1. Miara i całka Lebesgue a na R d

Transkrypt

1 1. Miara i całka Lebesgue a a R d 1. Miara. Mówimy, że rodzia podzbiorów S zbioru Ω jest σ-ciałem, jeśli wraz z każdym zbiorem zawiera oa jego dopełieie i jest zamkięta a sumowaie przeliczalych podrodzi. Fukcję zbioru ϕ : S [0, ], która jest przeliczalie addytywa, tz. spełia waruek ( ) (1.1) ϕ A k = ϕ(a k ), jeśli A k S są parami rozłącze, azywamy miarą a σ-ciele S. Zacziemy od pewych ogólych własości miary ϕ a σ-ciele S Jeśli E k S jest wstępującym ciągiem zbiorów, to ( ) ϕ E k = lim ϕ(e k). k Dowód. Niech A 1 = E 1 oraz A = E \ E 1 dla 2. Łatwo zauważyć, że zbiory A są parami rozłącze i E k = A. Zatem ( ϕ ) ( ) E k = ϕ E = =1 ( = lim ϕ k k =1 =1 ϕ(a ) = lim ϕ(a ) k =1 A ) = lim k ϕ(e k) Jeśli E k S jest zstępującym ciągiem zbiorów skończoej miary, to ( ) ϕ E k = lim ϕ(e k). k Dowód. Niech E = E k i iech A k = E k \ E k+1 dla k 1. Łatwo zauważyć, że zbiory A k są parami rozłącze i E = E A k, Zatem ϕ(e ) = ϕ(e) + k= ϕ(a k ), gdzie drugi wyraz sumy dąży do zera, bo jest resztą zbieżego szeregu ϕ(a k ) ϕ(e 1 ). k=

2 2 Nietrudo zauważyć, że przekrój dowolej ilości σ-ciał jest też σ-ciałem. Dlatego dla każdej rodziy zbiorów A 2 Ω moża mówić o ajmiejszym σ-ciele zawierającym A. Fukcję zbioru ϕ : 2 Ω [0, ], która jest przeliczalie podaddytywa, tz. spełia waruek (1.4) ϕ ( ) A k ϕ (A k ), jeśli A k Ω, azywamy miarą zewętrzą a Ω. Pojęcie miary zewętrzej wystąpi w dowodzie aszego podstawowego twierdzeie. Zbiory postaci (2.1) A = 2. Półpierścień przedziałów [a k, b k ) będziemy azywali przedziałami (półotwartymi) w R, a rodzię wszystkich takich przedziałow ozaczymy przez P. Liczbę A = (b k a k ) azwiemy objętością przedziału Jeśli A i B są przedziałami, to A B jest także przedziałem, atomiast A \ B jest sumą ie więcej iż 2 rozłączych przedziałów. Rozbiciem przedziału A będziemy azywali rodzię parami rozłączych podprzedziałów π = {A k }, taką że A = k A k Dla każdej pary rozłączych przedziałów A 1, A 2 istieje rozdzielająca je hiperpłaszczyza. Dowód. Istieje oś, powiedzmy o umerze j, taka że rzuty A 1 i A 2 są rozłącze. Zatem dla pewej liczby 2.4. Jeśli {A k } jest rozbiciem A P, to, Dowód. Niech A 1 {x A : x j < c}, A 2 {x A : x j c}. A = A = A k. N A k R, k 1

3 gdzie suma jest rozłącza i A k są iepuste. Przeprowadzimy idukcję ze względu a N. Jeśli N = 1, to ie ma czego dowodzić. Gdy N 2, korzystając z (2.3), widzimy, że istieje hiperpłaszczyza x j = c, taka że A = B C, a poadto A 1 B, A N C. Mamy więc B = B = {x A : x j < c}, C = {x A : x j c}, N 1 B A k, C = N C A k. Zatem, jeśli twierdzeie jest prawdziwe dla rozbić co ajwyżej N 1-elemetowych (założeie idukcyje), to A = B + C = 2.5. Lemat. Jeśli P P i to P k=2 N B A k + C A k = I k, I k P, P I k. N A k. Dowód. Niech ε > 0. Dla każdego k iech A k P będzie takie, że I k A o k i A k ε/2 k. Niech poadto Q będzie przedziałem, takim że Q P i P Q + ε. Wtedy Q k A o k, 3 a więc a mocy zwartości Q istieje N, takie że N Q A k, skąd N P Q + ε A k + 2ε I k + 2ε. Wobec dowolości ε, otrzymujemy tezę Wiosek. Jeśli P P i P = I k, I k P, gdzie przedziały I k są parami rozłącze, to P = I k.

