Analiza Matematyczna II Lista zadań

Transkrypt

1 Aaliza Matematycza II Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 07/8 Zadaia ozaczoe dwoma lub więcej gwiazdkami są przezaczoe do samodzielego rozwiązaia. chcecie uzyskać wskazówki lub podyskutowac o ich rozwiązaiu, to zapraszam a kosultacje. Jeśli Powtórka Zadaie Zastosuj ierówość Jesea do pokazaia, że jeśli α, β, γ są kątami wewętrzymi pewego trójkąta, to si(α) + si(β) + si(γ) 3 3 Wskazówka: Skorzystaj z tego, że fukcja f(x) = si(x) jest wklęsła a odciku [0, π]. Przydać się może sformułowaie ierówości Jesea dla fukcji wklęsłej.. Zadaie Podaj możliwie prosty dowód wzoru k= = (+). Zadaie 3 Podaj możliwie prosty dowód wzoru się dzieje jak q =? Zadaie 4 Oblicz sumy:. =5 q, dla q <,. 3. (+), (+3). k=0 qk = q+ q Wskazówka: Zajdź liczby A i B takie, że (+) = A + Szeregi B +.. prawdziwego dla wszystkich q. Co Zadaie 5 Pokaż, że jeśli szeregi a i b są zbieże oraz a i b są ustaloymi liczbami rzeczywistymi, to szereg (a a + b b ) jest zbieży oraz (a a + b b ) = a a + b b. =0 =0 =0 Zadaie 6 Oblicz sumy ( ), 5 ( ) k= k (+), (+3). Zadaie 7 Oblicz sumy Wskazówka: Zajdź liczby A i B takie, że (+) = A + B +. Zadaie 8 Zbadaj zbieżość astępujących szeregów:, 3,. Zadaie 9 Zastosuj kryterium zbieżości d Alamberta do zbadaia zbieżości szeregów + 3 +, (!) ()!. (!),

2 Zadaie 0 Skorzystaj z kryterium zagęszczeia do zbadaia zbieżości szeregów. l(). Zadaie Wyzacz promieie zbieżości astępujących szeregów potęgowych:. + x. x x ( ) x x (!) k (k)! x (dla ustaloego aturalego k > 0) Zadaie Rozwiń astępujące fukcje w szereg Maclauria i wyzacz ich promieie zbieżości:. f(x) = si(x). g(x) = cos(x) 3. f(x) = l x 4. f(x) = l +x x Zadaie 3 Załóżmy, że szereg potęgowy f(x) = =0 a x ma promień zbieżości R. Niech g R.. Jaki jest promień zbieżości szeregu =0 (g a )x?. Jaki jest promień zbieżości szeregu =0 (g a )x? Zadaie 4 Pokaż, że. si(x) = x x3 3! + x5 5! +... = =0 ( ) (+)! x+,. cos(x) = x! + x4 4! +... = ( ) =0 ()! x, 3. l( + x) = x x + x = = ( )+ x dla x <. 4. l x = x + x + x = = x dla x <. 3 Przestrzeń euklidesowa Zadaie 5 Pokaż, że (x, y) ( y, x). Zadaie 6 Niech x R x \ {0}. Pokaż, że x =. Zadaie 7 Skorzystaj z ierówości Cauchy ego do pokazaia, że dla dowolych a, b, t R mamy a cos(t) + b si(t) a + b Zadaie 8 Niech d(x, y) ozacza odległość euklidesową w przestrzei R. Narysuj astępujące podzbiory płaszczyzy:. A = {P R : d(p, (, )) < }. A = {P R : < d(p, (, )) < } 3. A = {P R : d(p, (, 0) = d(p, (0, )} Zadaie 9 Oblicz graicę ciągu a = ( +, ( + 3, ), ) +

3 puktów przestrzei R 4. Zadaie 0 Wyzacz pukty skupieia ciągu ( a = ( ) +, log ( ) ) + ), ( + ( ) * Zadaie Niech f(t) = (cos(t), si(t)) oraz a = f ( k= k ). Wyzacz pukty skupieia tego ciągu. Zadaie Reguła rówoległoboku: Pokaż, że x + y + x y = ( x + y ) Zadaie 3 Wyzacz wętrza, domkięcia, wętrza domkięć i domkięcia wętrz astępujących podzbiorów prostej rzeczywistej:. A = [0, ] Q, A = [0, ] \ Q.. B = N, B = Z 3. C = { + : N} 4. D = [0, ] (, 3) ([4, 5] Q) 5. E =, F = R. Zadaie 4 Wyzacz wętrza i domkięcia astępujących podzbiorów R :. {(x, y) R : x + y 4}. {(x, y) Q : x + y < } Zadaie 5 Niech (X, d) będzie przestrzeią metryczą. Kulą otwartą o środku w pukcie x X i promieiu r > 0 azywam zbiór K(x, r) = {y X : d(x, y) < r}.. Pokaż, że K(x, r) jest zbiorem otwartym.. Niech a, b X, r, r > 0. Pokaż, że jeśli d(a, b) > r + r to K(a, r ) K(b, r ) =. Zadaie 6 Rozważamy przestrzeń R z odległością euklidesową. Niech x R oraz r > 0.. Wyzacz cl(k(x, r)).. Niech a R. Rozważamy zbiór K(x, r) + a = {y + a : y K(x, r)}. Pokaż, że K(x, r) + a = K(x + a, r). Zadaie 7 Pokaż, że suma i przekrój dwóch podzbiorów otwartych dowolej przestrzei metryczej jest zbiorem otwartym. Pokaż, że suma i przekrój dwóch podzbiorów domkiętych dowolej przestrzei metryczej jest zbiorem domkiętym.. Czy suma dowolej rodziy podzbiorów domkiętych R jest zbiorem domkiętym?. Czy przekrój dowolej rodziy podzbiorów domkiętych jest zbiorem domkiętym? Zadaie 8 Załóżmy, że A, B R są zbiorami otwartymi.. Pokaż, że A B jest podzbiorem otwartym przestrzei R.. Pokaż, że jeśli A, B R są zbiorami domkiętymi, to A B jest podzbiorem domkiętym przestrzei R. 3. Samodzielie uogólij to zadaie a podzbiory przestrzei R i R m. Zadaie 9 Niech (X, d) będzie dowolą przestrzeią metryczą. Załóżmy, że A X jest takim zbiorem, że Pokaż, że A jest zbiorem domkiętym. ( a A)( r > 0)(K(a, r) A = {a}) 3

4 Zadaie 30 Niech (X, d) będzie przestrzeią metryczą. Niech F : X R będzie fukcją ciągłą.. Pokaż, że zbiór {x X : F (x) = 0} jest zbiorem domkiętym.. Pokaż, że zbiór {x X : F (x) 0} jest zbiorem domkiętym. 3. Pokaż, że zbiór {x X : F (x) > 0} jest zbiorem otwartym. 4. Uogólij to zadaie a dowole przestrzeie metrycze Zadaie 3 Pokaż, że zbiór {(x, x ) : x R \ {0}} jest zbiorem domkiętym przestrzei R. Wskazówka: Skorzystaj z poprzediego zadaia. Przyjrzy się fukcji F (x, y) = x y. Zadaie 3 Niech F : R R m będzie fukcją ciągłą. Pokaż, że {(x, F (x)) : x R } jest domkiętym podzbiorem przestrzei R R m. Zadaie 33 Niech (X, d), (Y, ρ), (Z, η) będą przestrzeiami metryczymi. Załóżmy, że fukcja f : X Y jest ciągła w pukcie a X oraz, że fukcja g : Y Z jest ciągła w pukcie f(a). Pokaż, że fukcja g f : X Z jest ciągła w pukcie a. Zadaie 34 Załóżmy, że zbiór A R jest łukowo spójy. Niech f : A R będzie ciągła. Załóżmy, że a, b A oraz f(a) < 0 i f(b) > 0. Pokaż, że istieje c A takie, że f(c) = 0. Zadaie 35 Niech γ : [0, ] R będzie (ciągłą) krzywą taką, że γ(0) < oraz γ() >. Pokaż, że gamma przecia sferę jedostkową. * Zadaie 36 Niech f będzie fukcją ciągła a sferze jedostkowej S R 3. Pokaż, że istieje pukt x S taki, że f(x) = f( x). 4 Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Zadaie 37 Wpisz w pasku wyszukiwarki Google wzory. x +y,. x -y, 3. x*y, 4. si(x+y), 5. si(x-y ), 6. /(x +y ) 7. /(x -y ) (-sqrt(-x -(y-abs(x)) ))*cos(30*((-x -(y-abs(x)) ))), x is from - to, y is from - to.5, z is from to 6 Postaraj się zrozumieć te wykresy (poza ostatim). Uwaga: Musisz mieć stosukowo ową kartę graficzą aby móc wygeerować te wykresy. Zadaie 38 Niech f(x, y) = { xy x +y : x + y > 0 0 : (x, y) = (0, 0) Pokaż, że dla każdego a [, ] istieje taki ciąg puktów P = (x, y ) zbieży do puktu (0, 0) taki, że lim f(x, y ) = a. Zadaie 39 Niech f(x, y) = { x y x 4 +y : x + y > 0 0 : (x, y) = (0, 0). Pokaż, że dla dowolego wektora (a, b) (0, 0) mamy lim t 0 f(ta, tb) = 0. Zajdź taki ciąg puktów P = (x, y ) zbieży do puktu (0, 0), że lim f(x, y ) =. 4

