Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Transkrypt

1 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej µ wariancji oraz momencie centralnym µ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X µ k Pr > µ + t σ ) <. k =... k k t σ W naszym przypadku zmienna losowa X jest sumą pięciu niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach o zerowej wartości oczekiwanej wariancji równej 4 oraz momencie centralnym czwartego rzędu równym 4. Niech x 0.95 ( > x 0 ) = oznacza kwantyl rzędu 0.95 zmiennej losowej X to znaczy iż zachodzi: Pr X. 95. Niech C oznacza najmniejszą z tych liczb dla której w świetle podanych informacji zachodzi x 0.95 < C. Liczba C w przybliżeniu wynosi: (A) C. 0 (B) C 4. (C) C 5. 8 (D) C 8. 0 (E) C 0. 0 σ <

2 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. O zmiennej losowej Y wiemy że:. Pr ( Y [ 0 ] ) = / 5. Pr ( Y ( ] ) = / 5. E ( Y Y [ 0 ] ) = / E Y Y = 4 / 4. ( ( ]) Oznaczmy przez σ infimum zaś przez σ supremum wariancji na zbiorze wszystkich zmiennych losowych spełniających warunki i 4. Wybierz zdanie prawdziwe (A) σ = / 6 σ = / 5 (B) σ = / 6 σ = / 0 (C) σ = / 5 σ = / 0 (D) σ = / 5 σ = / 5 (E) σ = / 6 σ = /

3 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. Zmienne losowe Y oraz N są przy danej wartości λ parametru Λ warunkowo niezależne. Rozkład warunkowy zmiennej N jest rozkładem Poissona o wartości oczekiwanej E ( N Λ = λ ) = λ. O zmiennej Y wiemy że jej warunkowa wartość oczekiwana wynosi E ( Y Λ = λ ) = λµ. Bezwarunkowy rozkład parametru Λ w populacji ryzyk dany jest rozkładem gamma: f Λ ( λ) = 4 λ exp( λ) Warunkowa wartość oczekiwana: E ( Y N > 0) wynosi: 4 (A) µ 9 (B) µ 5 6 (C) µ 5 7 (D) µ 5 6 (E) µ 5

4 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 4. Rozkład łącznej wartości szkód X z jednego wypadku ma rozkład złożony: X = Y + Y Y N gdzie: Y Y Y... wyrażające wartości poszczególnych szkód są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną β niezależna od nich zmienna losowa N (liczba szkód z jednego wypadku) ma rozkład logarytmiczny o parametrze ½ a więc: Pr( N = k) = k =... k ln k E X wynosi: ( ) (A) (B) (C) (D) (E) β ln β ln β ln 4 β ln 5 β ln 4

5 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 5. Nawzajem niezależne zmienne losowe X oraz X mają następujące rozkłady: X ma rozkład złożony Poissona o oczekiwanej liczbie szkód λ = oraz wykładniczym rozkładzie wartości pojedynczej szkody o dystrybuancie danej dla x ( ) ( ) x 0 wzorem: F x = X ma rozkład ujemny dwumianowy dany wzorem: k + Pr( N = k) = ( ) ( ) k k (Rozkład zmiennej można też traktować jako złożony rozkład Poissona) X Wiadomo że zmienna losowa W = X + X ma także złożony rozkład Poissona a więc można ją reprezentować jako losową sumę: W = Z Z M gdzie M ma rozkład Poissona z parametrem λ M zaś rozkład pojedynczego składnika Z dany jest dystrybuantą F Z. Aby reprezentacja tego rozkładu za pomocą pary parametrów ( λ F M Z ) była jednoznaczna przyjmiemy że λ M jest parametrem częstotliwości niezerowych szkód a co za tym idzie F ( 0 ) = 0. Wartość F ( ) czyli Pr( Z ) w przybliżeniu wynosi: Z (A) F Z ( ) (B) F Z ( ) (C) F Z ( ) (D) F Z ( ) (E) F Z ( ) Z 5

6 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 6. Zmienna losowa: X = Y Y N ma złożony rozkład Poissona o parametrze intensywności λ = E( N ) = /. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa składnika Y. W tejże tabeli podano także obliczone dla = prawdopodobieństwa Pr X = k. k ( ) k Pr ( Y = k) Pr( X = k) Pr ( X = 5) wynosi (w przybliżeniu do trzeciego miejsca dziesiętnego): (A) (B) 0.09 (C) (D) (E) 0.0 6

