(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe

Transkrypt

1 . Metrka Zadaie.. Pokazać, że metrka jest fukcją ieujemą. Zadaie.2. Odowodić, że poiższe wzor defiiuja metrki. a) (metrka euklidesowa) X = R. d e (, ) := ( ) ( ) 2 b) (metrka taksówkowa) X = R d T (, ) := i i i= c) (metrka supremum) X = R d (, ) := ma <j<m i i d) (metrka rzeka) X = R 2 d r (, ) := { 2 2 gd = gd = e) (metrka kolejowa) X = R 2 d k (, ) := { d e (, ) d e (, 0) + d e (0, ) gd,, 0 są współliiowe gd,, 0 ie są współliiowe f) (metrka dskreta) X = d 0 (, ) := { 0 gd = gd = Zadaie.3. Niech d X i d Y będą metrkami w X i w Y Udowodić, że poiższe wzor defiiują metrki w X Y. a) d X Y = d 2 + d 2 b) d X Y = d + d c) d X Y = ma{d, d } Zadaie.4. Niech d będzie metrką w X oraz iech d 2 będzie dae wzorem: Udowodić, że d 2 rówież jest metrką w X. d 2 (, ) = d (, ) + d (, ) Zadaie.5. W każdej zaej metrce a płaszczżie obliczć odległości międz dowolmi wrazami ciągów: a) { } { ( ) a = }, { } { ( ) } b) { } { ( ) d) d = + b = 2 },, + c) { } { ( ) e) { } { ( ) g) } e } =, c = 0, f) { } { ( ) f = }, 0 { g } = { ( +, ) } Zadaie.6. Niech (V, ) będzie przestrzeią uormowaą. Wkaż, że d(, ) = jest metrką.

2 2. Kule Zadaie 2.. Opisać (i arsować przkładowe) kule w każdej zaej metrce a płaszczźie. Zadaie 2.2. Udowodić, że kula otwarta jest zbiorem otwartm. Udowodić, że kula domkięta jest zbiorem domkiętm. Zadaie 2.3. Opisać (i arsować przkładowe) kule: a) (X = [0, ] (2, 3] [4, 5) {6}, d e ), X R b) (X = {0} [, 2) (3, 4) [5, 6], d e ), X R c) (X = (, ), d e ), X R d) (X = ( 2, ) [, 2], d e ), X R e) X = [0, ] (2, 3) {4} z metrką euklidesową. f) X= [, 2] 2 z metrką d e, d k i d r. g) ([0, ] (4, 5), d e ), h) ([0, ] (4, 5) {2} [ 2, ], d e ), i) ([, 2] 2, d k ). j) X = [, 2] 2 z metrką d e, d k, d r Zadaie 2.4. Opisać jak wglądają odpowiedie kule w odpowiedich przestrzeiach metrczch: a) (X = [0, ] (4, 5), d e ) K(, /2); K(, r) gdzie r > 0 b) (X = [0, ] (2, 3) {4}, d e ) K(0, r) K(5/2, r) Zadaie 2.5. Cz kula o większm promieiu może zawierać się w kuli o miejszm promieiu? 3. Zbior otwarte i domkięte Zadaie 3.. Sprawdzić, cz poiższe zbior sa otwarte lub domkięte a) (0, ) (R, d e ) b) [0, ] (R, d e ) c) (0, ] (R, d e ) d) kula otwarta w dowolej przestrzei metrczej e) kula domkięta w dowolej przestrzei metrczej f) X \ K d (p, R) w X g) (0, ) (X = [0, ] (2, 3] [4, 5) {6}, d e ) h) [0, ] (X = [0, ] (2, 3] [4, 5) {6}, d e ) i) (X = {0} [, 2) (3, 4) [5, 6], d e ) j) (X = (, ), d e ) k) A = R 2 {0} w zach metrkach l) [0, ] 2 jest otwart lub domkięt w ( R 2, d r ) i (R 2, d k ) m) A w (X, d 0 ), ) [0, ) w ([0, ), d e ), o) [0, ) w (R, d e ), p) [0, ) w ([0, ) (2, 3), d e ), q) (0, ) [0, ] w (R 2, d e ), r) (0, ) [0, ] w (R 2, d r ), s) R 2 {0} w (R 3, d e ), t) [0, ] R {0} w (R 3, d e ). Zadaie 3.2. Cz zbior są otwarte lub domkięte w zach metrkach a płaszczźie? 2 a)

