Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f

Transkrypt

1 Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona: k λ Pr( N t = k Λ = λ) = e λ t =,,,..., k = 0,,, K k! Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: α β α f Λ ( λ) = λ exp( βλ ), z parametrami: α =, β = 5. Γ( α ) Rozważamy wariancję liczby szkód w czwartym roku: z rozkładu bezwarunkowego: Var( N ) oraz z rozkładu warunkowego, przy danej informacji o liczbie szkód w Var N N + N +. pierwszych trzech latach: ( ) N Znajdź podzbiór K zbioru liczb naturalnych z zerem taki, że zachodzi tożsamość: { k K} Var( N N + N + N = k) ( N ) Var (A) K = (B) K = {} 0 (C) K = { 0,} (D) K = { 0,, } (E) K = { 0,,,,,... }

2 Zadanie. Rozważmy klasyczny proces nadwyżki ubezpieczyciela: szkody pojawiają się zgodnie z procesem Poissona o intensywności λ szkody mają rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej β + θ λβ intensywność napływu składki wynosi ( ) nadwyżka początkowa wynosi u Niech: A oznacza zdarzenie, że do ruiny dojdzie, i że nastąpi to od razu przy pierwszej szkodzie, B oznacza zdarzenie, iż do ruiny dojdzie, i że nastąpi to w momencie, w którym nadwyżka po raz pierwszy spadnie poniżej wartości początkowej u. Czy informacja, że θ = 0% wystarcza, aby wyznaczyć wartość prawdopodobieństwa warunkowego zajścia zdarzenia A pod warunkiem B? Wybierz najbardziej trafną odpowiedź: (A) Informacja o wartości θ wystarczy, Pr ( A B) = 6 (B) (C) Konieczna i dostateczna informacja to wartości parametrów θ oraz u Konieczna i dostateczna informacja to wartość parametru θ i iloczynu β u (D) Informacja o wartości θ wystarczy, Pr ( A B) = (E) Informacja o wartości θ wystarczy, Pr ( A B) = 6 0

3 Zadanie. Momenty zajścia kolejnych szkód T < T <... < Tn <... tworzą proces Poissona na przedziale ( 0, ), o intensywności λ, a więc: T, T T, T T, T T,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej / λ. Każda szkoda, niezależnie od pozostałych, jest likwidowana po upływie pewnego losowego okresu czasu. Mówiąc dokładniej, momenty likwidacji są zmiennymi losowymi postaci: ~ ~ ~ T = T + D, T = T + D,..., Tn = T n + Dn,... przy czym odstępy czasu między zajściem a likwidacją szkód są niezależne nawzajem oraz od T, T, T,... i mają taki sam rozkład. Zakładamy, że jest to też rozkład wykładniczy o takiej samej wartości oczekiwanej / λ. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że dla pewnego ustalonego n likwidacja szkody ( n +) -szej poprzedzi likwidację szkody n-tej, a więc: ~ ~ Pr( T < n + T n ) wynosi: D i (A) / (B) / (C) /5 (D) /6 (E) /8

4 Zadanie. Proces nadwyżki towarzystwa ubezpieczeniowego ma postać: U t = u + ( c du) t St, gdzie: skumulowane wypłaty odszkodowań S mają dla każdego t > 0 rozkład ( ) normalny t µ, tσ, w zamian za kapitał u udziałowcy otrzymują dywidendę wypłacaną w sposób ciągły z intensywnością du, c to intensywność składki płaconej przez ubezpieczonych, z czego c du pozostaje w towarzystwie. Przyjmijmy następujące wartości liczbowe wybranych parametrów procesu: stopa dywidendy wynosi: d = 5%, parametry procesu St wynoszą: µ = 00, σ = 000. Niech Ψ ( u, c) oznacza funkcję (dwóch argumentów kapitału początkowego i intensywności płaconej składki) prawdopodobieństwa ruiny w nieskończonym horyzoncie czasu. Znajdź (dobierając odpowiednio optymalną wysokość kapitału początkowego) * najmniejszą wartość c spośród takich wartości c, dla których zachodzi: 9 Ψ ( u,c) = exp t (A) c * = 5 (B) c * = 0 (C) c * = 0 (D) c * = 5 (E) c * = 60

