Funkcja wykładnicza i logarytm
|
|
- Marek Zakrzewski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a 1/q }, a x = 1 a x. p razy Zasdadiczym celem tego rozdziału jest wskazaie, jak moża określać potęgę a x liczby a > 0 o dowolym wykładiku rzeczywistym x także iewymierym, i jak określić logarytm, to zaczy fukcję, która dla daych liczb dodatich y, a, a 1, wskazuje taką liczbę x R, że a x = y. Pozamy przy okazji cały szereg fudametalych własości tych fukcji. Jak Czytelik być może zauważy, w azwach iektórych z tych własości figurują takie słowa jak ciągłość i różiczkowalość. Na razie to tylko termiy; pełą treść adamy im wtedy, gdy zajmiemy się bliżej systematyczym badaiem własości fukcji ciągłych i fukcji różiczkowalych. Uwaga. W jedym z późiejszych rozdziałów zajmiemy się wprowadzeiem fukcji wykładiczej w dziedziie zespoloej. Do tego jedak przyda się am ieco więcej arzędzi. 3.1 Fukcja wykładicza Lemat 3.1 o ciągach szybko zbieżych do 1). Załóżmy, że a ) jest ciągiem liczb rzeczywistych takim, że a 0 dla. Wtedy lim 1 + a ) = 1. Dowód. Poieważ a 0, więc a a < 1/2 i a < 1 2 < 1 + a dla dostateczie dużych ; dla takich skorzystamy dwukrotie z ierówości Beroulliego. Czytelik zechce sprawdzić, że dzięki poprzediemu zdaiu wszystkie założeia tej ierówości są spełioe). Po pierwsze, a ) = 1 a ) 1 a. 1 + a 1 + a 33
2 34 wersja robocza z dia: 1 czerwca 2011 Po drugie, 1 + a ) 1 + a > 0, więc Zatem, dla wszystkich dostateczie dużych, 1 a 1 + a a ) a a ) a Poieważ a 0 i oczywiście tym bardziej a 0) dla, więc teza lematu łatwo wyika z twierdzeia o 3 ciągach. Twierdzeie 3.2 własości fukcji wykładiczej). Dla każdego x R ciąg a x) = 1 + ) x, N, jest zbieży do graicy ax) R, która ma astępujące własości: E1) ax) > 0 dla każdego x R i a0) = 1; E2) ax)ay) = ax + y) dla wszystkich x, y R; E3) ax) 1 + x dla każdego x R; E4) Mootoiczość): ax) > ay) dla wszystkich x > y; E5) ax) 1/1 x) dla każdego x < 1; E6) ax) 1 x 2 x 2 dla każdego x 1 2 ; E7) Ciągłość): jeśli x x R, to ax ) ax); E8) Różiczkowalość): jeśli h 0 i h 0 dla N, to ax + h ) ax) lim = ax) h Dowód. Pla postępowaia jest taki: wykażemy, że graica ax) ciągu a x) istieje dla każdego x, a potem stopiowo będziemy dowodzić jej własości. Krok 1. Najpierw sprawdzimy, że ciąg a x) jest mootoiczy od pewego miejsca. Ustalmy x R. Rozpatrujemy odtąd tylko > x ; wtedy +x)/ = 1+ x > 0 i a x) > 0, zatem a +1 a a 1 + x ) a 1 + x ) x = + x. Zapiszmy iloraz potęg, występujący w ostatim wyrażeiu, w postaci 1 + ) +1 i skorzystajmy wtedy z ierówości Beroulliego: 1 + x ) ) +1 = 1 + x ) x) +1 = + 1) + x) 1 ) x ) + x) gdyż + 1) + x) x = x) x + x) = + x.
