Przestrzenie sygnałów

Transkrypt

1 Przestrzeiesygałów

2 Przestrzeń metrycza Przestrzeie Rozważmy dowoly zbiór P oraz dowole elemety p, p, p3 P Jeżeli a parach elemetów zbioru P moża zdefiiować fucję (fucjoał) ρ, tai,że ( ) ( ) ρ p, p 0, ρ p, p = 0 p = p (, ) = (, ) ρ p p ρ p p (, ) (, ) (, ) ρ p p + ρ p p ρ p p 3 3 czyli { } + ρ : P P R 0 to fucjoał ρ azywa się metryą zbioru P, a zbiór P przestrzeią metryczą P

3 (, ) 0, (, ) 0 (, ) = (, ) (, ) + (, ) (, ) ρ p p ρ p p = p = p P = R ρ p p ρ p p ρ p p ρ p p ρ p p 3 3,, 3 (, ) R ρ = 3 ρ(, ) ρ(, ) (, ) ρ ρ(, ) ρ(, ) 3 (, ) ρ (, ) + (, ) = (, ) ρ(, ) + ρ(, ) > ρ(, ) ρ ρ ρ 3 3 Zbiór R jest przestrzeią metryczą R co zapiszemy ( R,ρ) = R

4 (, ) 0, (, ) 0 (, ) = (, ) (, ) + (, ) (, ) ρ p p ρ p p = p = p ρ p p ρ p p ρ p p ρ p p ρ p p 3 3 ierówość trójąta P = R R zbiór par liczb rzeczywistych (, y) y p = (, y ) y (, p ) ρ p (, ) p = y (, p ) ρ p 3 y (, p ) ρ p 3 3 y 3 (, ) p = y (, ) ( ) ( ) ρ p p = + y y metrya eulidesowa

5 y p = (, y ) y (, ) ρ p p Odległość eulidesowa (, ) y (, ) p = y ρ p p = + y y metrya tasówowa (miejsa, Mahatta) (, ) ma (, ) ρ p p = y y metrya szachowa

6 (, ) ρ p p = + y y (, ) = ( ) + ( ) ( ) ( ) m m, m ρm p p = + y y ρ p p y y (, ) ma (, ) ρ p p = y y Kula otwarta o środu p 0 i promieiu r: { }: (, ) y ( ) p0 = 0,0, r = ρ ρ y m N p ρ p p < r 0 y ρ Zbiór R R jest przestrzeią metryczą R = ( R R, ρ)

7 P =R R RR = p 3 = (, y, z ) P p = (, y, z ) P (, ) ρ p p = + y y + z z (, ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) m m m ρm p, p = + y y + z z ρ p p y y z z (, ) ma (,, ) ρ p p = y y z z m N 3 Zbiór R R R jest przestrzeią metryczą R = ( R 3, ρ)

8 Ogólie Zbiór P = R R R = R (,,, ) ( y, y,, y ) = P y = P razy Możliwe metryi: ( y ) z oreśloą metryą ρ jest przestrzeią metryczą R = ( R, ρ) P jest zbiorem -elemetowych ciągów liczbowych ρ, = y, = ( y) = ( ) ρ, y, = (, y) = ma{ } ρ y lub ogólie ρ (, y) = y m = m m

9 Niech X (, ρ) = X ozacza dowolą przestrzeń metryczą z metryą ρ { } dowoly iesończoy ciąg elemetów tej przestrzei ɶ X wyróżioy put przestrzei X Defiicja. Jeżeli { } ε> 0 N > N (, ɶ ) ρ < ε to ciąg jest zbieży w sesie metryi ρ do ɶ azywa się graicą ciągu { } co zapisujemy, ɶ lim =ɶ

10 Przyład. Przestrzeń z metryą (, ) R ρ = { } : = ɶ = + 3, = = + + ( ɶ ) ρ < dla ε > N > + + ε Wiose: { } ɶ =, Ciąg jest zbieży w sesie metryi ρ, a jego graicą jest czyli + 3 lim = +

11 Defiicja. { } ( ) Ciąg elemetów przestrzei metryczej X = X, ρ azywamy ciągiem Cauchy ego, jeżeli ε> 0 N m, > N (, ) ρ < ε m Ozacza to, że odległość między elemetami ciągu o dostateczie dużych umerach może być dowolie mała. { } Wówczas ( ɶ ) ( ɶ) Rozważmy ciąg zbieży do ɶ X w sesie defiicji. ρ, < ε dla > N ρ, < ε dla m > N m Z ierówości trójąta ρ(, ) ρ(, ɶ ) + ρ(, ɶ ) m m Dla m, > N = ma { N, N }: ( m, ) Wiose: ρ < ε + ε = ε Każdy ciąg elemetów przestrzei metryczej X, zbieży w sesie defiicji, jest ciągiem Cauchy ego.

