f(x)dx gdy a, b (0, 100), f(x) = exp( 1
|
|
- Mateusz Romanowski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 1 i Właściciel domu określa wartość swojego majątku na 100j. Obawia się losowej straty spowodowanej pożarem. Doświadczenie agenta ubezpieczeniowego pozwala oszacować prawdopodobieństwo straty według tabeli. x - starta p -p-stwo 0,9 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 Przyjmując, że właściciel ma awersję do ryzyka i posługuje się funkcją użyteczności u(w) = w u(w) = exp( 0, 01w) u(w) = w w2 oblicz: Jaką maksymalna składkę jest skłonny zapłacić właściciel za pełne ubezpieczenie? Jaka jest oczekiwana wartość majątku po roku bez ubezpieczenia? Jaka jest oczekiwana wartość straty? Wyznacz polisę optymalną, jeśli decydent chce przeznaczyć na ubezpieczenie 4j, a koszt polisy jest równy 1, 2EI(X), gdzie I(X) oznacza odszkodowanie dla szkody o wartości X. 2. Podmiot posiada majątek w = 100. Strata X, na którą jest narażony w ciągu roku ma rozkład P (X = 0) = 0, 75, P (X (a, b)) = b a f(x)dx gdy a, b (0, 100), f(x) = exp( x)1 (0,100)(x) P (X = 100) = e 1 4. Podmiot jest skłonny przeznaczyć na ubezpieczenie kwotę 18. Wyznacz polisę optymalną przy cenie 1, 2EI(X). Jak zmieniłoby się rozwiązanie gdyby cena polisy była EI(X). Wyznacz wartość oczekiwaną majątku po roku bez ubezpieczenia. Wyznacz wartość oczekiwaną straty. Wyznacz wartość oczekiwaną majątku po roku z ubezpieczeniem optymalnym. Wyznacz maksymalną kwotę, jaką skłonny jest przeznaczyć na ubezpieczenie pełne podmiot. Przyjmij funkcję użyteczności u(w) = exp( 0, 05w).
2 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Pewien podmiot maksymalizuje wartość oczekiwaną funkcji użyteczności postaci u(x) = ln x. Majątek tego podmiotu wynosi w = 2. Połowa majątku narażona jest jednak na ryzyko całkowitej utraty, co może nastąpić z prawdopodobieństwem q = 0, 2. Od tego ryzyka można się na rynku ubezpieczyć. Rynek oferuje kontrakty proporcjonalne wypłacające przy roszczeniu X wartość ax, gdzie a (0, 1) jest pewną stałą, wyceniane według oczekiwanej wartości odszkodowania dla tego podmiotu pomnożonej przez czynnik 1, 25. a) Wyznacz wartość parametru a jaką wybierze ten podmiot. b) Ile maksymalnie jest skłonny zapłacić ten podmiot za pełne ubezpieczenie. 4. (egzaminy aktuarialne) Pewien podmiot posiada majątek wyjściowy o wartości w, narażony jest na stratę X. Podmiot postępuje racjonalnie a w swoich decyzjach kieruje się maksymalizacją oczekiwanej użyteczności. Jego funkcja użyteczności jest postaci u(x) = exp( x). Strata X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1). Rynek ubezpieczeniowy oferuje kontrakty ubezpieczeniowe z odszkodowaniem { 0 gdy X < d I d (X) = X d gdy X d w zamian za cenę (1+θ)EI d (X), gdzie θ jest dodatnią stałą taką samą dla wszystkich d (0, 1). Podmiot dokonuje wyboru parametru d znając θ. Wiemy, że wybrał d = 0, 5. Wyznacz θ. 5. (egzaminy aktuarialne) Pewien podmiot posiada majątek wyjściowy o wartości w, narażony jest na stratę X. Podmiot postępuje racjonalnie a w swoich decyzjach kieruje się maksymalizacją oczekiwanej użyteczności. Jego funkcja użyteczności jest postaci u(x) = exp( x). Strata X ma rozkład dwupunktowy P (X = 1) = 1 P (X = 0) = q. Rynek ubezpieczeniowy oferuje kontrakty ubezpieczeniowe wypłacające ax za szkodę o wysokości X dla dowolnych a (0, 1] w zamian za składkę w wysokości (1 + θ)qa. Wyznacz a, przy którym podmiot osiągnie maksimum użyteczności, jeśli założymy, że θ = 0, 25 i q = 0, 2.