4 4 Dowód. Wiemy już, że P I k. Z drugiej stroy każda skończoa suma N I k ma dopełieie w P składające się ze skończoej liczby przedziałów A j, więc co wobec dowolości N daje N I k N M I k + A j = P, j=1 I k P. 3. Kostrukcja miary Lebesgue a 3.1. Twierdzeie. Istieje dokładie jeda miara borelowska µ, taka że (3.2) µ(i) = I. dla każdego przedziału I P. I. Dowód przeprowadzimy w kilku krokach. Najpierw zdefiiujemy miarę zewętrzą µ (E) = if{ I k : E I k }, gdzie I k P. Zdefiiowaa fukcja µ jest fukcją zbioru i ma astępujące własości µ : 2 Rd [0, ] 1) µ ( E k ) µ (E k ) dla dowolych E k R d, 2) µ (I) = I dla każdego I P. Własość pierwsza wyika wprost z defiicji, a druga z defiicji i Lematu 2.5. Widzimy więc, że µ jest miarą zewętrzą. Z 1) i 2) wyikają jeszcze dwie własości: 3) µ (A) µ (B), jeśli A B, 4) µ ( ) = 0. II. W drugim kroku zdefiiujemy pojęcie zbioru mierzalego. Zbiór E R d azywa się mierzaly, jeśli dla każdego A R µ (A) = µ (A E) + µ (A \ E). Ze względu a podaddytywość µ waruek te jest rówoważy ierówości (3.3) µ (A) µ (A E) + µ (A \ E). Będziemy cytować (3.3), mówiąc, że E spełia test mierzalości zbiorem A. Rodzię zbiorów mierzalych będziemy ozaczać przez M Jeśli µ (A) = 0, to A jest mierzaly.

5 Rodzię zbiorów miary zero będziemy ozaczać przez N. III. Trzecim i zasadiczym krokiem będzie 3.5. Twierdzeie. Rodzia M jest σ-ciałem, a µ : M [0, ] przeliczalie addytywą fukcją zbioru, a więc miarą. Dowód. Jest jase, że jeśli E M, to także E c M. Niech E, F M. Dla A R d µ (A (E F )) + µ (A \ (E F )) = µ ( ) (A E) (A E c F + µ (A E c F c ) µ (A E) + µ (A E c F ) + µ (A E c F c ) µ (A E) + µ (A E c ) µ (A), gdzie ajpierw testowaliśmy zbiór mierzaly F zbiorem A\E, a astępie zbiór mierzaley E zbiorem A. Stąd już łatwo wyika, że M jest zamkięta a skończoe sumy i iloczyy. Niech teraz E, F M będą rozłącze. Niech A R d. Z testu mierzalości zbioru F zbiorem A (E F ) wyika, że µ (A E) + µ (A F ) = µ (A (E F ) \ F ) + µ (A (E F ) F ) a stąd już przez łatwą idukcję µ ( A = µ (A (E F )), ) E k = µ (A E k ), o ile E k M są parami rozłącze. Ostatia własość pokazuje, że µ jest skończeie addytywa a M. Aby pokazać, że M jest zamkięta a przeliczale sumy, wystarczy ograiczyć się do sum zbiorów parami rozłączych. Jeśli E = i E k są parami rozłącze, to dla każdego µ (A \ E) + µ (A E k ) µ (A \ E k ) + µ (A E k ) µ (A), bo E k M, skąd a astępie µ (A \ E) + µ (A E k ) µ (A), µ (A \ E) + µ (A E) µ (A \ E) + µ (A E k ) µ (A), co pokazuje, że E M. Jeśli w ostatiej ierówości wstawimy A = E, otrzymamy µ (E k ) = µ (E), a więc przeliczalą addytywość µ a σ-ciele M. 5

6 6 IV. Możemy już uczyić ostati krok B(R d ) zawiera się w M. Dowód. Jako że M jest σ-ciałem, wystarczy w tym celu pokazać, że przedziały są mierzale. Niech więc I P i iech A R. Niech A I k. Wtedy I k = (I k I) I k \ I = (I k I) I kj, j gdzie przedziały I kj są parami rozłącze, więc I k = I k I + I kj µ (A I) + µ (A \ I), j skąd µ (A) µ (A I) + µ (A \ I). Położmy µ = µ B, µ = µ M. Skostruowaa fukcja µ to miara Lebesgue a, a µ uzupełioa miara Lebesgue a. Najczęściej ie będziemy (w aszej otacji) rozróżiać tych miar, pisząc µ zamiast µ. V. W te sposób zakończyliśmy aszą kostrukcję. Pozostaje jeszcze udowodić jedyość miary µ a zbiorach borelowskich. Przypuśćmy, że istieje druga miara borelowska ν : B [0, ] spełiająca waruek (3.2). Niech E B. Wtedy ν(e) ν(i ) = I, E I, =1 =1 =1 jeśli I są przedziałami, a wobec dowolości pokrycia ν(e) µ(e). Aby wykazać ierówość przeciwą, załóżmy, że E P, gdzie P jest przedziałem. Wtedy ν(p ) ν(e) = ν(p \ E) µ(p \ E) = µ(p ) µ(e), skąd µ(e) ν(e). Zatem obie miary zgadzają się a ograiczoych podzbiorach borelowskich. Dla dowolego E B, iech E = E [, ] d. Wtedy ν(e) = ν( E ) = lim ν(e ), µ(e) = µ( E ) = lim µ(e ), a poieważ obie miary zgadzają się a zbiorach E, zgadzają się też a zbiorze E. Zatem ν = µ. Tym samym zakończyliśmy dowód Twierdzeia 3.1.

7 4. Dalsze własości miary Lebesgue a 4.1. Miara Lebesgue a jest iezmieicza a traslacje. Iymi słowy, dla każdego x R d i każdego E M µ(e + x) = µ(e). Dowód. Z defiicji miary zewętrzej wyika, że dla dowolego zbioru A R d i dowolego x R d (4.2) µ (A + x) = µ (A). Wykorzystując (4.2) i test mierzalości łatwo sprawdzamy, że traslacja zbioru mierzalego jest też zbiorem mierzalym, co razem z (4.2) daje tezę. Pokażemy teraz, że uzupełioa miara Lebesgue a a M jest regulara Niech µ będzie uzupełioą miarą Lebesgue a a M. Dla każdego E M i każdego ε > 0 istieją zbiory F E G, gdzie F jest domkięty, a G otwarty, takie że µ(g\f ) < ε. Dowód. Niech E M i iech E = E [, ] dla N. Dla daego ε > 0 istieje zbiór otwarty G, taki że µ(g \ E ) < ε 2, E G. Zatem E G = =1 G, gdzie G jest otwarty, oraz µ(g \ E) µ(g \ E ) ε. =1 Na mocy praw de Morgaa istieje też zbiór domkięty F E, taki że µ(e \ F ) ε. Ostateczie więc µ(g \ F ) 2ε Wiosek. Jeśli E jest zbiorem mierzalym, to µ(e) = sup µ(k) = if µ(g), K E E G gdzie zbiory K są zwarte, a zbiory G otwarte. 5. Miara Lebesgue a a R Niech teraz d = 1. Zauważmy, że z faktu, że zbiory jedopuktowe mają miarę zero, i przeliczalej addytywości miary Lebesgue a wyika, iż a stąd µ(q) = 0, µ([0, 1] \ Q) = 1. Tak więc zbiór liczb iewymierych w odciku [0, 1] jest miary 1, chociaż ie zawiera żadego zbioru otwartego. a mocy regularości miary zawiera jedak zbiór domkięty miary tak bliskiej 1, jak tylko zechcemy. Warto się ad tym trochę zastaowić, bo asza ituicja butuje się przeciw temu! 7

