Szkic notatek do wykładu Analiza Funkcjonalna MAP9907

Transkrypt

1 Szkic otatek do wykładu Aaliza Fukcjoala MAP9907 Prowadzący: prof dr hab Tomasz Dowarowicz Sporządził: Paweł Szołtysek Spis treści I Wstęp do Aalizy Fukcjoalej 0 Przestrzeie Metryka Kula 3 Zbiory otwarte i domkięte 4 Zbieżość 5 Ciągłość, ograiczoość i jedostaja ciągłość 6 Homeomorfizm 7 Własości topologicze i metrycze 8 Lipschitz 9 Podstawowość, zupełość 0 Ośrodkowość Całkowita ograiczoość Zwartość II 3 Przestrzeie produktowe przeliczale Aaliza Fukcjoala 4 Przestrzeie liiowo metrycze 5 Przestrzeie liiowe uormowae 6 Przestrzeie Baacha 7 Baza Hamela 8 Baza Schaudera 9 Iloczy skalary 0 Przestrzeń uitara Rzuty Ortogoalizacja Gramma-Schmidta 3 Pozostałe twierdzeia dotyczące przestrzei 4 Operatory i fukcjoały 5 *-słabość

2 Wstęp do Aalizy Fukcjoalej 0 Przestrzeie Przestrzeń metrycza (topologia): ( X, d) Przestrzeń mierzala: ( X,, ) Przestrzeń liiowa: ( X,, ) Metryka Metryka w przestrzei X to fukcja d : X X [0, ) spełiająca trzy aksjomaty metryki: ) tożsamości d( 0 x y ) symetrii d( d( y, x) 3) ierówości trójkąta d( z) d( d( y, z) X prosta rzeczywista d( x y X przestrzeń rzeczywista -wymiarowa taksówkowa: dt ( x, x, x),( y, y, y) i x y supremum: dsup ( x, x),( y, y, y) sup xi yi ( xi yi ) i euklidesowa: de( x, x, x),( y, y, y) 3 X zbiór fukcji ograiczoych f : A d sup f, g sup f ( x) g( x) xa 4 Przestrzeń mierzala (,, ) X L ( ) d ( f, g) d ( f, g) X L ( ) f : : f g d f g f : : Kula otwarta o środku w pukcie d fd f d Kula r r to zbiór K r) K ( x) x y : d( r d ( d ;d kwadraty osiowe o bokach r sup i i x X i promieiu r 0 w przestrzei metryczej ( X, d) ;dt kwadraty diagoale o bokach r Jeśli w X są dwie metryki d i d oraz dla dowolych r Kd ( r) K ( r) d to d d i

3 d( if{ r : y K( r)} Kula w przestrzei fukcyjej d sup L L 3 Zbiory otwarte i domkięte Zbiór U ( X, d) jest otwarty, jeśli x Ur0 K( r) U Dla każdego r 0, K( r) jest zbiorem otwartym Suma dowolej rodziy zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym Przekrój skończoej rodziy zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym Zbiór F jest domkięty, jeśli jego dopełieie jest otwarte Przekrój dowolej rodziy zbiorów domkiętych jest domkięty Suma skończoej rodziy zbiorów domkiętych jest domkięta, d( x y Ciąg K( r) ( x r, x r) a b b a a b b a a b b a ( a, b), K, (, a) ( a, ) ( a, a) ( a, a ) [ a, b] jest domkięty, gdyż jego dopełieie to (, a ) ( b, ), czyli zbiór otwarty (, a] jest domkięty, gdyż jego dopełieie to ( a, ), czyli zbiór otwarty, ie jest ai otwarty, ai domkięty 4 Zbieżość ( ) X w ( X, d) jest zbieży do x X co zapisujemy x x lub lim x, jeśli x lim d( x, x) 0 (Zbieżość ciągu liczbowego) Zbiór F jest domkięty wtedy i tylko wtedy, jeśli z faktu, że że F x x lim x i F wyika, x x 3