3 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Dwa zakłady ubezpieczeniowe A i B posługują się funkcją użyteczności u(w). Zakład A dysponuje kapitałem 10 8 ECU, zakład B kapitałem ECU. Zakłady A i B otrzymały ofertę ubezpieczenia statku o wartości ECU od całkowitego zniszczenia (zatonięcia). Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe q. 1. Wyznacz składkę minimalną jaką powinny ustalić zakłady pracując a) oddzielnie (każdy sam ubezpiecza cały statek) b) wspólnie ( dwa przypadki: koasekuracja po równo, koasekuracja proporcjonalna do majątku). Przyjmij q = 0.1, 0.01, 0.009, u(w) = 1 2 w 2. Wyznacz maksymalne akceptowane składki dla ubezpieczającego się, gdy wartość jego całkowitego majątku jest równa , , , , , Rozważ dwie funkcje użyteczności u(w) = 1 2 w u(w) = ln w 7. (egzaminy aktuarialne) O łącznej wartości szkód X z pewnego kontraktu ubezpieczeniowego wiemy, iż: jest nieujemna, tzn. P (X 0) = 1; ma wartość oczekiwaną równą 20; wartość oczekiwana nadwyżki ponad 10 wynosi 13, tzn.: E((X 10) + ) = 13; wartość szkód jest mniejsza od 10 z prawdopodobieństwem 0.5. Wyznacz zbiór wszystkich możliwych wartości E((X 5) + ) Odp: [15, 5; 16, 5) 8. (egzaminy aktuarialne) O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20, czyli E((X 20) + ) = 8 oraz znamy następujące charakterystyki dotyczące przedziału (10, 20] : P (X 20) = 3 4 ; P (X 10) = 1 4 ; E(X 10 < X 20) = 13. Wyznacz E((X 10) + ). Odp: E((X 10) + ) = 12
4 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna (egzaminy aktuarialne) Portfel składa się z n = 1000 niezależnych jednorodnych ryzyk. Dla pojedynczego ryzyka wartość oczekiwana roszczeń jest równa 10 i odchylenie standardowe też jest równe 10. Niech S oznacza sumaryczną wartość roszczeń w portfelu. Składka przypadająca na pojedyncze ryzyko wynosi H i została skalkulowana tak aby P (S > nh) = 0, 01, przy czym to prawdopodobieństwo obliczono korzystając z aproksymacji rozkładem normalnym. Przypuśćmy, że możemy objąć ubezpieczniem dodatkowych n 1 niezależnych ryzyk, dla których wartość oczekiwana roszczeń jest równa 10 ale odchylenie standardowe jest równe 15. Dla nowych ryzyk składka powinna być tej samej wysokości H. Niech S 1 oznacza sumaryczną wartość roszczeń w portfelu nowych ryzyk. Wyznacz n 1 aby P (S + S 1 > (n + n 1 )H) 0, Portfel składa się z 2 niezależnych subportfeli. Wyznaczono charakterystyki łącznej wartości szkód dla tych subportfeli. Przedstawia je tabela. Wartość oczekiwana wariancja skośność γ subportfel I subpotrfel II ,25 Rozkład łącznej wartości szkód z całego portfela aproksymujemy przesuniętym rozkładem gamma, zakładając, że trzy pierwsze momenty obu rozkładów są równe. Wyznacz parametry rozkładu gamma. 11. Wygeneruj po n = 50 wartości zmiennych losowych o rozkładach: 1. zero-jedynkowym P (X = 1) = 0, 1; 2. równomiernym o wartościach 1, 2, 3, 4, 5; 3. Ex(2); Gamma(2, 4); 4. P areto(3, 2); 5. N(0, 1); N(2, 9). Wyznacz EX, V arx oraz odpowiedniki próbkowe. Zadanie powtórz dla n = Niech N 1, N 2 będą zmiennymi losowymi równymi liczbie szkód w dwóch niezależnych grupach ryzyka. Zakładamy, że obie zmienne mają rozkłady Poissona o wartościach oczekiwanych λ i, i = 1, 2. Niech S = N 1 + N 2. Wyznacz rozkład zmiennej N 1 pod warunkiem, że S = s, s N {0}. Wyznacz E(N 1 S = s) i V ar(n 1 S = s). 13. (egzaminy aktuarialne) Pewne ryzyko generuje w kolejnych czterech kwartałach szkody o łącznej wartości X 1, X 2, X 3, X 4. Zmienne losowe X i są niezależne o tym samym rozkładzie wykładniczym. Ubezpieczyciel pokrywa łączną wartosć szkód za cały rok, ceduje jednak na reasekuratora łaczną wartosć szkód z jednego wybranego
