Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1 Asymptota pozioma......................... 8 2.2 Asymptota uko±na.......................... 8 2.3 Asymptota pionowa......................... 10 3 Zadania 11 1 Granica 1.1 Po co? GRANICA CI GU A GRANICA FUNKCJI Podobie«stwa odwzorowania a: N R odwzorowanie f : R R. Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Ró»nice Musimy okre±li dziedzin D funkcji; de facto badamy f : D Ω R. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji). Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. PO CO NAM GRANICE FUNKCJI? Kresy dziedziny funkcji Funkcja jest nieokre±lona w punkcie (np. f() = e 1/ dla = 0), a chcemy pozna jej zachowanie w pobli»u (niesko«czenie blisko) tego punktu. Podstawienie pewnej warto±ci 0 prowadzi do jednego z symboli nieoznaczonych (np. dla 0 = 0). Zachowanie w niesko«czono±ci (asymptotyka; np. sin(1/), e, ( 3 1)/(3 3 + 2 2 )).
PRZYKŠAD 1: (1 + ) 1/ PRZYKŠAD 1: (1 + ) 1/ PRZYKŠAD 2: (3 )/ 2
PRZYKŠAD 3: PRZYKŠAD 4: ep( 1/) ZNANE PRZYPADKI Ci g warto±ci funkcji Badamy cz sto zªo»enie (f a)(n) = f ( a(n) ) ci g warto±ci danej funkcji f dla okre±lonego ci gu jej argumentów. Šatwe do wykazania Poni»ej a n a. f() = α, > 0: f(a n ) = a α n a α, gdy a n > 0. g() = α, α > 0: g(a n ) = α an α a. W szczególno±ci, je»eli a = 0, to α an 1. Niech 0 < b n b: b an n b a. 3
1.2 Denicje i twierdzenia DEFINCJA CI GOWA (HEINEGO) Je»eli dla ka»dego ci gu n 0 ci g ( f( n ) ) warto±ci funkcji jest zbie»ny do g, to liczb t nazywamy granic funkcji f w punkcie 0. Uwaga Wszystkie (prawie) wyrazy ci gu ( n ) musz nale»e do dziedziny funkcji. Natomiast 0 mo»e by kresem, który niekoniecznie do dziedziny nale»y. NOTACJA 0 f() = g f() g gdy 0 DEFINCJA OTOCZENIOWA (CAUCHY'EGO) Funkcja f : D Ω ma granic g Ω w punkcie 0, je»eli ε>0 δ>0 0 <δ f() g < ε. Uwaga Oczywi±cie liczby speªniaj ce warunek 0 < δ musz nale»e do dziedziny funkcji. Samymi sªowami... Dla dowolnie maªego (okre±lonego przez ε) otoczenia liczby g istnieje takie otoczenie punktu 0 (okre±lone przez δ),»e warto±ci funkcji dla wszystkich punktów z tego otoczenia mieszcz si w przedziale (g ε, g + ε). PRZYKŠAD 4
GRANICE JEDNOSTRONNE Wg Heinego Je»eli dla ka»dego ci gu ( n ) zbie»nego do 0 o wyrazach n > 0 ( n < 0 ) istnieje granica n f( n ) = g, to liczb g nazywamy granic prawostronn (lewostronn ) funkcji f() w punkcie 0, co zapisujemy jako ( ) f() = g + 0 f() = g 0 Granice te okre±lamy wspólnym terminem: granica jednostronna. GRANICE JEDNOSTRONNE (cd.) Wg Cauchy'ego Funkcja f : D R ma w punkcie 0 R granic prawostronn g R, gdy a lewostronn, gdy ε>0 δ>0 (0 δ, 0) f() (g ε, g + ε), ε>0 δ>0 (0, 0+δ) f() (g ε, g + ε).. Twierdzenie Funkcja f() okre±lona w przedziale ( 0 δ, 0 + δ), ewentualnie bez punktu 0, ma granic zwykª (obustronn ) wtedy i tylko wtedy, gdy obie granice jednostronne istniej i s sobie równe. PRZYKŠADY 0 sgn = 1, 0 + sgn = 1, 2 E() = 1, 2 + E() = 2, 0 + e 1/ = 0. 3 3 = 0; granica prawostronna dla 3 + nie istnieje. Funkcja ma w punkcie 0 = 0 granic obustronn 0. 0 (1 + ) 1/ = e. PODSTAWOWE TWIERDZENIA 0 f() = a, 0 g() = b 0 (f() + g()) = a + b, 0 (f()g()) = ab; 0 ( f()) = a; dla g() 0 i b 0 mamy 0 1/g() = 1/b; 0 (f() g()) = a b; 5
0 f()/g() = a/b (g() 0, b 0); 0 (f() a) = 0, 0 (cf()) = ca, dla c R. Twierdzenie o trzech funkcjach Je»eli f() h() g() i a = b, to 0 h() = a. Powy»sze wªasno±ci s tak»e prawdziwe dla granic jednostronnych. BARDZO WA NE GRANICE 0 ( sin 1 ) 1 sin 1, zatem sin 1. 0 ( ± ) = 0, zatem 0 ( sin 1 ) = 0. 0 sin / Funkcja sin jest parzysta, wystarczy badanie 0 + ; Gdy 0 < < π/2, to sin < < tg = sin cos ; Dziey nierówno± przez 0 < sin < 1 1 < 0 sin < 1 cos cos = 1, zatem sin cos < < 1; 0 sin = 1. GRANICA ZŠO ENIA FUNKCJI UWAGA: Je»eli 0 g() = y 0 i y y0 f(y) = a, to granica funkcji zªo»onej (f g)() = f(g()) mo»e nie istnie. f(y) = 0 dla y = 0, f(y) = 1 dla y 0 y 0 f(y) = 1, ale f(0) = 0; Niech g() = sin 1, czyli 0 g() = 0; n 0, ale n (nπ) 1, 0 < n N, czyli g( n ) 0, zatem ci g f(g( n )) = 1 jest ci giem staªym (zbie»nym do 1). Dla ci gu n = (nπ) 1, n 0 i g( n ) = (nπ) 1 sin nπ = 0 f(g( n )) = 0 i n (f g)( n ) = 0. Poniewa» mamy dwa punkty skupienia, zatem (f g)() nie ma granicy w 0 = 0. 6
