Analiza wpływu tłumienia wiskotycznego na charakterystyki dynamiczne belki

Transkrypt

1 Analiza wpływu tłumienia wiskotycznego na charakterystyki dynamiczne belki Roman Lewandowski, Mariusz Wróbel, Radosław PyŜanowski Poznań, maj 2009 Strona 1

2 1 Wstęp Kładki dla pieszych to zazwyczaj konstrukcje o duŝej rozpiętości i duŝej podatności dynamicznej. Częstości drgań własnych kładek są niskie, a piesi poruszający się po kładce mogą wywoływać drgania o duŝych amplitudach. Piesi mogą wzbudzić drgania pionowe kładki o duŝych amplitudach jeŝeli wartość jednej z częstości drgań własnych kładki będzie w przedziale: 1,6 2,4 Hz (10,0 15,0 rad/s). W nowoczesnych rozwiązaniach konstrukcyjnych amplitudy drgań omawianych kładek zmniejsza się wprowadzając róŝnego rodzaju tłumiki drgań. W tym celu często stosuje się masowe tłumiki drgań [1]. MoŜliwe jest równieŝ zastosowanie innego typu tłumików, np. tłumików wiskotycznych [1]. Analiza moŝliwości tłumienia drgań kładek za pomocą tłumików wiskotycznych jest przedmiotem niniejszego opracowania. Tłumik wiskotyczny składa się z cylindra wypełnionego lepką cieczą. W cylindrze umieszczony jest tłok z otworami przez które, w trakcie ruchu tłoka względem cylindra, przepływa ciecz. PoniewaŜ otwory w cylindrze są małe więc przepływ cieczy wymaga pokonano stosunkowo duŝych sił oporu. Przykładowy sposób wbudowania tłumika w belkę pokazano na Rys. 1. Cylinder tłumika i tłok, za pośrednictwem tłoczyska, są połączone z dwoma punktami belki (porównaj Rys. 1). RóŜnice przemieszczeń tych punktów decydują zarówno o względnych przemieszczeniach tłoka w cylindrze jak i względnych prędkościach przemieszczeń, a tym samym o moŝliwościach rozpraszania energii przez tłumik wiskotyczny. Wielkość sił tłumienia zaleŝy takŝe od wartości współczynnika tłumienia. Zachowanie tłumika wiskotycznego opisuje równanie:, (1) gdzie symbolami, i oznaczono odpowiednio siłę w tłumiku, współczynnik tłumienia tłumika oraz względną prędkość przemieszczenia tłumika względem cylindra. h Ct Ct Ct Rys. 1 Schemat obliczeniowy belki z wbudowanymi tłumikami drgań Właściwości dynamiczne konstrukcji zazwyczaj charakteryzuje się za pomocą częstości i postaci drgań własnych oraz bezwymiarowych współczynników tłumienia modalnego. Tą ostatnią wielkość ustala się zazwyczaj doświadczalnie ze względu na brak odpowiednio prostego i precyzyjnego modelu teoretycznego opisującego właściwości tłumiące konstrukcji. Bezwymiarowy współczynnik tłumienia moŝna jednak stosunkowo precyzyjnie wyznaczyć dla konstrukcji z tłumikami drgań poniewaŝ parametry tłumików są dobrze określone. Celem niniejszego opracowania jest analiza wpływu współczynnika tłumienia na wspomniane powyŝej charakterystyki dynamiczne konstrukcji. W charakterze przykładu rozpatruje się belkę swobodnie podpartą z wbudowanymi trzema wiskotycznymi tłumikami drgań tak jak to pokazano na Rys. 1. Strona 2

3 2 Charakterystyki dynamiczne kładki 2.1 Model obliczeniowy kładki Kładka traktowana jest jako belka swobodnie podparta o rozpiętości L=48,0 m. Dźwigar główny kładki wykonany jest z blachownicy stalowej (rura prostokątna o wymiarach: a) zewnętrzne: H=1,6 m B=0,6 m b)wewnętrzne: h=1,5 m b=0,58 m) nie współpracującej z pomostem. Sztywność giętna dźwigara wynosi 1, W obliczeniach dynamicznych zastosowano model belki z masami skupionymi, rozmieszczonymi co 3.0 m. Na masę jednostkową kładki składają się: masa dźwigara, stęŝeń poprzecznych i wyposaŝenia (balustrada, dyle drewniane). Masa jednostkowa belki jest równa 2152,0 kg/m. Wartość pojedynczej masy skupionej jest równa 6456,2 kg. Schemat dynamiczny belki pokazano na Rys. 2. M M M M M M M M M M M M M M M Rys. 2 Schemat dynamiczny belki Maksymalne napręŝenie wywołane cięŝarem własnym kładki wynosi: 7,37 / 29,5 /. W obliczeniach pomija się bezwładność obrotową mas skupionych. Przemieszczenia uogólnione belki, które są traktowane jako stopnie swobody kinematycznej, pokazano na Rys. 3. Z przemieszczeń tych tworzy się wektor,,,,. Rys. 3 Stopnie kinematycznej swobody Z kolei na Rys. 4 pokazano stopnie dynamicznej swobody z których utworzono wektor,,,,. Z powyŝszych definicji wynika, Ŝe dla i=1,2,..,15. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9 q10 q11 q12 q13 q14 q15 Rys. 4 Stopnie dynamicznej swobody Strona 3