5 Zadaie 40 Niech f(x, y) = { si(xy) x : x 0 0 : x. Pokaż, że f jest ciągła w pukcie (0, 0). Pokaż, że f jest ciągła w każdym pukcie płaszczyzy 4. Różiczkowaie Zadaie 4 Wyzacz pochode cząstkowe astępujących fukcji. f(x, y) = x (x + y) 3. f(x, y) = si(x + y ) 3. f(x, y) = xy cos(x y) 4. f(x, y, z) = xy z 3 + xe y+z 5. f(x, y, z) = x +y +z 6. f(x, y, z) = xy + yz + zx 7. f(x, y, z) = y(y z) x określoej a zbiorze otwartym U = {(x, y, z) : y z > 0} 8. f(x, y, z) = l(x + x + y + z ) Posłuż się wyszukiwarką Google do wyzaczeia wykresów pierwszych trzech fukcji Zadaie 4 Niech r > 0 oraz f(t) = (r cos(t), r si(t).. Wyzacz jakobia f (t) fukcji f w pukcie t.. Pokaż, że f(t), f (t) = 0 dla każdego t R. 3. Ustalmy t R. Napisz rówaie prostej styczej do krzywej f w pukcie f(t). 4. Podaj wzór a pochodą (Df)(t) w pukcie t. Zadaie 43 Wyzacz jakobiay f (t) astępujących fukcji. f(t) = (t, t 3 + t, cos(t )). f(t) = (t, t, t 3 ) Zadaie 44 Niech f(t) = (v x t, g t + v y t) dla pewych stałych v x, v y, g > 0.. Oblicz f (t) oraz f (t).. Podaj iterpretacją fizyczą tego zadaia. 3. Niech (x x, v y ) = v(cos(α), si(α)) (α (0, π/)). Zajdź t α > 0 takie, że f(t α ) = (x α, 0) dla pewego x α > 0. Wyzacz x α. Zajdź kąt α maksymalizujący liczbę x α. Zadaie 45 Załóżmy, że f : R R jest fukcją różiczkowalą, taką, że ( t)( f(t) = ). Pokaż, że ( t R)(f (t) f(t)).. Podaj iterpretację fizyczą tego faktu. Wskazówka: Zapisz fukcję f w postaci f(t) = (f (t),..., f (t)) i astępie zauważ, że (f (t)) (f (t)) = dla każdego t. Zadaie 46 (Numerycza metoda Verleta) Niech F : R R będzie polem wektorowym. Niech X : R R będzie łukiem takim, że X(t) = F (X(t)) t dla każdego t R.. Zastosuj wzór Taylora rzędu 4 do wyzaczaia X(t + h) oraz X(t h).. Dodaj stroami wyprowadzoe wzory do pokazaia, że X(t + h) = X(t) X(t h) + F (X(t)) h + O(h 4 ) 5

