d sup 5 μ( 0,, B) - ograiczoa miara zakowaa Istieje przeliczala rodzia zbiorów, która geeruje B, p przedziały (q,q ) o końcach wymierych 6 C(R) - fukcje a prostej (uwaga: mogą być ieograiczoe) Zły przykład: ( 0, N, d, +, ) - ie adaje się, gdyż ie ma liiowości dodawaia (+=) Metryka supremum ucięta do : d sup = mi {dsup f, g, } Norma ie istieje 5 Przestrzeie liiowe uormowae Norma przestrzei liiowej uormowaej to fukcja jedej zmieej : V [0, ) o własościach: x =0 x=0 x+y x + y 3 αx = α x Norma zadaje metrykę w której V jest przestrzeią liiowo metryczą d = d y = x y Sprawdzeie Przestrzeń liiowa z ormą to przestrzeń uormowaa W przestrzei uormowaej moża ormę odzyskać z metryki x = d 0 = x 0 = x W dowolej przestrzei metryczej x = d 0 spełia własość z defiicji ormy, ale iekoieczie i 3 Metryka ormowa spełia x y = d y = d x + z, y + z = (x + z) (y + z l = cb - ciągi ograiczoe x = sup x c - ciągi zbieże x = sup x c 0 - ciągi zbieże do 0 x = sup x l - ciągi bezwzględie sumowale x l = x l - ciągi sumowale z kwadratem x l = x = sup x + y sup x + sup y x + y x + y = ( x + y ) CB(R) - fukcje ograiczoe a R f sup = sup x f x L μ = f : fdμ <, f = f dμ L μ = f : f dμ <, f = f dμ = L L dla μ liczącej L L dla μ skończoej C(R) z d sup,obci ęta f, g = mi {, sup x f x g x } Ta metryka ie pochodzi bezpośredio od żadej ormy d 0, =, = = 6 Przestrzeie Baacha Przestrzeń uormowaa zupeła w metryce ormowej to przestrzeń Baacha 8
9 L,, L, C(x), sup, CB(R), sup, l, sup, l,, l, c 0, sup, c, sup, (c 0 R, sup ) Fukcja zbiega do 0 w ± wszystkie ie fukcje siedzą w pasku epsiloowym (podkreśleie ozacza ośrodkowość) Przestrzeie Baacha ciągów c, c 0, l, l, l Przestrzeie Baacha fukcyje C([0,]), CB(R), L (μ), L (μ) Układ wektorów x,, x V jest liiowo iezależy, jeśli α x + + α x = 0 α = = α = 0 Zbiór B V jest iezależy jeśli każdy jego podzbiór skończoy jest układem iezależym 7 Baza Hamela Zbiór B V to baza Hamela przestrzei liiowej V jeśli B jest zbiorem iezależym i każdy x V jest postaci α b + + α k b k k N b k B α k R Każda przestrzeń liowa V posiada bazę Hamela B Każdy zbiór B jest zawarty w jakiejś bazie Hamela B (,0,0, 0), (0,,0, 0),, R (0,0,0, ) : w c, c 0, l ie jest to baza Hamela ie ma p Jest to baza ciągów które od pewego miejsca mają 0 Szereg = x elemetów x przestrzei uormowaej (Baacha) V jest zbieży do x V jeśli ciąg sum częściowych s = l= x i zbiega do x w ormie 8 Baza Schaudera W przestrzei Baacha V zbiór B V to baza Schaudera, jeśli #B X każdy x V to graica szeregu α b, α R, b B 3 jeśli α b = β c to b, N = {c, N} Baza Schaudera to zbiór iezależy Jeśli przestrzeń Baacha ma bazę Schaudera to jest ośrodkowa (ie odwrotie) c, c 0, l, l : B = e, e, ; e i = (0,0,,,,0) Zbiór B (awet mierzal o tej własości, że x V moża przybliżać kombiacjami (x, 0,0, ) skończoymi z B ie musi mieć lim (x, x, ) Dzieleie przestrzei przez pseudoormę 0 = 0 x + y x + y 3 αx = α x Relacja rówoważości: x~y x y = 0 9