4 2.2 Równania ruchu belki bez tłumików drgań Na początek macierzowe równania ruchu zapiszemy posługując się stopniami kinematycznej swobody zestawionych w wektorze. Ma ono postać: Strona 4, (2) gdzie symbolami,, i oznaczono odpowiednio macierz mas, tłumienia i sztywności oraz wektor wymuszenia zewnętrznego. Wektor dzieli się na dwie części (tzn., ) gdzie w podwektorze zestawione są tzw. zasadnicze stopnie swobody (przyjmujemy dalej, Ŝe ), a w wektorze są zgrupowane tzw. redukowane stopnie swobody. Tutaj,,,. Równanie ruchu (2) przedstawia się w postaci blokowej:, (3) 0. (4) Pisząc równania (3) i (4) pominięto siły tłumienia, uwzględniono, Ŝe bezwładności obrotowe mas skupionych są równe zero oraz załoŝono, Ŝe po kierunku przemieszczeń zestawionych w wektorze nie działają siły zewnętrzne. Teraz wykonuje się tzw. redukcję statyczną wymiarów zadania dynamicznego. Pozwala ona na zapisanie równań ruchu w którym występują tylko stopnie dynamicznej swobody zestawione w wektorze. Z równania (4) wynika wzór, (5) który podstawiony do równania (3) pozwala je przepisać w postaci:. (6) W równaniu (6) występuje tylko wektor zawierający stopnie dynamicznej swobody belki. Po wprowadzeniu oznaczeń:,,,, moŝna równanie (6) przepisać w postaci:. (7) Właściwości tłumiące kładki uwzględniono w klasyczny sposób. Siły tłumienia wiskotycznego moŝna przedstawić w postaci, a macierz wyznaczyć ze wzoru:, (8) gdzie symbolami i oznaczono odpowiednio macierz mas i macierz sztywności belki. Współczynniki i występujące w (8) wyznaczono zakładając, Ŝe bezwymiarowe współczynniki tłumienia 1 i 2 postaci drgań są równe 0,01. Ostatecznie równanie drgań tłumionych belki moŝe być zapisane w postaci:

5 . (9) 2.3 Równania ruchu belki z wbudowanymi tłumikami drgań Schemat obliczeniowy kładki z wbudowanymi tłumikami drgań pokazano na Rys. 5. Siłę w tłumiku wiskotycznym wyznacza się ze wzoru:, (10) gdzie symbolami, i oznaczono odpowiednio siłę w tłumiku, współczynnik tłumienia tłumika oraz względną prędkość przemieszczenia tłumika względem cylindra. h Ct Ct 9 m 12 m Ct 9 m P1(t) B Strona 5 Rys. 5 Schemat obliczeniowy belki z tłumikami drgań Długości wsporników łączących tłumik z belką są równe 1,5 m. Przyjmujemy dalej Ŝe, tłoczysko, element łączący obudowę tłumika z konstrukcją kładki oraz wsporniki, które umoŝliwiają połączenie tłumików z belką są nieodkształcalne. ZauwaŜmy, Ŝe przy tych załoŝeniach liczba stopni swobody kinematycznej i liczba stopni swobody dynamicznej belki z tłumikami drgań jest taka sama jak belki bez tłumików. Belka jest teraz obciąŝona siłami bezwładności, siłami wymuszającymi oraz siłami oddziaływania tłumików. ObciąŜenie rozpatrywanej belki pokazano na Rys. 6. Momenty,,, są wynikiem oddziaływania tłumików na kładkę. Tłumiki powodują równieŝ powstanie sił poziomych zaczepionych w punktach 3, 6, 10 i 13. Siły te nie zostały pokazane na Rys. 6 poniewaŝ siły te są one nieistotne dla dalszych rozwaŝań. Utwórzmy wektor momentów zdefiniowany w następujący sposób: 0,0,0,, 0,0,, 0,0,0,, 0,0,, 0,0,0. (11) Momenty te naleŝy uwzględnić pisząc równania ruchu belki. Równania ruchu zapisane w postaci blokowej mają postać:, (12). (13) P2(t) P3(t) P4(t) P5(t) P6(t) P7(t) P8(t) P9(t) P10(t) P11(t) P12(t) P13(t) P14(t) P15(t) B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 M19(t) M22(t) M26(t) M29(t) Rys. 6 Siły działające na belkę z wbudowanymi tłumikami drgań Wykonując, tak jak poprzednio, redukcję statyczną mamy:, (14)