3 b) e) h) c) f) d) g) Zadaie 3.3. Opisać wszstkie zbior otwarte i domkięte w przestrzei metrczej dskretej. Zadaie 3.4. a) Jaka zachodzi relacja międz rodzią zbiorów otwartch z metrką euklidesową a rodzią zbiorów otwartch z metrką rzeką? b) Jaka zachodzi relacja międz rodzią zbiorów otwartch z metrką kolejową a rodzią zbiorów otwartch z metrką rzeką? c) Jaka zachodzi relacja międz rodzią zbiorów otwartch z metrką kolejową a rodzią zbiorów otwartch z metrką euklidesową? Zadaie 3.5. Pokazać, że zbiór A R 2 jest: a) ograiczo w metrce taksówkowej wted i tlko wted gd jest ograiczo w metrce kolejowej. b) ograiczo w metrce taksówkowej wted i tlko wted gd jest ograiczo w metrce rzeka. Zadaie 3.6. Pokazać, że: a) metrki euklidesowa i taksówkowa są rówoważe. b) metrki taksówkowa i maksimum są rówoważe. c) metrki euklidesowa i kolejowa ie są rówoważe. d) metrki rzeka i taksówkowa ie są rówoważe. e) metrki rzeka i euklidesowa ie są rówoważe. f) metrki rzeka i kolejowa ie są rówoważe. Zadaie 3.7. Pokazać, że jeżeli metrki d, d 2 są rówoważe, to zbiór A jest otwart (domkięt) w (X, d ) wted i tlko wted gd jest otwart w (X, d 2 ). 3

4 4. Ciągi Zadaie 4.. Pokazać, że ciąg zbież posiada tlko jedą graicę oraz, że każd jego podciąg jest zbież do tej samej graic Zadaie 4.2. Zbadać cz da ciąg jest zbież w zach metrkach a płaszczźie? a) { } { ( ) a = }, b) { } { ( e) { } { ( ) } e =, ) b = 2 }, c) { } { ( f) { } { ( i) { } { ( ) } i = + ( ) ), } f = ), + ( ) } c = 0, d) { } { ( g) { } { ( j) { } { = (, ( ) } ) } g = ) + ( ), } d = +, + h) { } { ( k) { } { ( ) = }, + ) } h =, l) { } { ( ) z = }, Zadaie 4.3. Scharakterzować zbieżosć w metrce euklidesowej, rzeka, kolejowej i dskretej. Opisać wszstkie ciągi Cauch ego w tch metrkach. Zadaie 4.4. Sprawdzić zbieżosć ciągu { a } = { ( +, + ) } w metrce kolejowej, metrce rzeka i metrce maksimum. Zadaie 4.5. Udowodić fakt, że w metrce dskretej ciąg { } jest zbież wted i tlko wted gd jest stał od pewego miejsca. Zadaie 4.6. Udowodić fakt, że jeżeli ciąg jest zbież, to jest ciągiem Cauch ego. Zadaie 4.7. Korzstając z charakterzacji ciągowej, sprawdzić, cz zbiór (0, ) {} jest domkięt w metrce euklidesowej i metrce rzeka. Zadaie 4.8. Niech A = {0} { } = będzie podprzestrzeią prostej ze stadardową metrką. a) Cz zbiór A jest zbiorem otwartm (domkiętm) w R? b) Cz {0} jest zbiorem otwartm (domkiętm) w A? c) Cz { 2 } jest zbiorem otwartm (domkiętm) w A? Zadaie 4.9. a) Scharakterzuj ciągi zbieże w d r za pomocą ciągów w d e. Cz ciągi zbieże w d e są zbieże w d r i a odwrót? b) Scharakterzuj ciągi zbieże w d k za pomocą ciągów w d e. Cz ciągi zbieże w d e są zbieże w d k i a odwrót? Zadaie 4.0. Zbadać, cz podae zbior są otwarte (domkięte) w R 2 dla metrki euklidesowej, rzeka i kolejowej. a) A = {2} (0, ) b) B = (0, ] [0, ] c) C = (, 2) {0} d) D = {(, ) R 2, <, < < } e) E = {(, ) R 2, = 0} f) F = {(, ) R 2, Q, R} g) G = {(, ) R 2 ; < } ({0} ( 2, 2)) 5. Domkięcie, wętrze, brzeg Zadaie 5.. Zaleźć brzeg, domkięcie i wętrze w zach metrkach. 4

