Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

Transkrypt

1 Zadae. W kolejych okresach czasu t =, ubezpeczoy, charakteryzujący sę parametrem ryzyka Λ, geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmee N, N są warukowo ezależe mają (brzegowe) rozkłady Possoa: k λ Pr( N t = k Λ = λ) = e λ t =,, k = 0,,, K k! Parametr ryzyka Λ w populacj ubezpeczoych ma rozkład day a półos dodatej gęstoścą: α β α f Λ ( λ) = λ exp( βλ ). Γ α ( ) Jeśl parametry zadaa wyoszą: α =, β = 9, to loraz wartośc oczekwaych: E ( N N > 0) E ( N ) z dobrym przyblżeem wyos: (A).64 (B).346 (C).46 (D).585 (E).60

2 Zadae. Proces adwyżk ubezpeczycela jest złożoym procesem Possoa z rozkładem wartośc pojedyczej szkody o gęstośc daej a półos dodatej wzorem: 4 f ( y) = exp( y) + exp( y). 0 0 Wadomo, że przy tych założeach prawdopodobeństwo ruy jako fukcja kaptału początkowego u wyraża sę dla u 0 wzorem: Ψ ( u) = a exp( ru ) + a exp( ru ). Jeśl wadomo że: 3 44 Ψ ( u) = exp u + exp( ru), to brakujący parametr tego wzoru wyos: (A) 7/5 (B) 5/3 (C) 3/ (D) 8/5 (E) 7/4 r

3 Zadae 3. Mamy trzy zmee losowe dotyczące szkody, do której doszło w cągu daego roku: T - czas zajśca szkody w cągu tego roku kaledarzowego, o rozkładze jedostajym a odcku ( 0, ), D - czas, jak upływa od mometu zajśca szkody do mometu jej lkwdacj, o rozkładze wykładczym o wartośc oczekwaej β, Y wartość szkody. Przyjmujemy oczywśce, że jedostką pomaru czasu (tak dla zmeej T, jak dla zmeej D) jest rok. Zmee T oraz D są awzajem ezależe. Wartość szkody e zależy od tego, kedy do ej dojdze, atomast występuje tedecja do szybkej lkwdacj małych szkód długo trwającej lkwdacj dużych szkód, co wyraża astępujące założee: E Y D, T = E Y D = exp rd, gdze 0 < r < β. ( ) ( ) ( ) Oczekwaa wartość szkody, do której doszło w cągu tego roku, ale która przed końcem roku e została zlkwdowaa, a węc: E Y T + D > wyos: ( ) (A) β β r β (B) exp(r) β r (C) exp( β ) exp( r) exp( β ) (D) β β r exp( β ) exp( r) exp( β ) (E) β β r exp( β ) exp( r) exp( β ) 3

4 = u + ct Zadae 4. W klasyczym modelu procesu adwyżk ( ) () t u jest adwyżką początkową, ct jest sumą składek zgromadzoych do mometu t, N t jest procesem Possoa z parametrem tesywośc λ, () S = Y jest sumą wypłat, = pojedycze wypłaty są zmeym losowym o detyczym rozkładze, ezależym awzajem od procesu Y N ( t). Nech L ozacza maksymalą stratę, L jej dystrybuatę, zaś Ψ prawdopodobeństwo ruy przy adwyżce początkowej u. Wadomo, że zachodz: ( u) = Ψ( u) = Pr( t 0 U ( t) 0) F L. U t S N F ( u) Załóżmy, że wypłaty Y mają rozkład wykładczy z wartoścą oczekwaą µ, oraz ż parametr tesywośc składk c wyos c = 05% λµ. Wartość fukcj Ψ ( u) w pukce = E( L ) +,645 Var( L) (A) 4.3% (B) 5% (C) 5.7% (D) 6.4% (E) 7.% u wyos: Uwaga (dopsaa po egzame): Warto sprawdzć, że wartość Ψ ( E( L) + qε Var( L) ), gdze q ε jest kwatylem stadaryzowaej zmeej ormalej (w zadau rzędu 0.95), jest bardzo stabla: dla kwatyl rozsądych rzędów (powedzmy, od 0.8 do 0.99) dla rozsądych wartośc parametru θ (powedzmy, z przedzału (0%, 50%) jest emal stałą fukcją parametru θ, a węc ewelk błąd popełamy wyzaczając jego wartość jako gracę przy θ zbegającym do zera (od góry). 4

5 Zadae 5. Rozkład warukowy łączej wartośc szkód X = Y Y N z pojedyczego ryzyka (pochodzącego z pewej populacj ryzyk) przy daej wartośc parametru ryzyka Λ jest złożoym rozkładem Possoa: E N Λ = ; o oczekwaej lczbe szkód ( ) Λ o wartośc pojedyczej szkody Y takej, że E ( Y Λ) = Λ Parametr ryzyka Λ ma w populacj ryzyk rozkład Gamma o wartośc oczekwaej /4 waracj /80. Przeprowadzamy dwuetapowe dośwadczee: losujemy ryzyko z ww. populacj obserwujemy lczbę szkód N oraz (o le N > 0 ) ch wartośc Y,...,Y N. Oczekwaa średa wartość dwóch szkód (pod warukem, że właśe do dwóch szkód doszło): Y + Y N = wyos: ( ( ) ) E (A) 7/4 (B) /4 (C) 5/ (D) /3 (E) 3/8 5