10 Baza Schaudera w L [0,] Każdą fukcję ciągłą a [0,] moża przybliżać jedostajie wielomiaami (które leżą gęsto w C[0,]),5 0,5 0 f f0 f f3 Przestrzeń zespoloa L (λ) a Π = {z: z = } 9 Iloczy skalary Daa jest przestrzeń liiowa V Iloczy skalary w V to fukcja <, > V V C (R) spełiająca waruki: < u, u > 0 < u, u >= 0 u = 0 < u, v >=< v, u > 3 α < u, v >=< αu, v > < u, αv >= α < u, v > 4 < u + v, w >=< u, w > +< v, w > < u, v + w >=< u, v > +< u, w > Jeśli day jest iloczy skalary to zadaje o ormę u = < u, u > Nierówość Schwarza: < y > x y Iloczy skalary jest ciągły x x y y < x, y > < y > 0 Przestrzeń uitara Przestrzeń uitara (V, <, >) Przestrzeń uitara zupeła to przestrzeń Hilberta R < x k, y k >= k= x k y k C < x k, y k >= k= x k y k 3 l < x k, y k >= k= x k y k 4 L λ < f, g >= fgdλ (w przypadku zespoloym waruek f dλ < ) X jest ortogoaly do y (x w przestrzei uitarej jeśli < y >= 0 Jeśli A 0 to zbiór o tej własości, że każde dwa elemety są x y A x y to A to zbiór iezależy Istieją układy iezależe ale ie parami ortogoale R 0,,, ; < 0,,, >= 0
11 Rzuty Jeśli V to przestrzeń uitara, W V to przestrzeń uitara i x W to wektor x W to rzut ortogoaly a W jeśli x x y y W Jeśli x W to x = x Jeśli W to przestrzeń Hilberta i W V to x V x w istieje Jeśli W jest rozpięta a skończeie wielu wektorach wzajemie ortogoalych to x V x w istieje W = li x, x,, x (x i x j i j ) Ortogoalizacja Gramma-Schmidta Jeśli x, x, to skończoy (przeliczal układ iezależy to istieje macierz trójkąta A z wartościami różymi od zera a przekątej tego samego wymiaru co moc układu wektorów x y taka, że jeśli układ wektorów otrzymay przez formaly iloczy A x = y jest układem ortoormalym Czyli y = a, x ; y = a, x + a, x ; 3 Pozostałe twierdzeia dot przestrzei Jeśli V to przestrzeń ośrodkowa uitara to każdy układ ortogoaly jest co ajwyżej przeliczaly Jeśli H to ośrodkowa przestrzeń Hilberta, to istieje w iej ortoormala baza Schaudera e, e,, e dż Co więcej, każdy elemet x H rozwija się jedozaczie w zbieży w dż ormie szereg Fouriera x = i= < e i > e i dż i= < e i > = x Lemat dż W przestrzei Hilberta układ ortoormaly x = z warukiem li x = H to baza Schaudera Istieje tylko jeda (z dokładością do izometryczego (uitarego) izomorfizmu) ośrodkowa iekoieczie wymiarowa przestrzeń Hilberta Modelem dla iej jest l (skończeie wymiarowa: R ; C ) Jeżeli X to przestrzeń zwarta a A to podalgebra w C(X) która jest gęsta gdy A rozdziela pukty i zawiera stałe x y y X A f(x) A Szkic dowodu f A f(x) f( Poadto w przypadku zespoloym f(x)
12 4 Operatory i fukcjoały Operator liiowy T: X Y to dowole liiowe przekształceie spełiające własości: T x + y = T x + T y T αx = αt(x) Jeśli X i Y są uormowae, to możemy żądać, by T był ciągły Zbiór takich operatorów ozaczamy α(x, Y) Poadto, jeśli Y = K, to operator ciągły T: X K azywamy fukcjoałem (f albo x ) Przestrzeń fukcjoala atomiast jest ozaczaa przez X Zamiast X (x) piszemy < x > (co jest oczywiście liczbą) X = R, Y = R m T: X Y T x = A x lub T x = x B X = C 0,, Y = C( 0, ) t T f t = f x dx lub T f = fg 0 0, g 0 C(X) 3 X = C 0,, Y = C( 0, ) T f = f 4 V = C(X), X zwarta μ - miara a X T μ f = fdμ Jeśli μ = δ x, to T δ f = fdμ = f(x 0 ) Operator T: X Y jest ograiczoy jeśli M T(K X 0, ) K Y (0, M) ( x X T x M x ) T α X, Y T jest liiowy i ograiczoy Norma operatora T to liczba T = if M: x K 0, T x M = sup T x : x = sup { T x : x = } x = sup { < x > : x } α(x, Y) z tak określoą ormą to przestrzeń liiowa uormowaa Jeśli Y to przestrzeń Baacha to α(x, Y) to przestrzeń Baacha X zawsze jest przestrzeią Baacha X (przestrzeń Baacha fukcjoałów ograiczoych) to przestrzeń duala do X (R ) R I ogólie dla przestrzei Hilberta H H (czyli istieje izomorfizm π: H H ; zamiast π(x) piszemy x ) V = C(X) (X zwarta) V M(X) (ograiczoe zakowae miary Borelowskie a X) C(x) f μ fdμ ; μ V l l L ( 0, ) = L (0,) l l L ( 0, ) = L (0,)
13 C(X) M ± (X) (miary zakowae ograiczoe; X - zwarta) W M ± (B) μ = μ + X + μ (X) bywa ormą Dla miary określamy ormę taką, jaka jest orma odpowiediego fukcjoału μ = sup { fdμ : f } Szkic dowodu 5 *-słabość V to przestrzeń Baacha V to przestrzeń Baacha, topologia ormowa Moża określić w V topologię *-słabą, a w V topologię słabą x x w V słabo, jeśli φ V φ(x ) φ(x) Jeśli x x w ormie, to zbiega słabo L ( π, π ), si cosx six = cost 0 six 0 w ormie W przestrzei Hilberta każdy podciąg bazy ortoormalej dąży do zera słabo Ciąg fukcjoałów x x x-słabo w V, jeśli y V < y, x > < y, x > Zbieżość fukcjoałów w ormie implikuje *-słabą zbieżość < v, x > < v, x >=< v, x x > v x x Możemy więc mówić o *-słabej zbieżości w zbiorze miar ograiczoych a przestrzei X μ slabo μ f C(x) fdμ fdμ 3
Operatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }
Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
1. Miara i całka Lebesgue a na R d
1. Miara i całka Lebesgue a a R d 1. Miara. Mówimy, że rodzia podzbiorów S zbioru Ω jest σ-ciałem, jeśli wraz z każdym zbiorem zawiera oa jego dopełieie i jest zamkięta a sumowaie przeliczalych podrodzi.
Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe
. Metrka Zadaie.. Pokazać, że metrka jest fukcją ieujemą. Zadaie.2. Odowodić, że poiższe wzor defiiuja metrki. a) (metrka euklidesowa) X = R. d e (, ) := ( ) 2 +... + ( ) 2 b) (metrka taksówkowa) X = R
Zadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.
. Liczby wymiere zasada idukcji matematyczej przekroje Dedekida Zadaie.. Niech A Q. Wykazać że jeśli istieje mi A odp. max A) to istieje if A odp. sup A) oraz if A = mi A odp. sup A = max A). Zadaie..
I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Analiza Funkcjonalna WPPT IIIr. semestr letni 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013
Aaliza Fukcjoala WPPT IIIr. semestr leti 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013 NiechX ozaczaprzestrzeńbaacha,ax jejdual a(czyliprzestrzeńfukcjoa lów ograiczoych
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji
Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Fraktale - ciąg g dalszy
Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety
8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2
8. Jedostajość Mówimy, że fukcja f : I R spełia waruek Lipschitza ze stałą C > 0, jeśli fx) fy) C x y, x, y I. 8.. Przykład. a) Taką fukcją jest p. si : R [, ]. Rzeczywiście, si x si y = 2 si x y 2 cos
Analiza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Ekonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
MACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.
Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy
Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Materiały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Wykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
a 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r
Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub
1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Ciągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział 12 12. Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
I kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Materiały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak
Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207 Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere.........................
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia
Analiza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 208/9 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trudiejsze. Wstęp. Logika, zbiory
Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
AnFunIIa.tex January 19, 2016 ANALIZA FUNKCJONALNA II (2015/2016)
AFuIIa.tex Jauary 19, 2016 ANALIZA FUNKCJONALNA II (2015/2016) 1. Widmo operatora zwartego i operatora samosprzężoego. Niech H będzie przestrzeią Hilberta i B(H) zbiorem operatorów ograiczoych w H. Zbiorem
Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia
Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Twierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Definicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Analiza Matematyczna II Lista zadań
Aaliza Matematycza II Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 07/8 Zadaia ozaczoe dwoma lub więcej gwiazdkami są przezaczoe do samodzielego rozwiązaia. chcecie uzyskać wskazówki lub podyskutowac o ich rozwiązaiu,
dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Analiza matematyczna dla informatyków
Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,
Entropia w układach dynamicznych
Etropia w układach dyamiczych Wstęp Środowiskowe studia doktorackie Uiwersytet Jagielloński Kraków, marzec-kwiecień 203 Tomasz Dowarowicz Część II Etropia topologicza i zasada wariacyja Zaczijmy od początku.
Twierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Wykład z Rachunku Prawdopodobieństwa II
Matematyka stosowaa Wykład z Rachuku Prawdopodobieństwa II Adam Osękowski ados@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~ados Uiwersytet Warszawski, 2011 Streszczeie. Celem iiejszego skryptu jest wprowadzeie
Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Matematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów
Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość
gi i szeregi funkcyjne
ostatia aktualizacja: 15 czerwca 2012, 18:42 Podobie jak poprzedio wieszam tekst, ad którym powiieem jeszcze popracować, wie c prosze o iformacje o zauważoych b le dach. Przyk lad fukcji g lej igdzie ieróżiczkowalej
lim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Zadanie 3. ( ) Udowodnij, że jeśli (X n, F n ) jest martyngałem, to. X i > t) E X n. . t. P(sup
Szkice rozwiązań zadań z serii dwuastej oraz części zadań z kartkówki. Zadaie 1. Niech (X, F ) będzie martygałem. Czy X jest domykaly, jeśli ciąg EX l X jest zbieży? X jest zbieży prawie a pewo? X jest
Analiza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Przestrzenie sygnałów
Przestrzeiesygałów Przestrzeń metrycza Przestrzeie Rozważmy dowoly zbiór P oraz dowole elemety p, p, p3 P Jeżeli a parach elemetów zbioru P moża zdefiiować fucję (fucjoał) ρ, tai,że ( ) ( ) ρ p, p 0, ρ
2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Parametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Analiza matematyczna dla informatyków
Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,
Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.
1 Wersja testu A 1 czerwca 017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierą w, aby podaa liczba była wymiera. 10 1 ) 10 +w, w = 1 5 1 ) 10 +w, w = ) 10 10 3 +w 3, w = 1 ) 5 10 3 +w 3, w = 4. Zapisać wartość podaej
Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
Kolokwiu r 5: piątek 8..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 40, 50-585. Kolokwiu r 53: piątek 5..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 50, 50-59. Kolokwiu r 54: piątek..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 83, 50-64.
Ekonomia matematyczna - 2.1
Ekoomia matematycza - 2.1 Przestrzeń produkcyja Zakładamy,że w gospodarce występuje towarów, każdy jako akład ( surowiec ) lub wyik ( produkt ) w procesach produkcji. Kokrety proces produkcji jest reprezetoway
Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.
Funkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach
1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 14 dr Adam Ćmiel
Własośi zbiorów otwarth i domięth Tw. a) Suma dowolej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. b) Iloz sońzoej ilośi zbiorów otwarth jest zbiorem otwartm. Dow. a) Mam rodzię zbiorów otwarth: U A s {