5 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 5 przez siebie kwartału (oczywiście wybierze najgorszy z nich). Jaki jest udział składki reasekuracyjnej w składce ubezpieczeniowej (obie składki są liczone wg ich wartości oczekiwanej). Odp. 25/ Wygeneruj szkody dla polis z kolejnych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jednej polisy. Wygeneruj wartości X szkód wg rozkładu P (X = 100) = 0, 5, P (X = 200) = 0, 25, P (X = 500) = 0, 25. Szkody o wartości 500 są regulowane w roku następnym szkody o pozostałych wartościach w roku zajścia. Wylicz składki na każdy rok w następujący sposób: składka I: w latach składka po 25, w latach następnych składka=średnia ze szkód wypłaconych w roku poprzednim razy częstość szkód w roku poprzednim razy 1,1 składka II: w latach składka po 25, w latach następnych - w roku n - składka=średnia ze szkód zaistniałych w roku n 2 razy częstość szkód w roku n 2 razy 1,1 Którą z metod uważasz za rozsądniejszą i dlaczego. Uwaga: Średnia ze szkód i częstość szkód jest liczona na podstawie symulacji. Wyniki przedstaw w tabelach. Wyznacz też składki nie opierając się na symulacjach ale na parametrach odpowiednich rozkładów. Porównaj wyniki. Szkody uregulowane (K - liczba, s - wartość) l.polis l.szkód K s K s K s K s K s K s suma średnia Wielkość szkód do zapłaty w roku 1986 = Porównanie składek
6 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 6 rok składka kwota wartość H1-S składka kwota H2-S I składek H1 szkód S II składek H suma suma
7 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 7 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 i 4 1. (egzaminy aktuarialne) Ubezpieczyciel ma portfel liczący 9644 terminowych polis na życie z terminem jednego roku. Prawdopodobieństwo zgonu każdego z ubezpieczonych wynosi 0,01, a świadczenie wynosi b. Ubezpieczyciel pobiera składkę w wysokości 125% składki netto. Reasekurator w zamian za zobowiązanie pokrycia ab w razie śmierci ubezpieczonego żąda 150% swojego udziału w składce netto. Ubezpieczyciel chce utrzymać prawdopodobieństwo straty na udziale własnym w tym portfelu na poziomie 0,05. Nie ma kosztów, stopa procentowa jest zerowa. Wyznacz wskaźnik a [0, 1]. Zastosuj aproksymację rozkładem normalnym. 2. Rozważmy następujący portfel ubezpieczeń życiowych. k nr grupy n k - liczba ryzyk b k - świadczenie Prawdopodobieństwo zgonu we wszystkich grupach jest jednakowe i wynosi 0,02. Towarzystwo ubezpieczeniowe zastanawia się nad reasekuracją z poziomem retencji r przy koszcie jednostki pokrycia c. a) Dysponując kapitałem ze składek w wysokości 825 oszacuj prawdopodobieństwo, że łączna wartość wypłat i kosztów reasekuracji przekroczy tę kwotę, przy założeniu, że r = 2 i c = 0, 025. b) Dobierz r [3, 5), tak aby prawdopodobieństwo zdarzenia z punktu a było najmniejsze. 3. a) Rozważmy trzy grupy ryzyka indywidualnego k n k - liczba q k - p-stwo polis w k-tej grupie szkody Wartość szkody jest równa 2. Wyznacz składkę łączną H w każdej grupie osobno i łącząc grupy po dwie według zasady P (S > H) = 0, 02 stosując aproksymację rozkładem normalnym i rozkładem gamma. b) Rozważmy trzy grupy ryzyka, liczba szkód dla każdego ryzyka jest zmienną o rozkładzie Poissona (parametry podaje tabela).
