Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Transkrypt

1 Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną poszkodowaną NS liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest sprawcą Zmienna K ma w populacji kierowców rozkład Gamma o gęstości danej na α β α półosi dodatniej wzorem f K ( x) = x exp( βx) Γ( α) Przyjmujemy prosty model, w którym doświadczenie kierowcy zmniejsza ryzyko (w przeliczeniu na tysiąc przejechanych kilometrów): E NS K = Ka exp b K, ( ) S ( S ) ( NP K ) = Ka exp( b K ) E, P P S, bs, ap bp b S > bp gdzie wszystkie parametry a, mają wartości dodatnie, przy czym, ponieważ doświadczenie kierowcy redukuje przede wszystkim szansę spowodowania szkody, a w mniejszym stopniu redukuje ryzyko zostania poszkodowanym. Pojedynczą szkodę zdefiniowano w taki sposób, że każdej szkodzie odpowiada dokładnie jeden sprawca i jeden poszkodowany, że są to zawsze dwie różne osoby, przy tym obie należą do rozważanej populacji. W rezultacie zachodzi: E ( NS ) = E( NP) Jasne jest, że w tym modelu kierowcy jeżdżący mało będą częściej sprawcami niż poszkodowanymi, zaś kierowcy jeżdżący dużo będą częściej poszkodowanymi niż * sprawcami. Niech K oznacza taką liczbę tysięcy kilometrów przejeżdżanych rocznie przez kierowcę, dla której warunkowe (przy danym K) oczekiwane liczby szkód obu rodzajów są równe. Przy założeniach, że: α =, β = / 5, bs = 0.04, b P = 0. 0 * liczba K z dobrym przybliżeniem wyniesie: (A) 3.05 (B).80 (C).55 (D).30 (E).05

2 Zadanie. Rozważamy klasyczny model procesu nadwyżki U ( t) u + ct S N () t =, gdzie: u jest nadwyżką początkową, ct jest sumą składek zgromadzonych do momentu t, N t jest procesem Poissona z parametrem intensywności λ, () n S n = X i jest sumą wypłat z tytułu n pierwszych wypadków i= wypłata z i-tego wypadku jest równa łącznej kwocie szkód: X i X i = Yi ( ) Yi ( M i ) kwoty szkód Y ), Y (), Y (3),..., Y (), Y (), Y (3),..., Y (), Y (), (3),... oraz ( 3 3 Y3 M, M, M 3 liczby szkód przypadających na poszczególne wypadki niezależnymi zmiennymi losowymi. Jeśli przyjmiemy następujące założenia: zmienne Y ( ), Y (), Y (3),..., Y (), Y (), Y (3),..., Y3 (), Y3 (), Y3 (3),... mają ten sam rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej jeden zmienne M M,,... mają ten sam rozkład przesunięty geometryczny:, M 3 k Pr ( M i = k) = dla k =,,... c = λ E X 5 parametr składki wynosi ( ) % wtedy współczynnik dopasowania (adjustment coefficient) R wyniesie:,... są (A) /6 (B) /8 (C) /9 (D) /0 (E) /

3 Zadanie 3. Liczby szkód N,... N t, N t + w kolejnych latach są, dla ustalonej wartości parametru Q = q, niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie dwumianowym o parametrach (,q). Niech N = N Nt. Parametr ryzyka Q jest zmienną losową o rozkładzie beta o gęstości: Γ ( ) ( α + β ) α β f Q q = q ( q), q ( 0,), α, β > 0. Γ( α ) Γ( β ) Jeśli przyjmiemy wartości parametrów: α =, β = 8, t =, Wtedy wariancja warunkowa var( N t+ N,..., N t ) okaże się następującą funkcją liczby zaobserwowanych szkód: ( + N)(0 N) (A) ( + N)(0 N) (B) 3 (C) ( + N)(0 N) 3 ( + N)(0 N) (D) 4 (E) ( + N)(0 N) 4 3 3