6 co po podstawieniu do (12) prowadzi do równania o postaci:. (15) Teraz naleŝy wektor wyrazić za pomocą wektora i jego pochodnych. Weźmy pod uwagę tłumik połączony z belką w sposób pokazany na Rys. 7. qi qj qr Ctk qs h xi tłumik k Rys. 7 Połączenie tłumika k z belką Przemieszczenia poziome lewego i prawego wspornika, za pośrednictwem których tłumik jest połączony z belką, moŝna obliczyć ze wzorów (porównaj Rys. 7):,, (16) gdzie symbole, i oznaczają odpowiednio długość wspornika oraz kąt obrotu lewego i prawego przekroju w którym wspornik łączy się z belką. Siłę działającą w tłumiku k moŝna wyliczyć ze wzoru;. (17) W rozpatrywanym przypadku na belce mamy 3 tłumiki drgań (k=1,2,3). Wprowadźmy wektor sił w tłumikach,,. Biorąc pod uwagę usytuowanie tłumików na belce moŝna napisać: gdzie 0, (18) , (19) (20) PowyŜej symbolem opisano macierz alokacji. Są w niej zawarte informacje o sposobie połączenia tłumików z konstrukcją. Tutaj ma wymiar Momenty wywołane przez siły występujące w tłumikach moŝna teraz obliczyć ze wzorów:,, (21),. (22) xj Strona 6

7 lub korzystając z poniŝszego wzoru macierzowego. (23) Po podstawieniu zaleŝności (18) do wzoru (23) otrzymuje się:. (24) NaleŜy teraz w równaniu (24) zastąpić wektor przez. W tym celu korzystamy z zaleŝności (14), którą obustronnie róŝniczkujemy względem czasu. W rezultacie otrzymuje się zaleŝność:. (25) W dalszym ciągu zakładamy, Ŝe 2 składnik w zaleŝności (25) jest pomijalnie mały i wobec tego:. (26) Podstawiając zaleŝność (26) do wzoru (24) otrzymuje się:, (27) a po podstawieniu (27) do równania (15) otrzymuje się następujące równanie:. (28) W powyŝszym równaniu uwzględniono dodatkowo składnik reprezentujący siły tłumienia kładki. Po wprowadzeniu oznaczeń:,,,, (29), (30) moŝna równanie ruchu (28) przepisać w postaci:. (31) Z porównania równań ruchu kładki bez tłumika i z tłumikiem wynika, Ŝe omawiane równanie ruchu kładki róŝnią się tylko składnikiem reprezentującym wpływ tłumików wiskotycznych. 2.4 Równania ruchu zapisane za pomocą zmiennych stanu Równanie ruchu (9) i (31) wygodnie jest zapisać za pomocą zmiennych stanu. Wprowadza się wektor stanu zdefiniowany w następujący sposób:,. Omawiane równania ruchu, po przyjęciu, Ŝe 0, moŝna zapisać w postaci (patrz [1]): gdzie jest macierzą jednostkową, a, (32) Strona 7