4 5 Ciągłość, ograiczoość, jedostaja ciągłość Niech ( X, d) i ( Y, e) będą przestrzeiami metryczymi Fukcja f : X Y jest ciągła, jeśli: (Heie) z faktu, że lim x x wyika, że lim f ( x) f ( x) ; (Cauch d( e f ( x), f ( ) 3 otwartegov Y x X 0 0 y ) ; przeciwobraz f ( V) { x X : f ( x) Y} jest otwarty w X Nierówość Schwartza: fg f Podzbiór przestrzei metryczej (, d) Jedostaja ciągłość fukcji: g X jest ograiczoy, jeśli jest o zawarty w pewej kuli x, yd( e f ( x), f ( x : - fukcja ciągła iejedostajie y x d( x, x x ) x ( Y, d),( Z, e) - przestrzeie metrycze X B( Y, Z) { zbiór fukcji ograiczoych f : Y Z} f d sup f f f 6 Homeomorfizm Fukcja f : X Y jest homeomorfizmem, jeśli jest oa odwracala (różowartościowa i a), ciągła i odwrota do iej też jest ciągła Fukcja f : X Y jest jedostajym homeomorfizmem, jeśli jest oa homeomorfizmem, jedostajie ciągła i odwrota do iej też jest jedostajie ciągła 7 Własości topologicze i metrycze Własość przestrzei ( X, d) jest topologicza, jeśli ma ją każda przestrzeń homeomorficza z ( X, d) Własość przestrzei ( X, d) jest metrycza, jeśli ie jest oa topologicza, ale ma ją każda przestrzeń jedostajie homeomorficza z ( X, d) 8 Lipschitz Waruek Lipschitza c ye f ( x), f ( cd( Fukcja Lipschitzowska (spełiająca waruek Lipschitza) jest zawsze jedostajie ciągła Jeśli f ' istieje a całej dziedziie to f ' c f jest Lipschitzowska ze stałą c Z f ( x) f ( twierdzeia Lagrage a, f '( ) c x y 4

5 Nie każda fukcja jedostajie ciągła jest Lipschitzowska y x a ( 0, ) x y x y 9 Podstawowość, zupełość Ciąg podstawowy (Cauchy ego) x ) w przestrzei ( X, d) spełia waruek ( (, ) 0 0 m d x 0 m x Każdy ciąg zbieży jest podstawowy Każdy ciąg podstawowy jest ograiczoy (ciąg iepodstawow X (0,] d x y ależy do X) Jeżeli x jest podstawowy to Przestrzeń (, d) (, d) x (ciąg podstawowy, ale ie jest zbieży gdyż graica ie xx istieje graica lim d ( x) X jest zupeła, jeśli każdy ciąg podstawowy jest zbieży X przestrzeń zupeła; F zbiór domkięty w X Wtedy (F,d) zupeła 3 [0,], [0, ) 4 Zbiory skończoe Zupełość ie jest własością topologiczą d( x y x (0,] [, ) Podstawowość ciągu ie musi być zachowaa przez fukcję ciągłą, ale jest zachowaa przez fukcję jedostajie ciągłą 0 Ośrodkowość Przestrzeń ( X, d) jest ośrodkowa, jeśli istieje w iej zbiór przeliczaly gęsty (ośrodek) Każdy podzbiór prostej Jeśli ( X, d) jest ośrodkowa i Y X to ( Y, d) też jest ośrodkowa Ośrodkowość jest własością topologiczą Obraz zbioru gęstego jest gęsty Przestrzeń polska homeomorficza przestrzeń z przestrzeią ośrodkową zupełą Przestrzeń jest zupeła, jeśli dla każdej przestrzei metryczej ( Y, d) takiej, że Y X, X jest zbiorem domkiętym 5

6 Całkowita ograiczoość ( X, d) jest całkowicie ograiczoa jeśli F X K( ) Przestrzeń całkowicie ograiczoa jest ograiczoa Przestrzeń ograiczoa ie musi być całkowicie ograiczoa X dowola ieograiczoa, p R d dyskreta Całkowita ograiczoość jest zachowywaa przez homeomorfizm jedostajy, ale ie zwykły 6 xf Zwartość Przestrzeń metrycza ( X, d) jest zwarta, jeśli jest całkowicie ograiczoa i zupeła Przez -sieć możemy pokazać, że daa przestrzeń jest całkowicie ograiczoa; pukty w odległości od siebie i koła a tych puktach pokrywają całą przestrzeń Poadto z dowolego miejsca w przestrzei odległość do każdego takiego puktu jest coajwyżej Następujące waruki są rówoważe: X jest zwarta ( x ) X ( x ) x X (każdy ciąg zawiera podciąg zbież k x k ) JI 3 X U J I, card( J U X (z każdego pokrycia otwartego moża wybrać JI podpokrycie skończoe) 4 ( Y, e) F Y f : X F homomorficza F domkięty w Y 5 ( Y, ) jest zupeła ( Y, e) f : X Y homomorficza e 6 { F } I to rodzia podzbiorów domkiętych w X, scetrowaa, tz F J I, card( J ) J Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa Za ośrodek moża wziąć sumę -sieci przy malejącym do 0 Zbiór zwarty jest domkięty Fukcja f : ( X, d) ( Y, e) spełia waruek Lipschitza jeśli c 0 ye f ( x), f ( cd( f :, f '( x) c jeśli (Lipschitz ze stałą c) ( x) f ( f '( z) c x y Jeśli ( X, d) to przestrzeń metrycza zupeła, f : X X - Lipschitzowska ze stałą c< to! x* X takie, że f(x*)=x* oraz dla x X ciąg x f ( x) x*

