Drgania układu o wielu stopniach swobody

Podobne dokumenty
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach

Laboratorium Mechaniki Technicznej

MECHANIKA II. Drgania wymuszone

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

MECHANIKA II. Drgania wymuszone

WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów

Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna

Projekt nr 4. Dynamika ujęcie klasyczne

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH

Fizyka 12. Janusz Andrzejewski

WYKAZ TEMATÓW Z LABORATORIUM DRGAŃ MECHANICZNYCH dla studentów semestru IV WM

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

1.5 Badanie drgań modelu cząsteczki czteroatomowej(m20)

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów

VII. Drgania układów nieliniowych

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

WYKŁAD 3. Rozdział 2: Drgania układu liniowego o jednym stopniu swobody. Część 2 Drgania z wymuszeniem harmonicznym

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

dr inż. Paweł Szeptyński materiały pomocnicze do przedmiotu MECHANIKA TEORETYCZNA DYNAMIKA - ZADANIA

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:

Drgania wymuszone - wahadło Pohla

Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

RÓWNANIE RÓśNICZKOWE LINIOWE

Mechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

Siła elektromotoryczna

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)

Badania doświadczalne drgań własnych nietłumionych i tłumionych

Ruch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

Drgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński

Ćwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC

Podstawowe człony dynamiczne

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

Wektory i wartości własne

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

MODEL DYNAMICZNY STRUKTURY ŚMIGŁOWCA Z UWZGLĘDNIENIEM WARUNKÓW KONTAKTOWYCH PODWOZIE - PODŁOŻE

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ

Promieniowanie dipolowe

Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR

Przykład 9.2. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w fundamencie

MECHANIKA OGÓLNA (II)

RUCH DRGAJĄCY RZESZOTA PRZESIEWACZA DWUCZĘSTOŚCIOWEGO**

Wektory i wartości własne

w ustalonych stopniach swobody konstrukcji. 2. Określenie częstości kołowych ω k

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Laboratorium Dynamiki Maszyn

Zasada prac przygotowanych

FIZYKA 2. Janusz Andrzejewski

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

RUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

SIŁA JAKO PRZYCZYNA ZMIAN RUCHU MODUŁ I: WSTĘP TEORETYCZNY

Ćwiczenie 6 IZOLACJA DRGAŃ MASZYNY. 1. Cel ćwiczenia

TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016

Kinematyka: opis ruchu

Drgania i fale II rok Fizyk BC

Kinematyka: opis ruchu

Układy równań liniowych

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

Ćwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe

Obwody prądu zmiennego

falowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi

POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MACHANIKI BUDOWLI

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

Analiza wpływu tłumienia wiskotycznego na charakterystyki dynamiczne belki

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Egzamin 1 Strona 1. Egzamin - AR egz Zad 1. Rozwiązanie: Zad. 2. Rozwiązanie: Koła są takie same, więc prędkości kątowe też są takie same

Fizyka 2 Wróbel Wojciech

MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia

Transkrypt:

Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach sztywności k j oraz elementów tłumiących o współczynnikach tłumienia c j (j=,,..., n+. Na poszczególne ciała działają siły harmoniczne Pi ( t = P0 i sin( ωt + ϕi o jednakowych częstościach kołowych, gdzie: P 0 amplituda siły działającej na i-te ciało, ω częstość kołowa (częstość i-tej siły i wymuszającej, φ i kąt przesunięcia fazowego i-tej siły. Pomijamy tarcie oraz zakładamy, że m i, k j oraz c j są stałe. k m x k m x k 3 k n m n x n k n+ P ( t P ( t 3 3... n n Pn ( t n+ n+ c c c 3 c n c n+ Układ złożony z n ciał układ o n stopniach swobody

Równania dynamiki układu stanowi układ n równań o postaci m && x = P + +, &&, (4.33 m x = P + + 3 3. m && x = P + +, n n n n n n+ n+ gdzie: = kx, = cx& siły z jaką element sprężysty i element tłumiący działają na ciało nr ; j k j x j x j = (, j = j (& j & j siły z jaką element sprężysty i element tłumiący działają na ciało nr j (j =, 3,..., n-; n+ n+ n c x x = c x& siły z jaką element sprężysty i element tłumiący działają na ciało nr n. n+ n+ n Układ równań (4.33, po uporządkowaniu, można zapisać w postaci m && x + ( c + c x& c x& + ( k + k x k x = P, m && x c x& + ( c + c x& c x& k x + ( k + k x k x = P, (4.34 3 3 3 3 3 3 m && x c x& + ( c + c x& k x + ( k + k x = P n n n+ n n n+ n n+ n n n+ 3 n lub w postaci macierzowej = k x,