4 Zadanie 4. Poniższa tabela reprezentuje tzw. trójkąt danych, zawierając w odpowiednich klatkach wartości szkód zaszłych w ciągu roku t i zlikwidowanych w ciągu roku ( t + j), dla: t = 005,006,007,008; j = 0,,,3 ; t + j 008 : Łączna wartość Liczby lat opóźnienia likwidacji (j) szkód według: 0 3 Roku zajścia szkody (t) Wyznacz wartość rezerwy na szkody niezlikwidowane na koniec roku 008 dotyczącej szkód zaszłych w latach najprostszym wariantem metody Chain Ladder (bez uwzględnienia inflacji, nie poprzedzając obliczeń ważeniem poszczególnych wierszy, zakładając że wszystkie szkody likwidowane są z opóźnieniem nie większym niż trzy lata, itd.) (A) 40.3 (B) 45.4 (C) 50. (D) 54.4 (E)

5 Zadanie 5. Proces szkód w pewnym ubezpieczeniu jest złożonym procesem Poissona, z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą λ i rozkładem wartości szkody o dystrybuancie F Y. Ubezpieczony realizuje następującą strategię zgłaszania szkód w ciągu roku: nie zgłasza szkód, dopóki wartość którejś z nich nie przekroczy kwoty x 0, jeśli wartość którejś szkody przekroczy kwotę x 0, to jest ona zgłaszana, a następne ewentualne szkody w tym samym roku są zgłaszane już bez względu na ich wartość. Przyjmijmy następujące oznaczenia: N liczba szkód zaszłych w ciągu roku M liczba szkód zgłoszonych K liczba szkód nie zgłoszonych Oczywiście zachodzi N = M + K. Jeśli założymy, że Ε( K ) F Y wyraża się wzorem: ( x 0 ) = /, wtedy oczekiwana liczba szkód nie zgłoszonych (A) λ (B) exp λ (C) (D) (E) exp λ exp λ + λ + λ exp λ Wskazówka: wykorzystaj wzór Ε ( K ) = Ε( Ε( K N )) 5

6 Zadanie 6. Ubezpieczyciel prowadzi dwa portfele ubezpieczeń. W każdym z portfeli pojedyncze ryzyko generuje szkody zgodnie ze złożonym procesem Poissona z taką samą intensywnością λ. Portfele różnią się rozkładem wartości pojedynczej szkody i liczbą ryzyk w portfelu ( n i n odpowiednio). Stosunkowy narzut na składkę netto dla ryzyk w obu portfelach jest ten sam i wynosi θ. W rezultacie parametry modelu są następujące: portfel: intensywność łączna n λ, rozkład wartości pojedynczej szkody o gęstości λ f ( y) = exp( y), składka za jedno ryzyko ( + θ ) ; portfel: intensywność łączna n λ, rozkład wartości pojedynczej szkody o gęstości λ f ( y) = 5exp( 5y), składka za jedno ryzyko ( + θ ). 5 Jeśli wiemy, że funkcja prawdopodobieństwa ruiny ubezpieczyciela początkowego u jest postaci: 5 Ψ ( u ) = exp( u ) + exp u, 3 n to wartości parametrów modelu θ, wynoszą: n + n Ψ( u) od kapitału (A) (B) (C) (D) (E), 3, 3, 3, 3,

7 Zadanie 7. Niech: N oznacza liczbę roszczeń z jednego wypadku ubezpieczeniowego, zaś: T, T,..., T N oznacza czas, jaki upływa od momentu zajścia wypadku do zgłoszenia roszczenia odpowiednio -go, -go,, N-tego (numeracja roszczeń od -go do N- tego jest całkowicie przypadkowa, nie wynika więc z chronologii ich zgłaszania) Załóżmy, że: zmienne losowe N T, T,,... są niezależne,, T3, T, T3,... zmienne losowe T mają identyczny rozkład dany dystrybuantą F (jednostką pomiaru czasu jest miesiąc), zmienna losowa N ma rozkład geometryczny: k Pr( N = k) =, k =,,3,... Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, iż w ciągu miesiąca od momentu zajścia pewnego wypadku zgłoszono z tego wypadku roszczenia. Wiemy, że F( ) = /3. Oczekiwana liczba roszczeń, które jeszcze z tego wypadku zostaną zgłoszone, a więc: wynosi: Ε (A) 3/5 (B) (C) 4/3 (D) 3/ (E) 5/3 ( N A) 7

8 Zadanie 8. W pewnym ubezpieczeniu pojedynczą szkodę charakteryzuje trójka zmiennych losowych ( Z, L, Y ) oznaczających odpowiednio: Z odstęp czasu pomiędzy zajściem szkody a jej zgłoszeniem, L odstęp czasu pomiędzy zgłoszeniem szkody a jej likwidacją, Y wartość szkody. Załóżmy, że: Y, L są niezależne, zmienna Z oraz zmienna dwuwymiarowa ( ) Ε( Y L) = + L, var( Y L) = ( + L). Wiemy także, iż zmienna L ma rozkład Gamma o parametrach (4, 5), zaś zmienna Z ma rozkład Gamma o parametrach (, 5), a więc ich wartości oczekiwane wynoszą odpowiednio 4/5 i /5. Wariancja wartości szkody pod warunkiem, że odstęp czasu pomiędzy jej zajściem a likwidacją wyniósł 5/4, a więc: wynosi: (A) 4 6 (B) 4 (C) 48 (D) 4 4 (E) 4 var( Y L + Z = ), 4 8

9 Zadanie 9. Ubezpieczony generuje szkody zgodnie z procesem Poisson o parametrze intensywności λ rocznie, i wszystkie szkody, które mu się przydarzą, zgłasza ubezpieczycielowi. Składka Π t płacona przez ubezpieczonego w roku t wyznaczana jest następująco: wynosi M dla t =, a więc w pierwszym roku ubezpieczenia, dla t =,3,4,... wynosi także M, o ile w roku t ubezpieczony miał co najmniej jedną szkodę, wynosi Π = m + w( Π m), jeśli rok t był bezszkodowy. t t Jeśli przyjmiemy wartości liczbowe parametrów formuły składki na poziomie: M = 00, m = 30, w = 0.8, to dla ubezpieczonego o wartości parametru λ równej ln(0/9) oczekiwana składka w długim okresie: lim Ε Π wynosi: t ( ) t (A) 50 (B) 55 (C) 65 (D) 70 (E) 85 9

10 Zadanie 0. W pewnej populacji wszystkie podmioty narażone są na identyczne ryzyko straty X o rozkładzie złożonym Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą /0 oraz wartością pojedynczej szkody o rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej równej. Przyjmijmy, że każdy podmiot z tej populacji kieruje się maksymalizacją oczekiwanej użyteczności, gdzie funkcja użyteczności ma postać: u( x) = exp( αx), α > 0, a więc wszystkie podmioty przejawiają awersję do ryzyka. Awersja ta ma jednak w populacji zróżnicowane natężenie rozkład współczynnika α jest rozkładem o gęstości określonej na przedziale α ( 0,) wzorem: fα ( x) = ( x). Oznaczmy przez Π składkę, za którą rynek ubezpieczeniowy oferuje ochronę przed ryzykiem X, zaś przez P(Π) prawdopodobieństwo, że losowo wybrany podmiot z tej populacji zakupi ubezpieczenie. Zysk na przeciętnym podmiocie z tej populacji przy danej składce Π wynosi więc: Z ( Π) = ( Π Ε( X )) P( Π) Maksymalna wartość zysku osiągana jest przy składce Π wynoszącej: (A) 0.5 (B) /6 (C) 0.8 (D) 0.9 (E) 0.0 0

11 Egzamin dla Aktuariuszy z 30 listopada 009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko :... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja A D 3 A 4 D 5 C 6 C 7 D 8 B 9 B 0 E * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.