7 Liczeie pierwiastków 5 x x x 5 f '( x) x,5 c x [, ) Zaczyając od dowolego x i iterując dojdziemy do jedyego puktu stałego, czyli (tu) 5 Całkowicie ograiczoy => istieje homeomorficzy obraz X iezupeły Abstrakcyje liczbowe przestrzeie metrycze f : X X [0, ) Wprowadzamy pseudometrykę: d( if f ( x ) f ( x) f ( x, : N0,, x X Iterpretacja: f y =cea za podróż z X do Y 3 Przestrzeie produktowe przeliczale Ciąg (X, d ) przestrzei metryczych ograiczoych Dla X = X X X skończoych: d sup ( = sup d x, y d tax ( = d x, y d euk ( = d x, y Dla X = X X X ieskończoych: d sup ( = sup d x,y d tax y = M d x,y M 0, N, d tax y = δ x y c x (k) x x (k) x (X, d x ) jest zupeła (zwarta) (X, d ) jest zupeła (zwarta) Aaliza Fukcjoala 4 Przestrzeie liiowo metrycze Przestrzeń liiowo metrycza jest to kompilacja przestrzei liiowej X, +,, metryczej (X, d) i ciągłości działań Jest to więc przestrzeń (X, d, +, ) z ciągłymi działaiami: +: X X, d sup (X, d) i : X R, d sup (X, d) (R, x y, +, ) (R, d euk, +, ) 7

8 3 l = x R N : x <, d l = x y l = x R N : x <, d l = x y 4 c = x R N, limx istieje, d sup c b = x R N - ciągi ograiczoe, d c 0 = x R N, limx = 0, d sup 5 μ( 0,, B) - ograiczoa miara zakowaa Istieje przeliczala rodzia zbiorów, która geeruje B, p przedziały (q,q ) o końcach wymierych 6 C(R) - fukcje a prostej (uwaga: mogą być ieograiczoe) Zły przykład: ( 0, N, d, +, ) - ie adaje się, gdyż ie ma liiowości dodawaia (+=) Metryka supremum ucięta do : d sup = mi {dsup f, g, } Norma ie istieje 5 Przestrzeie liiowe uormowae Norma przestrzei liiowej uormowaej to fukcja jedej zmieej : V [0, ) o własościach: x =0 x=0 x+y x + y 3 αx = α x Norma zadaje metrykę w której V jest przestrzeią liiowo metryczą d = d y = x y Sprawdzeie Przestrzeń liiowa z ormą to przestrzeń uormowaa W przestrzei uormowaej moża ormę odzyskać z metryki x = d 0 = x 0 = x W dowolej przestrzei metryczej x = d 0 spełia własość z defiicji ormy, ale iekoieczie i 3 Metryka ormowa spełia x y = d y = d x + z, y + z = (x + z) (y + z l = cb - ciągi ograiczoe x = sup x c - ciągi zbieże x = sup x c 0 - ciągi zbieże do 0 x = sup x l - ciągi bezwzględie sumowale x l = x l - ciągi sumowale z kwadratem x l = x = sup x + y sup x + sup y x + y x + y = ( x + y ) CB(R) - fukcje ograiczoe a R f sup = sup x f x L μ = f : fdμ <, f = f dμ L μ = f : f dμ <, f = f dμ = L L dla μ liczącej L L dla μ skończoej C(R) z d sup,obci ęta f, g = mi {, sup x f x g x } Ta metryka ie pochodzi bezpośredio od żadej ormy d 0, =, = = 6 Przestrzeie Baacha Przestrzeń uormowaa zupeła w metryce ormowej to przestrzeń Baacha 8

