Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Transkrypt

1 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), nazywamy metryką (odległością), a parę (X, d) przestrzenią metryczną. Jeśli = A X, to (A, d) też jest przestrzenią metryczną. Prostymi przykładami przestrzeni metrycznej są (1) X = IR i d(x, y) = x y, x, y IR. (2) X = IR 2, d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2, x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) IR 2. (3) X = IR n, d(x, y) = n (x i y i ) 2, x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n. (4) X = C[0, 1] (zbiór funkcji ciagłych na [0, 1]), d(f, g) = sup 0 x 1 f(x) g(x), f, g C[0, 1]. Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi d(x, y) d(x, z) d(y, z). Stąd wynika ciągłość metryki po współrzędnych. Kulą otwartą (w skrócie kulą) o środku x 0 X i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(x 0, r) = {x X : d(x 0, x) < r}. Zbiór A X nazywamy zbiorem ograniczonym, jeśli jest zawarty w pewnej kuli. Wtedy δ(a) = sup x,y A d(x, y) nazywamy średnicą zbioru A. Zbiór A X nazywamy zbiorem otwartym jeśli dla każdego x A istnieje r > 0 takie, że K(x, r) A. Łatwo zauważyć, że i X są zbiorami otwartymi. Ponadto dowolna suma mnogościowa zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym i skończony przekrój zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Z definicji kuli otwartej i zbioru otwartego wynika, że kula otwarta jest zbiorem otwartym. Zbiór A X nazywamy zbiorem domkniętym, jeśli jego uzupełnienie jest zbiorem otwartym. Z własności zbiorów otwartych i prawa de Morgana wynika, że i X są zbiorami domkniętymi ponadto przekrój dowolnej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym i skończona suma zbiorów domkniętych jest też zbiorem domkniętym. Niech A X. Wnętrzem zbioru A nazywamy największy (ze względu na zawieranie) zbiór otwarty zawarty w A. Wnętrze zbioru jest oczywiście zbiorem otwartym i oznaczamy je przez Int(A) lub A. Zawsze A A. Możemy napisać A = {B : B A, B zbiór otwarty}. Jeśli A jest zbiorem otwartym, to oczywiście A = A. Domknięciem zbioru A nazywamy najmniejszy (ze względu na zawieranie) zbiór domknięty zawierający A. Domknięcie zbioru

2 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 159 jest oczywiście zbiorem domkniętym i oznaczamy je przez A. Zawsze A A. Możemy napisać A = {D : A D, D zbiór domknięty}. Jeśli A jest zbiorem domkniętym, to oczywiście A = A. Lemat 10.1 Niech A X. Wtedy x A ε>0 K(x, ε) A. Dowód. Dla A = lemat jest oczywisty. Niech więc A. Załóżmy, że dla x X istnieje ε > 0 dla którego K(x, ε) A =. Wtedy A \ K(x, ε) = A K(x, ε) A. Stąd A \ K(x, ε) jest zbiorem domkniętym zawierającym A. Zatem A = A \ K(x, ε). Mamy więc A K(x, ε) =. Stąd wynika, że x A. W drugą stronę. Załóżmy, że x A. Wtedy x (A) zbiór otwarty. Z definicji zbioru otwartego istnieje ε > 0 takie, że K(x, ε) (A) tzn. K(x, ε) A =. W szczególności K(x, ε) A =, co kończy dowód. Ciąg {x n } n 1 X nazywamy ciągiem zbieżnym w X, jeśli istnieje x X takie, że ε>0 n 0 N n>n 0 d(x, x n ) < ε. Punkt x nazywamy granicą ciągu {x n } n 1 i piszemy Zauważmy też lim x n = x lub x n x. n n lim x n = x d(x n, x) 0. n n Można pokazać, że ciąg zbieżny posiada tylko jedną granicę. Za pomocą ciagów zbieżnych możemy scharakteryzować domknięcie podzbiorów X, mianowicie zachodzi Lemat 10.2 Niech A X. Wtedy A = { x X : istnieje {x n } n 1 A taki, że } lim x n = x. n Dowód. Gdy A = teza jest oczywista. Niech więc A. Przypuśćmy, że x A. Wtedy dla każdego n IN mamy K(x, 1 n ) A i niech x n K(x, 1 n ) A. Stąd {x n} n 1 A oraz lim n x n = x. W drugą stronę. Niech lim n x n = x, gdzie {x n } n 1 A. Gdyby x A to z lematu 10.1 istnieje ε > takie, że K(x, ε) A =. Stąd d(x, x n ) ε dla n 1, co daje sprzeczność, bo x n x, gdy n.