3 c MIM UW, 2010/11 35 Dla x < 0 oczywiście wolo było ierówość Beroulli ego stosować; dla x 0 jest x +1)+x) x +x) 1). Zatem istotie ciąg a x) jest iemalejący dla > x. Krok 2. Niech x < 0. Wtedy dla > x zachodzą ierówości 0 < 1 + x < 1, 0 < a x) = 1 + ) x < 1, a to zaczy, że ciąg a x) jest ograiczoy. Poieważ jest iemalejący od pewego miejsca, więc jest zbieży, a jego graica ax) > 0, bo dzięki mootoiczości ax) a m x) > 0 dla m > x. Krok 3. Dla x > 0 posłużymy się sztuczką. Miaowicie, 1 x2 2 dla > x możemy apisać ) 1 x2 = 1 x )1+ x ), a zatem a x) = 2 a x) Z lematu o ciągach szybko zbieżych do 1 wiemy, że liczik jest zbieży do 1, a z poprzediego kroku dowodu że miaowik jest zbieży do a x) > 0. Zatem, z twierdzeia o graicy ilorazu ciągów, a x) ax) = 1/a x) > 0. Dla x = 0 oczywiście a 0) 1 1. To daje istieie ax) dla każdego x i własość E1). Krok 4. Teraz udowodimy, że własości E2) E6) istotie przysługują ax). Z twierdzeia o graicy ilorazu 1 + x + y + xy ) ) 2 ax)ay) ax + y) = lim 1 + x + y ) = lim. 1 + xy x+y }{{} = oz.) a Łatwo zauważyć, że a 0, więc z lematu o ciągach szybko zbieżych do 1 otrzymujemy ax)ay)/ax + y) = 1, czyli własość E2). Poieważ, dzięki ierówości Beroulliego, a x) 1 + x dla wszystkich > x i wszystkich x R, więc a mocy stwierdzeia o szacowaiu graic także ax) 1 + x. To daje własość E3). Sprawdzimy mootoiczość, czyli własość E4). Niech x > y. Korzystając z E1) E3) piszemy ax) ay) E2) = ay)ax y) ay) = ay)ax y) 1) E1), E3) ay)x y) > 0 gdyż ay) > 0 i x y > 0. Zatem ax) > ay) dla x > y. Własość E5) łatwo wyika z E3) i E2). Istotie, a x) 1 x > 0 dla x < 1, a więc dla takich x jest ax) = 1 a x) 1 1 x. Aby wykazać E6), stosujemy dla x 1/2 < 1 własości E3) i E5): 0 E3) ax) 1 x E5) 1 1 x 1 x = x x + x2 1 x = x2 1 x 2 x 2
4 36 wersja robocza z dia: 1 czerwca 2011 w ostatiej ierówości używamy waruku x 1 2 ). Krok 5. Na koiec wykażemy własości E7) i E8). Jeśli x x, to wówczas x x 2 < x x < 1/2 dla dostateczie dużych, więc ozaczając dla krótkości r = x x, otrzymujemy z ierówości trójkąta ar ) 1 ar ) 1 r + r E6) 2r 2 + r 3 r = 3 x x. Zatem, posługując się twierdzeiem o 3 ciągach, łatwo wioskujemy, że ax x) = ar ) 1 dla. Poadto, 0 ax ) ax) E2) = ax) ax x) 1, więc także ax ) ax). Została am ostatia własość, E8). Piszemy ax + h ) ax) h E2) = ax)ah ) ax) = ax) ah ) 1 ax) U. h h }{{ } = oz.) U Skoro h 0, to dla dostateczie dużych jest h < 1/2 i wtedy 0 U 1 = ah ) 1 1 h = ah ) 1 h E6) 2 h 2 = 2 h 0, h a więc U 1 dla. Zatem, ax)u ax) dla, a to właśie ależało udowodić. Dowód całego twierdzeia jest teraz zakończoy. Defiicja 3.3 liczba e i fukcja exp). Kładziemy e = a1) = lim = 2, ) Dla x R piszemy także expx) = ax), gdzie ax) = lim 1+ x ). Fukcja exp azywa się fukcją wykładiczą zmieej rzeczywistej). Zatem, h e = exp1). Warto zauważyć, że wszystkie przytoczoe wyżej cyfry rozwiięcia dziesiętego e zał Leohard Euler przed 1750 rokiem!) Wiemy już o fukcji wykładiczej bardzo wiele. Udowodimy jeszcze jedą jej własość: każda liczba dodatia jest wartością tej fukcji. Stwierdzeie 3.4. Dla każdego y > 0 istieje dokładie jeda liczba x R taka, że y = expx). Dowód. Wystarczy przeprowadzić dowód dla y 0, 1), gdyż 1 = exp0) i jeśli z > 1, to 1/z = y 0, 1), więc z rówości y = expx) i expx) exp x) = 1 wyika, że exp x) = z.