8 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 8 k n k - liczba λ k - oczekiwana polis w k-tej grupie liczba szkód Wartość szkody jest równa 2. Wyznacz składkę łączną H w każdej grupie osobno i łącząc grupy po dwie według zasady P (S > H) = 0, 02 stosując aproksymację rozkładem normalnym i rozkładem gamma. Porównaj wyniki z wynikami punktu a). 4. Dane są trzy portfele ryzyk. Każdy portfel składa się z 10 niezależnych grup (podportfeli), każda grupa składa się z niezależnych ryzyk jednorodnych, każde ryzyko może generować jedną szkodę z prawdopodobieństwem q. Wartości szkód są zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale (a, b) (pierwszy portfel) dwupunktowego (drugi portfel), przy czym P (a) = 0.75 = 1 P (b), i wykładniczego (trzeci portfel). Parametry rozkładów i liczebności grup podaje tabela. Wyznacz dla każdego portfela łączną składkę H według zasady stosując a) aproksymację rozkładem normalnym b) aproksymację rozkładem gamma Podaj w obu przypadkach współczynnik narzutu bezpieczeństwa, czyli wartość θ taką, że H = (1 + θ)es, gdzie S to łączna wartośc szkód w całym portfelu. r. jednostajny dwupunktowy Wykładniczy grupa n q a b a b γ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,04 5. Wykonaj zadanie poprzednie zakładając, że każda grupa składa się z niezależnych ryzyk jednorodnych, każde ryzyko generuje liczbę szkód zgodnie z rozkładem Poissona o wartości oczekiwanej q. Pozostałe założenia pozostają bez zmian.
9 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna Wygeneruj 1000 polis wg modelu indywidualnego z prawdopodobieństwem szkody q = 0, 2 i wartością szkody a) Y Ex(0, 01) b) Y P areto(5, 400). Na podstawie otrzymanych danych oszacuj odpowiednie parametry rozkładu liczby i wartości szkód, a następnie korzystając z tych estymatorów oszacuj składkę łączną H, dla portfela złożonego z 1000 polis tego samego typu, tak, by P (S > H) = 0, 05, gdzie S suma szkód. Zastosuj aproksymację rozkładem normalnym i gamma. Wylicz też H wykorzystując rzeczywiste parametry rozkładu, a nie wartości estymatorów otrzymanych na podstawie próby losowej. Przeprowadź symulacji portfela złożonego z 1000 polis o parametrech ryzyka jak na początku treści zadania, dla każdej symulacji oblicz sumę szkód i traktując otrzymane wyniki jako próbkę rozkładu zmiennej S wyznacz oszacowanie składki jako odpowiedni kwantyl próbkowy. Porównaj wyniki z wcześniej otrzmanymi oszacowaniami. 7. (egzaminy aktuarialne) Zmienna losowa X = Y 1 + Y Y N ma złożony rozkład Poissona o wartości oczekiwanej λ = 1. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa składnika Y. Wyznacz P (X = 5). Odp: k P (Y = k) (egzaminy aktuarialne) Zmienna losowa X jest sumą trzech zmiennych losowych o rozkładach złożonych Poissona z parametrami odpowiednio (λ 1, F 1 ), (λ 2, F 2 ), (λ 3, F 3 ). Wartości parametrów częstotliwości λ 1, λ 2, λ 3 oraz dystrybuanty F 1, F 2, F 3 dane są wzorami: Oblicz P (X = 3). Odp. 7 6 e 2. i λ i F i (x) F i (x) F i (x) dla x < 1 dla x [1, 2) dla x / /2 0 3/ /2 0 9/ Dla pewnego portfela ryzyk liczba szkód ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną 10, wysokość pojedynczej szkody jest zmienną o rozkładzie Ex(1/200). Ubezpieczyciel pokrywa nadwyżkę szkody ponad 100. Podaj wartość oczekiwaną, wariancję i współczynnik asymetrii γ sumy wypłaconych odszkodowań.