6 3. Niech F (x, y) = (x, y)/(x + y ) 3. Pokaż, że dla każdego (x, y) (0, 0) mamy F (x, y) = (x, y). 4. Użyj obserwacje z poprzedich puktów do apisaia w dowolym języku programowaia symulatora poruszaia się cząstki puktowej w polu cetralym F (x, y) z poprzediego puktu. Ustaw parametry początkowe X(0) = (, 0), X(0) t = (0, 0.5). Weź h = Wyzacz przybliżoe położeia puktów X(kh) dla k = 0,..., Zapisz wyiki do pliku tekstowego. Wczytaj je do programu Excel (lub jego odpowiedika) i wyświetl przybliżoą trajektorię ruchu cząstki. Zadaie 47 Wyzacz gradiety astępujących fukcji. f(x, y) = x y. f(x, y, z) = xy z 3 3. f(x, y, z) = xyz 4. f(x, y, z) = + x + 3xy + x z 5. f(x, y, z) = (xy) z Zadaie 48 Wyzacz gradiety astępujących fukcji f : R R:. f(x) = a, x. f(x) = k= a k(x k ) 3. f(x) = x (x 0) Zadaie 49 Wyzacz pochode kierukowe astępujących fukcji w zadaych puktach P i kierukach a:. f(x, y, z) = x + y + z 3, P = (,, ); a = [,, ]. f(x, y, z) = xyz, P = (,, ), a = [,, ] 3. f(x, y, z) = x cos(yz), P = (0, 0, 0), a = [,, ] Zadaie 50 Wyzacz jakobiay astępujących fukcji: [ ] x + y. f(x, y) = x + y xy. f(x, y) = si(x + y) e x y [ ] xyz 3. f(x, y, z) = si(x + yz) Zadaie 5 Wyzacz pochode wszystkie cząstkowe drugiego stopia wszystkich fukcji z Zadaia 4 oraz wyzacz ich Hesjay. Zadaie 5 Pokaż, że fukcja f(x) = x jest różiczkowala a R \ {0} oraz zajdź jej pochodą. Zadaie 53 Wyzacz macierz Jacobiego fukcji f(r, t) = (r cos(t), r si(t)) oraz f(r, t, h) = (r cos(t), r si(t), h). Zadaie 54 Zbadaj ekstrema podaych fukcji:. f(x, y) = x 4 x + 4xy + y 4 y. f(x, y) = xy + x + y 3. f(x, y) = x y ( x y + 5) 4. f(x, y) = xy ( x y + 4) 5. f(x, y) = cos(x y) + si(x) + cos(y) 6. f(x, y) = (x ) y Zadaie 55 Niech f(x, y) = (x y, x + y) oraz g(x, y) = (e x, x y). Wyzacz złożeie g f 6

7 . Oblicz macierze Jacobiego f, g oraz (g f) 3. Wyzacz g (f(x, y)) 4. Oblicz g (f(x, y)) f (x, y). * Zadaie 56 Ile jest pochodych cząstkowych m-tego rzędu ieskończeie różiczkowalej fukcji 3 zmieych? fukcji m zmieych? Zadaie 57 Zajdź wymiary otwartego zbiorika prostopadłościeego o objętości 4 m 3 o ajmiejsze powierzchi boczej. Zadaie 58 Niech g(x, y, z) = x y +z, x(t) = si(t), y(t) = cos(t) i z(t) = t. Oblicz d dtf(x(t), y(t), z(t)). Zadaie 59 Niech g(x, y, z, u) = e x y z, x(t) = t, y(t) = + t, z(t) = t, u(t) = l(t). Oblicz f(x(t), y(t), z(t), y(t)). d dt Zadaie 60 Niech u będzie fukcją dwukrotie różiczkowalą. Niech f(t, x) = u(v t x). Pokaż, że fukcja f spełia rówaie różiczkowe t f = v xf. Uwaga: To jest jedowymiarowe rówaie fali. Zadaie 6 Niech T (t, x) = e at si(ax). Pokaż, że fukcja f spełia rówaie różiczkowe Uwaga: To jest jedowymiarowe rówaie ciepła. Zadaie 6 Niech f(x, y, z) = Uwaga: To jest tak zwae rówaie Laplace a. t T = xt. C. Pokaż, że fukcja f spełia astępujące rówaie różiczkowe: x +y +z xf + yf + zf = 0 Zadaie 63 Oblicz γ F dl dla astępujących pól wektorowych oraz krzywej γ : [0, π] R :. F (x, y) = (x, y), γ(t) = (t, t), t [0, ]. F (x, y) = ( x, y), γ(t) = (t, a t + b), t [0, ] 3. F (x, y) = ( x, y), γ(t) = (r cos(t), r si(t)), t [0, π] 4. F (x, y) = (y, x), γ(t) = (r cos(t), r si(t)), t [0, π] Zadaie 64 Niech γ : [a, b] R, δ : [b, c] R będą klasy C i γ(b) = δ(b). Defiiujemy krzywą ρ : [a, c] R wzorem { γ(t) : t [a, b] ρ(t) = δ(t) : t [b, c]. Pokaż, że F dl = F dl + F dl. ρ γ δ Uwaga: Krzywą ρ azywamy sumą krzywych γ i δ i ozaczamy przez γ+δ. Wyik zadaia moża zapisać astępująco F dl = F dl + F dl.. γ+δ. Podaj iterpretację fizyczą tego zadaia. γ δ Zadaie 65 Niech γ : [a, b] R. Defiiujemy krzywą δ : [a, b] R wzorem δ(t) = γ((a + b) t). Krzywą tę ozaczamy przez γ.. Pokaż, że F dl = F dl. γ γ. Pokaż iterpretację fizyczą tego zadaia. 7