5 a) d) g) b) e) h) c) f) i) A = {0} (, 2), j) B = {0} (, 2], k) C = [0, ) {}, l) K((2, 2), ) w (R 2, d k ) m) B = [0, ) {} ) X=[0, ) {2} [3, 4] (5, 6) o) A=[0, ) {2} {3} (5, 6) p) A = {, R : } Zadaie 5.2. Wzaczć wętrze, domkięcie i brzeg zbioru A = {0} (, 2) [3, 4) [5, 6] w przestrzei X = R Zadaie 5.3. Wzaczć wętrze, domkięcie i brzeg zbioru A = {0} (, 2) [3, 4) [5, 6] w przestrzei X = [0, 2] [3, 4) [5, ) Zadaie 5.4. Udowodij poiższe własości. ita O Ā F A O A=itA A F A=A A F it(ita)=ita (A) = A A O A=A \ A A F A=A \ ita A O F A= Zadaie 5.5. Wzaczć brzeg, domkięcie i wętrze podach zbiorów. a) A = {2} (0, ) b) B = (0, ] [0, ] c) C = (, 2) {0} d) D = {(, ) R 2, <, < < } e) E = {(, ) R 2, = 0} f) F = {(, ) R 2, Q, R} g) G = {(, ) R 2 ; < } ({0} ( 2, 2)) h) H = {(, ) [0, ] 2 ; > )} 5

6 Zadaie 5.6. Udowodij, że defiicja ciągowa i kulkowa domkięcia są rówoważe. Zadaie 5.7. Wzacz brzeg, wętrze i domkięcie zbioru A = {0} (, 2). Jak zmiei się brzeg, wętrze i domkięcie gd domkiem zbiór A w pukcie (0,2)? Zadaie 5.8. X = [0, ) {2} [3, 4] (5, 6), A = [0, ) {2} {3} (5, 6) użwając wętrza, domkięcia i brzegu pokazać cz zbiór jest otwart, domkięt. Zadaie 5.9. Określ prawdziwosć poiższch zdań: a) Metrka taksówkowa i metrka maksimum są rówoważe. b) Dopełieie kuli jest zbiorem ieograiczom. c) Zbiór jest ograiczo w metrce kolejowej wted i tlko wted gd jest ograiczo w metrce euklidesowej. d) Zbiór ograiczo jest domkięt. e) Zbiór jest domkięt wted i tlko wted gd ie jest otwart. f) Jesli zbiór jest otwart, to jego dopełieie jest domkięte. g) Jesli dopełieie zbioru jest zbiorem domkiętm, to zbiór jest otwart. 6. Fukcje ciągłe Zadaie 6.. Cz poiższe fukcje są ciągłe? a) f : R {, 0, } b) f : R { 2, 2, 4} Zadaie 6.2. Korzstając z charakterzacji Cauch ego oraz Heiego zbadaj ciągłość fukcji: a) dla [, ) f () = dla (, 0) 0 dla [0, ) b) f () = { dla (, ) \ { 2} 2 dla = 2 Zadaie 6.3. Wkaż,że: a) idetczość jest fukcją ciągłą b) fukcja stała jest fukcją ciągłą c) złożeie fukcji ciągłch jest fukcją ciągła 6