8 8 Przypomijmy, że dla zbiorów A, B R i x R A + x = {a + x : a A}, A B = {a b : a A, b B}. Łatwo widzieć, że x A B wtedy i tylko wtedy, gdy A (B + x) Twierdzeie (Steihaus). Jeśli E R jest zbiorem mierzalym miary dodatiej, to istieje ε > 0, taki że ( ε, ε) E E. Dowód. Niech I będą parami rozłączymi przedzałami takimi, że Wtedy E I, µ(e) 3 µ(i ). 4 =1 =1 µ(e I ) = µ(e) 3 µ(i ), 4 =1 =1 więc istieje przedział I = I, taki że µ(e I) 3 4 µ(i). Niech x < ε = µ(i) 4. Pokażemy, że x E E, co wobec dowolości x ozacza, że ( ε, ε) E E. Rzeczywiście, µ((e I) ((E I) + x) µ(i (I + x)) 5µ(I). 4 Gdyby zbiory E i i E I + x były rozłącze, mielibyśmy µ((e I) ((E I) + x) = 2µ(E I) 6µ(I), 4 co przeczy poprzediej ierówości. Tym bardziej, E (E + x), więc x E E, czego chcieliśmy dowieść. Widzimy więc, że chociaż zbiór miary dodatiej może ie zawierać żadego przedziału, to jest jedak a tyle duży, że zbiór różic jego elemetów taki przedział zawiera. Przykład. Odciek [0, 1) wraz z działaiem x y = m(x + y) tworzy grupę. Sprawdzimy, że jeśli E [0, 1) i q R, to µ (E q) = µ (E). W tym celu wystarczy się ograiczyć do 1 q 1. Niech ajpierw 0 < q 1. Mamy E q = (E + q) [0, 1) (E + q 1) [0, 1) c = E 1 E 2.. Niech ε > 0 i iech E + q P, P P,

9 9 gdzie P < µ (E) + ε. Wtedy ( µ (E q) µ (E 1 ) + µ (E 2 ) µ ) ( P [0, 1) + µ (P 1) [0, 1) c) ( µ ) ( P [0, 1) + µ (P ) [0, 1) c) ( = µ ) P P < µ (E) + ε, a więc (*) µ (E q) µ (E), gdy 0 < q 1. Aalogiczie postępujemy, by otrzymać (*) dla w przypadku 1 q < 0, co razem daje pożądaą rówość. Przykład. Podamy przykład zbioru iemierzalego. W zbiorze [0, 1) rozważmy relację x y x y Q. Nietrudo się przekoać, że jest to relacja rówoważości i klasą abstrakcji elemetu x R jest zbiór Q(x) = {m(x + q) : q Q}. Na mocy pewika wyboru istieje więc zbiór T [0, 1) mający z każdą klasą abstrakcji dokładie jede elemet wspóly. Zbiory T q 1 i T q 2 są rozłącze dla różych wymierych q 1, q 1 i mają wszystkie jedakową miarę zewętrzą µ(t q) = µ(t ) dla każdego q Q. Poadto [0, 1) = T q. q Q Twierdzimy, że zbiór T jest iemierzaly. W przeciwym bowiem razie zbiór [0, 1) przedstawiałby się jako przeliczala i rozłącza suma zbiorów mierzalych jedakowej miary, co jest iedorzeczością. Przykład. Rozważmy jeszcze przykład, który podaje pewe uogólieie kostrukcji zbioru Catora. Z odcika [0, 1] usuńmy przedział otwarty U 1 długości a 1 = q, gdzie 0 < q < 1. Następie ze zbioru [0, 1] \ U 1, który jest sumą dwóch rozłączych odcików domkiętych, usuńmy zbiór otwarty U 2 będący sumą dwóch przedziałow otwartych, po jedym z każdego odcika domkiętego, o łączej długości a 2 = q(1 a 1 ). Postępując idukcyje po krokach pozostaje am zbiór domkięty [0, 1] \ U będący sumą 2 rozłączych odcików domkiętych, a suma łącza długości usuiętych odcików otwartych µ(u ) = a. W kroku + 1 z każdego z tych odcików domkiętych usuwamy odciek otwarty, a łacza długość tych odcików wyosi (5.2) µ(u +1 ) = a +1 = q(1 a k ). Niech C = [0, 1] \ U k. Zbiór C jest iepustym zbiorem domkiętym miary 0, iezależie od wartości q. Zauważmy bowiem, że a k 1,