5 c MIM UW, 2010/11 37 Niech przeto y 0, 1). Połóżmy A = {t R: expt) y}. Jeśli t 0, to dzięki E3) jest expt) 1 + t 1 > y, a więc t A, tz. A, 0). Poadto, dla N mamy, z własości E5) użytej dla x =, exp ) 1 1 +, a więc A dla wszystkich dostateczie dużych wystarczy, by 1/1 + ) < expy), tz. aby +1 > exp y)). Zatem zbiór A jest iepusty i ograiczoy z góry, a więc istieje x = sup A R. A priori, są trzy możliwości: expx) > y, expx) < y, expx) = y. Wykażemy, że pierwsze dwie prowadzą do sprzeczości. Przypuśćmy więc, że expx) < y. Z własości E7) wyika, że dla ciąg expx + 1 ) expx) < y, a więc, dzięki Stwierdzeiu 2.13, expx + 1 ) < y dla wszystkich dostateczie dużych. Iymi słowy, sup A = x < x + 1 A, to zaś jest sprzeczość. Nie może więc być expx) < y. Gdyby expx) > y, to, podobie jak przed chwilą, mielibyśmy expx 1 ) expx) > y, tz. dla wszystkich dostateczie dużych byłoby exp x 1 ) > y exp t dla każdego t A. Z mootoiczości, patrz własość E4), otrzymalibyśmy x 1 > t dla każdego t A, ale x 1 < x = sup A, więc byłaby to sprzeczość z defiicją kresu górego. Musi zatem być expx) = y. Jedozaczość wyika z mootoiczości exp. Defiicja 3.5 logarytm aturaly). Dla liczby y > 0 defiiujemy: l y = x, gdzie x R jest jedyą liczbą taką, że expx) = y. Własości fukcji wykładiczej ietrudo przełożyć a odpowiedie własości logarytmu aturalego. Twierdzeie 3.6 własości logarytmu aturalego). Logarytm aturaly l y jest określoy dla wszystkich liczb y > 0 i ma astępujące własości: L1) Dla wszystkich x, y > 0 jest lxy) = l x + l y; l e = 1 i l 1 = 0. L2) Mootoiczość logarytmu) Dla wszystkich y 1 > y 2 > 0 mamy l y 1 > l y 2. L3) Dla wszystkich y > 0 zachodzą ierówości 1 1 y l y y 1. Rówoważie, t l1 + t) t dla wszystkich t > 1. t + 1 L4) Jeśli t > 1 dla wszystkich N i t 0, to l1 + t ) 0 = l 1. L5) Ciągłość logarytmu) Jeśli y > 0 dla wszystkich N i y y > 0 dla, to wówczas l y l y dla.
6 38 wersja robocza z dia: 1 czerwca 2011 L6) Różiczkowalość logarytmu) Jeśli h 0 dla, a także y > 0 i y+h > 0 dla wszystkich N, to wówczas ly + h ) l y lim = 1 h y. Dowód. Udowodimy L1). Poieważ x, y > 0, więc istieją t, w R takie, że expt) = x, exp w = y czyli: t = l x, w = l y). Z własości E2) fukcji exp otrzymujemy xy = expt) expw) = expt + w), tz. wprost z defiicji logarytmu l xy = t + w = l x + l y. Rówości l e = 1, l 1 = 0 wyikają stąd, że exp1) = e, exp0) = 1. Nietrudo zauważyć, że logarytm jest mootoiczy: gdyby x 1 = l y 1 l y 2 = x 2 dla pewych y 1 > y 2 > 0, to byłoby, dzięki mootoiczości fukcji wykładiczej, y 1 = expx 1 ) expx 2 ) = y 2, a to jest sprzeczość. Teraz sprawdzimy, że zachodzą ierówości podae w pukcie L3). Niech x = l y. Mamy expx) 1 + x, tz. l y = x expx) 1 = y 1. Poieważ expx) < 1/1 x) dla x < 1, a z mootoiczości wyika, że l y < 1 wtedy i tylko wtedy, gdy y < e, więc przy dodatkowym założeiu x = l y < 1, y > 0, jest y = expx) 1 1 x = 1 1 l y 1 y 1 l y l y 1 1 y. Gdy x = l y 1, to ierówość jest baala, gdyż 1 1/y < 1 dla y > 0. To kończy dowód pierwszej wersji L3); drugą otrzymujemy, podstawiając y = 1+t zauważmy: y > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy t > 1). Własość L4) jest bardzo prosta. Otrzymujemy ją, stosując ierówości z puktu L3) i twierdzeie o trzech ciągach. Przejdźmy do dowodu ciągłości, tz. do własości L5). Poieważ logarytm iloczyu jest sumą logarytmów, więc l y l y = l y 1 + y y y ) ) l y = l 1 + y y ), y }{{} = oz.) t gdzie 1 < t = y y)/y = 1+ y y 0, gdy y y. Wiemy już jedak, że l1+t ) 0 dla każdego ciągu t 0, t > 1; zatem l y l y, gdy y, y > 0 i y y dla. To kończy dowód własości L4). Na koiec wykażemy różiczkowalość logarytmu. Zauważmy, że l y + l 1 + h ) l y ly + h ) l y y = = l1 + t ) 1 h h t y dla t = h y 0, Wystarczy więc wykazać, że dla każdego ciągu t 0, gdzie t 0 i t > 1 dla wszystkich N, mamy 1 t l1 + t ) 1. Ozaczmy s = l1 + t ); wtedy exps ) 1 = t i s 0. Zatem l1 + t ) s = t exps ) 1.