12 Przyład. Rozważmy przestrzeń metryczą ( ) z metryą ρ q, q = q q i ciąg q q q q q q q { } q : q = 0 0 =,4 =,4 =,44 =, 44 =, 44 =, 443 =, 4436 Q Jeżeli m > to q < 0 qm ε (, ρ) = Q Q zbiór liczb wymierych czyli ciąg {q } jest ciągiem Cauchy ego ozacza część całowitą liczby Graicą tego ciągu jest liczba Q, czyli ciąg ie jest zbieży w przestrzei Q

13 Defiicja 3. ( ) Jeżeli w przestrzei metryczej X = X, ρ ażdy ciąg Cauchy ego jest zbieży w sesie metryi ρ, tz. jego graica jest elemetem przestrzei X, to przestrzeń X = X, ρ jest azywaa przestrzeią zupełą. ( ) Wiose: przestrzeń Q z przyładu ie jest przestrzeią zupełą. Jeżeli zbiór X rozszerzymy, w tym sesie, że dołączymy do iego graice wszystich ciągów Cauchy ego ie ależące do X, wówczas ta powstały zbiór X { Graice wszystich = X } ciągów Cauchy ego azywa się uzupełieiem zbioru X i z metryą ρ tworzy zupełą przestrzeń metryczą X (, ρ) = X azywaą uzupełieiem przestrzei X.

14 ( ) Metryę ρ, y,, y X defiiuje się jao:., y X (, ) = ρ(, y) ρ y ( ). X, y X, czyli y X \ X Wówczas istieje ciąg { y }, y X, tai, że y = lim y. Wtedy 3. X, ( ) = ρ( y ) ρ, y lim, y X = lim, X, y = lim y, y X, (, ) = lim (, ) ρ y ρ y Zagada: Q =?

15 Q (, ρ ) = Q { ( ) } 7 7,l 4, 3,,π,,e,,e, Q = Q =R ρ = a b gdy a, b Q (, ) ρ = = ( ) ρ a, r =? gdy a Q ale r R \ Q r R \ Q r = lim r, r Q ( ) ρ a, r = lim a r ρ ( ), = lim q q = 0 0 Q = R

16 Przyłady przestrzei metryczych. Przestrzeń ciągów sończoych R y = (,,, ) ( y, y,, y ) = (, y), y R, y R Często wygodie jest utożsamiać elemety przestrzei R z macierzami olumowymi = = = m m ρ y ρ (, y) = ( y ) ρm (, y) = y = = ρ (, y) = ma{ y } Przestrzeń R jest przestrzeią zupełą y y y = y

17 . Przestrzeń zespoloych ciągów sończoych C C (, ρ) = C y = (,,, ) ( y, y,, y ) =, y C, y C (, y) ρ y = = m m ρ (, y) = y ρm (, y) = y = = ρ (, y) = ma{ y } Przestrzeń C jest przestrzeią zupełą

18 3. Zbiór sygałów aalogowych (rzeczywistych lub zespoloych) o sończoej eergii z metryą E = t t < ( ) d ( ) = ( ) ( ) ρ, t t dt jest przestrzeią metryczą zupełą, ozaczaą L lub L (, ) ( ) 0 dla < 0, Podobie, zbiór sygałów przyczyowych t t < taich, że e z metryą 0 ( ) E = t dt < ( ) = ( ) ( ) ρ, t t dt 0 jest przestrzeią metryczą zupełą, ozaczaą L ( 0, )

19 4. Zbiór sygałów oresowych (rzeczywistych lub zespoloych) o sończoej mocy ( ) ( ) t = t T, Z t + T 0 P = ( t) dt < T t 0 z metryą t + T 0 ρ (, ) = ( t ) ( t ) d t T t 0 jest przestrzeią metryczą zupełą, ozaczaą L T

20 5. Zbiór iesończoych ciągów (rzeczywistych lub zespoloych) o sończoej eergii z metryą E = [ ] = < (, ) = [ ] [ ] ρ = jest przestrzeią metryczą zupełą, ozaczaą l lub l (, ) Podobie, zbiór iesończoych ciągów przyczyowych [ ] = 0 dla < 0 z metryą E = 0 [ ] = < (, ) = [ ] [ ] ρ = 0 jest przestrzeią metryczą zupełą, ozaczaą l ( 0, )