8 Strona 8 0 Ι. (33) Ponadto jeŝeli rozpatruje się belkę bez tłumików i jeŝeli rozpatruje się belkę z tłumikami wiskotycznymi. 2.5 Wyznaczanie charakterystyk dynamicznych belki Zazwyczaj przez charakterystyki dynamiczne konstrukcji rozumie się częstości i postacie drgań własnych nietłumionych. Wielkości te wyznacza się rozwiązując problem własny o postaci: 0, (34) gdzie symbole i oznaczają odpowiednio częstość drgań własnych i wektor własny. Niekiedy jednak wyznacza się charakterystyki dynamiczne układu na podstawie analizy drgań swobodnych tłumionych. Wyznacza się wtedy częstości drgań swobodnych tłumionych (lub okresy drgań swobodnych tłumionych), postacie drgań i bezwymiarowe współczynniki tłumienia. PoniewaŜ rozwiązaniem równań ruchu nie są w tym przypadku funkcje okresowe to pod pojęciem okresu drgań własnych tłumionych rozumie się czas trwania jednej oscylacji (porównaj [1]). Wspomniany wyŝej sposób postępowania został zastosowany w niniejszym opracowaniu. Zajmijmy się teraz wyznaczaniem charakterystyk dynamicznych belki z wbudowanymi tłumikami drgań. Rozwiązanie równania stanu (33) ma postać:, (35) gdzie symbole: i oznaczają odpowiednio wartość własną i wektor własny. Podstawiając proponowaną postać rozwiązania (35) do równania (32) otrzymuje się macierzowe równanie algebraiczne o postaci: 0. (36) Rozwiązaniami równania (35) jest 2n wartości własnych,,,,, i 2n wektorów własnych,,,,,. Rozwiązań jest dwa razy więcej niŝ stopni dynamicznej swobody. Wartości własne i wektory własne są zazwyczaj liczbami i wektorami zespolonymi, sprzęŝonymi (jeŝeli tłumienie jest podkrytyczne). JeŜeli natomiast tłumienie układu jest nadkrytyczne to co najmniej dwie wartości i dwa wektory własne są liczbami i wektorami rzeczywistymi. Oznaczmy dwa rozwiązania zespolone, sprzęŝone w następujący sposób:,, (37),, (38) gdzie 1 jest jednostką urojoną, a 1,2,, jeŝeli wszystkie rozwiązania są zespolone. Mając dwie wartości własne zespolone, wzajemnie sprzęŝone oraz obliczamy częstość drgań własnych tłumionych i bezwymiarowy współczynnik tłumienia ze wzorów (porównaj [1]):

9 ,. (39) JeŜeli dwie wartości własne, np. oraz, są liczbami rzeczywistymi to bezwymiarowy współczynniki tłumienia oblicza się ze wzoru (patrz [1]): Strona 9,,. (40) W tym przypadku pojęcie częstości drgań własnych tłumionych traci sens, poniewaŝ rozwiązanie równania ruchu (32) nie jest funkcją oscylującą, tzn. funkcją, której wartości oscylują wokół pewnej wartości średniej. Omawiane rozwiązanie szczególne równania (32) stowarzyszone z rzeczywistymi wartościami i wektorami własnymi ma postać:, (41) a stałe i naleŝy wyznaczyć z warunków początkowych. W przypadku analizy drgań swobodnych tłumionych interpretacja wektorów własnych róŝni się od interpretacji wektorów własnych otrzymywanych w trakcie rozwiązania problemu drgań własnych nietłumionych. Jak wiadomo, w tym ostatnim przypadku elementy wektora własnego moŝna interpretować jako względne przemieszczenia rozpatrywanego układu. Wszystkie punkty układu drgającego równocześnie przechodzą przez połoŝenie równowagi statycznej. Interpretacja wektorów własnych otrzymywanych z rozwiązania problemu własnego (36) jest szczegółowo omówiona w pracy [2]. JeŜeli wartości i wektory własne są rzeczywiste to wektor własny moŝna podzielić na dwie części, tzn., (porównaj [1,2]). Wektor jest wektorem względnych przemieszczeń, a wektor wektorem względnych prędkości. Zgodnie ze wzorem (41) wszystkie przemieszczenia i prędkości rosną lub maleją wraz z upływem czasu w zaleŝności od znaku wartości własnej. RozwaŜmy teraz przypadek pary zespolonych i sprzęŝonych wartości własnych i. Rozwiązanie równania stanu (35) ma postać (41), ale teraz wielkości w nim występujące są zespolone, parami sprzęŝone. Biorąc pod uwagę związki (37) i (38) moŝna to rozwiązanie zapisać w postaci :, (42) gdzie nowe stałe i stałe są liczbami zespolonymi, sprzęŝonymi i są wyznaczane z warunków początkowych ruchu. Jak wynika z rozwaŝań przedstawionych w pracy [2] dowolny, zespolony wektor własny, np., moŝe być przedstawiony graficznie na płaszczyźnie zespolonej. Typowy element tego wektora, np. element o numerze r oznaczony symbolem,,,, jest reprezentowany na tej płaszczyźnie przez wektor o współrzędnych (,,, ) uczepiony w początku układu współrzędnych lub punkt o tych samych współrzędnych. Na Rys. 8 przykładowo przedstawiono w ten sposób wektor własny 2 2, 1 3, 3, 2,5 2,5, stowarzyszony z wartością własną : 0,5 1,0. Na tym rysunku punkty 1, 2, 3, 4 reprezentują odpowiednie składowe omawianego wektora własnego.

10 oś urojona Strona 10 Rys. 8 Graficzne przedstawienie przykładowego wektora własnego 3 Omówienie wyników obliczeń 3.1 Dane przyjęte do obliczeń oś rzeczywista Podstawowe dane opisujące kładkę są następujące: - kładka ma rozpiętość L=48,0 m, - dźwigar główny kładki wykonany jest z blachownicy stalowej (rura prostokątna) - wymiary rury prostokątnej a) zewnętrzne: wysokość H=1,6 m, szerokość B=0,6 m; b)wewnętrzne: wysokość h=1,5 m szerokość b=0,58 m, - wysokość wspornika łączącego tłumik z belką h=1,5 m, - sztywność giętna dźwigara wynosi 1,71 10, - masa jednostkowa belki jest równa 2152,0 kg/m, - masa skupiona jest równa 6456,2 kg, 3.2 Częstości drgań własnych nietłumionych W pierwszej kolejności wyznaczono częstości i postacie drgań własnych nietłumionych belki bez tłumików drgań. Wielkości te wyznaczono rozwiązując liniowy problem własny opisany równaniem (34). Pierwsze sześć częstości drgań własnych nietłumionych belki jest równe: 12,073 /, 48,281 /, 108,62 /, 193,07 /, 301,52 /, 433,74 /. Pozostałe częstości i wektory własne zamieszczono w Dodatku 1.

11 3.3 Częstości drgań własnych tłumionych i bezwymiarowe współczynniki tłumienia belki bez tłumików Wyznaczono takŝe częstości drgań własnych tłumionych i bezwymiarowe współczynniki tłumienia belki bez tłumików. Wielkości te wyznaczono rozwiązując liniowy problem własny opisany równaniem (36) i korzystając ze wzorów (39). Macierz tłumienia kładki wyznaczono ze wzoru (8), a współczynniki i występujące we wzorze (8) wyznaczono zakładając, Ŝe bezwymiarowe współczynniki tłumienia 1 i 2 postaci drgań są równe 0,01. Ponadto. Wyniki obliczeń zestawiono w Tablicy 1 zamieszczonej w Dodatku 2. Tutaj podaje się tylko niektóre z nich. Pierwsze pięć par wartości własnych to:, 0, ,073,, 0, ,279,, 2, ,60,, 6, ,950,, 15, ,14,, 31, ,590. Części rzeczywiste podanych powyŝej wartości własnych róŝnią się nieco od części rzeczywistych podanych w Tablicy 1 poniewaŝ otrzymane za pomocą obliczeń komputerowych wartości własne tworzyły tylko w przybliŝeniu pary liczb sprzęŝonych. Części rzeczywiste wartości własnych podane powyŝej są wartościami średnimi odpowiednich części podanych w Tablicy 1. Wartości pierwszych trzech częstości drgań własnych tłumionych i bezwymiarowych współczynników tłumienia są równe: 12,074 /, 0,0100, 48,281 /, 0,0100, 108,62 /, 0,0189, 193,05 /, 0,0325, 301,52 /, 0,0503, 433,72 /, 0,0721. ZauwaŜmy, Ŝe częstości drgań własnych tłumionych bardzo niewiele róŝnią się od częstości drgań własnych nietłumionych. 3.4 Częstości drgań własnych tłumionych i bezwymiarowe współczynniki tłumienia belki z tłumikami Zasadnicza część przeprowadzonej analizy dotyczy charakterystyk dynamicznych belki z tłumikami drgań. Obliczono wartości i wektory własne oraz częstości drgań własnych tłumionych i bezwymiarowe współczynniki tłumienia belki z trzema wiskotycznymi tłumikami drgań. Obliczenia wykonano przyjmując róŝne wartości współczynników tłumienia tłumików (jednakowe dla wszystkich tłumików). Wyniki obliczeń, tzn. wartości własne, częstości drgań własnych tłumionych i bezwymiarowe współczynniki tłumienia podano w Dodatku 3. W tej części opracowania omówione zostaną najistotniejsze wnioski i spostrzeŝenia wynikające z analizy rezultatów obliczeń. Strona 11

12 Na Rys. 9 pokazano jak zmieniają się bezwymiarowe współczynniki tłumienia belki z tłumikami w zaleŝności od wartości współczynnika tłumienia. Wykonano obliczenia dla bardzo duŝego przedziału wartości współczynnika tłumienia tłumika. Widać, Ŝe bezwymiarowe współczynniki tłumienia i są, w badanym przedziale zmienności współczynnika, prawie liniowo rosnącymi funkcjami współczynnika, przy czym tłumienie 2 postaci drgań jest mniejsze niŝ tłumienie 1 postaci drgań. Zupełnie inny przebieg ma funkcja i. Dla 2,4 10 / osiąga ona wartość maksymalną. Oznacza to, Ŝe dalsze zwiększanie wartości tego współczynnika nie zwiększa moŝliwości tłumienia 3 postaci drgań. bezwymiarowy współczynnik tłumienia γ 3 0.0E+0 1.0E+7 2.0E+7 3.0E+7 4.0E+7 współczynnik tłumienia tłumika Rys. 9 ZaleŜność bezwymiarowych współczynników tłumienia, i od współczynnika tłumienia tłumika γ 1 γ 2 częstość drgań własnych tłumionych E+0 1.0E+7 2.0E+7 3.0E+7 4.0E+7 współczynnik tłumienia tłumika Strona 12 Rys. 10 Zmiany pierwszej częstości drgań własnych tłumionych w zaleŝności od wartości współczynnika Z kolei na Rys pokazano w jaki sposób zmieniają się, w zaleŝności od wartości współczynnika, odpowiednio pierwsza, druga i trzecia częstość drgań własnych tłumionych. Widać, Ŝe zmiana pierwszej i drugiej częstości drgań własnych tłumionych w stosunku

13 do częstości drgań własnych nietłumionych jest bardzo mała i nie przekracza 1%.. Ponadto, widać, Ŝe wartość trzeciej częstości drgań własnych tłumiących zmienia się w sposób istotny. RóŜnica miedzy częstością drgań własnych tłumionych i nietłumionych dochodzi do 45%. częstość drgań własnych tłumionych E+0 1.0E+7 2.0E+7 3.0E+7 4.0E+7 współczynnik tłumienia tłumika Rys. 11 Zmiany drugiej częstości drgań własnych tłumionych w zaleŝności od wartości współczynnika Z przeprowadzonych obliczeń wynika ponadto, Ŝe dla wartości współczynnika 2,28 10 / bezwymiarowy współczynnik tłumienia 5 postaci drgań jest większy od 1. Oznacza to, Ŝe postać ta jest nadkrytycznie tłumiona o ile 2,28 10 /. Wykres funkcji pokazano na Rys. 13. Kółkiem i literą B oznaczono na nim granice między tłumieniem podkrytycznym i nadkrytycznym. częstość drgań własnych tłumionych E+0 1.0E+7 2.0E+7 3.0E+7 4.0E+7 współczynnik tłumienia tłumika Strona 13 Rys. 12 Zmiany trzeciej częstości drgań własnych tłumionych w zaleŝności od wartości współczynnika Na Rys. 14 pokazano wykres ilustrujący zaleŝność. Wielkość tą naleŝy interpretować jako częstość drgań własnych tłumionych o ile wartości własne i są liczbami zespolonymi, tzn. do punktu B. W tym zakresie wartości omawianej częstości nie-

14 wiele się róŝnią od piątej częstości drgań własnych nietłumionych (maksymalna róŝnica wynosi około 5%). bezwymiarowy współczynnik tłumienia E+0 1.0E+7 2.0E+7 3.0E+7 4.0E+7 współczynnik tłumienia tłumika Rys. 13 ZaleŜność bezwymiarowego współczynnika tłumienia od współczynnika tłumienia Na Rys. 15 pokazano z kolei, na płaszczyźnie zespolonej, wykres zmian wartości własnych i, przy czym omawiane wartości własne zmieniają swoje połoŝenie zgodnie z numeracją pokazaną na rysunku. Widać, Ŝe dwie zespolone, sprzęŝone wartości własne mają, dla wzrastających wartości współczynnika, coraz to mniejsze części urojone, a krzywe na których rozpatrywane wartości własne leŝą łączą się w punkcie bifurkacji oznaczonym symbolem B. Na Rys. 16 pokazano, na płaszczyźnie zespolonej, jak wraz ze wzrostem wartości współczynnika tłumienia zmienia się połoŝenie 2 pierwszych par wartości własnych, tzn. pary, i pary,. B γ 5 częstość drgań własnych tłumionych E+0 1.0E+7 2.0E+7 3.0E+7 4.0E+7 współczynnik tłumienia tłumika B Rys 14 ZaleŜność od współczynnika tłumienia Strona 14

