Wektory i wartości własne
|
|
|
- Roman Alojzy Mikołajczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1
2 Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona
3 Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą względem f, jeżeli f (w) W dla każdego w W.
4 Podprzestrzenie niezmiennicze: przykłady 1. Dla dowolnego f : V V istnieją co najmniej dwie podprzestrzenie niezmiennicze: podprzestrzeń zerowa {0} i cała przestrzeń V.
5 Podprzestrzenie niezmiennicze: przykłady 1. Dla dowolnego f : V V istnieją co najmniej dwie podprzestrzenie niezmiennicze: podprzestrzeń zerowa {0} i cała przestrzeń V. 2. Jeżeli f jest obrotem przestrzeni R 3 dokoła pewnej osi przechodzącej przez 0, to podprzestrzeniami niezmienniczymi są: oś obrotu i płaszczyzna prostopadła do osi i przechodząca przez 0.
6 Podprzestrzenie niezmiennicze: przykłady 1. Dla dowolnego f : V V istnieją co najmniej dwie podprzestrzenie niezmiennicze: podprzestrzeń zerowa {0} i cała przestrzeń V. 2. Jeżeli f jest obrotem przestrzeni R 3 dokoła pewnej osi przechodzącej przez 0, to podprzestrzeniami niezmienniczymi są: oś obrotu i płaszczyzna prostopadła do osi i przechodząca przez Jeżeli f jest jednokładnością płaszczyzny R 2 o środku w początku układu (i dowolnej skali), to każda podprzestrzeń jest niezmiennicza.
7 Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Wektor v V, v 0, spełniający związek f (v) = λv dla pewnego λ K nazywamy wektorem własnym, a odpowiadający mu skalar λ wartością własną przekształcenia liniowego f.
8 Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Wektor v V, v 0, spełniający związek f (v) = λv dla pewnego λ K nazywamy wektorem własnym, a odpowiadający mu skalar λ wartością własną przekształcenia liniowego f. Jeżeli v jest wektorem własnym, to wektory postaci αv tworzą jednowymiarową podprzestrzeń niezmienniczą.
9 Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Wektor v V, v 0, spełniający związek f (v) = λv dla pewnego λ K nazywamy wektorem własnym, a odpowiadający mu skalar λ wartością własną przekształcenia liniowego f. Jeżeli v jest wektorem własnym, to wektory postaci αv tworzą jednowymiarową podprzestrzeń niezmienniczą. Odwrotnie, jeśli W jest jednowymiarową podprzestrzenią niezmienniczą, to każdy wektor tej podprzestrzeni jest wektorem własnym.
10 Twierdzenie (o istnieniu) Jeżeli V jest skończenie wymiarową przestrzenią zespoloną, to każde przekształcenie liniowe f : V V ma przynajmniej jeden wektor własny.
11 Twierdzenie (o istnieniu) Jeżeli V jest skończenie wymiarową przestrzenią zespoloną, to każde przekształcenie liniowe f : V V ma przynajmniej jeden wektor własny. D o w ó d. Niech A = [a ij ] będzie macierzą przekształcenia f w pewnej bazie przestrzeni liniowej V. Jeżeli v = (x 1, x 2,..., x n ) jest wektorem własnym, tj. f (v) = λv dla pewnego λ K, to:
12 Twierdzenie (o istnieniu) Jeżeli V jest skończenie wymiarową przestrzenią zespoloną, to każde przekształcenie liniowe f : V V ma przynajmniej jeden wektor własny. D o w ó d. Niech A = [a ij ] będzie macierzą przekształcenia f w pewnej bazie przestrzeni liniowej V. Jeżeli v = (x 1, x 2,..., x n ) jest wektorem własnym, tj. f (v) = λv dla pewnego λ K, to: Av T = λv T (v T oznacza macierz jednokolumnową transpozycję wektora v).
13 Ta równość wektorowa jest równoważna układowi równań: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = λx 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = λx 2, (1) a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = λx n
14 Ta równość wektorowa jest równoważna układowi równań: czyli a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = λx 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = λx 2, (1) a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = λx n (a 11 λ)x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + (a 22 λ)x a 2n x n = a n1 x 1 + a n2 x (a nn λ)x n = 0. (2)
15 Układ taki ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy liczba λ spełnia warunek: a 11 λ a 12 a 1n a 12 a 22 λ a 2n = 0. (3) a n1 a n2 a nn λ
16 Układ taki ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy liczba λ spełnia warunek: a 11 λ a 12 a 1n a 12 a 22 λ a 2n = 0. (3) a n1 a n2 a nn λ Lewa strona tej równości jest wielomianem zmiennej λ stopnia n. Na mocy zasadniczego twierdzenia algebry równanie (3) ma co najmniej jeden pierwiastek λ 0.
