Wykłady z Hydrauliki- dr inż. Paweł Zawadzki, KIWIS WYKŁAD 4

Transkrypt

1 WYKŁAD 4 4. RUCH JEDNOSAJNY 4.. Doświadczenie Renoldsa Obserwacje rch ciecz rzeczwisej wkazją, że rch en przebiega w rozmai sposób zależnie od szereg warnków. Charaker rch ciecz lepkiej bardzo wraźnie kazał doświadczenia Renoldsa polegające na obserwacji rch ciecz w przezroczsej rrze, w kórej ciecz płnęła rchem rwałm prz różnch prędkościach. Dla małch przepłwów i bardzo małch prędkości, wprowadzon do przewod barwnik porsza się wraz z cieczą w posaci pojednczej niki równoległej do osi rrociąg i brak jes zaważalnego mieszania się zabarwionej ciecz z oaczającą cieczą (rs.3a). Mimo kolejnego Rs. 3. Obraz przepłw barwnika zwiększania prędkości obraz rch jes podobn aż do pewnej określonej prędkości, po przekroczeni kórej obraz się gwałownie zmienia. Barwnik nie porsza się jż w posaci cienkiej niki lecz rozpłwa się i zabarwia cał srmień badanej ciecz (rs.3b). Wskazje o, że cząski ciecz nie porszają się wzdłż orów równoległch lecz prócz kiernków rch głównego wzdłż osi rr, isnieją dodakowe rch poprzeczne powodjące mieszanie się wpszczanego barwnika. Rs. 4 Opisane badanie wkazją wraźnie, że mam do cznienia z dwoma rodzajami rch. Rch, prz kórm cząseczki ciecz porszają się po orach równoległch nazwan jes rchem warswowm lb laminarnm. Drgi rodzaj rch nazwan jes rchem brzliwm lb rblennm Jeśli w rrociąg, w kórm obserwowana jes płnąca ciecz, będą zainsalowane w pewnej odległości od siebie dwa piezomer, o 3

2 w warnkach rch salonego (rwałego, sała prędkość rch ciecz) będzie można odczać różnicę ciśnień ( h), czli sra energii na odcink międz piezomerami (l). Poza obserwacją obraz rch, możem akże zmierzć i obliczć charakersczne paramer, opisjące warnki przeprowadzanego doświadczenia. Będą o nasępjące wielkości: prędkość średnia przepłw ciecz v, orzmana z bezpośredniego pomiar objęości ciecz V wpłwającej z rrociąg o znanej średnic w określonm czasie, i jednoskowe sra energii h/l. h l Wniki pomiarów można nanieść na wkres. Orzmaną krzwą można opisać równaniem I n a v lb po logarmowani ob sron równania w posaci lg I lg a + n lg v. Wkres zskanej krzwej w kładzie współrzędnch logarmicznch przedsawiono na rs.4. W granicach prędkości od a do b prosa przebiega pod kąem 45, zn. wkładnik poęgow n w zależności opisjącej ę krzwą wnosi, naomias prz prędkościach powżej granic c wkładnik en przbiera warość. W przedziale b - c, w zw. obszarze przejściowm, pnk doświadczalne są dość rozproszone i ich położenie zależ cz w rakcie przeprowadzania doświadczenia kolejno zwiększaliśm, cz zmniejszaliśm prędkość. Prędkości określające en obszar nazwane są dolną lb górną prędkością graniczną. Na podsawie rozważań o podobieńswie przepłwów w rrociągach o różnej średnic swierdzono, że granice obszar przejściowego mogą bć określone za pomocą bezwmiarowej liczb zwanej liczbą Renoldsa, kórą definijem nasępjąco vd Re v gdzie v jes prędkością średnią w przekroj rrociąg, d jego średnicą a ν kinemaczn współcznnik lepkości ciecz. W przpadk rr gładkich na odcinkach dosaecznie odległch od wlo a więc od miejsca zabrzeń można przjąć że rch laminarn wsępje gd nie jes przekroczona liczba graniczna Re 30. Prakcznie biorąc przepłw laminarne mogą wsępować najczęściej prz rch ciecz w kapilarach, w przepłwach wód grnowch, przepłwach w warswie przściennej. W pełnm przekroj rrociąg rch laminarn wsępje raczej rzadko a wjąkowo w przepłwach ciecz w korach owarch (rowach, kanałach). Paramerem, kór pozwala na bardziej ogólne porównwanie warnków rch ciecz w przewodach o różnch kszałach i różnm napełnieni jes promień hdraliczn definiowan nasępjąco: pole przekroj R h obwód zwilżon Obwodem zwilżonm nazwam dłgość obwod przekroj, na kórej ciecz ska się ze A χ 4

3 ściankami przewod. W przpadk kanałów owarch w liczbie Renoldsa charakerscznm paramerem liniowm jes promień hdraliczn R h, sąd Re vr h / v a Re gr Opor rch w rch laminarnm jednosajnm Zakładam, że rozparjem przepłw w prosoosiowm poziomm przewodzie kołowm o promieni r o, w kórm wodrębniam powierzchnię Rs. 5 walcową o promieni r i dłgości l, współśrodkową z osią przewod w kórm charakerska prędkości rch ciecz nie zmienia się na dłgości przewod. Jednmi siłami działającmi na wdzielon walec ciecz, siłami działającmi równolegle do kiernk rch, są sił arcia międz cząseczkami ciecz (τ ) i sił ciśnienia (p) w przekrojach poprzecznch ograniczającch dłgość rozparwanego walca (rs.5). Zgodnie z założeniami nie wsępje zmiana ilości rch (pęd) na dłgości przewod, sąd sma rzów ch sił msi bć równa zero: π r lτ ( p p ) πr 0 Równanie o ważne jes dla wdzielonego obszar o promieni r oraz dla całego przekroj o promieni r o 0,5 d. Po przekszałceniach orzmjem τ o A h f ρ g (37a) χ l gdzie r o - naprężenia sczne prz ściankach rrociąg, A - pole przekroj poprzecznego, χ -obwód zwilżon a h f - sra wsokości ciśnienia na opor arcia na dłgości rrociąg l. Równanie (37a), przedsawiane jes w posaci τ o ρ g R I (37b) h gdzie promień hdraliczn R h A/χ a spadek hdraliczn (jednoskowe sra energii na dłgości rrociąg) I h/l. Równanie (37) nazwana jes podsawowm równaniem rch jednosajnego, ważnm dla przewodów pod ciśnieniem i dla kor owarch. 5

4 W wiel przpadkach korzsne jes sosowanie pojęcia prędkości dnamicznej v definiowanej jako * τ v o / g, co pozwala zapisać v * g Rh I (38) Powżej przedsawione zależności ważne są dla rch laminarnego i brzliwego. W prakcznm zasosowani najczęściej spokana jes zależność w kórej wsępje współcznnik opor liniowego λ, zwana wzorem Darc-Weisbacha h f l v λ (39) 4 R g h * λ Waro zaważć, że jes ono równoważne zależności ( v) 8 v Rozkład prędkości w rch laminarnm Dla rch jednosajnego salonego, wchodząc z newonowskiej definicji lepkości ciecz d τ ±µ (sr. ) oraz równania (37b), można na drodze eorecznej wprowadzić równanie d określające rozkład prędkości w przekroj poprzecznm. Dla rrociągów o przekroj kołowm równanie o można przedsawić w posaci ( r) * 4 * r Re v d gdzie (r) jes prędkością w odległości promienia r mierzonego od osi przewod (rs.6) a liczba Renoldsa Re vd v*. (40) Rs. 6 6

5 Dla kanał owarego, bardzo szerokiego równanie rozkład prędkości ma posać ( ) * * 8 v Re h h gdzie () prędkość w odległości pionowej mierzonej od dna kanał (rs. 7), h jes głębokością napełnienia kora a liczna Renoldsa Re v (4 R h ) /v. Dla kanał bardzo szerokiego przjmje się promień hdraliczn R h h. Równanie (40) i (4) są zależnościami kwadraowmi zn. wkres prędkości są parabolami, charakerscznmi dla rch jednosajnego laminarnego (rs. 8). (4) Rs. 7 Rs Rozkład prędkości w rch brzliwm Mechanizm srmienia brzliwego jes nadzwczaj złożon. Rch cząseczek ciecz w akim rch jes chaoczn, cząseczki ciecz posiadają zmienną prędkość pod względem warości i kiernk. W ej sacji można powiedzieć, że rch salon w pełni ego znaczenia wsępje lko w przpadk rch laminarnego. Mierząc, w miarę dokładnm przrządem, składową prędkości równoległą do przjęego, określonego kiernk rch, w przpadk rch brzliwego orzmam wkres chwilowej prędkości pokazan na rs.9, pokazjąc jej zmienność w czasie. Wniki pomiarów pozosałch dwóch Rs. 9 składowch prędkości 7