5 Zadanie 5. Łączna wartość szkód X z pewnego ryzyka ma (warunkowo, przy danej wartości parametru ryzyka Λ ) złożony rozkład Poissona z parametrami ( Λ, FY / Λ () ), a warunkowa wartość oczekiwana pojedynczej szkody Y dana jest wzorem: E Y Λ = 000 exp Λ. ( ) ( ) ( ) Parametr ryzyka Λ ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: f λ = 6λ exp 8λ. ( ) ( ) Λ E ( X ) wynosi: (A) 90.0 (B) 98.5 (C) 08.0 (D).0 (E). 5

6 Zadanie 6. Zysk techniczny towarzystwa ubezpieczeniowego za rok czasu jest równy otrzymanej składce c pomniejszonej o łączną kwotę odszkodowań W. Udziałowcy towarzystwa partycypują w formie dywidendy w połowie zysku technicznego (o ile jest on dodatni) natomiast nie partycypują w stracie technicznej. W rezultacie zysk zatrzymany ZZ (udział towarzystwa w zysku technicznym) wynosi: ZZ = c W W c ( ) + ( ) + Jeśli przyjmiemy że składka wykładniczy z wartością oczekiwaną równą, to ( ) c =, zaś łączna wartość szkód W ma rozkład E ZZ wynosi: (A) (B) (C) (D) (E) exp exp exp exp exp 6

7 Zadanie 7. Niech W = X + X X0 bedzie sumą dziesięciu niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie, o którym wiemy, że: E X EX = [ ] ( ) E [( X EX ) ] = Wobec tego moment centralny czwartego rzędu E ( EW ) wynosi: (A) 0 (B) 70 (C) 0 (D) 0 (E) 0 [ ] = W zmiennej W 7

8 Zadanie 8. Niech W = Y YN oznacza łączną wartość szkód o złożonym rozkładzie Poissona z częstotliwością szkód E ( N ) = λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody określonym na półosi nieujemnej, danym dystrybuantą F Y ( ). Oznaczmy przez σ W i γ W odpowiednio odchylenie standardowe i współczynnik skośności zmiennej W, zaś przez M maksymalną wartość szkody: M = inf m : FY m =, M < { ( ) } * Najmniejsza liczba c spośród liczb c takich, dla których przy powyższych założeniach zachodzi implikacja: M σ W ( γ W c) 8 jest równa: (A) (B) (C) (D) (E) c * = c * = c * = 8 c * = 6 ta implikacja nie jest prawdziwa dla żadnej skończonej liczby c 8

9 Zadanie 9. O rozkładzie zmiennej X wiemy, że: Pr ( X 5) =, Pr ( X 0) =, E X 0 =, [( ) + ] 0 E X ( 5, 0] = [ ] 8 X. Wobec tego [( 5) + ] E X wynosi: (A) informacja jest niewystarczająca do wyznaczenia E[ ( X 5) ] (B) (C) (D) (E) + 9

10 Zadanie 0. Zmienna losowa N opisująca liczbę zgłoszonych roszczeń w okresie roku ma rozkład ujemny dwumianowy o parametrach ( r, q) : r + k k P( N = k) = ( q) r q dla k = 0,,, K. k Każde roszczenie z prawdopodobieństwem s jest rozpatrzone w roku zgłoszenia i z prawdopodobieństwem s w roku następnym. Niech M oznacza liczbę roszczeń zgłoszonych i rozpatrzonych w tym samym roku. E ( N M = m) dana jest wzorem: (A) (B) (C) (D) (E) ( r + m) q( q( ( r + m)[ q( ] q( rq( + m q( rq( + m q( ( r + m)[ q( ] + m q( 0

11 Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko...k L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja C A B C 5 D 6 A 7 E 8 C 9 E 0 D * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.