3 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 160 Ciąg {x n } n 1 X nazywamy ciągiem Cauchy ego, gdy ε>0 n 0 N m,n>n 0 d(x m, x n ) < ε. Zauważmy, że każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy ego. Jeśli natomiast każdy ciąg Cauchy ego w X jest ciągiem zbieżnym, to przestrzeń metryczną (X, d) nazywamy zupełną przestrzenią metryczną. Przykłady przestrzeni metrycznych podanych na początku paragrafu są przykładami zupełnych przestrzeni metrycznych. Zauważmy też, że jeśli (X, d) jest zupełną przestrzenią metryczną i = A X jest zbiorem domkniętym, to przestrzeń metryczna (A, d) jest też zupełną przestrzenią metryczną Zbiory zwarte w przestrzeniach metrycznych Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Zbiór K X nazywamy zbiorem zwartym, jeżeli z każdego ciągu {x n } n 1 K można wyciągnąć podciąg {x nk } k 1 zbieżny do pewnego elementu z K. Z definicji zwartości i zupełności przestrzeni metrycznej wynika, że jeśli K X jest zbiorem zwartym, to przestrzeń metryczna (K, d) jest zupełna. Lemat 10.3 Zbiór zwarty K w przestrzeni metrycznej (X, d) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym. Dowód. Przypuśćmy, że K nie jest zbiorem domkniętym. Wtedy K K. Niech x K \ K. Z lematu 10.2 istnieje ciąg {x n } n 1 K, taki, że lim x n = x K. n Ze zwartości zbioru K istnieje podciąg {x nk } k 1 taki, że lim k x n k = y K. Ponieważ ciąg {x n } n 1 był zbieżny do x, więc każdy jego podciąg też jest zbieżny do x. Stąd x = y i mamy sprzeczność. Zatem K jest zbiorem domkniętym. Przypuśćmy teraz, że K nie jest zbiorem ograniczonym. Ustalmy x K. Wtedy dla każdego n IN istnieje x n K taki, że d(x, x n ) n. Stąd dowolny podciąg ciągu {x n } n 1 nie może być zbieżny, co jest sprzeczne ze zwartością zbioru K. W przestrzeni metrycznej (IR n, d), gdzie (10.1) d(x, y) = n (x i y i ) 2, x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n mamy tezę w drugą stronę, mianowicie

4 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 161 Twierdzenie 10.4 Niech (IR n, d) będzie przestrzenią metryczną z metryką daną powyżej. Wtedy K IR n jest zbiorem zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy K jest zbiorem domkniętym i ograniczonym. Dowód. W jedną stronę teza wynika z lematu W drugą stronę. Pokażemy najpierw, że dowolny przedział domknięty [a, b], gdzie a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) IR n jest zbiorem zwartym. Zauważmy, że średnica tego przedziału wynosi δ = δ([a, b]) = n (b i a i ) 2. Niech {x k } k 1 [a, b]. Dzielimy ten przedział na 2 n równych części (przedziałów domkniętych). Średnica ich wynosi δ 2. Wybieramy teraz ten przedział w którym jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu {x k } k 1. Z tego przedziału wybieramy jeden wyraz tego ciągu i oznaczamy go x k1. Następnie przedział ten dzielimy na 2 n równych przedziałów domkniętych. Przedziały te mają średnicę równą δ2 2. Z tych przedziałów o średnicy δ2 2 wybieramy przedział w którym jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu {x k } k 1, a z niego jeden wyraz tego ciągu i oznaczamy go przez x k2. Postępując tak dalej otrzymujemy podciąg {x ki } i 1 ciągu {x k } k 1. Podciąg ten jest ciągiem Cauchy ego, bo d(x ki, x kj ) δ 2 s, s = min(i, j). Ponieważ przestrzeń IR n z metryką (10.1) jest przestrzenią zupełną, więc podciąg {x ki } i 1 jest zbieżny. Ponieważ {x ki } i 1 [a, b] i przedziały domknięte są zbiorami domkniętymi, więc lim i x ki [a, b], co kończy dowód zwartości przedziału [a, b]. Załóżmy teraz, że K jest zbiorem domkniętym i ograniczonym. Jako zbiór ograniczony, K jest zawarty w pewnym przedziale domkniętym [a, b]. Z dowodu powyżej przedział ten jest zbiorem zwartym, a ponieważ podzbiór domknięty zbioru zwartego jest zbiorem zwartym, więc K jest zbiorem zwartym. Niech A X. Niech {A i } i I, A i X, i I będzie rodziną indeksowaną podzbiorów X (bez straty ogólności możemy założyć, że różnym indeksom i I odpowiadają różne zbiory A i ). Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I nazywamy pokryciem zbioru A jeśli A i I A i. Jeśli powyższa rodzina zbiorów jest skończona (przeliczalna), to nazywamy ją pokryciem skończonym (przeliczalnym). Jeśli składa się, ze zbiorów otwartych, to nazywamy ją pokryciem otwartym. Jeśli rodzina {A i } i I jest pokryciem zbioru A i I 0 I jest taki, że A i I 0 A i,

5 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 162 to rodzinę {A i } i I0 nazywamy podpokryciem zbioru A. W szczególności jeśli I 0 jest zbiorem skończonym, to {A i } i I0 nazywamy podpokryciem skończonym zbioru A. Niech ε > 0 i niech A X. Zbiór punktów {x i } i I X nazywamy ε siecią zbioru A, jeśli dla każdego x A istnieje i I takie, że d(x, x i ) < ε lub inaczej, rodzina kul {K(x i, ε)} i I jest pokryciem (otwartym) zbioru A. Zbiór A nazywamy totalnie ograniczonym, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje skończona (#(I) < ) ε sieć zbioru A. Twierdzenie 10.5 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną i niech A X. Następujące warunki są równoważne (i) Zbiór A jest zwarty. (ii) Zbiór A jest totalnie ograniczony i przestrzeń metryczna (A, d) jest zupełna. (iii) Z każdego pokrycia otwartego zbioru A można wybrać skończone podpokrycie zbioru A. (iv) Z każdego przeliczalnego pokrycia otwartego zbioru A można wybrać skończone podpokrycie zbioru A. Dowód. Możemy założyć A, bo dla A = teza jest oczywista. Dowód implikacji (i) (ii). Z definicji zwartości wynika, że przestrzeń metryczna (K, d) jest przestrzenią zupełną, bo jak łatwo zauważyć, jeśli ciąg Cauchy ego zawiera podciąg zbieżny, to sam jest ciągiem zbieżnym. Załóżmy, że K nie jest totalnie ograniczony. Wtedy (10.2) ε>0 k 1 {x i } i=k K \ k K(x i, ε). Korzystając z (10.2) skonstruujemy stosując indukcję ciąg {x n } n 1 K, który nie będzie zawierał żadnego podciągu zbieżnego, co będzie sprzeczne ze zwartością K. Niech, więc x 1 K. Wtedy z (10.2) mamy K \ K(x 1, ε) i niech x 2 K \ K(x 1, ε). Załóżmy, że mamy skonstruowane wyrazy x 1,..., x n 1 K, n > 1. Wtedy z (10.2) dostajemy n 1 n 1 K \ K(x i, ε) i niech x n K \ K(x i, ε). W ten sposób otrzymaliśmy ciąg {x n } n 1 K taki, że dla n m mamy d(x n, x m ) ε. Stąd ciąg ten nie może zawierać żadnego podciągu zbieżnego. Dowód implikacji (ii) (iii). Niech G = {G i } i I będzie otwartym pokryciem zbioru K. Załóżmy, że pokrycie to nie zawiera żadnego skończonego podpokrycia zbioru K. Ponieważ K jest zbiorem totalnie ograniczonym, więc n 1 k n {x n,i } i=kn K k n K(x n,i, 2 n ).

6 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 163 Stąd istnieje 1 i k n takie, że K K(x n,i, 2 n ) nie jest pokryty przez żadne skończone podpokrycie rodziny G. Stąd w szczególności K K(x n,i, 2 n ). Oznaczmy C n = K(x n,i, 2 n ). Ponieważ rodzina {K(x n+1,i, 2 n 1 ) C n K} 1 i kn+1 jest dla n 1 pokryciem zbioru C n K możemy uważać, że żadne skończone podpokrycie G nie pokrywa zbioru C n C n+1 K, a stąd w szczególności C n C n+1. Niech x n C n K. Ponieważ C n jest kulą o promieniu 2 n oraz C n C n+1, to d(x n, x n+1 ) < 3 2 n. Kontynując dostajemy C n+k... C n oraz d(x n, x n+k ) < 3 2 n. Stąd ciąg {x n } n 1 jest ciągiem Cauchy ego, a ponieważ z założenia przestrzeń (K, d) jest zupełna, więc jest on zbieżny do pewnego elementu x K. Zauważmy, że przechodząc z k dostajemy d(x n, x) 3 2 n. Z definicji pokrycia x G i dla pewnego i I. Z otwartości pokrycia G istnieje ε > 0 takie, że K(x, ε) G i. Niech n 1 będzie takie, że 3 2 n < ε/2. Wtedy C n K(x, ε) G i. Rzeczywiście, niech y C n. Mamy d(x, y) d(x, x n ) + d(x n, x n,i ) + d(x n,i, y) < 3 2 n n n = 5 2 n < ε. Zatem y K(x, ε). Stąd C n K(x, ε), czyli mamy zawieranie C n G i, co daje sprzeczność z konstrukcją C n. Dowód implikacji (iii) (iv) jest oczywisty. Dowód implikacji (iv) (i). Niech {x n } n 1 K. Określmy zbiory domknięte F n = {x k : k n}, n 1. Zauważmy, że F n+1 F n, n 1. Jeśli F n = K n=1 i F i są zbiorami otwartymi. Zatem z założenia istnieje m IN takie, że K m n=1 F n, a ponieważ F i F i+1, i 1, więc K F m tzn. K F m =, co daje sprzeczność, bo x m K F m. Zatem n=1 F n. Niech x n=1 F n. Stąd i z lematu 10.2 istnieje podciąg {x nk } k 1 zbieżny do x, gdy k. n=1 F n