7 c MIM UW, 2010/11 39 Sprawdziliśmy przed chwilą, dowodząc własości L4), że s = l1 + t ) 0. Korzystając z różiczkowalości fukcji wykładiczej, patrz własość E8), wioskujemy, że s /exps ) 1) 1 dla. Zatem także 1 t l1 + t ) 1. Dyspoując już fukcją wykładiczą i logarytmem, ietrudo jest zdefiiować potęgę dowolej liczby dodatiej o dowolym wykładiku rzeczywistym. Defiicja 3.7. Dla wszystkich a > 0 i wszystkich x R przyjmujemy a x = expx l a). W szczególości, dla liczby e przyjęta defiicja daje, zgodie z aturalym oczekiwaiem, e x = expx l e) = expx), gdyż l e = 1. Zauważmy też od razu, że dla N jest, dzięki własości L1) logarytmu, a = exp l a) = exp } l a + l a {{ + + l a } ) = expla a... a)) = } a a {{... a}, razy razy co zgadza się ze zwykłą defiicją potęgi o wykładiku aturalym. Nietrudo podać listę własości potęg, podawaą a ogół w szkole 1 Ćwiczeie 3.8. Niech a, b > 0, x, y R. Proszę samodzielie, korzystając z E1) E8) oraz L1) L5), udowodić astępujące własości potęg: i) a x+y = a x a y, a poadto a x = 1/a x i a 0 = 1. ii) a x) y = a xy i a x b x = ab) x. iii) Jeśli a > 1, to a x < a y dla wszystkich x < y, a jeśli a 0, 1), to a x > a y dla wszystkich x < y. iv) Jeśli ciąg x x dla, to wówczas a x a x dla. v) Jeśli a < b, to a x < b x dla wszystkich x > 0 oraz a x > b x dla wszystkich x < 0. Możemy także zdefiiować logarytm przy dowolej podstawie a > 0, a 1. Defiicja 3.9. Jeśli a > 0 i a 1, to dla wszystkich y > 0 przyjmujemy log a y = x a x = y. Ćwiczeie Posługując się udowodioymi już własościami fukcji wykładiczej i logarytmu, sprawdzić, że powyższa defiicja jest poprawa tz. przy podaych założeiach o a i y liczba log a y istieje i jest określoa jedozaczie). Dlaczego przyjmujemy, że a 1? Ćwiczeie Posługując się zaymi własościami potęg i logarytmu aturalego, wykazać, że logarytm przy dowolej podstawie a > 0, a 1 ma astępujące własości: 1 Odbywa się to zwykle bez wyjaśieia, jak ależy rozumieć apis a x, gdy liczba x ie jest wymiera, i dlaczego wtedy odpowiedie rówości mają ses prawda jest taka, że ie da się wtedy uikąć jakiejś wersji przejść graiczych...