10 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna (egzaminy aktuarialne) Łączna wartość szkód z pewnego ryzyka S = Y Y N jest zmienną losowa o złożonym rozkładzie Poissona. Trzy niezależne podmioty pokrywaja części S 1, S 2, S 3 całkowitej wartości zmiennej S: S 1 = min{d, Y 1 } + min{d, Y 2 } min{d, Y N } S 3 = max{0, Y 1 M} + max{0, Y 2 M} max{0, Y 2 M} S 2 = S S 1 S 3 gdzie parametry podziału odpowiedzialnosci spełniają warunki M > d > 0. Przyjmujemy, że EN = 20, d = 2, M = 10 oraz dystrybuanta rozkładu wartości pojedynczej szkody dana jest na półosi nieujemnej wzorem. Oblicz Cov(S 1, S 3 ). Odp. 50. P (Y 1 y) = 1 ( 10 ) y 11. (egzaminy aktuarialne) Portfel składa się z 2000 niezależnych, identycznych ryzyk. Dla każdego z nich liczba szkód ma rozkład Poissona z parametrem częstotliwości 0.05, a wartość szkody ma zawsze (niezależnie od liczby i wartości ewentualnych innych szkód) rozkład jednostajny na przedziale (0, 1). Uznano, iż rozkład łącznej wartości szkód z portfela ma zbyt wysoki wskaźnik skośności (stosunek trzeciego momentu centralnego do sześcianu odchylania standardowego). Rozważa się odstąpienie reasekuratorowi nadwyżki każdej szkody z portfela ponad d. Czy istnieje taką wartość d (0, 1), dla której wskaźnik skośności wyniesie 0.1. Odp. nie istnieje. 12. Liczba szkód N z ryzyka ma rozkład geometryczny P (N = k) = p(1 p) k dla k = 0, 1, 2,... Wartość pojedynczej szkody X i ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 1/θ. Wyznacz dystrybuantę, gęstość i funkcję tworzącą momenty rozkładu zmiennej S N = { Ni=1 X i gdy N > 0 0 w p.p. 13. (egzaminy aktuarialne) Y 1, Y 2,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 1). N jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem częstotliwości λ, niezależną od zmiennych Y 1, Y 2,.... Niech: M N = { max{y1, Y 2,..., Y N } gdy N > 0, 0 gdy N = 0 Wyznacz warunkową wartość oczekiwaną E(N M). Odp: 1 + Mλ gdy M > 0 i 0 gdy M = 0.
11 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna (egzaminy aktuarialne) Liczba szkód N w ciągu roku w pewnym ubezpieczeniu ma rozkład geometryczny P (N = k) = 2k, k = 0, 1, 2,.... Wartość każdej ze szkód 3 k+1 Y 1, Y 2,... ma rozkład Pareto o dystrybuancie F (y) = y dla y > 0. Wartości 1+y poszczególnych szkód i liczba szkód są zmiennymi niezależnymi. Niech { max{y1, Y M = 2,..., Y N } gdy N > 0, 0 gdy N = 0 Wyznacz medianę rozkładu zmiennej M. Odp (egzaminy aktuarialne) Mamy dany ciąg liczb (q 1, q 2,..., q n ) z przedziału (0, 1), oraz ciąg (m 1, m 2,..., m n ) liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe: X = X 1 +X X n, gdzie X i ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach (1, q i, F i ), wszystkie składniki X i są niezależne, zaś oczekiwana wartość szkody o dystrybuancie F i wynosi m i ; Z o rozkładzie złożonym dwumianowym i parametrach (n, q, F ), gdzie ni=1 q ni=1 i q i F i (x) q =, x R F (x) =. n n q Wprowadźmy dodatkowe oznaczenie: ni=1 q i m i mq =. n Zakładamy, że wszystkie rozkłady F i mają skończoną wariancję. Oblicz V arx V arz. Odp. n i=1 [q i m i mq] (egzaminy aktuarialne) Liczba szkód N w roku ma rozkład ujemny dwumianowy bin (r, p). Prawdopodobieństwo, że szkoda będzie rozpatrzona w tym samym roku jest równe s. Szkody rozpatrywane są niezależnie. Niech K oznacza liczbę szkód rozpatrzonych w roku zajścia. Oblicz Cov(K, N K). Oblicz E(N K = k). 17. (egzaminy aktuarialne) Liczba szkód w ciągu roku w pewnym ubezpieczeniu równa jest N = M 1 + M M K gdzie K, M 1, M 2,... są niezależnymi zmiennymi losowymi, K - oznacza liczbę wypadków i ma rozkład Poissona o wartości oczekiwanej λ, M 1, M 2,... to liczby szkód z poszczególnych wypadków - mają one identyczny rozkład prawdopodobieństwa dany funkcją P (M 1 = k) = 1 ln(1 c) ck k, k = 1, 2, 3,..., c = 1 e 1. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w danym roku doszło do jednego wypadku pod warunkiem, że wystąpiły 4 szkody.
