Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości

Transkrypt

1 LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości dr inż. Jerzy Wiejacha ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA, WYDZ. BMiP, PŁOCK Płock 00

2 1. Cel ćwiczenia a) Celem ćwiczenia jest wyznaczanie na drodze doświadczalnej prędkości i czasów nieustalonego wypływu cieczy ze zbiornika przy różnych wartościach liczby Reynoldsa dla przewodów o różnej długości i średnicy. b) Porównanie wielkości zmierzonych z teoretycznymi obliczonymi dla poszczególnych rur o różnej długości i średnicy.. Podstawy teoretyczne Wypływ cieczy z małego zbiornika pionową rurką, znajdującą się w dnie (rys.1), jest wypływem nieustalonym. Nieustaloność wynika przede wszystkim ze zmniejszającej się wysokości położenia powierzchni swobodnej cieczy w zbiorniku. Drugim czynnikiem, występującym tylko w momencie rozpoczęcia wypływu, jest bezwładność cieczy, która powoduje, óe po szybkim otwarciu prędkość wypływu cieczy z rurki w sposób bardzo szybki, ale stopniowy zwiększa swoją wartość od wartości zerowej do wartości wynikającej z bieżącej wysokości słupa cieczy. Nagły, skokowy wzrost prędkości cieczy jest niemożliwy, ponieważ wymagałoby to wystąpienia nieskończenie dużej siły napędowej w nieskończenie krótkim czasie. Rys. 1. Nieustalony wypływ cieczy z małego zbiornika pionową rurką.

3 W celu teoretycznej analizy omawianego problemu należy skorzystać z uogólnionego równania Bernoulliego, zwanego również całką Cauchy-Lagrange a, uzyskiwanego w wyniku scałkowania równania Eulera dla przepływu nieustalonego [1,, 3, 4]: ϕ v + + P U = F( t ) (1) gdzie: φ potencjał prędkości, t - czas, v średnia prędkość przepływu, P funkcja ciśnienia (gdy gęstość jest jednoznaczną funkcją ciśnienia), U - potencjał jednostkowych sił masowych, F(t) dowolna funkcja czasu. Dla przepływu jednowymiarowego wzdłuż osi z, to jest przepływu przedstawionego na rys.1, można zapisać, że ϕ = v dp, stąd ϕ = vdz oraz rozpisując funkcję ciśnienia P =. gdzie: p ciśnienie, - gęstość. Wykorzystując powyższe zależności, równanie (1) zapisać w postaci: v dp ( vdz) + + U = F( t ) () Podstawiając za U potencjał jednostkowych sił grawitacyjnych ziemskich (U = -g z) i porównując przekroje I I i II II (zaznaczone na rys.1), otrzymuje się: II v vdz + II + I pii vi p + g z I II = + + g zi Dla cieczy lepkiej to równanie energii musi być uzupełnione o dodatkowy człon empiryczny, uwzględniający straty przepływu: II v vdz + II + I pii 1 + g zii + v p I str = + pi + g zi Dla cieczy nieściśliwej znajdującej się w zbiorniku i w rurce słuszna jest następującą zależność dla członu bezwładności cieczy w równaniach (), (3) i (4): II dv vdz = I dt I dv H + II dt L gdzie: H wysokość słupa cieczy w zbiorniku nad wlotem do rurki, L długość rurki. Straty przepływu (przy zaniedbaniu strat przepływu w zbiorniku) określa równanie: L pstr = λ dii v + ζ II (3) (4) (5) (6) 3

4 gdzie: λ współczynnik strat liniowych przepływu w przewodzie, d II = d średnica wewnętrzna rurki, ζ współczynnik strat miejscowych (wlot do rurki). Równania (4), (5) i (6) waz z równaniem ciągłości tworzą układ równań różniczkowych zwyczajnych, którego nie można rozwiązać analitycznie. Można go natomiast rozwiązać stosując odpowiednią metodę numeryczną. Na rys. przedstawiono wykres zmiany prędkości wypływu cieczy w funkcji czasu, który uzyskuje się w wyniku rozwiązania numerycznego równań (4), (5) i (6) dla wypływu nieustalonego ze zbiornika (rys.1). V Vn Vt Rys.. Nieustalony wypływ cieczy z małego zbiornika z uwzględnieniem bezwładności cieczy (v n rozwiązanie numeryczne) i bez uwzględnienia bezwładności (v t - rozwiązanie analityczne). t Opisywany problem można rozwiązać analitycznie po zastosowaniu następujących założeń upraszczających, polegających na: pominięciu równania (5), czyli zaniedbaniu bezwładności cieczy, nie uwzględnieniu oporu miejscowego ζ na wlocie do rurki, przyjęciu, że v I = 0. Po uwzględnieniu, że p I = p II = p a (p a ciśnienie atmosferyczne) oraz z I z II = H + L, wzór (4) przyjmuje postać: v II L v + λ II = g d + ( H L) Jeżeli dodatkowo założy się, że: vii L v << λ II, czyli d (7) L 1 << λ (8) d co jest słuszne dla długich rurek o małej średnicy (kapilar), związek (7) uprości się do postaci: L v λ II = g + d ( H L) (9) 4