9 L,, L, C(x), sup, CB(R), sup, l, sup, l,, l, c 0, sup, c, sup, (c 0 R, sup ) Fukcja zbiega do 0 w ± wszystkie ie fukcje siedzą w pasku epsiloowym (podkreśleie ozacza ośrodkowość) Przestrzeie Baacha ciągów c, c 0, l, l, l Przestrzeie Baacha fukcyje C([0,]), CB(R), L (μ), L (μ) Układ wektorów x,, x V jest liiowo iezależy, jeśli α x + + α x = 0 α = = α = 0 Zbiór B V jest iezależy jeśli każdy jego podzbiór skończoy jest układem iezależym 7 Baza Hamela Zbiór B V to baza Hamela przestrzei liiowej V jeśli B jest zbiorem iezależym i każdy x V jest postaci α b + + α k b k k N b k B α k R Każda przestrzeń liowa V posiada bazę Hamela B Każdy zbiór B jest zawarty w jakiejś bazie Hamela B (,0,0, 0), (0,,0, 0),, R (0,0,0, ) : w c, c 0, l ie jest to baza Hamela ie ma p Jest to baza ciągów które od pewego miejsca mają 0 Szereg = x elemetów x przestrzei uormowaej (Baacha) V jest zbieży do x V jeśli ciąg sum częściowych s = l= x i zbiega do x w ormie 8 Baza Schaudera W przestrzei Baacha V zbiór B V to baza Schaudera, jeśli #B X każdy x V to graica szeregu α b, α R, b B 3 jeśli α b = β c to b, N = {c, N} Baza Schaudera to zbiór iezależy Jeśli przestrzeń Baacha ma bazę Schaudera to jest ośrodkowa (ie odwrotie) c, c 0, l, l : B = e, e, ; e i = (0,0,,,,0) Zbiór B (awet mierzal o tej własości, że x V moża przybliżać kombiacjami (x, 0,0, ) skończoymi z B ie musi mieć lim (x, x, ) Dzieleie przestrzei przez pseudoormę 0 = 0 x + y x + y 3 αx = α x Relacja rówoważości: x~y x y = 0 9

10 Baza Schaudera w L [0,] Każdą fukcję ciągłą a [0,] moża przybliżać jedostajie wielomiaami (które leżą gęsto w C[0,]),5 0,5 0 f f0 f f3 Przestrzeń zespoloa L (λ) a Π = {z: z = } 9 Iloczy skalary Daa jest przestrzeń liiowa V Iloczy skalary w V to fukcja <, > V V C (R) spełiająca waruki: < u, u > 0 < u, u >= 0 u = 0 < u, v >=< v, u > 3 α < u, v >=< αu, v > < u, αv >= α < u, v > 4 < u + v, w >=< u, w > +< v, w > < u, v + w >=< u, v > +< u, w > Jeśli day jest iloczy skalary to zadaje o ormę u = < u, u > Nierówość Schwarza: < y > x y Iloczy skalary jest ciągły x x y y < x, y > < y > 0 Przestrzeń uitara Przestrzeń uitara (V, <, >) Przestrzeń uitara zupeła to przestrzeń Hilberta R < x k, y k >= k= x k y k C < x k, y k >= k= x k y k 3 l < x k, y k >= k= x k y k 4 L λ < f, g >= fgdλ (w przypadku zespoloym waruek f dλ < ) X jest ortogoaly do y (x w przestrzei uitarej jeśli < y >= 0 Jeśli A 0 to zbiór o tej własości, że każde dwa elemety są x y A x y to A to zbiór iezależy Istieją układy iezależe ale ie parami ortogoale R 0,,, ; < 0,,, >= 0

11 Rzuty Jeśli V to przestrzeń uitara, W V to przestrzeń uitara i x W to wektor x W to rzut ortogoaly a W jeśli x x y y W Jeśli x W to x = x Jeśli W to przestrzeń Hilberta i W V to x V x w istieje Jeśli W jest rozpięta a skończeie wielu wektorach wzajemie ortogoalych to x V x w istieje W = li x, x,, x (x i x j i j ) Ortogoalizacja Gramma-Schmidta Jeśli x, x, to skończoy (przeliczal układ iezależy to istieje macierz trójkąta A z wartościami różymi od zera a przekątej tego samego wymiaru co moc układu wektorów x y taka, że jeśli układ wektorów otrzymay przez formaly iloczy A x = y jest układem ortoormalym Czyli y = a, x ; y = a, x + a, x ; 3 Pozostałe twierdzeia dot przestrzei Jeśli V to przestrzeń ośrodkowa uitara to każdy układ ortogoaly jest co ajwyżej przeliczaly Jeśli H to ośrodkowa przestrzeń Hilberta, to istieje w iej ortoormala baza Schaudera e, e,, e dż Co więcej, każdy elemet x H rozwija się jedozaczie w zbieży w dż ormie szereg Fouriera x = i= < e i > e i dż i= < e i > = x Lemat dż W przestrzei Hilberta układ ortoormaly x = z warukiem li x = H to baza Schaudera Istieje tylko jeda (z dokładością do izometryczego (uitarego) izomorfizmu) ośrodkowa iekoieczie wymiarowa przestrzeń Hilberta Modelem dla iej jest l (skończeie wymiarowa: R ; C ) Jeżeli X to przestrzeń zwarta a A to podalgebra w C(X) która jest gęsta gdy A rozdziela pukty i zawiera stałe x y y X A f(x) A Szkic dowodu f A f(x) f( Poadto w przypadku zespoloym f(x)

12 4 Operatory i fukcjoały Operator liiowy T: X Y to dowole liiowe przekształceie spełiające własości: T x + y = T x + T y T αx = αt(x) Jeśli X i Y są uormowae, to możemy żądać, by T był ciągły Zbiór takich operatorów ozaczamy α(x, Y) Poadto, jeśli Y = K, to operator ciągły T: X K azywamy fukcjoałem (f albo x ) Przestrzeń fukcjoala atomiast jest ozaczaa przez X Zamiast X (x) piszemy < x > (co jest oczywiście liczbą) X = R, Y = R m T: X Y T x = A x lub T x = x B X = C 0,, Y = C( 0, ) t T f t = f x dx lub T f = fg 0 0, g 0 C(X) 3 X = C 0,, Y = C( 0, ) T f = f 4 V = C(X), X zwarta μ - miara a X T μ f = fdμ Jeśli μ = δ x, to T δ f = fdμ = f(x 0 ) Operator T: X Y jest ograiczoy jeśli M T(K X 0, ) K Y (0, M) ( x X T x M x ) T α X, Y T jest liiowy i ograiczoy Norma operatora T to liczba T = if M: x K 0, T x M = sup T x : x = sup { T x : x = } x = sup { < x > : x } α(x, Y) z tak określoą ormą to przestrzeń liiowa uormowaa Jeśli Y to przestrzeń Baacha to α(x, Y) to przestrzeń Baacha X zawsze jest przestrzeią Baacha X (przestrzeń Baacha fukcjoałów ograiczoych) to przestrzeń duala do X (R ) R I ogólie dla przestrzei Hilberta H H (czyli istieje izomorfizm π: H H ; zamiast π(x) piszemy x ) V = C(X) (X zwarta) V M(X) (ograiczoe zakowae miary Borelowskie a X) C(x) f μ fdμ ; μ V l l L ( 0, ) = L (0,) l l L ( 0, ) = L (0,)

13 C(X) M ± (X) (miary zakowae ograiczoe; X - zwarta) W M ± (B) μ = μ + X + μ (X) bywa ormą Dla miary określamy ormę taką, jaka jest orma odpowiediego fukcjoału μ = sup { fdμ : f } Szkic dowodu 5 *-słabość V to przestrzeń Baacha V to przestrzeń Baacha, topologia ormowa Moża określić w V topologię *-słabą, a w V topologię słabą x x w V słabo, jeśli φ V φ(x ) φ(x) Jeśli x x w ormie, to zbiega słabo L ( π, π ), si cosx six = cost 0 six 0 w ormie W przestrzei Hilberta każdy podciąg bazy ortoormalej dąży do zera słabo Ciąg fukcjoałów x x x-słabo w V, jeśli y V < y, x > < y, x > Zbieżość fukcjoałów w ormie implikuje *-słabą zbieżość < v, x > < v, x >=< v, x x > v x x Możemy więc mówić o *-słabej zbieżości w zbiorze miar ograiczoych a przestrzei X μ slabo μ f C(x) fdμ fdμ 3