21 Przestrzeń liiowa (wetorowa) Rozważmy zbiór V o elemetach u, v, w, itd. Zbiór te azywamy przestrzeią liiową V, jeżeli a elemetach zbioru V A. moża oreślić operację dodawaia, ie wyprowadzającą poza zbiór V o własościach: u, v V u + v = s V. Przemieość: u + v = v + u. Łączość: u + ( v + w) = ( u + v) + w 3. Istieje elemet eutraly dodawaia 0 V tai, że dla dowolego v V v + 0 = 0 + v = v grupa abelowa addytywa 4. Dla ażdego v V istieje elemet przeciwy v V tai, że v + ( v) = ( v) + v = 0

22 B. moża zdefiiować możeie przez salar, ie wyprowadzające poza zbiór V o własościach α v V, α R. rozdzielość względem dodawaia elemetów α ( ) u + v = α u + α v. rozdzielość względem dodawaia salarów ( ) 3. możeie salarów α β v α + β v = α v + β v ( ) = ( αβ) 4. elemetem eutralym możeia przez salar jest liczba, czyli v = v v W przypadu przestrzei zespoloych powyższe warui obowiązują dla α, β C

23 Przestrzeią liiową jest więc zbiór, tórego elemety moża, według oreśloych reguł, dodawać i możyć przez liczbę, a wyii tych operacji są rówież elemetami tego zbioru. Przyłady:. Nie jest przestrzeią liiową p. zbiór figur a szachowicy. Zbiór wetorów a płaszczyźie jest przestrzeią liiową u v u u+ v u u v u αu α > αu 0 < α < αu < α < 0

24 3. Zbiór wetorów w przestrzei trójwymiarowej jest przestrzeią liiową Reguły dodawaia i możeia przez salar są prostym uogólieiem reguł a płaszczyźie 4. Zbiór ciągów -elemetowych R jest przestrzeią liiową u u u = u v u v u + v v v = u v u + v u + v = + = v u v u + v u u u u u = = u u = 0 u αu u αu αu = α = u αu Aalogiczie dla zespoloych ciągów w przestrzei liiowej C

25 5. Zbiory sygałów o ograiczoej eergii ( ) ( ) ( ) t : t d t < lub t dt < uzupełioe sygałem zerowym są przestrzeiami liiowymi L 0 ( t) 0 (, ) i L ( 0, ) 6. Zbiór sygałów oresowych o sończoej mocy 0 ( t) = ( t T ) : ( t) dt < T t + T t 0 uzupełioy sygałem zerowym jest przestrzeią liiową L T ( t) 0 7. Zbiory sygałów dysretych o sończoej eergii [ ]: [ ] lub [ ] < < = = 0 uzupełioe sygałem zerowym są przestrzeiami liiowymi l [ ] 0 (, ) i l ( 0, )

26 Defiicja. Zbiór elemetów przestrzei liiowej V v, v,, v, v { } azywamy liiowo iezależym jeżeli jedyym rozwiązaiem rówaia V α v + α v + + α v = 0 α = α = = α = jest 0 Wiosi:. Liiowa iezależość elemetów v, v,, v ozacza, że żade z tych elemetów ie może być przedstawioy jao ombiacja liiowa pozostałych.. Elemet v = 0 ie ależy do żadego zbioru elemetów liiowo iezależych. Defiicja. Jeżeli ażdy zbiór elemetów liiowo iezależych w przestrzei V zawiera ie więcej iż elemetów, to przestrzeń V azywa się przestrzeią -wymiarową.

27 Przyład. Zbiór wetorów a płaszczyźie v v αv αv u = α v + α v Wiose: Zbiór wetorów a płaszczyźie jest przestrzeią liiową dwuwymiarową

28 Przyład. Przestrzeń R i zbiór elemetów z tej przestrzei ( ) ( ) v v v m ( ) ( ) ( ) v v vm v =, v =,, vm = ( ) ( ) ( ) v v v Utwórzmy macierz m [ ] V v v v ( ) ( ) ( ) v v v v v v ( ) ( ) ( ) m = m = o wymiarach m m v v vm ( ) ( ) ( ) ( )

29 Przypomieie z algebry Rozważmy macierz A o w wierszach i olumach Rzędem macierzy A azywamy liczbę liiowo iezależych wierszy tej macierzy, tóra jest rówa liczbie liiowo iezależych olum. Musi więc zachodzić: ( w ) rząd A mi, Macierz azywa się macierzą masymalego rzędu, gdy = ( w ) rząd A = mi, Jeżeli w < i macierz A jest macierzą masymalego rzędu, to wiersze tej macierzy są liiowo iezależe i w macierzy tej moża wybrać doładie w olum liiowo iezależych. Jeżeli w = i macierz A jest wadratową macierzą masymalego rzędu, to zarówo wiersze ja i olumy tej macierzy są liiowo iezależe i macierz ta jest macierzą ieosobliwą, czyli det A 0.

30 [ ] V v v v ( ) ( ) ( ) v v v v v v ( ) ( ) ( ) m = m = m v v vm ( ) ( ) ( ) Jeżeli m > i macierz V jest macierzą masymalego rzędu, to jej wiersze są liiowo iezależe, a spośród jej m olum moża wybrać doładie olum liiowo iezależych. Wiosi:. Przestrzeń R jest przestrzeią wymiarową. { }. Jeżeli v jest zbiorem liiowo iezależych elemetów przestrzei R,, v,, v to ( ) ( ) ( ) v v v ( ) ( ) ( ) v v v det[ v v v ] = det 0 ( ) ( ) ( ) v v v

31 Przyład 3. Przestrzeń ( ) t L T L T ( ) ( ) t = t T, Z t0 + T P = ( t) dt < T t0 { } Zbiór elemetów tej przestrzei ( t) jest liiowo iezależy. π ( ( t ) = si t, T N { ( )} Zbiór t słada się z iesończoej liczby elemetów, czyli przestrzeń jest przestrzeią iesończeie wymiarową. L T

32 Przestrzeń uormowaa Rozważmy przestrzeń liiową V o elemetach v, v, v 3, itd. Przestrzeń tę azywamy przestrzeią uormowaą V, jeżeli a jej elemetach moża zdefiiować odwzorowaie i : V R + 0 przyporządowujące ażdemu elemetowi v, v rzeczywistą ieujemą liczbę, ozaczaą v, v o własościach:. v 0, v = 0 v = 0. α v = α v, α R lubc 3. v + vl v + vl l l V to przestrzeń V azywa się przestrzeią uormowaą, a liczbę v azywa się ormą elemetu v.

33 Przyład. Przestrzeń wetorów a płaszczyźie v Normą wetora może być jego długość v v + u v + u v u v u v + u > v + u ierówość trójąta

34 Przyład. Przestrzeie R i C Jeżeli v ( ) = v, v,, v R lub C to możliwe są ormy: v v = = = v = v v m m m = v = v = ma { v } Jeżeli v iterpretujemy jao put w przestrzei wymiarowej, to orma jest odległością, mierzoą według oreśloej metryi, tego putu od początu uładu współrzędych

35 Przyład 3. Przestrzeń L (przestrzeń sygałów o sończoej eergii) ( ) ( ) t L E = t dt < Moża zdefiiować ormę: = ( t) dt Przyład 4. Przestrzeń l (przestrzeń ciągów o sończoej eergii) [ ] [ ] l E = < = Moża zdefiiować ormę: [ ] = = Normą przestrzei L i l może być pierwiaste wadratowy z eergii

36 Przyład 5. Przestrzeń L T (przestrzeń sygałów oresowych o sończoej mocy) ( t) = ( t T ), Z t0 + T T t ( ) ( ) t L P = t dt < T Normą tej przestrzei może być 0 0 t + T 0 + ( ) = t dt T t 0 czyli pierwiaste wadratowy z mocy sygału. W eletrotechice pierwiaste wadratowy z mocy sygału azywa się wartością suteczą

37 W przestrzei liiowej uormowaej V z ormą i moża zdefiiować metryę v, v V (, ) ρ v v = v v Metryę taą azywa się metryą iduowaą przez ormę Każda przestrzeń liiowa uormowaa jest przestrzeią metryczą Defiicja Przestrzeń liiową uormowaą ormą i, z metryą iduowaą przez tę ormę i zupełą w tej metryce, azywa się przestrzeią Baacha Przestrzeie R, C, L, L, l są przestrzeiami Baacha T

38 Stefa Baach Stefa Baach, prawdziwy geiusz matematyczy, światowej sławy matematy. Zaczyał jao samou, a w rótim czasie został twórcą aalizy fucjoalej, owego działu matematyi. Urodził się w 89 rou w Kraowie, gdzie spędził młodość. Przełomowym wydarzeiem a drodze jego błysotliwej ariery stało się spotaie a raowsich Platach w 96 rou z profesorem matematyi, Hugoem Steihausem, tóry uzając późiej Baacha za swoje ajwięsze auowe odrycie pomógł mu otrzymać asysteturę w Katedrze Matematyi a Wydziale Mechaiczym Politechii Lwowsiej. W 90 rou, ie mając uończoych studiów matematyczych, Stefa Baach otrzymał dotorat a Uiwersytecie im. Jaa Kazimierza we Lwowie, gdzie po czterech latach został profesorem. W 935 rou został zaproszoy do wygłoszeia plearego wyładu a Międzyarodowym Kogresie Matematyów w Oslo. Wrótce przed wybuchem II wojy światowej Stefaa Baacha wybrao a prezesa Polsiego Towarzystwa Matematyczego. Zmarł latem 945 rou we Lwowie.