5 W przepływie laminarnym: 64 v d λ =, Re = (10) Re η gdzie: η lepkość dynamiczna cieczy. Wówczas prędkość wypływu cieczy z rurki wynosi (r promień rurki): g r ( L + H ) vii = 8 η L Natomiast w przepływie burzliwym przy uwzględnieniu wzoru Blasiusa: λ = otrzymuje się: 0, / 4 Re 1 / 7 vii = 1 / 7 4 / 7 5 / 7 4 / 7 g r ( L H ) 4 / 7 1 / 7 4 / 7 0,0791 η L + Według prawa ciągłości przepływu objętość cieczy wypływającej ze zbiornika walcowego o promieniu R przez rurkę o promieniu r jest równa: R dh = r viidt (14) można obliczyć na podstawie równania (14) czas wypływu cieczy ze zbiornika od położenia zwierciadła H 1 do H jako całkę: t H1 R = r H 1 v II dh Po wstawieniu równania (11) do (15) i scałkowaniu otrzymuje się czas wypływu ze zbiornika dla przepływu laminarnego w rurce: 8 η L R L + H t = ln 1 (16) 4 g r L + H Po wstawieniu równania (13) do (15) i scałkowaniu otrzymuje się czas wypływu ze zbiornika dla przepływu burzliwego w rurce: gdzie: 7 7 [( L + H1) ( ) ] 3 / L H 3 / 7 R t = C + 3 r (11) (1) (13) (15) (17) C = 4 1 / 4 0,0791 L η 1 / 4 1 / 4 5 / 4 g r / 7 (18) 5

6 3. Sposób wykonywania pomiarów Czynności pomiarowe można podzielić na cztery etapy: 1. Pomiar średnicy zbiornika metodą objętościową.. Pomiar prędkości chwilowej wypływu dla początkowego poziomu cieczy w zbiorniku w celu sprawdzenia wartości liczby Re. Należy zanotować poziom cieczy w zbiorniku i zmierzyć czas wypływu małej objętości cieczy (przy nieznacznej zmianie poziomu cieczy w zbiorniku). 3. Pomiar czasu wypływu. Należy zanotować poziom cieczy w zbiorniku i zmierzyć czas wypływu cieczy, gdy poziom obniży się o H = 3 10 cm. 4. Pomiar prędkości chwilowej wypływu dla końcowego poziomu cieczy w zbiorniku w celu sprawdzenia wartości liczby Re. Należy zanotować poziom cieczy w zbiorniku i zmierzyć czas wypływu małej objętości cieczy (przy nieznacznej zmianie poziomu cieczy w zbiorniku). Pomiarów należy dokonać dla 5 kapilar. Początkowe położenia zwierciadeł cieczy we wszystkich zbiornikach powinny być na tym samym poziomie. Wyniki pomiarów i obliczeń zamieszcza się w poniższej tabeli (δ błąd względny pomiaru): Lp. d L H g v gp Re g v gt δ gv H 1 H t p t t δ H d v dp Re d v dt δ dv m m m m/s m/s % m m s s % m m/s m/s % gdzie indeksy: p wielkość obliczona na podstawie danych pomiarowych, t - wielkość obliczona teoretycznie, g - przy górnym poziomie cieczy w zbiorniku, d przy dolnym poziomie cieczy w zbiorniku, v dla prędkości, 1 początek pomiaru czasu wypływu cieczy, koniec pomiaru czasu wypływu cieczy, Sprawozdanie powinno zawierać: 1. Wzory używane do obliczeń dla przepływu laminarnego i burzliwego.. Tabelę pomiarów i obliczeń. 3. Porównanie prędkości oraz czasu wypływu dla dowolnie wybranej kapilary i otworu o tej samej średnicy, co kapilara (L = 0). 4. Rachunek błędów. 5. Wnioski 6

7 Należy zwrócić uwagę na wpływ średnicy i długości kapilary na czas i prędkości wypływu oraz wskazać przyczyny błędów. 4. Wyposażenie stanowiska Wyposażenie stałe: zbiorniki szklane z kapilarami na stojaku. Wyposażenie ruchome: stoper, cylinder pomiarowy. Stanowisko jest przedstawione na zdjęciu na rys. 3. Rys. 3. Zdjęcie stanowiska pomiarowego. 7

8 5. Przykładowe pytania kontrolne 1. Określić czas wypływu cieczy przez mały otwór ze zbiornika otwartego.. Opisać nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika stożkowego. 3. Obliczyć czas całkowitego opróżnienia zbiornika kulistego. 4. Jaki powinien być kształt naczynia, aby przy wypływie przez otwór w dnie poziom cieczy obniżał się ze stałą prędkością? 5. Omówić prawo Hagen-Poiseuille a. 6. Opisać dwa rodzaje ruchu płynów lepkich, podać rozkłady prędkości w rurze i prawa ruchu. 7. Co to jest krytyczna liczba Reynoldsa? 8. Od czego zależy czas nieustalonego wypływu ze zbiornika? 9. W jakich praktycznych przypadkach ma miejsce nieustalony wypływ płynu ze zbiornika? 10. Jaki jest czas całkowitego opróżnienia przez kapilarę zamkniętego zbiornika? Literatura 1. Puzyrewski R., Sawicki J.: Podstawy mechaniki płynów i hydrauliki. PWN, Warszawa Gryboś R.: Podstawy mechaniki płynów. PWN, Warszawa Mitosek, M.: Mechanika płynów w inżynierii i ochronie środowiska. PWN, Warszawa Bukowski J., Kijkowski P.: Kurs mechaniki płynów. PWN, Warszawa