8 40 wersja robocza z dia: 1 czerwca ) log a y = l y)/l a) dla wszystkich y > 0. 2) Jeśli b > 0, b 1, to log a y = log b y)/log b a) dla wszystkich y > 0. 3) log a xy) = log a x + log a y dla wszystkich x, y > 0. 4) log a y x ) = x log a y dla wszystkich y > 0, x R. Waruek 2) bywa azyway wzorem a zamiaę podstawy logarytmu. 3.2 Charakteryzacja fukcji wykładiczej Co ciekawe, iewielka część własości fukcji wykładiczej i logarytmu określa każdą z tych fukcji jedozaczie. Oto odpowiedie twierdzeia. Twierdzeie 3.12 charakteryzacja fukcji exp). Jeśli fukcja f : R R spełia trzy waruki: i) Dla wszystkich x, y R jest fx + y) = fx)fy), ii) f1) = e, iii) Dla każdego x R i każdego ciągu x x ciąg fx ) jest zbieży do fx), to wówczas fx) = expx) dla wszystkich x R. 3.1) Dowód. Pla dowodu jest bardzo prosty. Korzystając z dwóch pierwszych założeń, dowodzi się, że fx) > 0 dla wszystkich x R i sprawdza się rówość 3.1) dla wszystkich x Q iezbyt truda idukcja). Następie, korzystając z trzeciego założeia i gęstości Q w R, dowodzi się 3.1) dla wszystkich x R \ Q. Oto szczegóły: Krok 1. Z pierwszego założeia otrzymujemy fx) = fx/2+x/2) = fx) 2 0 i f0) 2 = f0). Liczba f0) jest więc zerem lub jedyką. Nie może być jedak f0) = 0, bo wtedy mielibyśmy fx) = fx + 0) = fx)f0) = 0 dla wszystkich x, a wiemy, że f1) = e. Zatem f0) = 1, co ozacza, że fx)f x) = f0) = 1 dla każdego x R. Iymi słowy, liczba fx) jest róża od zera i ieujema. Stwierdziliśmy więc, że fx) > 0 dla wszystkich x R i f x) = 1/fx). Krok 2. Wiemy, że f1) = e. Jeśli przyjąć, że fm) = e m, to fm + 1) = fm)f1) = e m e = e m+1. Przez idukcję wioskujemy, że fm) = e m dla wszystkich m N. Poadto, dla m N mamy f m)e m = f m)fm) = 1, tz. f m) = e m. Zatem fm) = e m = expm) dla wszystkich m Z. Krok 3. Niech m, N. Wtedy 1 ) 1 f = f ) = f1) = e, }{{ } razy
9 c MIM UW, 2010/11 41 stąd zaś f1/) = e 1/. Przez idukcję, podobie jak w poprzedim kroku stosując własość fx + y) = fx)fy), dowodzimy teraz, że fm/) = e m/. Wreszcie, poieważ f x) = 1/fx), więc fx) = e x = expx) dla wszystkich x = p/q Q. Krok 4. Niech x R\Q. Istieje wtedy patrz Twierdzeie 1.18) ciąg liczb wymierych x zbieży do x. Z założeia iii) oraz ciągłości fukcji wykładiczej wioskujemy, że fx) = lim fx ) = lim expx ) = expx). Sprawdziliśmy więc, że fx) = expx) dla wszystkich x R. Uwaga. Drugie założeie Twierdzeia 3.12 ma charakter ormalizujący: gdyby przyjąć, że f1) = a > 0, to byłoby fx) = a x. Zamiast zakładać, że f1) = e, moża też przyjąć waruek ii) Dla każdego ciągu różych od zera liczb x 0 mamy fx ) f0) lim = 1. x Zadaie 3.13 dla zaiteresowaych rozumieiem teorii). Wykazać, że teza Twierdzeia 3.12 zachodzi, gdy założeie ii) zastąpimy powyższym warukiem ii). Zastaowić się, czy założeie iii) moża wtedy omiąć. Wskazówka: co trzeba zmieić w pierwszym kroku dowodu? Jak wykazać, że f1) = e? Wolo używać wszystkich udowoioych własości fukcji wykładiczej). Zadaie 3.14 łatwiejsze od poprzediego). Naśladując dowód ostatiego twierdzeia, wykazać, że jeśli fukcja g : 0, ) R spełia astępujące waruki: a) Dla wszystkich x, y > 0 jest gxy) = gx) + gy), b) ge) = 1, c) Dla każdego x > 0 i każdego ciągu liczb dodatich x x ciąg gx ) jest zbieży do graicy gx), to wówczas gx) = lx) dla wszystkich x R. Przekoamy się za pewie czas, że fukcję wykładiczą i logarytm aturaly moża określić także dla zespoloych wartości zmieej. Trzeba to jedak zrobić ieco iaczej Czytelik zauważył zapewe, że w dowodach w tym rozdziale wielokrotie korzystaliśmy z własości ciągów mootoiczych i ierówości Beroulliego, a tych arzędzi trudo używać w C). Wygodie będzie zająć się ajpierw szeregami.
Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoNowe treści w podstawie programowej, poziomie rozszerzonym czyli granice ciagów,
Nowe treści w podstawie programowej, poziomie rozszerzoym czyli graice ciagów, graice fukcji w różych zadaiach Pewie czas temu usuieto graice z programów szkolych po stosukowo długim okresie auczaia. Jest
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział 12 12. Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak
Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207 Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere.........................
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoWykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011
Wykład 9 Matematyka 3, semestr zimowy 0/0 3 grudia 0 Zajmiemy się teraz rozwiięciem fukcji holomorficzej w szereg Taylora. Przypomijmy podstawowe fakty związae z szeregami potęgowymi o wyrazach rzeczywistych.
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
Kolokwiu r 5: piątek 8..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 40, 50-585. Kolokwiu r 53: piątek 5..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 50, 50-59. Kolokwiu r 54: piątek..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 83, 50-64.
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoGranica cia. Ostatnia aktualizacja 17 listopada 2013, godz. 1:47. gi liczbowe. Jeśli np. chcemy zdefiniować ty foremne wpisane w to ko lo o coraz wie
* By ly ie paradoksy zwia zae z problemem dzieleia w ieskończoość a cze ści, p. pukt ie ma d lugości, odciek sk lada sie z puktów i ma d lugość, poruszaja cy sie obiekt w ieskończeie krótkim czasie ie
Bardziej szczegółowoModuł 4. Granica funkcji, asymptoty
Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony
Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów
Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna WPPT IIIr. semestr letni 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013
Aaliza Fukcjoala WPPT IIIr. semestr leti 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013 NiechX ozaczaprzestrzeńbaacha,ax jejdual a(czyliprzestrzeńfukcjoa lów ograiczoych
Bardziej szczegółowoZauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)
Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoCIA GI I ICH GRANICE
CIA GI I ICH GRANICE Defiicja 5. cia gu) Cia giem azywamy dowola fukcje określoa a zbiorze z lożoym ze wszystkich tych liczb ca lkowitych, które sa wie ksze lub rówe pewej liczbie ca lkowitej 0. Wartość
Bardziej szczegółowo8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2
8. Jedostajość Mówimy, że fukcja f : I R spełia waruek Lipschitza ze stałą C > 0, jeśli fx) fy) C x y, x, y I. 8.. Przykład. a) Taką fukcją jest p. si : R [, ]. Rzeczywiście, si x si y = 2 si x y 2 cos
Bardziej szczegółowoPodstawowe cechy podzielności liczb.
Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoi oznaczyliśmy te granice przez exp(x). Określiliśmy wie c funkcje na zbiorze
graica Fukcja wyk ladicza, logarytmy, sius i kosius cd. 9. Fukcja wyk ladicza expx, liczba e. Wykazaliśmy wcześiej zob. pukt 4., że dla każdej liczby rzeczywistej x istieje skończoa + x i ozaczyliśmy te
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą
Bardziej szczegółowoD:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora.
D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: 89 Obliczaie graic fukcji w pukcie przy pomocy wzoru Taylora Wróćmy do wierdzeia Taylora (wzory (-( Tw Szczególie waża dla dalszych R rozważań
Bardziej szczegółowo1. Miara i całka Lebesgue a na R d
1. Miara i całka Lebesgue a a R d 1. Miara. Mówimy, że rodzia podzbiorów S zbioru Ω jest σ-ciałem, jeśli wraz z każdym zbiorem zawiera oa jego dopełieie i jest zamkięta a sumowaie przeliczalych podrodzi.
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Bardziej szczegółowoSKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Lista zadań Lista zadań 21
SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] Wrocław, 3 paździerika 03 SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia. INDUKCJA MATEMATYCZNA.. Wprowadzeie.. Lista zadań 4.
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18
dr Aa Barbaszewska-Wiśiowska ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 17/18 1 Elemety logiki matematyczej Zdaia i formy zdaiowe fuktory zdaiotwórcze Tautologie Wartości logicze
Bardziej szczegółowoDwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
Bardziej szczegółowo