M q&& + C q& + K q = p, (4.35 m 0 0 0 m 0 M = = diag gdzie: ( m, m,..., mn 0 0 m n macierz bezwładności (mas, (4.36 c + c c 0 0 c c + c c 0 3 3 C = 0 c3 c3 + c4 0, macierz bezwładności (mas, (4.37 0 0 0 c + c c n n n c c + c n n n+ k + k k 0 0 k k + k k 0 3 3 K = 0 k3 k3 + k4 0 macierz sztywności, (4.38 0 0 0 k + k k n n n k k + k n n n+ q = ( x, x,..., x wektor współrzędnych uogólnionych, col n p = ( P, P,..., P wektor sił uogólnionych. col n

W przypadku szczególnym, dla układu o dwóch stopniach swobody, równania dynamiki upraszczają się do postaci: m && x + ( c + c x& c x& + ( k + k x k x = P, m && x c x& c x& k x k x, (4.39 + + = 0 k m x k m x P ( t c c Przykładowy układ o stopniach swobody co w zapisie macierzowym ma postać (4.35, gdzie: m 0 M = 0 m, c + c c C = c c, q = col ( x, x, = col ( P, 0 k + k k K = k k, (4.40 p. (4.40

Gdyby dodatkowo przyjąć, że k = k = k, c = c = c, m = m = m, to uprości się do postaci: m 0 c c M = 0 m, C = c c, k k K = k k. (4.4 k =k m =m x m =m x k =k ( P t = P sinωt 0 Układ o -ch stopniach swobody wymuszany siłą harmoniczną o stałej amplitudzie

Rozwiązaniem równania (4.35, podobnie jak dla układu o stopniu swobody, jest suma całki ogólnej (p = 0 oraz całki szczególnej w rozpatrywanym przypadku przy wymuszeniach harmonicznych ( p = p 0 sinωt. Jest to zatem złożenie ruchu swobodnego oraz ruchu wymuszonego. Drgania swobodne otrzymuje się w wyniku rozwiązania równania (4.35, przy p = 0, skąd M q&& + C q& + K q = 0. (4.4 Przyjmując dalej, że pomijamy tłumienie (C = 0, otrzymujemy równanie drgań własnych (swobodnych nietłumionych o postaci M q&& + K q = 0. (4.43 Rozwiązanie powyższego równania zakładamy w postaci harmonicznej q q sinω t, (4.44 = 0 co po podstawieniu do (4.43 daje ( ω 0 ω K 0 M q0 sin 0t = 0. (4.45

Równanie (4.44 jest spełnione dla dowolnej chwili czasu, gdy ( ω 0 K M q0 = 0. (4.46 Powyższe równanie ma rozwiązania nietrywialne (niezerowe, gdy spełniony jest warunek ( ω ( 0 λ det K M = det K M = 0, (4.47 gdzie: λ = ω 0, ω0 - częstość drgań własnych układu. Równanie (4.47 przedstawia wielomian n-tego stopnia ze względu na λ, gdzie n liczba stopni swobody układu. Miejscami zerowymi (pierwiastkami tego wielomianu są λ, λ,..., λ n, którym odpowiadają częstości drgań własnych: ω0, ω0,..., ω 0n. Każdej częstości ω 0i, na podstawie (4.46, odpowiada wektor q 0i, nazywany wektorem postaci drgań własnych. Wektor postaci drgań własnych odpowiadający i-tej częstości własnej obliczamy z równania ( ω 0i Ze względu na fakt, iż ( ω0 i K M q0i = 0. (4.48 K M, wektor q 0i obliczany jest z dokładnością do stałego mnożnika. Oznacza to, że det = 0 wektor ten pomnożony przez dowolną stałą także spełnia równanie (4.48. Zwykle wektory te normuje się tak, aby pierwsza lub największa składowa tego wektora miała wartość.

Dla rozpatrywanego układu o -ch stopniach swobody (rys. 4.5 mamy: det ( K λm ( k + k k m 0 k + k λm k = det λ k k 0 m = = k k λm = ( k + k λm ( k λm k = m m λ + m k m ( k + k λ + k k =, (4.49 0 skąd otrzymujemy: ( ( mk + m k + k mk + m k + k 4mm kk λ = ω0 =, m m λ m ( ( k + m k + k + mk + m k + k 4mm kk = ω =. (4.50 0 m m Jeżeli przykładowo, dodatkowo założymy, że m m m = =, k k k = =, to otrzymamy: ( mk + mk mk + mk 4m k 3 5 k k λ = ω0 = = = 0,38 m m m λ ( mk + mk + mk + mk 4m k 3+ 5 k k = ω = = =,68, (4.5 0 m m m k k k k ω = =, ω 0 =, 68 =, 68. m m m m kąd: 0 0, 38 0, 68

Uwzględniając powyższe w (4.48, oraz przyjmując q 0 i, =, otrzymujemy: q 0, k k m 0, 38 = m =,68 k q, 0, k k m,68 = m = 0,68. (4.5a k Zatem wektory postaci drgań własnych są równe: q 0 =,68, q 0 = 0,68. (4.5b Oznacza to, że układ przy wzbudzonych częstościach drgań własnych drga jak na rysunku. Drgania własne układu o -ch stopniach swobody; częstości i postacie drgań

Drgania wymuszone sygnałem harmonicznym o postaci ( P0 i ( ωt ϕi ( P0 i, s ωt P0 i, c ωt p = col sin + = col sin + cos = ( 0 i, s ( 0 i, c = col P sinωt + col P cosωt = p sinωt + p cosωt, (4.53 0,s 0,c gdzie: p = col ( P = col ( P cosϕ, = col ( P = col ( P sinϕ 0,s 0 i, s 0i i przesunięcia fazowego wymuszenia, ω częstość wymuszenia. p 0,c 0 i, c 0i i, P 0i amplituda siły wymuszającej, i ϕ kąt Dla układów liniowych (macierze bezwładności, tłumienia i sztywności są stałe przewiduje się rozwiązania w postaci harmonicznej o postaci q = q0,s sinωt + q 0,c cosωt, (4.54 gdzie: q = col ( q = col ( q cosψ, q = col ( q = col ( q sinψ 0,s 0 i, s 0i i 0,c 0 i, c 0i i, q 0i amplituda i-tego przemieszczenia drgań wymuszonych, ψ i kąt przesunięcia fazowego i-tego przemieszczenia drgań wymuszonych, ω częstość drgań równa częstości wymuszenia. Po podstawieniu (4.53 i (4.54 do (4.35 otrzymujemy ( sin t ( K ω M q ωc q ω + K ω M q ωc q cosωt 0,s 0,c 0,c o,s = p sinωt + p 0,s 0,c cosωt (4.55

Równanie (4.55 jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy lewe i prawe strony są tożsamościowo sobie równe, a więc gdy: ( ω ( ω K M q0,s ωc q0,c = p 0,s, ω K M q0,c + C q0,s = p 0,c. (4.56 Z rozwiązania powyższego układu równań macierzowych otrzymujemy wektory przemieszczeń: ( q ( q ψ q 0,s = col 0i,s = col 0icos i, q = col( q = col( q sinψ, 0,c 0i,c 0i i skąd: q0 i, s = q0i cos ψi, q0 i, c = q0i sin ψi, a zatem: 0i 0 i, s 0 i, c q = q + q, (4.57a q ψ i = arctg q 0 i, c 0 i, s. (4.57b

Dla analizowanego przykładu układu o -ch stopniach swobody (rys. 4.53, obciążonego siłą P = Po sin ωt, przy założeniu, że masy i współczynniki sztywności są równe oraz pomijamy tłumienie, mamy: P 0 = P 0, P 0 = 0, ϕ = 0, a więc P 0 0 ( 0, P sinωt ωt ωt p = col 0 = sin = p 0,s sin. Zatem równania (4.56 przyjmują postać: k k m 0 0 0 ω ω = k k 0 m 0 0 q0,s q0,c p 0,s, (4.58a k k m 0 0 0 ω ω k k = 0 m q0,c 0 0 q0,s 0. (4.58b Z (4.58b otrzymujemy skąd: zaś z (4.58a k k m 0 ω = k k 0 m q0,s 0,s p, (4.59a k ω m k q0,s = p 0,s, (4.59b k k ω m q0,c = 0. (4.59c

Równanie (4.59a można zapisać w postaci układu dwóch równań: ( ω k m q0, s kq0, s P0 =, ( ω kq + k m q =, 0, s 0, s 0 skąd, po przekształceniach, otrzymujemy: q q k ω m = P, (4.60a k + k m k m ( ω ( ω 0, s 0 k = P. (4.60b k + k m k m ( ω ( ω 0, s 0 Można wykazać, że pierwiastkami mianownika są częstości odpowiadające częstościom drgań własnych układu: ω 0, ω 0. Zatem wykres amplitud drgań ma dwie asymptoty pionowe, jak przedstawiono na rysunku. Dla częstości rezonansowych amplituda drgań rośnie do nieskończoności (w przypadku braku tłumienia.