15 oś urojona B oś rzeczywista Rys. 15 Zmiany połoŝenia piątej i dwudziestej wartości własnej w zaleŝności od wartości współczynnika tłumienia oś urojona oś rzeczywista Rys. 16 Zmiany połoŝenia pierwszej i drugiej pary wartości własnych w zaleŝności od wartości współczynnika tłumienia Na koniec naleŝy jeszcze poruszyć problem dokładności obliczeń. Z analizy wyników obliczeń wynika, Ŝe nie wszystkie zespolone wartości własne są dokładnie liczbami zespolonymi, sprzęŝonymi. Brak tego sprzęŝenia wynika z błędów numerycznych jakie powstają w trakcie rozwiązywania problemu własnego (36). Dokładność rozwiązania problemu własnego (36) moŝna sprawdzić wykorzystując dwa twierdzenia (patrz [2]): a) suma wartości własnych jest równa śladowi macierzy, b) iloczyn wartości własnych jest równy wyznacznikowi macierzy. 4 Uwagi końcowe W niniejszym opracowaniu omówiono wyniki obliczeń charakterystyk dynamicznych belki z wbudowanymi wiskotycznymi tłumikami drgań. Wykonano obliczenia dla bardzo szero- Strona 15

16 kiego zakresu wartości współczynnika tłumienia. Zakres zmian tego współczynnika był na tyle duŝy, Ŝe tłumienie 5 postaci drgań stało się nadkrytyczne. Przejście od tłumienia podkrytycznego do tłumienia nadkrytycznego moŝe być zilustrowane na płaszczyźnie zespolonej, a przypadek tłumienia krytycznego odpowiada na tej płaszczyźnie punktowi bifurkacji. W rozwaŝanym przypadku zmiany bezwymiarowego współczynnika tłumienia 1 i 2 postaci drgań są w przybliŝeniu liniowymi funkcjami współczynnika. Dla całego rozpatrywanego tutaj zakresu zmian częstości drgań własnych tłumionych stowarzyszone z 1 i 2 parą wartości własnych niewiele róŝnią się odpowiednio od 1 i 2 częstości drgań własnych nietłumionych. 5 Literatura [1] Lewandowski R, Dynamika konstrukcji budowlanych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań, [2] Newland D.E., Mechanical vibration analysis and computation, Longman Scientific and Technical, Burnt Mill, Strona 16

17 6 Dodatki 6.1 Dodatek 1 - Częstości i postacie drgań własnych nietłumionych belki PoniŜej zestawiono okresy, częstości i postacie drgań własnych nietłumionych belki bez tłumików. 1 postać drgań Okres drgań własnych T 1 = s ω 1 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E-03 3 postać drgań Okres drgań własnych T 3 = s ω 3 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E-02 2 postać drgań Okres drgań własnych T 2 = s ω 2 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E-02 4 postać drgań Okres drgań własnych T 4 = s ω 4 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E-02 Strona 17

18 5 postać drgań Okres drgań własnych T 5 = s ω 5 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E-02 7 postać drgań Okres drgań własnych T 7 = s ω 7 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E-02 6 postać drgań Okres drgań własnych T 6 = s ω 6 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E-02 8 postać drgań Okres drgań własnych T 8 = s ω 8 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E-02 Strona 18

19 9 postać drgań Okres drgań własnych T 9 = s ω 9 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E postać drgań Okres drgań własnych T 11 = s = T 11 ω 11 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E postać drgań Okres drgań własnych T 10 = s ω 10 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E postać drgań Okres drgań własnych T 12 = s ω 12 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E-02 Strona 19

20 13 postać drgań Okres drgań własnych T 13 = s ω 13 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E postać drgań Okres drgań własnych T 15 = s ω 15 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E postać drgań Okres drgań własnych T 14 = s ω 14 = rad/s E E E E E E E E E E E E E E E-02 Strona 20

21 6.2 Dodatek 2 Wartości własne, częstości drgań własnych tłumionych i bezwymiarowe współczynniki tłumienia belki bez tłumików Tablica 1 Wartości własne, częstości drgań własnych tłumionych i bezwymiarowe współczynniki tłumienia belki bez tłumików Numer wartości własnej μ j (Real) η j (Image) ω j (częstość drgań własnych) γ j (bezwy. wsp. tłumienia) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Strona 21

22 6.3 Dodatek 3 Wartości własne, częstości drgań własnych tłumionych i bezwymiarowe współczynniki tłumienia postacie belki z tłumikami drgań PoniŜej zestawiono w tablicach wartości własne, częstości drgań własnych tłumionych i bezwymiarowe współczynniki tłumienia obliczone dla belki z wbudowanymi tłumikami drgań obliczone dla róŝnych wartości współczynnika tłumienia tłumika. Tablica 2 Wyniki obliczeń dla C t = 4 000,0 Ns/m Numer wartości własnej μ j (Real) η j (Image) ω j (częstość drgań własnych) γ j (bezwy. Wsp. tłumienia) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Strona 22

23 Tablica 3 Wyniki obliczeń dla C t = Ns/m Numer wartości własnej μ j (Real) η j (Image) ω j (częstość drgań własnych) γ j (bezwy. Wsp. tłumienia) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Strona 23

24 Tablica 4 Wyniki obliczeń dla C t = ,0 Ns/m Numer wartości własnej μ j (Real) η j (Image) ω j (częstość drgań własnych) γ j (bezwy. Wsp. tłumienia) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Strona 24

25 Tablica 5 Wyniki obliczeń dla C t = ,0 Ns/m Numer wartości własnej μ j (Real) η j (Image) ω j (częstość drgań własnych) γ j (bezwy. Wsp. tłumienia) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Strona 25

26 Tablica 6 Wyniki obliczeń dla C t = ,0 Ns/m Numer wartości własnej μ j (Real) η j (Image) ω j (częstość drgań własnych) γ j (bezwy. Wsp. tłumienia) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Strona 26

27 Tablica 7 Wyniki obliczeń dla C t = ,0 Ns/m Numer wartości własnej μ j (Real) η j (Image) ω j (częstość drgań własnych) γ j (bezwy. Wsp. tłumienia) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Strona 27

28 Tablica 8 Wyniki obliczeń dla C t = ,0 Ns/m Numer wartości własnej μ j (Real) η j (Image) ω j (częstość drgań własnych) γ j (bezwy. Wsp. tłumienia) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Strona 28

29 Tablica 9 Wyniki obliczeń dla C t = ,0 Ns/m Numer wartości własnej μ j (Real) η j (Image) ω j (częstość drgań własnych) γ j (bezwy. Wsp. tłumienia) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Strona 29

30 Tablica 10 Wyniki obliczeń dla C t = ,0 Ns/m Numer wartości własnej μ j (Real) η j (Image) ω j (częstość drgań własnych) γ j (bezwy. Wsp. tłumienia) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Strona 30

31 Tablica 11 Wyniki obliczeń dla C t = ,0 Ns/m Numer wartości własnej μ j (Real) η j (Image) ω j (częstość drgań własnych) γ j (bezwy. Wsp. tłumienia) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Strona 31

32 Tablica 12 Wyniki obliczeń dla C t = ,0 Ns/m Numer wartości własnej μj (Real) ηj (Image) ωj (częstość drgań własnych) γj (bezwy. Wsp. tłumienia) 1-2,91E+00-1,19E+01 12, , ,93E+00 1,19E+01 12, , ,11E+00-4,84E+01 48, , ,11E+00 4,84E+01 48, , ,06E+01-1,22E , , ,06E+01 1,22E , , ,85E+01 1,97E , , ,85E+01-1,97E , , ,96E+02 9,85E , ,96E+02-9,85E , ,23E+02-4,21E , , ,23E+02 4,21E , , ,36E+02-6,04E , , ,36E+02 6,04E , , ,75E+01-7,61E , , ,75E+01 7,61E , , ,63E+02 8,85E , , ,63E+02-8,85E , , ,44E+02 1,09E , , ,44E+02-1,09E , , ,01E+03-6,31E , , ,01E+03 6,31E , , ,01E+02 1,48E , , ,01E+02-1,48E , , ,21E+02 1,59E , , ,21E+02-1,59E , , ,77E+02 1,89E , , ,77E+02-1,89E , , ,64E+02-1,97E , , ,64E+02 1,97E , , Uwaga: wartości własne i są po raz ostatni liczbami zespolonymi otoczenie punktu bifurkacji krzywych i. Strona 32

33 Tablica 13 Wyniki obliczeń dla C t = ,0 Ns/m Numer wartości własnej μ j (Real) η j (Image) ω j (częstość drgań własnych) γ j (bezwy. Wsp. tłumienia) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Uwaga: wartości własne i są po raz pierwszy liczbami rzeczywistymi otoczenie punktu bifurkacji krzywych i. Strona 33

34 Tablica 14 Wyniki obliczeń dla C t = ,0 Ns/m Numer wartości własnej μ j (Real) η j (Image) ω j (częstość drgań własnych) γ j (bezwy. Wsp. tłumienia) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Strona 34