39 Iloczy salary Wetory a płaszczyźie u u Iloczy salary wetorów α ui v = u v cosα y v v u = u i + u j, v = v i + v j y y u y v y j i α u u u α v v v u = u + u, v = v + u ( ) y y cos α α = cosα cosα + siα siα = u v u v u v u v u vy u v u v y = + ( ) ui v = u v = + cos αu αv uv uyvy

40 u v u v uiv = 0 u v u v uiv = u v uiu = u u = uiu y j v y i v v i, j wetory bazowe a płaszczyźie ii j = 0 baza ortogoala iii = ji j = baza ortoormala Dowoly wetor v moża przedstawić jao v = vi + vyj ( ) vii = v i + v jii = v iii + v jii = v y y ( ) vij = v i + v jij = v iij + v jij = v y y y rzut ortogoaly wetora v a oś rzut ortogoaly wetora v a oś y

41 Wetory w przestrzei 3D z v z Baza ( i, j, ) iij = ii = ji = 0 iii = jij = i = Baza ortoormala i j v v y y v = v i + v j+ v y z v = vii v = vij v = vi y z v v = ( v, vy, vz ) reprezetacja wetora v w bazie (i, j, ) w = w i + w j+ w y z ( ) viw = v w cos v, w viw = vw + vywy + vzwz

42 Przestrzeń uitara P przestrzeń liiowa, y, z P, α, β C Iloczyem salarym, oreśloym w przestrzei P azywamy odwzorowaie, : P P C przyporządowujące parze uporządowaej elemetów spełiające warui:, y P liczbę, y C., y = y, * sprzężeie zespoloe. α + βy, z = α, z + β y, z 3., 0, przy czym, = 0 = 0 Przestrzeń z ta zdefiiowaym iloczyem salarym azywa się przestrzeią uitarą Uwaga: spotya się rówież ozaczeie ( y),, y

43 Jeżeli przestrzeń P jest przestrzeią rzeczywistą, iloczy salary defiiuje się jao:., y = y,, : P P R. α + βy, z = α, z + β y, z, α, β R 3., 0, przy czym, = 0 = 0 czyli ażdej parze elemetów, y P przyporządowujemy rzeczywistą liczbę, y Własości iloczyu salarego: 0, = 0 P, spełia warui ormy, czyli moża zdefiiować ormę przestrzei =,, y, y, y = y (ierówość Schwarza-Buiaowsiego)

44 Defiicja Przestrzeią Hilberta azywamy przestrzeń liiową: uitarą, z iloczyem salarym, y uormowaą, z ormą =, metryczą, z metryą iduowaą przez ormę, tz. (, ) zupełą w sesie tej metryi ρ y = y Przestrzeią Hilberta jest przestrzeń Baacha, w tórej oreśloy został iloczy salary, y, a orma została zdefiiowaa jao =,

45 David Hilbert David Hilbert Ur. 3 styczia 86 w Królewcu, zm. 4 lutego 943 w Getydze matematy iemieci. Był profesorem uiwersytetu w Getydze, jedego z ajważiejszych wówczas ośrodów myśli matematyczej w świecie. W pierwszym oresie swej działalości auowej pracował ad teorią iezmieiów algebraiczych. Udowodił waże twierdzeie o istieiu sończoej bazy dla uładu iezmieiów. Badaia Hilberta w zaresie rachuu wariacyjego oraz teorii rówań całowych doprowadziły do powstaia ważego pojęcia przestrzei, azwaej późiej przestrzeią Hilberta, oraz iych pojęć aalizy fucjoalej, w szczególości aparatu matematyczego mechaii watowej. Na początu lat dwudziestych Hilbert podjął badaia w zaresie podstaw matematyi. Jego prace wywarły duży wpływ a rozwój matematyi. W 900 r., a Międzyarodowym Kogresie Matematyów w Paryżu, Hilbert przedstawił 3 zagadieia dotyczące podstawowych, według iego, ieruów badań matematyczych, tóre do dzisiaj przyciągają uwagę matematyów całegoświata.