12 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna (egzaminy aktuarialne) Rozważamy dwie zmienne losowe o rozkładach złożonych, różniące się założeniami o rozkładzie liczby składników i rozkładzie pojedynczego składnika: P L = Y Y N, gdzie N ma rozkład Poissona o wartości oczekiwanej λ, zaś każdy ze składników ma rozkład logarytmiczny o funkcji prawdopodobieństwa danej wzorem P (Y n = k) = 1 ck dla k = 1, 2, 3,..., ln(1 c) k LP = Y Y N, gdzie N ma rozkład logarytmiczny o funkcji prawdopodobieństwa z parametrem c (jak wyżej), zaś każdy ze składników Y n ma rozkład Poissona o wartości oczekiwanej λ. Rozważamy jedynie dopuszczalne wartości parametrów λ > 0 oraz c (0, 1). Pokaż, że c ln(1 c) V ar(lp ) > V ar(p L) λ > ln(1 c) c. 19. Dla pewnego portfela ryzyk Towarzystwo Ubezpieczeniowe pobiera w każdym roku składkę wysokości 250 dla każdej polisy. Łączna wielkość roszczeń z polisy ma złożony rozkład ujemny dwumianowy z parametrami rozkładu ujemnego dwumianowego r = 1, 6 i p = 0, 8 i rozkładem wielkości szkody równym rozkładowi Gamma(1, 0, 002). Z każdym roszczeniem związane są pewne koszty dodatkowe, które są realizacjami zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na przedziale (20,80). Koszty dodatkowe są niezależne od wielkości roszczenia. Niech S oznacza łączne wartości roszczeń i koszty dodatkowe dla całego portfela. Stosując przybliżenie rozkładem normalnym wyznacz najmniejszą liczność portfela, przy której prawdopodobieństwo, że składka pokryje S jest większe niż 0,99. Przyjmij kwantyl rzędu 0,99 w rozkładzie normalnym 2, (egzaminy aktuarialne) Wiadomo, że zmienne losowe N 1, N 2, N 3 są niezależne i przyjmuja wartości całkowite nieujemne. Ich funkcje prawdopodobieństwa określone na tym zbiorze spełniają zależności rekurencyjne: P (N 1 = k) = ( 4 k 1) P (N 1 = k 1) dla k = 1, 2,..., P (N 2 = k) = ( 3 k 1) P (N 2 = k 1) dla k = 1, 2,..., P (N 3 = k) = ( 2 k 1) P (N 3 = k 1) dla k = 1, 2,..., Oblicz P (N 1 + N 2 + N 3 = 3). Odp
13 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna W ubezpieczeniach samochodowych klienci zostali podzieleni na 4 grupy (grupa E to cały portfel). Dane przedstawia tabela. (a) Oszacuj składkę netto na jednego klienta a) w każdej grupie osobno b) traktując wszystkich klientów jako jedna grupę (grupa E). (b) Dopasuj rozkład Poissona i ujemny dwumianowy dla każdej z grup i grupy E (wyznaczając EMM i ENW parametrów) (c) Oszacuj parametry α i β rozkładu a priori Gamma i naszkicuj wykresy funkcji gęstości. (d) Wyznacz łączną składkę w każdej grupie i składkę dla pojedynczego klienta z grupy (klienci w danej grupie mają jednakową składkę) stosując zasadę P (S > H) = 0, 01 (H - łączna składka w grupie, S -suma szkód w grupie), aproksymację rozkładem normalnym i model kolektywny ryzyka, przybliżając liczbę szkód a) rozkładem Poissona b) rozkładem ujemnym dwumianowym (e) Stosując test zgodności Chi-kwadrat zweryfikuj hipotezy o zgodności rozkładu liczby szkód z ryzyka w każdej grupie z rozkładem Poissona i z rozkładem ujemnym dwumianowym. (f) Napisz wnioski. Czy można portfel lub grupy traktować jako jednorodne (ze względu na liczbę szkód). grupy A B C D E - cały ryzyka portfel l. ryzyk l. szkód z ryzyka średni koszt szkody µ odchylenie standardowe σ
N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1 liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe:... ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach 1,q i, gdzie X, wszystkie składniki X
Zadanie. Mamy dany ciąg liczb q, q,..., q n z przedziału 0,, oraz ciąg m, m,..., m n liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe: o X X X... X n, gdzie X i ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach,q
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.0.00 r. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej µ wariancji oraz momencie centralnym µ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.
Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie 1. W pewnej populacji podmiotów każdy podmiot narażony jest na ryzyko straty X o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną równą μ i wariancją równą. Wszystkie podmioty z tej populacji kierują
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:
Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoStatystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone
Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 3 i 4 1 / 25 MODEL RYZYKA INDYWIDUALNEGO X wielkość
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych..00 r. Zadanie. Proces szkód w pewnym ubezpieczeniu jest złożonym procesem Poissona z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą λ i rozkładem wartości szkody o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoZadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20:
Zadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20: E X 20 8 oraz znamy następujące charakterystyki dotyczące przedziału 10, 20 : 3 Pr
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoMUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss)
MUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss) 1. (6p.) Niech X oznacza ryzyko (zmienn a losow a o własności P (X 0) = 1), a H( ) niech oznacza formułȩ kalkulacji składki (przyporz adkowuj ac a każdemu ryzyku
Bardziej szczegółowoLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Komisja
Bardziej szczegółowoZadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),
Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
Bardziej szczegółowo01. dla x 0; 1 2 wynosi:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie. Ryzyko X ma rozkład z atomami: Pr X 0 08. Pr X 0. i gęstością: f X x 0. dla x 0; Ryzyko Y ma rozkład z atomami: Pr Y 0 07. Pr Y 0. i gęstością: fy
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. Niech łączna wartość szkód: Ma złożony rozkład Poissona. Momenty rozkładu wartości poedyncze szkody wynoszą:, [ ]. Wiemy także, że momenty nadwyżki wartości poedyncze szkody ponad udział własny
Bardziej szczegółowoHipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.
Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część III
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 maja 200 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 00 minut Komisja Nadzoru
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia majątkowe
Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoAktuariat i matematyka finansowa. Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life
Aktuariat i matematyka finansowa Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life Budowa składki ubezpieczeniowej Składka ubezpieczeniowa cena jaką ubezpieczający płaci za ochronę ubezpieczeniowa
Bardziej szczegółowoKolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 6: SKŁADKI OKRESOWE Składki okresowe netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA
KARIERA MATEMATYKĄ KREŚLONA UBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA Ryzyko i ubezpieczenie Możliwość zajścia niechcianego zdarzenia nazywamy ryzykiem. Ryzyko prawie zawsze wiąże się ze stratą. Ryzyko i ubezpieczenie
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W kolejnych okesach czasu t =,,3,... ubezpieczony, chaakteyzujący się paametem yzyka Λ, geneuje szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N t N, N, N 3,... są waunkowo niezależne i mają (bzegowe) ozkłady
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowodr Hubert Wiśniewski 1
dr Hubert Wiśniewski 1 Agenda: 1. Rodzaje i czynniki ryzyka w przedsiębiorstwie ubezpieczeniowym. 2. Miary ryzyka przedsiębiorstwa ubezpieczeniowego. 3. Zarządzanie ryzykiem ubezpieczeniowym w przedsiębiorstwie
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Ryzyko w ubezpieczeniach Risk in insurances Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoMETODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowo1. Ubezpieczenia życiowe
1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Statystyka w 3
Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoHISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoEgzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2013/14
ZESTAW A IMIȨ I NAZWISKO: Egzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2/4 Data: 224 Egzaminar: Ryszard Szekli INSTRUKCJE: Rozwiązując test zakreślamy literką X POPRAWNE ODPOWIEDZI W TABELCE
Bardziej szczegółowoLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowo= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1
1. W populacji B natężenie wymierania µ ( B ) x jest większe od natężenia wymierania ( A) µ x w populacji A, jednostajnie o µ > 0, dla każdego wieku x tzn. ( B) ( A) µ µ x = µ. Niech ponadto x M( s) oznacza
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoWykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowo