Lista nr 1 - Liczby zespolone

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Lista nr 1 - Liczby zespolone"

Ignacy Szymański
5 lat temu
Przeglądów:

1 Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić w postaci trygonometrycznej: a) 5+i +3i b*) + sin α i cos α c) ( 6 i ) 6 ( i) 7 i99 ( ) 0 i +i 3 e) ( i 3) 6 (+i 3) 9 Zadanie 3. Przedstawić w postaci algebraicznej: a) ( cos π 5 i sin π 5 3 5i ) 5 c) + i (z definicji pierwiastka zespolonego) 4 6 Zadanie 4. Rozwiązać równanie: a) z = 0 z + ( + i)z + + i = 0 c) z 4 3z + 4 = 0 i (z + z) + i (z z) = i 3 e) (z + i) 3 = 3+i + 3i f) z + z = + i g) iz + ( + i)z = 0 h) z 3 = ( 3i) 6 i*) z 6 = ( + 3i)

2 j) (z) 3 iz = 0 k) z = z z i l) z 3z = 3 i m) z 4 iz + = 0 n) ( + i) 4 z 4 = o) (z) 3 i = Zadanie 5. Naszkicować zbiór liczb zespolonych spełniających warunek: a) π 3 < arg(z + i) < π π < arg(z 3 ) < 3 π c) z i + 5 > 3 Re(z + ) > 0 e) f) { < z + i < Im(iz) < { z z i > π < arg(z) < π g) Re[z ( i)] h*) z i + z + i 4 i) z Imz + 3

3 Lista nr - Wielomiany, funkcje wymierne Zadanie 6. Udowodnić, że jeżeli liczba z jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to również z jest jego pierwiastkiem. Zadanie 7. Liczba i jest jednym z pierwiastków wielomianu f(z) = z 4 +z 3 +z +z +. Znaleźć pozostałe pierwiastki. Zadanie 8. Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu f(z) = z 3 3z + z. Rozłożyć f na czynniki liniowe. Zadanie 9. Rozłożyć na czynniki liniowe wielomian f(z) = z 4 6z 3 + 5z 8z + 0, jeżeli wiadomo, że liczba + i jest jednym z jego pierwiastków. Zadanie 0. Nie wykonując dzielenia znaleźć resztę z dzielenia wielomianu f(z) = z 0 z 55 + przez wielomian p(z) = z +. Zadanie. Funkcję wymierną (właściwą) f przedstawić w postaci sumy ułamków prostych: a) f(x) = x x 3 +x 4x 4 f(x) = x(x +) c) f(x) = +x3 (x x ) f(x) = x 5 x 4 +x 3 x +x e*) f(x) = +x x 4 +8 f) 4x3 3x x+ x 4 x 3, g) x x 3 x 4x+3, Zadanie. Funkcję wymierną f przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych: a) f(x) = 5x x f(x) = x4 x 3 +x 3

4 Lista nr 3 - Macierze i wyznaczniki Zadanie 3. Obliczyć wyznacznik: a) i 4 i (wyznacznik n n, odp: ( ) n (n )) c) (odp: 99) cos(φ) sin(θ) sin(φ) sin(θ) cos(θ) r sin(φ) sin(θ) cos(φ) sin(θ) 0 r cos(φ) cos(θ) r sin(φ) sin(θ) r sin(θ) (odp: r sin(θ)) Zadanie 4. Wyznaczyć wszystkie α R, dla których macierz A = α 0 α 0 jest nieosobliwa. Dla α = wyznaczyć dwoma metodami A. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że A A = A A = I. Zadanie 5. Rozwiązać równanie, gdzie X R n k : ( ) ( ) 3 3 a) X + = X 0 0 ( ) X 0 3 = 0 0 ( ) c) T X = (stosować operacje elementarne) X = X + Zadanie 6. Wyznaczyć rząd macierzy: T 0 a) α α α 0, gdzie α R jest parametrem α α 4

5 Lista nr 4 - Układy równań liniowych, twierdzenie Kroneckera- Capellego Zadanie 7. Sprawdzić, czy układ równań jest układem Cramera: x + 3y = x + y + 5z + t = a) Wyznaczyć x i t. x + y + 3t = 3 x + y + 3z = 3 3x + y + z + t = 0 3x + 3y + z + t = 0 3x + 3y + 3z + t = 0 3x + 3y + 3z + 3t = 3 Wyznaczyć y i z. Zadanie 8. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań: x + y + z = 3x + 7y + 6z = 3 a) x + 3y + 4z = x + 3y z = x + 4y + 7z = 5y + z = 0 3x y + z + w = 7 y + w = x z = ( a)x + y + z = 0 Zadanie 9. Dla jakich wartości parametru a układ równań x + ( a)y + z = 0 x + y + ( a)z = 0 rozwiązania? Wyznaczyć te rozwiązania. ma niezerowe mx + y + z = 4 Zadanie 0. Dany jest układ równań x + my + z = 4m, gdzie m R jest parametrem. Wyznaczyć x + y + mz = 4m te wartości m, dla których układ ten jest układem Cramera. Następnie dla m = rozwiązać ten układ stosując: wzory Cramera, metodę macierzy odwrotnej, metodę eliminacji Gaussa. Zadanie. Zbadać rozwiązywalność układu równań. Wyznaczyć, jeśli istnieją, rozwiązania (a R - parametr): x + y = a) x + 3y = 5 4x + 5y = 7 c) x y + z + w = x y + z w = x y + z + 5w = 5 ax + ay + az = 5 x + 3y + az = 5 x + y + z = 3 ax 4y = 0 x + 3y = a + 5x y = 9 5

6 x + y z + 4t = e) x y + z + t = x + 7y 4z + t = a y + z + u + 3v = x + y + 3z + v = Zadanie. Zbadać rozwiązywalność układu równań x + z + u + 5v = 5 x y z + u + 4v = 4. 6

7 Lista nr 5 - Macierze blokowe, wektory i wartości własne macierzy Zadanie 3. Wykorzystując postać blokową obliczyć A : a) A = A = Zadanie 4. Wykorzystując postać blokową obliczyć det B, gdzie B = Zadanie 5. Sprawdzić, czy macierz jest ortogonalna, tzn. A T = A : cos(x) 0 sin(x) a) A = 0 0 sin(x) 0 cos(x) 0 0 B = Zadanie 6. Znaleźć wektory i wartości własne macierzy: ( ) 0 a) A = B = c) C = Sprawdzić, że macierz jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego Zadanie 7. Rozwiązując odpowiednie równanie macierzowe znaleźć macierz A 3 3 znając jej wartości własne λ =, λ =, λ 3 = i odpowiadające im wektory własne x = 0, x =, x 3 =

Podobne dokumenty

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone