Przepływy laminarne - zadania

Transkrypt

1 Zadanie 1 Warstwa cieczy o wysokości = 3mm i lepkości v = 1,5 10 m /s płynie równomiernie pod działaniem siły ciężkości po płaszczyźnie nachylonej do poziomu pod kątem α = 15. Wyznaczyć: a) Rozkład prędkości. ) Prędkość maksymalną. c) Prędkość średnią. d) Stosunek prędkości średniej do maksymalnej. e) Strumień ojętości przez przekrój poprzeczny o szerokości L = 1m. Naprężenia styczne na granicy fazy ciekłej i gazowej pominąć. Przepływ ten można rozpatrywać, jako przepływ płaski. Po zorientowaniu układu współrzędnych w sposó pokazany na rysunku powyżej, z warunków zadania wynika, że: v = 0 v = 0 = v(0) 1 v x = 0 p x = 0 X = g sin (α) Y = g cos (α) Równanie Naviera-Stokesa uprości się, zatem do postaci: + v d v dy = 0 g cos(α) + 1 dp ρ dy = 0 Po scałkowaniu drugiego równania dla warunków rzegowych p = p 0 gdy y =, można wyznaczyć rozkład ciśnienia w warstwie cieczy: Po scałkowaniu pierwszego równania otrzymamy: p = p + ρ g cos(α) ( y) dv = y + C dy v v = y + C y + C

2 Po uwzględnieniu warunków rzegowych: v = 0 dla y = 0, = 0 dla y = (ponieważ na granicy fazy ciekłej i gazowej τ = 0). v = y ( y) Krzywa rozkładu prędkości jest paraolą. Maksymalna prędkość występuje na powierzchni cieczy v = = 7,6 cm s Strumień ojętości przez przekrój poprzeczny o szerokości L: A średnia prędkość: Q = vldy = v = Q L y( y)ldy = = = 5,1 cm 3v s Stosunek prędkości średniej do maksymalnej: v = /3 v L = 1,5 cm 3v s Zadanie Ciecz znajduje się między dwiema równoległymi płytami, nachylonymi pod kątem α do poziomu. Płyta górna porusza się w kierunku zgodnym ze spadkiem płyt, ze stałą prędkością v. Wyznaczyć rozkład prędkości i strumień ojętości przypadający na jednostkę szerokości oraz naprężenie styczne na ruchomej płycie, jeżeli: v = 0, m/s, α = 15, = 0,5 mm, gęstość cieczy ρ = 900, i lepkość η = 0, Ns/m. Rozwiązanie tego zadania różni się od rozwiązania zadania 1 tylko warunkami rzegowymi. Stałe całkowania w całce ogólnej: v = Wyznaczamy dla warunków rzegowych: ρ y + C η y + C v = 0, y = 0,

3 skąd v = v, C = v Rozkład prędkości określony jest zależnością: y =, g ρ sin(α) + η C = 0 y ρ v = v y( y) η Strumień ojętości przypadający na jednostkę szerokości płyty: q = vdy = v ρ = 50,1 cm 1η s m Naprężenie styczne na ruchomej płycie oliczamy z zależności: τ = η dv dy = η v ρ = 79,4 Pa Zadanie 3 Nad płytą, po której spływa warstwa cieczy, rozpięto pas transmisyjny. Oliczyć przy jakiej prędkości przesuwu pasa strumień ojętości między ziornikami ędzie równy zeru. Oliczenia przeprowadzić dla: = 4 mm, α = 30, v = 1,5 10 m /s. 3 Zadanie to różni się od poprzednich warunkami rzegowymi: skąd Prędkość w dowolnym punkcie: v = 0, y = 0, v = v, C = v y =, + C = 0

4 v = v y + y( y) Znając rozkład prędkości wyznaczamy strumień ojętości: Q = vldy = Warunki zadania wymagają, y Q = 0, a więc: v = v L v L = L 1 + L 1 = 87, mm/s 6v Zadanie 4 Ciecz o lepkości η płynie w szczelinie pierścieniowej, utworzonej przez dwa współśrodkowe walce o promieniach r 1 i r, pod działaniem stałego gradientu ciśnienia dp/dz = -Δp/L. Wyznaczyć: a) rozkład prędkości, ) prędkość maksymalną, c) prędkość średnią, d) strumień ojętości. Rozpatrywany przepływ jest ustalonym przepływem osiowosymetrycznym w kierunku osi z (tzn. v = v = 0). Równania ruchu po pominięciu sił masowych sprowadzą się zatem do układu: v v z = 1 p ρ p r = 0 z + v v r + 1 r v z = 0 v r 4 Ponieważ v = v = v(r), a p = p(z), więc ruch cieczy opisany jest równaniem różniczkowym zwyczajnym: v v r + 1 v r r = 1 dp r dz które można przedstawić w dogodniejszej postaci:

5 1 d dv p r = r dr dr ηl Rozwiązując powyższe równanie dla warunków rzegowych: otrzymamy: v = 0, r = r, v = 0, r = r, v = p 4ηL r r + r r ln (r /r ) ln r r Prędkość osiąga maksymalną wartość w promieniu, na którym naprężenia styczne są równe zeru, tzn. tam gdzie = 0. Tak więc: dv Skąd: dr = p 4ηL r + r r ln (r /r ) 1 r = 0 r = r r ln (r /r ) a po podstawieniu: Strumień ojętości: prędkość średnia: v = p 4ηL r 1 1 k ln(1/k) k = r r 1 ln 1 k ln(1/k) π p Q = πrvdr = 8ηL r 1 k (1 k ) ln(1/k) 5 v = Q π(r r ) = p 8ηL r 1 + k 1 k ln(1/k)

6 Zadanie 5 Pierścieniowa szczelina utworzona przez dwa walce o promieniach r 1 i r jest zapełniona cieczą o lepkości η. Walec wewnątrz porusza się wzdłuż osi ze stałą prędkością v. Określić: a) rozkład prędkości w szczelinie, ) strumień ojętości, c) siłę tarcia na długości L wewnątrz walca oliczenia strumienia ojętości i siły tarcia wykonać dla danych: r = 0 mm, r = 3 mm, η = 0, Ns/m, v = 0,5 m/s, L = 1 m. Z warunków zadania wynika, że: Układ równań można zapisać następująco: Po dwukrotnym scałkowaniu: R = Z = 0 v = 0 v = v = v(r) v z = 0 p z = 0 d dv r dr dr = 0 v = C lnr + C Stałe całkowania wyznaczone z warunków rzegowych: v = 0, r = r, v = v, r = r, wynoszą: v C = ln (r /r ) 6 C = v ln (r /r ) lnr Rozkład prędkości jest więc określony zależnością: v v = ln (r /r ) ln (r /r) Strumień ojętości:

7 Siła tarcia: Q = πrvdr = πv ln (r /r ) Naprężenia styczne: Naprężenia styczne na promieniu r = r 1 : a zatem siła tarcia na walcu wewnętrznym: rln r r dr = T = πr Lτ τ = η dv dr = η v r ln (r /r ) τ = η r ln (r /r ) πv r r ln (r /r ) r = 0,414dm /s v T = η πηv L = 1,34 N ln (r /r ) 7