10 10 co wyika z kostrukcji. Zatem a 0 i a mocy (5.2) a k = µ(u k ) = 1, a więc µ(c) = 1 µ( U k ) = 0. Moża pokazać, że zbiór C jest rówoliczy ze zbiorem Catora, a więc ieprzeliczaly. 6. Fukcje mierzale Niech będzie day zbiór X z σ-ciałem B 2 X. Elemety B będziemy azywać zbiorami mierzalymi. Fukcja f : X [, ] azywa się mierzala, jeśli dla każdego α R zbiór f 1 ([, α)) = {x X : f(x) < α} ależy do B Fukcja f : X [, ] jest mierzala, wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego zbioru borelowskiego E B(R) jego przeciwobraz f 1 (E) jest elemetem σciała B. Jest rzeczą oczywistą, że jeśli f jest mierzala, to także fukcje f, αf, α R, są mierzale Lemat. Jeśli f, g są mierzale, a ϕ : (, ] 2 (, ] fukcją ciągłą, to h(x) = ϕ(f(x), g(x) jest mierzala. Dowód. Niech F : X (, ] 2 będzie określoa jako F (x) = (f(x), g(x)). Wtedy h 1 (U) = F 1 (ϕ 1 (U)). Jeśli U (, ] jest zbiorem otwartym, to istieją ciągi U k, V k otwartych zbiorów w (, ], takie że ϕ 1 (U) = k U k V k, więc h 1 (U) = k F 1 (U k V k ) = k f 1 (U k ) g 1 (V k ). Jako że f 1 (U k ), g 1 (V k ) B, także h 1 (U) B Wiosek. Jeśli f, g są fukcjami mierzalymi, to także f +g, f g i f są mierzale Jeśli (f ) jest ciągiem fukcji mierzalych zbieżym puktowo do fukcji f, to f jest też mierzala. Dowód. Wystarczy zauważyć, że {x X : f(x) > α} = N {x X : f (x) > α}. N

11 Fukcja mierzala f : X R azywa się prosta, jeśli przyjmuje tylko skończeie wiele wartości. Jeśli ϕ jest fukcją prostą o różych od zera i różych między sobą wartościach α 1,..., α N, to ( ) ϕ = gdzie N α k χ Ek, E k = {x X : ϕ(x) = α k } są zbiorami mierzalymi. Każda fukcja mierzala postaci ψ = β k χ Fk, k gdzie F k sa mierzale, a β k R, jest prosta, awet jeśli zbiory F k ie są parami rozłącze, a β k iekoieczie róże od zera. Postać ( ) fukcji prostej ϕ będziemy azywać kaoiczą Fukcje proste tworzą przestrzeń liiową. Jeśli ϕ jest fukcją prostą, to także ϕ jest fukcją prostą Jeśli f jest ieujemą fukcją mierzalą, to istieje rosący ciąg ieujemych fukcji prostych ϕ zbieży do f, przy czym zbieżość jest jedostaja, gdy f jest ograiczoa. Niech ajpierw 0 f M. Dla N iech { (k 1)M E,k = x X : f(x) < km i iech Jak łatwo zauważyć, ϕ = (k 1)M χ E.k. 0 f(x) ϕ (x) M, }, 1 k a więc zbieżość jest jedostaja w przypadku fukcji ograiczoej. Jeśli f jest ograiczoa, a awet przyjmuje wartość, postępujemy tak: Dla każdego M N defiiujemy f M = g M + Mχ EM, gdzie g M = mi(f, M), a E M = {x : f(x) > M}. Ciąg (f M ) zdąża do f, a każda z fukcji g M jest graicą odpowiediego ciągu fukcji prostych. 7. Defiicja całki Niech teraz µ będzie miarą a σ-ciele B 2 X. Dla ieujemej fukcji prostej w postaci kaoiczej 11 ϕ = k α k χ Ek defiiujemy ϕ dµ = k α k µ(e k ).

12 Jeśli ϕ jest ieujemą fukcją prostą, to µ ϕ (A) = ϕ dµ = χ A ϕ dµ jest miarą Jeśli ϕ, ψ 0 są proste,to (ϕ + ψ) dµ = A ϕ dµ + ψ dµ. Dowód. Niech ϕ = k α k χ Ek, ψ = j β j χ Fj będą postaciami kaoiczymi. Niech A kj = E k F j i A = k,j A kj. Wtedy (ϕ + ψ) dµ = + ψ) dµ = A(ϕ (ϕ + ψ) dµ k,j A kj = (α k + β j )µ(a kj ) dµ = α k µ(a kj ) + β j µ(a kj ) k,j k j j k = α k µ(e k ) = β j µ(f j ) = ϕ dµ + ψ dµ. k j Całkę dowolej ieujemej fukcji mierzalej defiiujemy jako f dµ = ϕ dµ, sup 0 ϕ f gdzie fukcje ϕ są proste. Poadto dla zbioru mierzalego E f dµ = fχ E dµ. E Następujące własości całki wyikają wprost z defiicji. Niech fukcje f, g 0 i zbiory A, B będą mierzale. Wtedy 1. Jeżeli f g, to 0 f dµ g dµ, 2. Jeżeli A B, to A f dµ B f dµ, 3. Jeżeli c [0, ], to cf dµ = c f dµ, 4. Jeśli µ({x : f(x) > 0}) = 0, to f dµ = Twierdzeia graicze 8.1. Lemat. Jeśli ciąg mierzalych fukcji ieujemych (f ) jest zbieży mootoiczie do fukcji f, to fdµ = lim f dµ.