1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe GRANICE W ± Wg Heinego Je»eli dziedzina funkcji f : D R jest nieograniczona z góry (doªu) i dla ka»dego ci gu n ( n ) zachodzi f( n ) = g, to liczb g nazywamy granic funkcji w plus (minus) niesko«czono±ci. UWAGA Poniewa» dla ( ) mamy zawasze < ( > ), wi c w tym sensie granica ( ) jest granic lewostronn (prawostronn ). PROSTE PRZYKŠADY Granica funkcji cos w ± nie istniej, gdy» dla ci gu n = nπ ( nπ ) ci g warto±ci funkcji cos n jest identyczny z ci giem ( 1) n, który jest rozbie»ny. Funkcja e ma granic w, gdy» dla ka»dego ci gu rozbie»nego do ci g e n = 1/e n d»y do zera. f() = n, n N n = 0: f() = 1 (poza = 0) i 0 = 1; n nieparzyste: n = ± ; n parzyste, n > 0: n =. NIECO TRUDNIEJSZY przykªad f() = e e +1 ; e = 0, wi c f() = 0. Mno»ymy licznik i mianownik przez e. Otrzymamy wtedy f() = 1 1+e i ostatecznie f() = 1. 7
PRZYKŠAD: e /(e + 1)) 2 Asymptoty 2.1 Asymptota pozioma ASYMPTOTA POZIOMA Denicja Je»eli f() = g lub f() = g, to prost y = g nazywamy asymptot poziom funkcji f(). UWAGI: 1. Asymptota przy mo»e by inna ni» dla. Pierwsz mo»emy nazywa asymptot lewo- a drug prawostronn. 2. Podana denicja asymptoty nie wyklucza przypadku, gdy wykres funkcji f() przecina lini y = g wiele (a nawet niesko«czenie wiele) razy. Na przykªad wykres funkcja f() = e sin oscyluje wokóª osi odci tych, która jest jej asymptot. PRZYKŠAD 2.2 Asymptota uko±na ASYMPTOTA UKO NA Denicja Asymptot uko±n funkcji f() nazywamy prost y = a + b o takich a i b,»e f() (a + b) d»y do zera, gdy ±. 8
Je»eli taka asymptota istnieje, to (f() a) b oraz f() a b = f() a b 0, a zatem f()/ a, gdy» b/ 0 dla ±. St d a = f() oraz b = (f() a), przy czym obie granice musz istnie jednocze±nie. PRZYKŠAD PRZYKŠADY f() = = 1 = 0. 1/2 ( 0) =. Mamy granic niewªa±ciw, zatem brak asymptoty uko±nej. g() = ( 2 )/( 1) dla 0 g() = ( ) g() = 1 = ( 2 1 ( 1) 1 St d asymptot uko±n jest prosta y = + 1. 1 1 1/ = 1. ) = 1 = 1. 9
ASYPMTOTY UKO NE I KOLEJNY PRZYKŠAD h() = (3 3 2 2 )/( 2 5) 3 3 2 2 ( 3 3 2 2 2 3 5 ( 2 5) = ) = 3 2/ 1 5/ 2 = 3 ( ) 2 + 15/ 1 5/ 2 = 2. Prosta y = 3 2 jest asymptot uko±n jednocze±nie w plus i minus niesko«- czono±ci. ASYPMTOTY UKO NE 2.3 Asymptota pionowa ROZBIE NO DO NIESKO CZONO CI Gdy dla ka»dego ci gu ( n ) zbie»nego do 0 ci g warto±ci funkcji jest rozbie»ny do ±, to mówimy wtedy o granicy niewªa±ciwej (lewo- i prawostronnej) oraz o granicy niewªa±ciwej w ±, gdy n ±. Twierdzenia dotycz ce granic 10
niewªa±ciwych odpowiadaj wªasno±ciom ci gów rozbie»nych do niesko«czono- ±ci. f() = ep( 1/), dla 0 Dla n ± ci g 1/ n 0, a wi c f( n ) 1; Granica wªa±ciwa g = 1 w ± (asymptota poziom ); Gdy n 0 +, to 1/ n i f( n ) 0. Dla n 0 ci g f( n ) jest rozbie»ny do, a zatem granica lewostronna w 0 = 0 jest granic niewªa±ciw : 0 ep( 1/) =. ASYMPTOTA PIONOWA Denicja Je»eli funkcja f() ma w punkcie 0 granic niewªa±ciw, to prost o równaniu = 0 nazywamy asymptot pionow funkcji. Asymptoty takie mog zarówno lewe, jak i prawe. 3 Zadania PRZYKŠADOWE ZADANIA Wyznacz granice funkcji: a) f() = 1 5 w 0 = 5; b) g() = e e +1 w ±. Sprawd¹,»e funkcja 1/( 2 1) ma asymptoty pionowe w punktach = ±1. Wyznacz asymptoty funkcji: a) f() = 2 25 5. b) f() = (2 5) 5. Wykorzystuj c arkusz kalkulacyjny sporz d¹ wykresy funkcji i asymptot. 11