7 Zadaie 6.4. Cz jeśli f jest ciągłą bijekcją to fukcja odwrota do f też jest ciągła? Zadaie 6.5. Pokaż, że jeżeli f : (X, d 0 ) (Y, d) to f - ciągła Zadaie 6.6. Cz fukcja ciągła zachowuje ciągi zbieże, otwartość, domkiętość, ograiczoość zbiorów? Zadaie 6.7. Niech f będzie odwzorowaiem postaci: f : R 2 R, gdzie f (, ) = (, ). Dla daej par metrk a płaszczźie sprawdzić, cz fukcja jest ciągła. a) f : (R 2, d e ) (R 2, d r ) b) f : (R 2, d e ) (R 2, d T ) c) f : (R 2, d r ) (R 2, d k ) d) f : (R 2, d r ) (R 2, d T ) e) f : (R 2, d r ) (R 2, d e ) f) f : (R 2, d k ) (R 2, d r ) g) f : (R 2, d 0 ) (R 2, d k ) h) f : (R 2, d 0 ) (R 2, d e ) Zadaie 6.8. Niech f będzie odwzorowaiem postaci f : R 2 R 2. Dla dowolej par metrk sprawdzić cz f jest ciągła. a) f (, ) = ( + 2, 4) b) f (, ) = (, ) c) f (, ) = ( + 2, 4) d) f (, ) = (2, 4) e) f (, ) = ( 2, + 3) Zadaie 6.9. Sprawdzić, cz daa fukcja jest ciągła. a) f : (R 2, d e ) (R 2, d r ), gdzie f (, ) = ( +, 2) b) f : (R 2, d e ) (R 2, d r ), gdzie f (, ) = (2, + ) Zadaie 6.0. Pokazać, że daa fukcja jest ciągła. a) f : (X, d ) (Y, d 2 ), gdzie f () = C b) f : (X, d ) (X, d 2 ), gdzie f () = Zadaie 6.. Niech f będzie odwzorowaiem postaci: f : (R 2, d r ) (R 2, d r ), gdzie f (, ) = (, ). Pokazać, że daa fukcja ie jest ciągła Zadaie 6.2. Zbadać ciągłosć fukcji w zależosci od paramateru a,b,c,d dla d e, d k i d r. a) f (, ) = (a + b + c, d + e + f ) b) f (, ) = (a + b, c + d) = (a, c) + (b, d) Zadaie 6.3. Niech f będzie opisaa wzorem: f (, ) = (a + b, a 2 + b 2 ). Zaleźć takie a, a 2, b, b 2, dla którch fukcja f jest ciągła. Zadaie 6.4. a) Niech f, g będą odwzorowaiem ciągłm takim, że f, g : X Y i iech A = { X; f () = g() }. Cz zbiór A jest zbiorem domkiętm? b) Niech f, g będą odwzorowaiem ciągłm takim, że f, g : X Y i iech A = { X; f () = g() }. Cz zbiór A jest zbiorem domkiętm? 7

8 7. Homeomorfizm Zadaie 7.. Wkazać, że dowole dwa odciki domkięte są homeomorficze: Zadaie 7.2. Udowodić, że id jest homeomorfizmem f jest homeomorfizmem. Zadaie 7.3. Udowodić, że f, g są homeomorfizmami g f jest homeomorfizmem. Zadaie 7.4. Udowodić, że relacja homeomorficzości jest relacją rówoważości. Zadaie 7.5. Wkaż, że jeżeli f : X Y jest homeomorfizmem, wted: a)( u Q ) f (u) Q b)( u F ) f (u) F Zadaie 7.6. Sprawdzić, cz odciki/półproste są homeomorficze: a) (a, b) i (c, d) b) (a, b] i (c, d] c) (a, b] i [c, d) d) (a, ) i (b, ) e) [a, ) i [b, ) f) (, a] i (, b] g) (, a) i (, b) h) (, ) i (a, b) Zadaie 7.7. Udowodić, że każde dwa okręgi w przestrzei (R 2, d e ) są homemoficze. Zadaie 7.8. Cz każd okrąg jest homeomorficz z kwadratem? Cz każd prostokąt jest homeomorficz z kwadratem? Zadaie 7.9. Sprawdzić cz odciki są homeomorficze a) [0, ) i (0, ) b) [0, ] i [0, ) c) [0, ) i (0, ] d) [0, ] i (0, ) e) [0, ) i [0, ] f) [0, ) i (3, 7] g) [, 3] i [6, 0] h) [7, 9] i [, 2] i) [0, ) [, 2] i [, 3] Zadaie 7.0. Sprawdzić cz [0, ] i okrąg S są homeomorficze. Zadaie 7.. Podzielić a klas zbiorów homeomorficzch liter alfabetu. 8. Przestrzeń zupeła, przestrzeń ośrodkowa, własość puktu stałego Zadaie 8.. Wkaż, że własość puktu stałego jest iezmieikiem homeomorfizmu. Zadaie 8.2. a) Cz odciek ([0, ], d e ) ma WPS? b) Cz (R, d e ) ma WPS? 8