6 Zadae 6. Ubezpeczycel rozważa, po jakej składce zaoferować swoje usług, mając a uwadze, ż lczba ryzyk, które podejmą jego ofertę, jest malejącą fukcją składk za jedo ryzyko P. Zakładamy, że fukcja ta (zależość popytu od cey) ma postać: = P dla P [ 0, 5 / 4] Podejmując decyzję co do wysokośc składk jedostkowej P ( w kosekwecj rozmarów swojego portfela ryzyk ), ubezpeczycel keruje sę maksymalzacją fukcj użyteczośc o postac: x u ( x) = exp 000 O łączej wartośc szkód W () wemy, że: ma wartość oczekwaą E ( W ( ) ) =, ma warację Var( W ( ) ) = 00, zaś pozostałe charakterystyk ma take, że dla > 400 rozkład W () daje sę dobrze przyblżać rozkładem Gamma. Optymala wysokość składk P wyos (z dobrym przyblżeem): (A).08 (B).5 (C).5 (D).76 (E) trudo optymalą składkę określć, bo rachuk prowadzą do P.00, co mplkuje 400, a to podważa zasadość aproksymacj rozkładem Gamma 6

7 Zadae 7. Nech W = X + X X ozacza łączą wartość szkód z portfela lczącego awzajem ezależych ryzyk, przy czym jest duże (formale: przyajmej ). Ryzyka te mają rozkłady złożoe dwumaowe o parametrach: X ~ złożoy dwumaowy (,q, F Y ), =,,...,, a węc w przypadku każdego z ryzyk może dojść co ajwyżej do jedej szkody, przy czym wartość szkody (o le do ej dojdze) ma dla wszystkch ryzyk te sam rozkład day dystrybuatą FY, atomast prawdopodobeństwa zajśca szkody q dla różych ryzyk są róże. Zmea losowa W ~ (o rozkładze mającym z założea aproksymować rozkład zmeej W) ma rozkład złożoy dwumaowy o parametrach:, q,, gdze W ~ ~ złożoy dwumaowy ( ) q = q = Posadamy astępujące formacje: F Y jest średm (w portfelu) prawdopodobeństwem zajśca szkody. Var( Y ) ( EY ) =, ~ Var( W ) Stosuek waracj Var ( W ) wyos: = 0 q, ( q q ) = = 400 (A) 36/35 (B) 56/55 (C) 76/75 (D) 96/95 (E) 6/5 7

8 Zadae 8. X oraz X to dwa ryzyka (zmee losowe) ezależe o tym samym rozkładze daym dystrybuatą: 0 gdy x < 0 F ( x) = x gdy x [ 0, ) gdy x Prawdopodobeństwo zdarzea, ż ch suma e przekroczy lczby /3, czyl F F ( / 3 wyos: ( ) ) (A) 0.66 (B) 0.6 (C) 0.60 (D) 0.56 (E)

9 Zadae 9. Rozważamy proces adwyżk ubezpeczycela z czasem dyskretym postac: U = u + c, = 0,,,... S gdze S = W + W W jest procesem o przyrostach ezależych o rozkładze wykładczym, daym a półos dodatej gęstoścą: f ( ) = exp x W x, zaś adwyżka początkowa u = 3, a składka za okres czasu wyos c = 3. Prawdopodobeństwo, ż do ruy dojdze w cągu dwóch perwszych okresów, a węc ż zajdze zdarzee: { U < 0 lub U < 0}, wyos (w przyblżeu do trzecego mejsca dzesętego): (A) (B) (C) (D) 0. (E) 0.5 9

10 Zadae 0. Zmea losowa X przyjmuje wartośc eujeme, ma a półos dodatej rozkład cągły. Dla dwóch zaych puktów d d takch, że 0 < d < d, zamy wartośc dystrybuaty zmeej X oraz wartośc oczekwae adwyżk tej zmeej poad poad d : d d F ( ) E [( X d ) ] X d Przy tych daych warukowa przedzałowa wartość oczekwaa X a przedzale (, 4), czyl E ( X X (, 4) ) wyos: (A) 3.50 (B) 3.5 (C) 3.00 (D).75 (E)

11 Egzam dla Aktuaruszy z paźdzerka 004 r. Matematyka ubezpeczeń majątkowych Arkusz odpowedz * Imę azwsko... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadae r Odpowedź Puktacja C D 3 E 4 E 5 D 6 C 7 C 8 B 9 B 0 A * Oceae są wyłącze odpowedz umeszczoe w Arkuszu odpowedz. Wypeła Komsja Egzamacyja.