6 będą miał bardzo podobn charaker zmienności. Dla dosaecznie dżego przedział czas, możem wznaczć sascznie średnione prędkości składowe, zwane akże prędkościami przecięnmi d d z z d (4a) sąd składowe chwilowch prędkości można wrazić jako + ' + ' + ' (4b) z z z gdzie,, z są prędkościami średnionmi w czasie (prędkości przecięne), a pozosałe wrażenia, ', z, nazwam prędkościami plsacjnmi (chwilowe plsacje prędkości). Waro zwrócić wagę, że d + + d + d + ' d sąd czli średniona w czasie prędkość plsacji jes równa zero. ' d 0 (43) Rozparzm przpadek rch płaskiego, z ak przjęm kładem współrzędnch, że rch ciecz odbwa się w kiernk osi, wenczas średniona w czasie składowa prędkości w kiernk osi 0 - wekor chwilowej Rs. 30 prędkości oraz wszskie składowe ego wekora pokazano na rs.30. W qasi-salonm srmieni brzliwm cząska ciecz prócz rch posępowego w kiernk rch głównego, doznaje jeszcze przemieszczeń poprzecznch. Badanie ego rch sprowadza się najczęściej do określenia charakersk brzliwości i powiązania ich z prędkością średnioną. ę 8

7 drogę poszkiwań nazwa się półempirczną eorią brzliwości. Zgodnie z eorią Prandla, jeśli elemenarna masa ciecz prz przemieszczani w kiernk poprzecznm przejdzie na odległość l, o nasąpi zmieszanie danej mas z masą oaczającą, powodjąc zmianę wekora ilości rch danej mas. Rs. 3 Wskek prędkości isnieje isnienia plsacji chwilow przepłw przez pole δa (rs. 3). Cząseczki przepłwają z pnk, gdzie jes prędkość ( ) do pnk gdzie d + l (44) d ( + ') ( ) Przez powierzchnię δa w czasie δ przepłwa masa ciecz δ m ρ δa δ (45) Jeśli masa δ m, kóra w danej chwili ma prędkość plsacji ' po przejści przez poleko zosanie jej pozbawiona, o znacz, że nasąpi zmiana pęd o warość δ m ' ρ ' ' δaδ (46) Zmiana ilości rch (pęd) w kiernk osi msiała bć spowodowana pewną siłą F działającą w m kiernk (zn. scznie do głównego kiernk rch). W oparci o zasadę ilości rch ρ ' ' δa δ δ F δ (47) Dzieląc powższe wrażenie przez δa δ, orzmjem τ pls δf ρ ' ' (48) δa Uwzględniając odpowiednie zależności międz składowmi prędkości plsacji orzmjem 9

8 gdzie l jes zw. drogą mieszania. d τ pls ρ l (49) d Wznaczone powżej naprężenie sczne wwołane plsacją prędkości wsępje niezależnie od rozparwanch poprzednio naprężeń scznch powsającch dzięki lepkości ciecz, a zaem całkowie naprężenie sczne jako jednoskowa siła opor rch, wsępjące prz plsacjnm rch brzliwm ciecz lepkiej równa się d d τ ± µ + ρ l (50) d d Prz rch laminarnm l 0, prz rch w pełni brzliwm pierwsz człon jes bardzo mał w porównani z drgim i naprężenia sczne sają się proporcjonalne do kwadra prędkości co określane jes zwkle jako obszar kwadraowego prawa opor. d Przjmjąc w równani (50) wrażenie ε ρ l, gdzie ε jes zw. współcznnikiem d brzliwej wmian, równanie o można sprowadzi do posaci d τ ± + (5) ( µ ε ) d Należ podkreślić zasadniczą różnicę międz µ i ε, gdż µ dla określonej emperar jes sałe, naomias ε zmienia się w zależności od położenia pnk w przekroj i jes właściwością rch ciecz a nie samej ciecz. Brak jes dochczas pełnej eorii przepłw brzliwego. Bardzo częso przjmje się zw. logarmiczne prawo rozkład prędkości wprowadzone z równania (49) w posaci ( ) v v v l + ln κ o (5) gdzie jes odległością od ścianki przewod a o Rs. 3 napełnieniem w przpadk kora owarego lb promieniem przewod kołowego zamknięego; κ 0,4 jes sa Karmana, /κ jes sałą dla szerokich 30

9 kor owarch,5 a dla rrociągów 3,7. Rozkład prędkości opisan równaniem (5) raci ważność w pobliż ścianki ( 0) oraz w pobliż poziom, zwierciadła wod w korcie owarm ( o h), czli w warswie prz ściennej. Wkres rozkład prędkości w rch brzliwm pokazano na rs PRAKYCZNE OBLICZANIE RUROCIĄGÓW 5.. Efek szorskości Wpłw niewielkich szorskości ścian przewod prowadzącego wodę jes całkowicie pomijaln w przpadk rch laminarnego jednak ma isone znaczenie w przpadk przepłw brzliwego. Miarą szorskości ścian przewod jes przecięna wsokość k s poszczególnch wsępów, modelowana ziarnami piask oblepiającch wewnęrzną ściankę przewod. Przjmje się, że ścianka jes hdralicznie gładka gd k s < δ v, gdzie δ v jes grbości podwarsw laminarnej, δ v 5 v/. Podobnie ścianka jes w pełni szorska jeśli k s >> δ v. Wpłw szorskości względnian jes prz wznaczani współcznnika opor liniowego λ ze wzor Darc-Weisbacha, kór w obliczeniach rrociągów gdzie Rh d/4 sosowan jes w posaci h l v λ f d (53) g 5.. Opor arcia w rch laminarnm Prosą zależność międz współcznnikiem oporów liniowch a liczbą Renoldsa można orzmać poprzez całkowanie równania (40) w pol przekroj poprzecznego rrociąg, prosopadłego do wekorów prędkości, skąd orzmam 64 3µ l λ oraz h f v (54) Re gd Zależności e ważne są włącznie w obszarze rch laminarnego j. w granicach Re Opor rch rrociągów hdralicznie gładkich W obszarze przejściowm, w granicach międz rchem laminarnm a rchem w pełni brzliwm dla rrociągów hdralicznie gładkich może bć sosowan empirczn wzór Blasisa w posaci / 4 Zależność a może bć sosowana w przedziale 4000 < Re < λ 0,36 Re (55) 5.4. Opor liniowe w obszarze rch brzliwego Pośród bardzo wiel formł empircznch, opisjącch zależność współcznnika opor liniowego, należ wróżnić wzór Colebrooka i Whie'a w posaci 3

10 ,50 δ lg + λ Re λ 3,7d gdzie δ k s czli szorskość bezwzględna rrociąg o średnic d. Wzór en, wprowadzon wpros z równania rozkład prędkości p logarmicznego ważan jes za bardzo wiernie opisjąc wniki doświadczeń. Prossza w zasosowani w prakce jes formła Moodego: (56) 6 / 3 δ 0 λ 0,0055 l (57) d Re Zależność a zosała opracowana w posaci diagramów do wgodnch w prakcznm zasosowani (rs.33). Jeszcze bardziej korzsna w zasosowani jes proszczona formła Alszla w posaci gdzie r jes szorskością względną 0, λ 0,,46 r+ 0, r+ (58) Re Re 0,5 δ r (59) d Na rs.33 (wkres Colebrooka - Whie'a) liniami przerwanmi zaznaczono krzwe ograniczające zmienność współcznnika w przejściowm obszarze rch. Wedłg Czgajewa liczb Renoldsa odpowiadające em obszarowi określone są jako (Re)' gran < Re < (Re)'' gran. W przpadk gd zachodzi zależność 4000 Re (Re)' gran należ sosować w prakce zależności dla rrociągów gładkich, naomias dla Re (Re)'' gran znajdjem się w obszarze kwadraowej zależności oporów rch, czli rch w pełni brzliwego. Wg Czgajewa można przjmować nasępjące graniczne warości liczb Renoldsa: dolne warości ( Re) gran 0 gdzie r jes szorskością względną. górne warości ( ) r Re gran 500 (60) r 5.5. Sra miejscowe (lokalne) Dodakowe sra energii wsępją prz każdej zmianie prędkości przepłw ciecz zn. prz zmianie ilości rch (pęd) sra e obliczam z formł v h m ξ (6) g gdzie ξ- współcznnik sra miejscowch, zależn od geomerii przewod powodjącej zmian prędkości i wwołjące dodakową brzliwość rch, v - średnia prędkość wod w przewodzie wznaczona zwkle dla przekroj znajdjącego się poniżej przeszkod. 3