7 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 7. W pewnym portfelu ryzyk łączna wartość szkód: S = Y + Y Y N ma złożony rozkład Poissona o parametrze częstotliwości λ = 0 oraz rozkładzie wartości pojedynczej szkody Y wykładniczym z wartością oczekiwaną E( Y ) = 0. Niech: YM i = min{ Yi M }; i =... N oraz niech: S M = YM YM N gdzie S M oznacza tę część łącznej wartości szkód S która pozostaje na udziale ubezpieczyciela (po scedowaniu nadwyżki każdej szkody z tego portfela ponad M na reasekuratora). Aktualnie parametrem kontraktu reasekuracyjnego jest wartość zachowku M = 45. Rozważamy jednak możliwość zmiany tego parametru oraz wpływ takiej zmiany na charakterystyki zmiennej losowej S M. Pochodna wariancji zmiennej S M : VAR( S M ) M M =45 wynosi (w przybliżeniu do jednej dziesiątej): (A) 8.0 (B) 8.5 (C) 9.0 (D) 9.5 (E) 0.0 7

8 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 8. Rozważmy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: U = u + c n n = 0... n S n gdzie S n = W + W W n jest procesem o przyrostach niezależnych o identycznym rozkładzie gdzie nadwyżka początkowa u jest nieujemna składka c jest większa od wartości oczekiwanej µ przyrostu szkód W a wariancja σ oraz moment centralny trzeciego rzędu µ przyrostu szkód W i są dodatnie ale skończone. Rozważmy funkcję: Ψ ( u c E( Wi ) VAR( Wi ) µ ( Wi )) przypisującą procesowi nadwyżki spełniającemu ww. założenia prawdopodobieństwo ruiny aproksymowane metodą devyldera. Oznaczmy przez: wartość tak uzyskanej aproksymacji dla procesu nadwyżki Ψ A ubezpieczyciela A o parametrach i ( c µ σ µ ) = ( ) u wartość tak uzyskanej aproksymacji dla procesu nadwyżki Ψ B ubezpieczyciela B o parametrach ( u c µ σ µ ) = ( ) Ψ wartość tak uzyskanej aproksymacji dla procesu nadwyżki A + B ubezpieczyciela który powstanie po połączeniu portfeli i nadwyżek początkowych ubezpieczycieli A i B o parametrach u c µ σ µ = ( ) ( ) Zachodzi równość Stała a wynosi: (A) a = 8 9 (B) a = (C) a = (D) a = 9 8 (E) a = 5 4 A B = a ΨA ΨB Ψ +. Uwaga: metoda de Vyldera polega na tym iż Ψ wyznaczamy jako dokładne U t w którym szkody prawdopodobieństwo ruiny dla procesu aproksymującego ( ) pojawiają się zgodnie z procesem Poissona ich rozkład jest wykładniczy ( β ) parametry procesu aproksymującego ( θ λ β ) zaś są tak dobrane aby przyrosty procesu aproksymującego i przyrosty procesu aproksymowanego miały takie same momenty trzech pierwszych rzędów. 8

9 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 9. Rozważmy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: U = u + c n n = 0... n S n gdzie S = W + W n W n jest procesem o przyrostach niezależnych o jednakowym rozkładzie. Rozkład przyrostów W i jest rozkładem wykładniczym o wartości oczekiwanej równej /. Dobierz składkę c tak aby współczynnik dopasowania (adjustment coefficient) R wyniósł jeden. Funkcja prawdopodobieństwa ruiny będzie wtedy postaci: Ψ( u) = a exp ( u). Stała a wynosi: (A) (B) (C) (D) (E) ln ln exp exp 9

10 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 0. Niech T będzie czasem likwidacji szkody mierzonym w taki sposób że T = 0 gdy szkodę zlikwidowano w ciągu tego samego roku w którym do niej doszło T = jeśli w ciągu następnego roku T = jeśli jeszcze w następnym roku itd. Rozkład zmiennej T jest rozkładem geometrycznym: k + Pr( T = k) = ( / ) k = 0... O rozkładzie wartości pojedynczej szkody wiemy że: E Y T = 0 / 0 T = 0... ( ) ( ) T Ani T ani Y nie zależą od tego w którym roku kalendarzowym do szkody doszło. Ponieważ w przeszłości dochodziło do tej samej liczby szkód w kolejnych latach wobec tego na koniec roku t 0 rozkład ilości szkód oczekujących na likwidację według czasu ich zajścia jest także geometryczny z ilorazem postępu ½ (połowa to szkody zaszłe w roku t jedna czwarta to szkody zaszłe w roku t itd. 0 Oczekiwana wartość szkody losowo dobranej ze zbioru szkód które na koniec roku t 0 oczekują na likwidację wynosi: (A).58 (B). (C).67 (D). (E). 0 0

11 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Egzamin dla Aktuariuszy z 5 stycznia 00 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja B A B 4 D 5 E 6 D 7 E 8 C 9 C 0 A * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.