46 Przyłady przestrzei Hilberta. Przestrzeń C, y Iaczej (,,, ), y ( y, y,, y ) = = = = y y y t =, y =, y = y y Przestrzeń R moża pomiąć *

47 . Przestrzeń L { ( )} ( ) t : E = t dt < = ( ) ( ), y t y t dt 3. Przestrzeń L T t : P = t dt < T { ( ) } ( ) T, y = ( t) y ( t) dt T 4. Przestrzeń l 0 E { [ ]} : [ ] T 0 = < =, y = = [ ] [ ] y

48 v u u v π u, v = uiv = u v cos = 0 u + v u u u + v v v u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v jeżeli Udowodiliśmy twierdzeie Pitagorasa u, v = 0 to u + v = u + v X przestrzeń uitara, X Defiicja Elemety, azywa się ortogoalymi, jeżeli, = 0, = 0 Jeżeli, = 0 to + = +

49 Baza przestrzei Przestrzeń C Przestrzeń jest wymiarowa, więc dowoly liiowo iezależy zbiór elemetów tej przestrzei ie może zawierać więcej iż elemetów. Defiicja Dowoly zbiór liiowo iezależych elemetów przestrzei C azywa się bazą tej przestrzei, a przestrzeń C azywa się przestrzeią rozpiętą a tej bazie. Niech zbiór { }, =,, będzie bazą przestrzei C Wówczas dowoly elemet y C może być przedstawioy jao ombiacja liiowa elemetów bazy, czyli y = = α

50 X wymiarowa przestrzeń uitara { }, =,, baza tej przestrzei y X y = α = Ozaczmy α α α = α ( lub ) α R C jest reprezetatem elemetu w bazie { } α, α,, α y X sładowe (współrzęde) elemetu w bazie { } y X Ja wyzaczyć α?

51 y X : y α = = = y, α, = = y, α, = = y, α, = y,,,, α y,,,, α = y,,,, α α,,, y, α,,, y, = α,,, y,

52 Baza ortogoala { },,, Niech = będzie bazą wymiarowej przestrzei uitarej X, Defiicja. { } Bazę azywa się bazą ortogoalą gdy, l 0 gdy l = c 0 gdy l = Defiicja. { } Bazę azywa się bazą ortoormalą gdy, l 0 gdy = gdy l l = Baza ortogoala wyzacza w przestrzei X prostoąty uład współrzędych, zaś baza ortoormala załada dodatowo =, =,,.

53 y X : y α = Jeżeli { } jest bazą ortoormalą, to = α,,, y, α,,, y, = α,,, y, α 0 0 y, y, α 0 0 y, y, = = α 0 0 y, y, czyli α = y,, =,,, Nie potrzeba odwracać macierzy!

54 y, z X : y = α, z = β = = l l l l = l= = l= = αβ y, z = α, β = α β, = α β =, y, z = αβ, Jeżeli baza jest ortoormala, to iloczy salary elemetów przestrzei X rówy iloczyowi salaremu ich reprezetatów w przestrzei R lub C jest { },,, Niech = będzie dowolą (ieortogoalą) bazą wymiarowej przestrzei uitarej X Bazę ortogoalą (ortoormalą) moża otrzymać stosując algorytm azyway procedurą ortoormalizacji Grama-Schmidta.

55 { } { } Geerujemy zbiory y i z, =,, zgodie z procedurą reurecyją: y = z = y =, z z z = y =, z z, z z z = y =, z z z = j j j=... y =, z z z = j j j= y y y y y y y y y y 3 3 { y } { } Zbiór jest bazą ortogoalą przestrzei X, a zbiór bazą ortoormalą z

56 Zbiory iesończoe Zbiory A i B azywamy rówoliczymi, gdy istieje wzajemie jedozacze przyporządowaie (bijecja) elemetów tych zbiorów A B Zbiory iesończoe też moża porówywać Zbiór liczb aturalych: Zbiór liczb parzystych: Zbiory są rówolicze!

57 Mocą zbioru A (liczbą ardyalą), ozaczaą A azywamy: zbiory sończoe A = gdzie jest liczbą elemetów zbioru zbiory iesończoe liczby ardyale są tzw. liczbami pozasończoymi N ℵ 0 ℵ litera alef Jeżeli A jest rówoliczy ze zbiorem N to A = ℵ0 Defiicja Zbiór o mocy azywa się zbiorem przeliczalym ℵ 0

58 Zbiorami przeliczalymi są: Zbiór liczb całowitych Jeżeli A = ℵ 0 i B = ℵ0 A B A B A A A = ℵ 0 = ℵ 0 = ℵ 0 = ℵ0 Liczby wymiere lasy abstracji a zbiorze Z Z \ 0 Z = ℵ Q = ℵ 0 0 Nie jest przeliczaly zbiór R R = c > ℵ 0 Zbiór R jest mocy cotiuum

59 Przestrzeie iesończeie wymiarowe Niech P będzie iesończeie wymiarową przestrzeią Hilberta Defiicja. Przestrzeń P azywa się przestrzeią ośrodową, jeżeli istieje w iej przeliczaly zbiór gęsty, azyway ośrodiem. Q P Przyład azywa się zbiorem gęstym, gdy Q p Pε> 0 q (, ) ρ p q < ε W przestrzei R ośrodiem jest zbiór Q Q Q zbiór liczb wymierych W przestrzei R ośrodiem jest zbiór Q Q = ℵ Q = ℵ 0 0

60 Defiicja. { } Zbiór u : N liiowo iezależych elemetów przestrzei Hilberta P azywa się zbiorem domiętym (zupełym) jeżeli w przestrzei P ie istieje elemet liiowo iezależy od {u }. Zbiór tai może staowić bazę przestrzei P, tz. dowoly elemet tej przestrzei moża przedstawić jao ombiację liiową elemetów bazy. Elemety bazy moża umerować a róże sposoby. Ogólie zbiór idesów elemetów staowiących bazę jest pewym przeliczalym zbiorem B Przyładowo: B N,,3, liczby aturale N { 0} 0,,, liczby aturale i zero = Z,,,0,,, liczby całowite N N (, ),(, ),(, ),(, ), pary liczb całowitych (podwóje idesy) B = ℵ 0

61 Defiicja 3. { } Niesończoy przeliczaly zbiór u : B elemetów przestrzei Hilberta P azywa się bazą ortogoalą tej przestrzei, jeżeli: elemety u są parami ortogoale, w przestrzei P ie istieje elemet ortogoaly do wszystich elemetów zbioru {u } (zbiór jest domięty). Przyład Przestrzeń : L T π a) zbiór { }: = cos t, N jest zbiorem ortogoalym, ale ie jest T bazą tej przestrzei, bo istieją w iej elemety ortogoale do ażdego, p. π si t T { } π j t T b) zbiór u : Z : u = e jest bazą ortogoalą przestrzei L T

62 Defiicja 4. { } Niesończoy przeliczaly zbiór u : B elemetów przestrzei Hilberta P azywa się bazą ortoormalą tej przestrzei, jeżeli: zbiór {u } jest bazą ortogoalą, u = dla ażdego. Twierdzeie W ośrodowej przestrzei Hilberta istieje co ajmiej jeda baza. Na podstawie dowolego domiętego zbioru liiowo iezależego {u } (dowolej bazy przestrzei) moża wygeerować bazę ortogoalą (ortoormalą) stosując iteracyją procedurę Grama-Schmidta

63 Uogólioy szereg Fouriera P ośrodowa przestrzeń Hilberta sygałów { u : } B baza ortoormala tej przestrzei ( ) ( ), = t u = u t (argumet t a razie pomijamy) Każdy sygał P moża przedstawić jao ombiację liiową sygałów bazowych, czyli w postaci szeregu: Rówość ozacza, że czyli = B α u αu 0 B = α u = B 0

64 = B α u, u = α u, u = α u, u = α l l l l l B l B Szereg = B α =, u α u azywa się uogólioym szeregiem Fouriera elemetu (sygału), oreśloym względem bazy ortoormalej { u B} { } :. Zbiór α azywa się rzutem sygału w przestrzei P a sygały : B bazowe u Współczyii azywają się sładowymi (współrzędymi) sygału α

65 Jea Baptiste Joseph Fourier ur: marca 768 w Auerre Fracja zm: 6 maja 830 w Paryżu Fracja Matematy fracusi Kierowi atedry aalizy w École Polytechique w Paryżu (od 86 r.), a od 87 r. retor Ogromej wagi prace i badaia zapewiły mu sławę światową. Jego metody są zupełie orygiale, a teoria rówań zawdzięcza mu wiele istotych ulepszeń. Fourier pracował ad teorią ciepła i aalizą szczególie ad teorią fucji, rachuiem całowym i ad rówaiami różiczowymi. Zasadiczą jeda dziedzią jego zaiteresowań była fizya matematycza. Już w 807 i 8 rou przedstawił Académie des Scieces (parysiej Aademii Nau) swoje pierwsze odrycie, a w 8 rou opubliował pracę Aalitycza teoria ciepła. Praca ta była putem wyjścia do stworzeia teorii szeregów trygoometryczych i opracowaia ietórych zagadień aalizy matematyczej. Szeregi te azwae jego imieiem (szeregi Fouriera) odegrały wielą rolę i są często stosowae. Wyiiem prac Fouriera ad liczbowymi metodami rozwiązywaia rówań algebraiczych jest wydaa już pośmiertie (w 83r.) Aaliza oreśloych rówań.