8 Zadaie 66 Niech F, G : R R będą polami wektorowymi, a, b R oraz γ : [u, v] R. Pokaż, że af + bg dl = a F dl + b G dl γ γ γ Zadaie 67 Czy pole wektorowe F (x, y) = ( y, x) jest polem potecjalym? Zadaie 68 Niech f(x, y) będzie fukcją dwóch zmieych. Załóżmy, że f x Pokaż, że d b b f(x, y)dy = f(x, y)dy dx x a a f oraz y są fukcjami ciągłymi. Zadaie 69 Niech f(t) = { e /t : t > 0 0 : t o. Pokaż, że fukcja f jest klasy C oraz, że dla każdego k mamy f (k) (0) = 0. Niech g(t) = f( t). Naszkicuj wykresy fukcji f, g oraz f g. 3. Niech u(t) = f(t)g( t). Pokaż, że u jest fukcją klasy C oraz, że u(t) > 0 t (0, ). 4. Dla > 0 określamy u (t) = u( t). Wyzacz ośik fukcji u, czyli zbiór supp(u ) = {t R : u (t) > 0}. 5. Niech u,a (t) = u (t + a). Pokaż, że dla dowolego zbioru otwartego A R oraz dowolego b A istieją liczby > 0 oraz a takie, że b supp(u,a ) A. Zadaie 70 Wyzacz rówaie styczej do hiperboli zadaej rówaiem x a (leżącym a tej hiperboli). y b = w pukcie (x 0, y 0 ) Zadaie 7 Wyzacz ekstrema warukowe fukcji f(x, y) przy waruku g(x, y) = 0 dla astępujących fukcji. f(x, y) = x + y, g(x, y) = xy. f(x, y) = x 3 + y 3, g(x, y) = x + y 3. f(x, y) = x + y, g(x, y) = e x+y xy 4. f(x, y) = x a y b, g(x, y) = x + y (a, b są ustaloymi liczbami dodatimi). Zadaie 7 Niech P = (0, b). Zastosuj metodę możików Lagrage a do wyzaczaia puktu a krzywej zadaej rówaiem y = x leżącego ajbliżej puktu P. Zadaie 73 Zastosuj rówaie Eulera-Lagrage a do pokazaia, że ajkrótszą krzywą łączącą dwa pukty płaszczyzy jest odciek. 5 Całki wielokrote Zadaie 74 Oblicz astępujące całki podwóje: 4. dx 4 xydy a. 0 dx b xy(x y)dy 0 x= y=3 3. (x + xy)dxdy x= y= 4. P (x y + xy 3 )dxdy, gdzie P = [, ] [, 4] 5. x si(xy)dxdy. gdzie P = [0, ] [π, π] P 0 0 x y dxdy A e x y dxdy, gdzie A = {(x, y) : 0 x x y } 8