9 c) Cz okrąg S ma WPS? Zadaie 8.3. Podać fukcję f : R R, która a) ma dokładie jede pukt stał. b) ma dokładie dwa pukt stałe. c) o ustaloej, skończoej ilosć puktów stałch d) o ieskończoej ilosć puktów stałch Zadaie 8.4. Wskazać odwzorowaie S S, które: a) ma dokładie 2 pukt stałe b) ma dokładie pukt stał c) ie ma puktów stałch Zadaie 8.5. Sprawdzić cz okrąg i odciek są homeomorficze. Zadaie 8.6. Ile puktów stałch ma fukcja f (, ) = ( 2 2, 2)? Zadaie 8.7. Cz przestrzeń (R, de) jest przestrzeią zupełą? Zadaie 8.8. Cz przestrzeń ((0, ), de) jest przestrzeią zupełą? Zadaie 8.9. Udowodij, że: a) X- przestrzeń zupeła, A X, A F A-zupeła. b) X - przestrzeń zupeła, A- przestrzeń zupeła A F Zadaie 8.0. Cz podzbiór otwart może bć przestrzeią zupełą? Zadaie 8.. X przestrzeń zupeła i A X oraz A F X pokazać, że ciąg Cauch ego { } A jest zbież. Zadaie 8.2. Wkazać, że ośrodkowość jest iezmieikiem homeomorfizmów. Zadaie 8.3. Sprawdzić cz R 2 ze zami metrkami jest ośrodkowa. Zadaie 8.4. Sprawdzić cz (R 2, d e ) jest homeomorficza z (R 2, d k ) 9

10 9. Zbior zwarte i zbior spóje Zadaie 9.. Sprawdzić, cz podae zbior są zwarte w różch metrkach. a) {(, ) R 2 : [2, 3]} b) {(, ) R 2 : [, 2]} c) [0, ] 2 d) [a, b] [c, d] e) [, 0] w R f) kula domkięta w R 2 z d kol Zadaie 9.2. Udowodić, że ciągł obraz zbioru spójego jest spój. Udowodić, że spójość jest iezmieikiem homeomorfizmu. Zadaie 9.3. Udowodić, że ciągł obraz zbioru zwartego jest zwartego. Udowodić, że zwartość jest iezmieikiem homeomorfizmu. Zadaie 9.4. Cz podae zbior są spóje lub zwarte w różch metrkach? a) (0, ) b) [0, ] c) ([0, ] [2, 3] {a}) d) S e) [0, ] 2 f) [, 2] 2 g) X = {(t, si t, t (0, ]} {0} h) X = {(t, si t, t > 0} {0} [, ] i) [0, ] {} g){(, ) R 2 : [, 2]} k) j) l) Zadaie 9.5. Wkaż, że zbiór zwart jest domkięt i ograiczo, ale odwrota implikacja ie musi zachodzić. Zadaie 9.6. Udowodij, że poiższe waruki są rówoważe: a) każd domkięt i ograiczo zbiór jest zwart b) każda kula domkięta jest zwarta Zadaie 9.7. Cz w (R 2,d k ) istieje kula domkięta która ie jest zbiorem zwartm? Zadaie 9.8. Podaj przkład metrki w której kule o małch promieiach są zwarte, a kule o dużch promieiach ie są zwarte. Zadaie 9.9. Cz zbior są homeomorficze i dlaczego? (składowa spójości) a) [0, ] [2, 3] [4, 5] i [0, ] [2, 3] 0

11 b) [0, ] [2, 3] [4, 5] i [0, ] (2, 3) [4, 5] c) [0, ] (2, 3) [4, 5] i [0, ] (2, 3) (4, 5) d) okrąg i odciek Zadaie 9.0. Cz popiższe zbior są homeomorficze? (pukt rozspójiające) Zadaie 9.. Które literki alfabetu są ze sobą homeomorficze, a które ie?