17 Układ taki ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy liczba λ spełnia warunek: a 11 λ a 12 a 1n a 12 a 22 λ a 2n = 0. (3) a n1 a n2 a nn λ Lewa strona tej równości jest wielomianem zmiennej λ stopnia n. Na mocy zasadniczego twierdzenia algebry równanie (3) ma co najmniej jeden pierwiastek λ 0. Jeżeli (x 1, x 2,..., x n ) jest jakimkolwiek rozwiązaniem niezerowym układu otrzymanego z układu (2) po podstawieniu λ = λ 0, to wektor (x 1, x 2,..., x n ) jest własny.
18 Równanie a 11 λ a 12 a 1n a 12 a 22 λ a 2n a n1 a n2 a nn λ = 0. (4) można zapisać krótko:
19 Równanie a 11 λ a 12 a 1n a 12 a 22 λ a 2n a n1 a n2 a nn λ = 0. (4) można zapisać krótko: det(a λi) = 0 lub
20 Równanie a 11 λ a 12 a 1n a 12 a 22 λ a 2n a n1 a n2 a nn λ = 0. (4) można zapisać krótko: lub det(a λi) = 0 A λi = 0. Nazywamy je równaniem charakterystycznym przekształcenia f, a wielomian tworzący lewą stronę tego równania wielomianem charakterystycznym przekształcenia f.
21 Podprzestrzenie własne Jeżeli do zbioru wektorów własnych odpowiadających wartości własnej λ dołączymy wektor zerowy, to otrzymamy podprzestrzeń. Definicja Dla danej wartości własnej λ zbiór rozwiązań równania Av T = λv T jest podprzestrzenią (bo jest to zbiór rozwiązań układu jednorodnego). Nazywamy ją podprzestrzenią własną i oznaczamy E λ.
22 Podprzestrzenie własne Jeżeli do zbioru wektorów własnych odpowiadających wartości własnej λ dołączymy wektor zerowy, to otrzymamy podprzestrzeń. Definicja Dla danej wartości własnej λ zbiór rozwiązań równania Av T = λv T jest podprzestrzenią (bo jest to zbiór rozwiązań układu jednorodnego). Nazywamy ją podprzestrzenią własną i oznaczamy E λ. Wymiar podprzestrzeni E λ nazywamy geometryczną krotnością wartości własnej. Może ona być mniejsza od krotności algebraicznej, tj. krotności wartości własnej jako pierwiastka równania charakterystycznego.
23 Przykład 1. Obliczyć wartości i wektory własne macierzy: A =
24 Przykład 1. Obliczyć wartości i wektory własne macierzy: A = Piszemy równanie charakterystyczne: 1 λ λ 1 = 0, λ czyli λ λ 12 = 0.
25 Przykład 1. Obliczyć wartości i wektory własne macierzy: A = Piszemy równanie charakterystyczne: 1 λ λ 1 = 0, λ czyli λ λ 12 = 0. Pierwiastkami tego równania są 4, 1, 3. Macierz ma więc trzy wartości własne. Obliczymy teraz wektory własne.
26 Dla λ = 4 układ (2) przyjmuje postać: 5x + 3y = 0 3x + 2y z = 0 y + 5z = 0 Rozwiązaniem układu są liczby x = 3k, y = 5k, z = k (k R). Zatem wektory własne są postaci k( 3, 5, 1) (k R)..
27 Analogicznie, dla λ = 1 układ (2) przyjmuje postać: 3y = 0 3x 3y z = 0 y = 0 Znajdujemy: x = k, y = 0, z = 3k (k R). Zatem wektory własne są postaci k(1, 0, 3), k R..
28 Dla λ = 3 mamy: 2x + 3y = 0 3x 5y z = 0 y 2z = 0 skąd x = 3k, y = 2k, z = k (k R). Wektory własne: k(3, 2, 1), k R.,
29 Macierze podobne Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Macierze A i B nazywamy podobnymi, gdy istnieje taka macierz nieosobliwa P, że B = P 1 AP.
30 Macierze podobne Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Macierze A i B nazywamy podobnymi, gdy istnieje taka macierz nieosobliwa P, że B = P 1 AP. Twierdzenie Jeżeli macierze A i B są podobne, to mają ten sam wyznacznik, ten sam rząd, ten sam wielomian charakterystyczny i te same wartości własne.
31 Macierze podobne Podprzestrzenie niezmiennicze D o w ó d (częściowy). Niech B = P 1 AP dla pewnej macierzy nieosobliwej P. Wtedy
32 Macierze podobne Podprzestrzenie niezmiennicze D o w ó d (częściowy). Niech B = P 1 AP dla pewnej macierzy nieosobliwej P. Wtedy det B =
33 Macierze podobne Podprzestrzenie niezmiennicze D o w ó d (częściowy). Niech B = P 1 AP dla pewnej macierzy nieosobliwej P. Wtedy det B = det(p 1 AP) =
34 Macierze podobne Podprzestrzenie niezmiennicze D o w ó d (częściowy). Niech B = P 1 AP dla pewnej macierzy nieosobliwej P. Wtedy det B = det(p 1 AP) = det P 1 det A det P =
35 Macierze podobne Podprzestrzenie niezmiennicze D o w ó d (częściowy). Niech B = P 1 AP dla pewnej macierzy nieosobliwej P. Wtedy det B = det(p 1 AP) = det P 1 det A det P = 1 det A det P = det P
36 Macierze podobne Podprzestrzenie niezmiennicze D o w ó d (częściowy). Niech B = P 1 AP dla pewnej macierzy nieosobliwej P. Wtedy det B = det(p 1 AP) = det P 1 det A det P = 1 det A det P = det A det P
37 Macierze podobne Podprzestrzenie niezmiennicze D o w ó d (częściowy). Niech B = P 1 AP dla pewnej macierzy nieosobliwej P. Wtedy det B = det(p 1 AP) = det P 1 det A det P = 1 det A det P = det A det P więc wyznacznik jest ten sam.
38 Macierze podobne Podprzestrzenie niezmiennicze Sprawdzimy jeszcze równość wielomianów charakterystycznych: det(p 1 AP λi) = det(p 1 AP P 1 λip) =
39 Macierze podobne Podprzestrzenie niezmiennicze Sprawdzimy jeszcze równość wielomianów charakterystycznych: det(p 1 AP λi) = det(p 1 AP P 1 λip) = = det(p 1 (A λi)p) =
40 Macierze podobne Podprzestrzenie niezmiennicze Sprawdzimy jeszcze równość wielomianów charakterystycznych: det(p 1 AP λi) = det(p 1 AP P 1 λip) = = det(p 1 (A λi)p) = = det(p 1 ) det(a λi) det P =
41 Macierze podobne Podprzestrzenie niezmiennicze Sprawdzimy jeszcze równość wielomianów charakterystycznych: det(p 1 AP λi) = det(p 1 AP P 1 λip) = = det(p 1 (A λi)p) = = det(p 1 ) det(a λi) det P = = det(a λi).
42 Działania na macierzach diagonalnych Potęgowanie macierzy diagonalnej: λ λ λ λ n n = λ n λ n λ n λ n n,
43 Działania na macierzach diagonalnych Jeśli p(t) jest wielomianem, a A jest macierzą diagonalną, to ( p λ λ λ λ n ) = p(λ 1 ) p(λ 2 ) p(λ 3 ) p(λ n )
44 Działania na macierzach podobnych do diagonalnych Jeśli A = P 1 BP, gdzie det P 0, to dla dowolnego n N:
45 Działania na macierzach podobnych do diagonalnych Jeśli A = P 1 BP, gdzie det P 0, to dla dowolnego n N: A n = (P 1 BP) n = P 1 BP P 1 BP P 1 BP = P 1 B n P,
46 Działania na macierzach podobnych do diagonalnych Jeśli A = P 1 BP, gdzie det P 0, to dla dowolnego n N: A n = (P 1 BP) n = P 1 BP P 1 BP P 1 BP = P 1 B n P, a w konsekwencji dla dowolnego wielomianu p(t): p(a) = P 1 p(b)p.
47 Działania na macierzach podobnych do diagonalnych Jeśli A = P 1 BP, gdzie det P 0, to dla dowolnego n N: A n = (P 1 BP) n = P 1 BP P 1 BP P 1 BP = P 1 B n P, a w konsekwencji dla dowolnego wielomianu p(t): p(a) = P 1 p(b)p. Jeśli więc macierz B jest diagonalna (wtedy P nazywamy macierzą diagonalizującą), to powyższa równość daje możliwość łatwego obliczania potęg i wielomianów macierzy A. Wykonujemy czynności:
48 Działania na macierzach podobnych do diagonalnych Jeśli A = P 1 BP, gdzie det P 0, to dla dowolnego n N: A n = (P 1 BP) n = P 1 BP P 1 BP P 1 BP = P 1 B n P, a w konsekwencji dla dowolnego wielomianu p(t): p(a) = P 1 p(b)p. Jeśli więc macierz B jest diagonalna (wtedy P nazywamy macierzą diagonalizującą), to powyższa równość daje możliwość łatwego obliczania potęg i wielomianów macierzy A. Wykonujemy czynności: obliczamy potęgę (lub wielomian) macierzy diagonalnej;
49 Działania na macierzach podobnych do diagonalnych Jeśli A = P 1 BP, gdzie det P 0, to dla dowolnego n N: A n = (P 1 BP) n = P 1 BP P 1 BP P 1 BP = P 1 B n P, a w konsekwencji dla dowolnego wielomianu p(t): p(a) = P 1 p(b)p. Jeśli więc macierz B jest diagonalna (wtedy P nazywamy macierzą diagonalizującą), to powyższa równość daje możliwość łatwego obliczania potęg i wielomianów macierzy A. Wykonujemy czynności: obliczamy potęgę (lub wielomian) macierzy diagonalnej; przemnażamy przez P i P 1.
50 Przykład. Dla macierzy [ ] 2 1 A =, P = 3 4 [ ]
51 Przykład. Dla macierzy [ ] 2 1 A =, P = 3 4 [ ] mamy P 1 = 1 4 [ ], A = P [ ] P 1
52 Przykład. Dla macierzy [ ] 2 1 A =, P = 3 4 [ ] mamy P 1 = 1 4 [ ], A = P [ ] P 1 Stąd np. A 20 = P [ ] P 1 = 1 4 [ ]
53 Przykład 2. Dla macierzy A = , P =
54 Przykład 2. Dla macierzy A = , P = mamy A = P P 1
55 Przykład 2. Dla macierzy A = , P = mamy Stąd np. A = P A 10 = P P 1 P 1
56 Twierdzenie Niech A będzie macierzą mającą n liniowo niezależnych wektorów własnych v 1, v 2,..., v n. Niech λ i będzie wartością własną odpowiadającą wektorowi własnemu v i (dla i = 1, 2,..., n), tj. Av T i = λ i v T i.
57 Twierdzenie Niech A będzie macierzą mającą n liniowo niezależnych wektorów własnych v 1, v 2,..., v n. Niech λ i będzie wartością własną odpowiadającą wektorowi własnemu v i (dla i = 1, 2,..., n), tj. Av T i = λ i v T i. Utwórzmy macierz P, której kolumnami są wektory v T 1, vt 2,..., vt n : P = [ v T 1 v T 2... v T n ].
58 Twierdzenie Niech A będzie macierzą mającą n liniowo niezależnych wektorów własnych v 1, v 2,..., v n. Niech λ i będzie wartością własną odpowiadającą wektorowi własnemu v i (dla i = 1, 2,..., n), tj. Av T i = λ i v T i. Utwórzmy macierz P, której kolumnami są wektory v T 1, vt 2,..., vt n : Wówczas: P = [ v T 1 v T 2... v T n ]. P 1 AP = λ λ λ λ n czyli macierz A jest podobna do macierzy diagonalnej.
59 Przykład diagonalizacji Weźmy macierz z Przykładu 1: A =
60 Przykład diagonalizacji Weźmy macierz z Przykładu 1: A = Z jej wektorów własnych tworzymy macierz P: P =
61 Przykład diagonalizacji Weźmy macierz z Przykładu 1: A = Z jej wektorów własnych tworzymy macierz P: P = Jej macierz odwrotna to: P 1 =
62 Mamy zatem =
63 Mamy zatem = A więc np =
64 Przykład 3. Wyznaczyć wektory własne dla A =
65 Przykład 3. Wyznaczyć wektory własne dla A = Wielomian charakterystyczny: 4 λ 5 2 k1+k2+k3 c(λ) = 5 7 λ 3 = λ = (1 λ) 1 7 λ 3 = = (1 λ)λ λ Zatem wartości własne to 0 i λ λ 7 λ 3 1 λ 9 4 λ
66 Dla λ = 0 rozwiązujemy (metodą eliminacji) układ jednorodny o macierzy A 0 I = A. Otrzymujemy tylko jeden wektor v = (a, 2a, 3a) = a(1, 2, 3) mimo, że krotność wartości własnej wynosi 2.
67 Dla λ = 0 rozwiązujemy (metodą eliminacji) układ jednorodny o macierzy A 0 I = A. Otrzymujemy tylko jeden wektor v = (a, 2a, 3a) = a(1, 2, 3) mimo, że krotność wartości własnej wynosi 2. Dla λ = 1 rozwiązujemy (metodą eliminacji) układ jednorodny o macierzy A 1 I. Otrzymujemy wektor v = (b, b, b) = b(1, 1, 1).
68 Dla λ = 0 rozwiązujemy (metodą eliminacji) układ jednorodny o macierzy A 0 I = A. Otrzymujemy tylko jeden wektor v = (a, 2a, 3a) = a(1, 2, 3) mimo, że krotność wartości własnej wynosi 2. Dla λ = 1 rozwiązujemy (metodą eliminacji) układ jednorodny o macierzy A 1 I. Otrzymujemy wektor v = (b, b, b) = b(1, 1, 1). Tym razem jest za mało wektorów, aby przeprowadzić diagonalizację.
69 Dla λ = 0 rozwiązujemy (metodą eliminacji) układ jednorodny o macierzy A 0 I = A. Otrzymujemy tylko jeden wektor v = (a, 2a, 3a) = a(1, 2, 3) mimo, że krotność wartości własnej wynosi 2. Dla λ = 1 rozwiązujemy (metodą eliminacji) układ jednorodny o macierzy A 1 I. Otrzymujemy wektor v = (b, b, b) = b(1, 1, 1). Tym razem jest za mało wektorów, aby przeprowadzić diagonalizację. Uwaga. Wartość własna λ = 0 ma krotność algebraiczną 2, ale krotność geometryczną 1.
70 Z poprzedniego przykładu widać, że nie wszystkie macierze mają wystarczającą liczbę wektorów własnych (mogą ich wcale nie mieć; przykładem jest np. macierz obrotu).
71 Z poprzedniego przykładu widać, że nie wszystkie macierze mają wystarczającą liczbę wektorów własnych (mogą ich wcale nie mieć; przykładem jest np. macierz obrotu). Twierdzenie o istnieniu zapewnia wprawdzie, że każda macierz ma zespoloną wartość własną, ale:
72 Z poprzedniego przykładu widać, że nie wszystkie macierze mają wystarczającą liczbę wektorów własnych (mogą ich wcale nie mieć; przykładem jest np. macierz obrotu). Twierdzenie o istnieniu zapewnia wprawdzie, że każda macierz ma zespoloną wartość własną, ale: 1 nie wynika z tego istnienie n niezależnych liniowo wektorów własnych;
73 Z poprzedniego przykładu widać, że nie wszystkie macierze mają wystarczającą liczbę wektorów własnych (mogą ich wcale nie mieć; przykładem jest np. macierz obrotu). Twierdzenie o istnieniu zapewnia wprawdzie, że każda macierz ma zespoloną wartość własną, ale: 1 nie wynika z tego istnienie n niezależnych liniowo wektorów własnych; 2 w praktyce, gdy macierz jest rzeczywista szukamy tylko rzeczywistych wartości własnych, których może wcale nie być.
74 Przykład 4. Macierz A = ma wielomian charakterystyczny c(λ) = (3 λ)(λ 2 2λ + 2).
75 Przykład 4. Macierz A = ma wielomian charakterystyczny c(λ) = (3 λ)(λ 2 2λ + 2). Jest tylko jedna wartość własna, i jeden wektor własny (0, 0, 1).
76 Macierze symetryczne Twierdzenie Niech A będzie rzeczywistą macierzą symetryczną (tj. A = A T ). Wtedy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i istnieje n wartości własnych (licząc z krotnościami) oraz n liniowo niezależnych wektorów własnych v 1, v 2,..., v n.
77 Macierze symetryczne Twierdzenie Niech A będzie rzeczywistą macierzą symetryczną (tj. A = A T ). Wtedy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i istnieje n wartości własnych (licząc z krotnościami) oraz n liniowo niezależnych wektorów własnych v 1, v 2,..., v n. Wniosek Każda macierz symetryczna jest podobna do macierzy diagonalnej.
78 Macierze symetryczne Prawdziwość twierdzenia pokażemy na przykładzie macierzy stopnia 2. Macierz [ ] a b b c
79 Macierze symetryczne Prawdziwość twierdzenia pokażemy na przykładzie macierzy stopnia 2. Macierz [ ] a b b c ma wielomian charakterystyczny c(λ) = λ 2 (a + c)λ + (ac b 2 ).
80 Macierze symetryczne Prawdziwość twierdzenia pokażemy na przykładzie macierzy stopnia 2. Macierz [ ] a b b c ma wielomian charakterystyczny c(λ) = λ 2 (a + c)λ + (ac b 2 ). Wyróżnik = (a c) 2 + 4b 2 jest nieujemny.
81 Macierze symetryczne Prawdziwość twierdzenia pokażemy na przykładzie macierzy stopnia 2. Macierz [ ] a b b c ma wielomian charakterystyczny c(λ) = λ 2 (a + c)λ + (ac b 2 ). Wyróżnik = (a c) 2 + 4b 2 jest nieujemny. Gdy > 0, to wielomian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, czyli istnieją dwie wartości własne, a więc dwa liniowo niezależne wektory własne.
82 Macierze symetryczne Prawdziwość twierdzenia pokażemy na przykładzie macierzy stopnia 2. Macierz [ ] a b b c ma wielomian charakterystyczny c(λ) = λ 2 (a + c)λ + (ac b 2 ). Wyróżnik = (a c) 2 + 4b 2 jest nieujemny. Gdy > 0, to wielomian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, czyli istnieją dwie wartości własne, a więc dwa liniowo niezależne wektory własne. Gdy = 0, to macierz A λi jest diagonalna, i każdy wektor jest własny.
83 Macierze symetryczne Przykład. Macierz A = ma wielomian charakterystyczny c(λ) = (λ + 1) 2 (λ 2). Wektory własne: dla λ = 1: (1, 1, 0) T, (1, 0, 1) T ; dla λ = 2: (1, 1, 1) T.
84 Macierze symetryczne Tworzymy macierz P z wektorów własnych macierzy A: P = i znajdujemy jej odwrotność: P 1 =
85 Macierze symetryczne Tworzymy macierz P z wektorów własnych macierzy A: P = i znajdujemy jej odwrotność: P 1 = 1 3 Wtedy zachodzi równość P 1 AP =
86 Ślad macierzy Podprzestrzenie niezmiennicze Można wykazać, że suma wszystkich wartości własnych macierzy jest równa sumie elementów przekątnej głównej tej macierzy. Definicja Śladem macierzy A = [a ij ] nazywamy sumę elementów jej przekątnej głównej.
87 Ślad macierzy Podprzestrzenie niezmiennicze Można wykazać, że suma wszystkich wartości własnych macierzy jest równa sumie elementów przekątnej głównej tej macierzy. Definicja Śladem macierzy A = [a ij ] nazywamy sumę elementów jej przekątnej głównej. Oznaczenie: tr A. Zatem z definicji: tr A = n a ii, i=1 oraz jak można wykazać tr A = n i=1 λ i.
88 Każda macierz spełnia swoje równanie charakterystyczne. Twierdzenie (Cayleya Hamiltona) Jeżeli A jest macierzą kwadratową, a c(λ) jest jej wielomianem charakterystycznym, to c(a) = O. D o w ó d. Niech A = [a ij ] będzie macierzą stopnia n i niech c(λ) = det(a λi) = c n λ n + c n 1 λ n c 1 λ + c 0. Dopełnienia algebraiczne macierzy A λi są wielomianami zmiennej λ stopnia (co najwyżej) n 1. Zatem [(A λi) ij ] T = D n 1 λ n D 1 λ + D 0, gdzie D i są macierzami stopnia n.
89 Ponieważ (A λi)[(a λi) ij ] T = det(a λi) I = c(λ)i, więc c(λ)i = (A λi)(d n 1 λ n D 1 λ + D 0 ) = = D n 1 λ n 1 + (AD n 1 D n 2 )λ n 1 + (AD 1 D 0 )λ + AD
90 ale z drugiej strony: c(λ)i = c(λ) c(λ) c(λ) = = (c n I)λ n + (c n 1 I)λ n (c 1 I)λ + c 0 I.
91 Po porównaniu mamy: D n 1 = c n I AD n 1 D n 2 = c n 1 I... AD 2 D 1 = c 2 I AD 1 D 0 = c 1 I AD 0 = c 0 I. Przez pomnożenie tych równości (z lewej strony) przez A n,..., A 2, A, I odpowiednio otrzymujemy:
92 A n D n 1 = c n A n A n D n 1 A n 1 D n 2 = c n 1 A n 1... A 3 D 2 A 2 D 1 = c 2 A 2 A 2 D 1 AD 0 = c 1 A AD 0 = c 0 I, a po dodaniu stronami uzyskujemy: c n A n + c n 1 A n c 1 A 1 + c 0 I = O.
93 Twierdzenie Cayleya Hamiltona ułatwia obliczanie wielomianów macierzowych, gdyż pozwala zredukować stopień wielomianu. Wniosek Jeżeli f (λ) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach z ciała K, A jest macierzą kwadratową stopnia n, to istnieje wielomian r(λ) stopnia mniejszego od n, dla którego f (A) = r(a). D o w ó d. Z twierdzenia o dzieleniu wielomianów z resztą wynika, że istnieją takie wielomiany g(λ) i r(λ), że f (λ) = c(λ)g(λ) + r(λ), przy czym r(λ) jest stopnia mniejszego niż n = deg c(λ). Zatem f (A) = c(a)g(a) + r(a), czyli f (A) = r(a), bo c(a) = O.
94 1. Sprawdzić twierdzenie Cayleya Hamiltona dla macierzy: [ ] 2 1 A =. 1 3 Tutaj c(λ) = λ 2 5λ + 7, A = [ A 2 5A + 7 = 0. ]. Łatwo sprawdzić, że
95 2. Obliczyć A 6 25A A, posługując się twierdzeniem Cayleya Hamiltona, gdy A = Tutaj f (λ) = λ 6 25λ , c(λ) = λ 3 + 4λ 2 5λ 2. Wielomian f (λ) po podzieleniu przez c(λ) daje iloraz λ 3 4λ 2 11λ 22 i resztę 20λ 44. Zatem A 6 25A A = 20A 44I =
96 Z twierdzenia Cayleya Hamiltona wynika, że każda macierz kwadratowa stopnia n spełnia pewne równanie stopnia n. Ale niektóre macierze spełniają również pewne równanie stopnia mniejszego niż n. Definicja Niech A będzie macierzą kwadratową. Wielomian m(λ) taki, że m(a) = 0, nazywamy wielomianem minimalnym, jeśli nie istnieje wielomian stopnia mniejszego niż deg m(t) mający tę samą własność. Łatwo wykazać, że c(λ) musi być podzielny przez m(λ). Trudniej, że m(λ) ma dokładnie takie same pierwiastki co c(λ), co najwyżej z mniejszymi krotnościami. W szczególności, jeśli c(λ) ma pierwiastki jednokrotne, to m(λ) = c(λ).
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Macierze. Układy równań.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Własności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
![3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B](/thumbs/73/69286698.jpg "3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B")
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Endomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Wartości i wektory własne
Rozdział 7 Wartości i wektor własne Niech X będzie skończenie wmiarową przestrzenią liniową nad ciałem F = R lub F = C. Niech f : X X będzie endomorfizmem, tj. odwzorowaniem liniowm przekształającm przestrzeń
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje
D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla
jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
, A T = A + B = [a ij + b ij ].
![, A T = A + B = [a ij + b ij ].](/thumbs/98/137554993.jpg ", A T = A + B = [a ij + b ij ].")
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Postać Jordana macierzy
Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =
Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Kombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =
Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
![det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...](/thumbs/93/111637753.jpg "det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...")
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
MACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3
3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Formy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA M1 Nazwa w języku angielskim ALGEBRA M1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Stopień studiów
wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,