9 Zadaie 75 Oblicz całkę si(x) cos(y)dxdy, gdzie obszarem całkowaia jest trójkąt o wierzchołkach P = P (0, 0), Q = (0, π/) i R = (π/, 0). Zadaie 76 Oblicz astępujące całki po obszarach ograiczoych wskazaymi krzywymi:. D xy dxdy, D: y = x, y = x. A e x y dxdy, D: x = 0, y = x, y = 3. B ex dxdy, D: x = 0, x = l( ), y = 0 y = x Zadaie 77 Niech A = {(x, y) R : 0 x si(y) 0 y π}.. Oblicz powierzchię zbioru A. Oblicz A xdxdy 3. Oblicz A ydxdy 4. Oblicz A xydxdy Zadaie 78 Prostopadłościa o podstawie P = [0, a] [0, b] położoej w płaszczyźie 0XY został ścięty od góry powierzchią z = x + y. Oblicz objętość tak powstałej bryły. Zadaie 79 Pokaż, że x=b ( y=d ) ( x=a y=c f(x)g(y)dxdy = b a f(x)dx d ). c g(y)dy Zadaie 80 Oblicz π π 0 0 si(x) si(y)dxdy. Zadaie 8 Oblicz objętość przekroju dwóch walców V = {(x, y, z) : x + z r } oraz V = {(x, y, z) : y + z r }. Zadaie 8 Zajdź objętość bryły ograiczoej powierzchiami:. y = x, z = x + y, y =, z = 0. z = xy, x + y =, x + y = 4 3. z = x + y, xy =, xy =, y = x, y = x Zadaie 83 Oblicz astępujące całki potróje:. ( + x + xy)dxdydz x=0 y= z=. (xyz)dxdydz, gdzie P = [0, a] [0, b] [0, c] P 3. (x + y + z)dxdydz, gdzie P = [0, a] [0, b] [0, c] P Zadaie 84 Wyzacz masę prostopadłościau P = [0, a] [0, b] [0, c] wiedząc, że gęstość masy w pukcie (x, y, z) wyraża się wzorem ρ(x, y, z) = + x + y + z. Zadaie 85 Niech Σ = {(x,..., x ) R : 0 x,... x x x }. Wyzacz Σ x x... x dx dx... dx. Wskazówka: Rozwiąż to zadaie dla =, = i =3 i spróbuj a postawie tych wyików postawić ogóla hipotezę. 9

10 Zadaie 86 Oblicz wartość średią fukcji f(x, y) = si(x) cos(y) a obszarze [0, π] [0, π ]. Zadaie 87 Niech będzie liczbą aturalą. Wyzacz całki I = (x [0,] x )dx dx. Zadaie 88 Wyprowadź za pomocą twierdzeia Fubbiiego wzór a objętość bryły obrotowej V = {(x, y, z) : a x b y + z f(x) }, któy pozaliśmy a pierwszym semestrze. 5. Zamiaa zmieych Zadaie 89 Niech Φ b (x, y) = (x + by, y).. Niech a, h > 0 oraz T = {(x, y) : 0 x a 0 y h h a x}. Naszkicuj obszar T. Jaka jest jego powierzchia?. Wyzacz Jakobia fukcji Φ b. 3. Pokaż, że dla dowolej figury A R mamy vol(a) = vol(φ b [A]). 4. Wyzacz obraz Φ b [T ]. 5. Jakie jest pole figury Φ b [T ]? Zadaie 90 Niech [ cos(φ) si(φ) O φ (x, y) = si(φ) cos(φ) (to jest obrót płaszczyzy względem środka układu współrzędych o kąt φ. Pokaż, że dla dowolej figury A mamy pow(a) = pow(o φ (A)). Zadaie 9 Pokaż, że jeśli T v jest przesuięciem przestrzei R o wektor v, to dla dowolej -wymiarowej bryły A mamy λ (A) = λ (T v (A)). Zadaie 9 Pokaż, że objętość elipsoidy zadaej rówaiem x a + y b + x c wyraża się wzorem 4 3 πabc. Wskazówka: Rozważ odwzorowaie liiowe R 3 w R 3 zadae wzorem Ψ(x, y, z) = (ax, by, cz). Zadaie 93 Niech T będzie iezdegeerowaym trójkątem a płaszczyźie o wierzchołkach A = (a, a ), B = (b, b ) i C = (c, c ). Załóżmy, że wszystkie współrzęde a, a, b, b, c, c są liczbami całkowitymi. Pokaż, że pow(t ). Wskazówka: Zapisz powierzchię trójkąta T za pomocą pewego wyzaczika. ] [ ] x y Zadaie 94 Oblicz astępujące całki po wskazaych obszarach:. K si(x + y )dxdy, K = {(x, y) R : π x + y π},. D ( x y)dxdy, D = {(x, y) : 0 x 0 y x + y 5 }, +y 3. ) dxdy, K = {(x, y) R : x + y }, K e (x 4. R x dxdy, R = {(x, y) R : 0 x, y 4 x + y 9}. Zadaie 95 Zajdź powierzchię obszaru R ograiczoego przez krzywe r = +si(3θ) ad r = 4 cos(3θ). Zadaie 96 Oblicz astępujące całki po wskazaych bryłach:. K (0 x y z )dzdydz, K = {(x, y, z) R 3 : x + y + z }. V dxdydz, V = {(x, y, z) R 3 : z x + y x + y + z } Zadaie 97 Niech V będzie bryłą która powstała z usuięcia z połowy kuli K = {(x, r, z) : x + y + z 4 z 0} kuli A = {(x, y, z) R 3 : x + y + (z ) } (czyli V = K \ A). Oblicz objętość V. Wskazówka: Pokaż ajpierw, że rówaie r = cos(θ) (we współrzędych sferyczych) wyzacza brzeg kuli A: ze wzoru r = cos(θ) wywioskuj, że r = z, czyli, że x + y + z = z. Zadaie 98 Niech L będzie stożkiem lodów ograiczoym z dołu przez powierzchię z = (x + y ) oraz z góry przez powierzchię x + y + z = 4. Wyzacz objętość bryły L. 0

11 Zadaie 99 Zastosuj współrzęde cylidrycze do wyprowadzeia wzoru a objętość walca o promieiu podstawy r i wysokości h. Zadaie 00 Zastosuj współrzęde cylidrycze do wyprowadzeia wzoru a objętość stożka o promieiu podstawy r i wysokości h. Zadaie 0 Załóżmy, że σ > 0. Oblicz astępujące całki:. e x σ dx σ π. σ π 3. σ π xe x σ dx x e x σ dx Zadaie 0 Na wykładzie pokazaliśmy, że -wymiarowa objętość -wymiarowej kuli o promieiu R wyraża się wzorem a R, gdzie liczby a spełiają astępującą rekurecyją zależość a + = π + a.. Stosując te wzór wyzacz objętości -wymiarowych kul o promieiu R dla wszystkich {,,..., 0}. Narysuj wykres ilustrujący te obliczeia.. Dla jakiego k parametr α k jest ajwiększy? Zadaie 03 Niech F, G : R R. Niech ozacza iloczy skalary. Pokaż, że d dt (F (t) G(t)) = ( d dt F (t)) G(t)) + F (t) ( d dt G(t)) Zadaie 04 Niech F, G : R R 3. Niech ozacza iloczy wektorowy. Pokaż, że 6 Formy różiczkowe d dt (F (t) G(t)) = ( d dt F (t)) G(t)) + F (t) ( d dt G(t)) Zadaie 05 Doprowadź do kaoiczej postaci astępujące formy: 3 3. i= j= A ijdx i dx j.. (A dx + A dy + A 3 dz) (B dx + B dy + B 3 dz) Zadaie 06 Niech π i (x,..., x ) = x i. Wyzacz dπ i. Zadaie 07 Niech f : R R i γ : [0, ] R.. Oblicz γ fdx.. Oblicz γ df. Zadaie 08 Niech φ(u, v) = ( + u)[cos(πv), si(πv)] dla (u, v) [0, ]. Wyzacz φ. Zadaie 09 Niech φ(u, v) = (u, v), ψ(u, v) = (u, v + ) i η(u, v) = (u, v) dla (u, v) [0, ]. Niech ρ = φ + ψ. Pokaż, że ρ = η. Zadaie 0 Niech a, b, c R 3. Pokaż, że a (b c) = (a b) c. Zadaie Pokaż, że jeśli forma ω jest stopia ieparzystego, to ω ω = 0. Zadaie Zajdź przykład formy ω takiej, że ω ω 0. Zadaie 3 Sprowadź formę do postaci kaoiczej. (a(x, y, z)dx dy + b(x, y, z)dx dz) (c(x, y, z)dx dy + d(x, y, z)dy dz)

12 y Zadaie 4 Niech ω = x +y dx + x x +y dy będzie formą określoą a zbiorze otwartym R \ {(0, 0)}.. Pokaż, że ω jest formą zupełą.. Niech γ(u) = (cos(πu), si(πu). Oblicz γ ω. 3. Wywioskuj z tego, że ω ie jest formą dokładą. 4. Z jakim polem wektorowym jest związaa forma ω. Zadaie 5 Ustalmy liczby k. Rozważmy wszystkie formy postaci dx i... dx ik dla dowolych ciągów (i,... i k ) elemetów zbioru {,..., }. Ile jest istotie różych form tej postaci? Zadaie 6 Niech F (x, y) = (x, 0) oraz S = [, ]. Oblicz S F d S. c.d.. Powodzeia, Jacek Cichoń