66 Przyład Przestrzeń 3-wymiarowa wetorów z bazą ortoormalą { i, j, } v = v i + v j+ v dowoly wetor y z Poszuujemy wetora vɶ = vɶ i + vɶ j, y tóry będzie ajlepszym przybliżeiem wetora v, w sesie miimalizacji ormy wetora ε = v vɶ ( ɶ ) ( ɶ ) ε = v v i + v v j + v y y z ( ) ( ) y y z ε = v vɶ + v vɶ + v Miimum będzie osiągięte gdy czyli vɶ = v i vɶ = v vɶ = v i + v j oraz ε = v y z y y

67 z v z v v i ˆv j vɶ ˆε ε v y y vɶ rzut ortogoaly wetora v a płaszczyzę (, y) Własości: dla ażdego ( ) vˆ vɶ, vˆ, y zachodzi v vˆ > v vɶ wetor ε = v vɶ jest ortogoaly do ażdego wetora a płaszczyźie (, y)

68 z v i j v vɶ v y y v Zacząco róże wetory mogą mieć tai sam rzut ortogoaly

69 Aprosymacja sygałów szeregami sończoymi P ośrodowa przestrzeń Hilberta sygałów { u : = } P B N baza ortoormala tej przestrzei P wymiarowa podprzestrzeń, rozpięta a bazie { u : =,,, } Dla zadaego P \ P ależy zaleźć ɶ P, taie, aby orma błędu aprosymacji ε = ɶ osiągała wartość miimalą: ε = ɶ mi = α u, α =, u, ɶ = β u = = ( ) ε = ɶ = α u β u = α β u + α u = = = = + ( ) ε = ɶ = α u β u = α β u + α u = = = = = + ( ) = α β u + α u = α β + α = = + = = +

70 ε = α β + α = = + ε mi gdy β = α =, u, =,,, Twierdzeie o rzucie ortogoalym Jeżeli P jest iesończeie wymiarową przestrzeią Hilberta, a P jej wymiarową { } podprzestrzeią, rozpiętą a ortoormalej bazie u :,,,, to dla ażdego = P istieje jedyy elemet tai, że dla ażdego = = ɶ, u u ɶ P ˆ ɶ, ˆ P zachodzi ˆ > ɶ elemet ɶ jest ortogoaly do ażdego elemetu z podprzestrzei P

71 α 3 u 3 εɶ u u ˆε i α α ˆ ɶ εˆ = ˆ > εɶ = ɶ

72 ( ) α 3 ( ) α 3 3 ε u 3 u u ε α α ɶ róże sygały i są aprosymowae taim samym sygałem ɶ błędy aprosymacji są zacząco róże ażdy sygał 3, tai, że u i u jest aprosymoway sygałem zerowym 3 3

73 Zwięszeie doładości aprosymacji moża uzysać dodając do sończoej bazy ortoormalej oleje elemety, czyli zwięszając. { } Powstaje ciąg sygałów aprosymujących ɶ gdzie -ty sygał, ɶ,, ɶ,, ɶ = αu = Dla ażdego :, ε = ɶ ε + ɶ = ε = ɶ = ɶ ɶ = α u = α u = α u = α = = = = ε = α = 0 = α = α ierówość Bessela

74 = α < Wiose: { } Ciąg α jest elemetem przestrzei l, α,, α, Nierówość Bessela staje się rówością, gdy zbiór sygałów ortoormalych {,,,, } u u u (staowi bazę tej przestrzei). Wówczas rozpia całą przestrzeń P, tz. jest zbiorem domiętym = = α Rówość Parsevala

75 Uogólioy szereg Fouriera względem wyróżioej bazy ortoormalej w przestrzei Hilberta P jest wzajemie jedozaczym odwzorowaiem przestrzei P w przestrzeń Hilberta l ciągów liczbowych (rzeczywistych lub zespoloych) sumowalych z wadratem. χ : P l (,, ) P α = α α l (,, ) y P β = β β l χ ( ) =α χ ( y) =β, y P : = α u, y = β u r r = r =, y = α u, β u = α β u, u = α β =, P αβ r r r r = r = = r = = l. y = αβ, P l

76 ( y) χ + = α + β ( ) α, χ a = a a R odwzorowaie liiowe, y = αβ, P l P = α l Odwzorowaie o taich własościach azywa się odwzorowaiem izometryczym Każda ośrodowa przestrzeń Hilberta jest izometrycza z przestrzeią l