13 Dowód. Jest jase, że lim f dµ fdµ. Dowiedziemy ierówości przeciwej. Niech 0 ϕ f będzie fukcją prostą, a 0 < c < 1. Niech E = {x X : f (x) cϕ(x)}. Łatwo zauważyć, że zbiory E są mierzale, mootoicze i X = E. Dlatego f dµ fdµ c ϕdµ E E a po przejściu do graicy lim f c ϕdµ. Wobec dowolości ϕ i c, otrzymujemy lim f fdµ Wiosek. Jeśli f, g są ieujemymi fukcjami mierzalymi, to (f + g)dµ = fdµ + gdµ. Dowód. Niech ϕ i ψ będą mootoiczymi ciągami ieujmych fukcji prostych zbieżymi odpowiedio do f i g. Wtedy (f + g) dµ = lim (ϕ + ψ ) dµ = lim ϕ dµ + lim ψ dµ = fdµ + gdµ Wiosek. Jeśli f 0 są mierzale, to f dµ = f dµ Lemat (Fatou). Jeśli f są ieujemymi fukcjami mierzalymi, to lim if f dµ lim if f dµ. Dowód. Niech f = lim if f i iech Mamy a więc g = if k f k. lim g = f, 0 g g +1 f +1, lim if f dµ = fdµ = lim g dµ lim if f dµ.

14 14 Będziemy mówili, że ciąg fukcji mierzalych jest zbieży puktowo prawie wszędzie, jeśli istieje zbiór miary zero E i fukcja mierzala f, taka że Zaczijmy od prostej uwagi. f(x) = lim f (x), x X \ E. 9. Przestrzeń fukcji całkowalych 9.1. Uwaga. Jeśli f jest ieujemą fukcją mierzalą i fdµ <, to zbiór ma miarę zero. E = {x X : f(x) = } Dowód. Istotie, zbiór E moża przedstawić jako przeliczaly przekrój gdzie więc E = E, E = {x X : f(x) }, µ(e ) 1 fdµ, µ(e) = lim µ(e ) = 0. Fukcję zespoloą f : X C { } azywamy mierzalą, jeśli dla dowolego otwartego U C { } przeciwobraz f 1 (U) jest mierzaly. Nietrudo zauważyć, że f = u + iv jest mierzala, wtedy i tylko wtedy gdy fukcje rzeczywiste u, v są mierzale. Zatem z mierzalości f wyika mierzalość fukcji f = u 2 + v 2, gdzie u = Re f, v = Im f. Jeśli f jest rzeczywista i mierzala, to mierzale są też fukcje f + = max(f, 0) 0, f = f + f 0. Fukcję f : f : X C { } azywamy całkowalą, jeśli f(x) µ(dx) <, a całkę z fukcji całkowalej określamy przez f(x)µ(dx) = u + (x)µ(dx) u (x)µ(dx) + i v + (x)µ(dx) i v (x)µ(dx). Zauważmy, że jeśli g ozacza jedą z czterech ieujemych fukcji składowych, to 0 g f,

15 a więc wszystkie cztery całki mają ses i są skończoe. Poadto, każda z tych fukcji jest skończoa poza zbiorem miary zero. Zbiór wszystkich fukcji całkowalych będziemy ozaczać przez L 1 = L 1 (X) = L 1 (X, µ) Jeśli fukcje f, g są całkowale, to (f + g) dµ = f dµ + g dµ. Dowód. Wystarczy rozpatrzyć przypadek fukcji rzeczywistych. Niech F = f + g. Wtedy a więc skąd F + + F + F = f + f + g + g, F + + f + g = f + + g + + F, f + g = f + + g + + F +. Porządkując, mamy F ( F = f + f ) ( + g + g ), czyli F = f Jeśli f jest całkowala i α C, to αf dµ = α g. f dµ. Dowód. Najpierw łatwo sprawdzamy, że jeśli f jest rzeczywista, a liczba c R, to cf = c f, if = i f. Niech teraz f = u + iv, α = a + ib. Wtedy więc αf = au bv + i(av + bu), αf = a = a = α u b ( v + i a (u + iv) + ib f. v + b (u + iv) ) u 9.4. Jeśli f jest całkowala, to fdµ f dµ.

16 16 Dowód. Niech c będzie liczbą zespoloą o module 1, taką że fdµ = c fdµ. Wtedy fdµ = c fdµ = u + dµ + u + dµ u dµ = u dµ u dµ f dµ, gdzie po drugiej rówości pomięliśmy część urojoą, bo asza liczba fdµ jest rzeczywista Twierdzeie. Przestrzeń L 1 (X, µ) jest przestrzeią liiową ad C, a całka f fdµ ciągłym fukcjoałem liiowym. W przestrzei L 1 (X, µ) zdefiiujmy półormę f 1 = f dµ Twierdzeie (Lebesgue a o zbieżości zmajoryzowaej). Jeśli ciąg fukcji całkowalych f jest zbieży puktowo i ma majoratę f (x) g(x), g L 1 (X, µ), to graica f(x) = lim f (x) jest fukcją całkowalą i X f f 1 0. Dowód. Załóżmy a razie, że fukcje f są ieujeme i f 0. Wtedy rówież fukcje g f są ieujeme i a mocy lematu Fatou oraz rówości lim if( a ) = lim sup a mamy gdµ = lim(g f )dµ lim if (g f ) dµ gdµ + lim if ( f ) dµ = gdµ lim sup f dµ, skąd lim f dµ = lim sup f dµ = 0, bo fukcje f są ieujeme. Niech teraz f będą dowole. Niech f = lim f. Graica f jest mierzala i całkowala, bo f g. Stosując pierwszą część dowodu do ieujemego ciągu f f 0 fukcji całkowalych, który spełia f f 2g, otrzymujemy lim f f 1 = lim f f dµ = 0, co jest aszą tezą.

17 Jak łatwo widać, przestrzeń zerowa półormy f f 1, to L 1 0(X, µ) = {f L 1 (X, µ) : f 1 = 0} = {f L 1 (X, µ); f(x) = 0 dla p.w. x X}. Jako że L 0 (X, µ) zawiera się w jądrze fukcjoału f fdµ, fukcjoał te moża w aturaly sposób rozważać a przestrzei uormowaej L 1 (X, µ) = L 1 (Xµ)/L 0 (X, µ). 17 Jeśli f = f + L 1 0 (X, µ) jest klasą abstrakcji f, to fdµ = fdµ, f 1 = f dµ. Trzeba jedak pamiętać, że w przestrzei ilorazowej traci ses pojęcie zbieżości puktowej, które trzeba zastąpić pojęciem zbieżości puktowej prawie wszędzie. W dalszym ciągu będziemy operować fukcjami całkowalymi, pamiętając, że są oe reprezetatami klas abstrakcji fukcji rówoważych. Aby ie rozbudowywać admierie otacji będziemy opuszczać zak ad symbolem przestrzei ilorazowej Jeśli ciąg (f ) jest zbieży do f w L 1 (X), to istieje podciąg (f k ) zbieży do f prawie wszędzie. Dowód. Skoro ciąg (f ) jest zbieży w ormie L 1 (X), to istieje podciąg (f k ), taki że f k+1 f k 1 <. Przyjmijmy dla wygody, że f 1 = 0. Jeśli więc g = f k+1 f k, to g dµ f k+1 f k 1 < i w takim razie dla prawie wszystkich x f k+1 (x) f k (x) <, skąd wyika zbieżość szeregu, a więc i zbieżość ciągu (f k (x)) dla prawie wszystkich x. W istocie, mamy k k f k (x) = f 1 (x) + f j+1 (x) f j (x) = f j+1 (x) f j (x), a więc gdzie h(x) = j=1 lim k f k (x) = h(x), f k+1 (x) f k (x), j=1 h(x) g(x).

18 18 Na mocy twierdzeia Lebesgue a o zbieżości zmajoryzowaej, f k h 1 0, a więc f h 1 f f k 1 + f k h 1 0, gdy k, czyli f = h prawie wszędzie Przykład. Niech aszą przestrzeią miarową będzie odciek [0, 1] z miarą Lebesgue a. Dla każdego N rozważmy odciki [ k 1 E,k =, k ], 1 k. Ustawmy wszystkie te odciki w jede ciąg E m i zdefiujmy f m = χ Em. Łatwo widać, że f m 1 0, lim if f m (x) = 0, lim sup f m (x) = 1 dla wszystkich x [0, 1]. Tak więc ciąg zbieży w ormie L 1 może być rozbieży wszędzie Twierdzeie. Przestrzeń uormowaa L 1 (X, µ) jest zupeła. Dowód. Wystarczy pokazać, że każdy absolutie zbieży szereg elemetów L 1 jest zbieży. Niech więc f L 1 (X, µ) i f 1 <. =1 Niech g = =1 f. Fukcja g jest ieujemą fukcją mierzalą i a więc dla p.w. x X. Zatem szereg gdµ f dµ <, g(x) = f (x) < =1 f(x) = f (x) =1 jest zbieży p.w. i defiiuje fukcję całkowalą, bo f g p.w. Pozostaje pokazać, że f jest sumą szeregu f w ormie przestrzei L 1. Rzeczywiście, N N f f 1 = f f dµ = =1 =1 f dµ = =N+1 =N+1 =N+1 f dµ f 1 0, gdy N.

19 przestrzeie L p (X, µ) 10.1 (Nierówość Höldera). Niech p > 0, q > 0 oraz 1/p + 1/q = 1. Wtedy ( N N ) 1/p ( N 1/q a k b k a p k bk) q, a k, b k (Nierówość Höldera dla całek). Niech p > 0, q > 0 oraz 1/p + 1/q = 1. Wtedy ( ) 1/p ( 1/q fgdµ f p dµ g dµ) q, f, g (Nierówość Mikowskiego). Dla każdego 1 < p < mamy ( 1/p ( 1/p ( 1/p (f + g) dµ) p f dµ) p + g dµ) p, 0 f, g Mes. Dla fukcji mierzalej f i 1 < p defiiujemy ( f p = f p dµ oraz ) 1/p L p (X, µ) = {f Mes(X, µ) : f p < } Twierdzeie. Fukcjoał f f p jest ormą a przestrzei wektorowej L p (X, µ). Przestrzeń ta jest zupeła. Dowód. To że L p (Xµ) jest przestrzeią wektorową, a f f p ormą wyika z ierówośći Mikowskiego. Zupełości dowodzi się bardzo podobie do zupełości L 1 (X, µ) Twierdzeie (Lebesgue a o zmajoryzowaej zbieżości dla L p ). Niech 1 < p <. Niech będzie daa ieujema fukcja g L p (X, µ) oraz ciąg fukcji f L p (X, µ), taki że f g. Jeśli ciąg (f ) jest zbieży p.w. do fukcji f, to f L p (X, µ) i f f p 0. Dowód. Ciąg fukcji całkowalych f p jest zbieży p.w. i zmajoryzoway fukcją całkowalą g p, więc a mocy twierdzeia Lebesgue a dla L 1 fukcja f p jest całkowala, czyli f L p (X, µ). Stosując raz jeszcze twierdzeie Lebesgue a do ciągu f f p zbieżego p.w. do 0 i zmajoryzowaego fukcją całkowalą 2 p+1 g p, otrzymujemy tezę Dla każdego 1 p < fukcje proste całkowale leżą gęsto w L p (X, µ). Dowód. Zauważmy ajpierw, że fukcja prosta ϕ = k α k χ Ek w postaci kaoiczej jest całkowala, wtedy i tylko wtedy gdy µ(e k ) < dla każdego k. Taka fukcja jest też całkowala z p-tą potęgą. Aby udowodić asze twierdzeie, wystarczy wskazać dla każdej fukcji ieujemej f L p (X, µ) ciąg całkowalych fukcji prostych ϕ, taki że f ϕ p 0.

20 20 Skoro f jest ieujema, istieje ciąg fukcji prostych 0 ϕ f zbieży puktowo do f. Fukcje ϕ są całkowale, bo f L p (X, µ). Na mocy twierdzeia Lebesgue a dla L p f ϕ p 0.