Ekstremalnie maªe zbiory

Transkrypt

1 Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn,

2 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci g przedziaªów otwartych {I n : n N} takich,»e Denicja X n N I n, n N diam(i n) < ε. Zbiór X [0, 1] jest silnie miary zero gdy dla ka»dego ci gu {ε n : n N} istnieje ci g przedziaªów otwartych {I n : n N} takich,»e X n N I n, n N diam(i n ) < ε n.

3 Szybkie obserwacje i Hipoteza Borela Stwierdzenie Zbiór silnie miary zero jest miary Lebesgue'a zero. Stwierdzenie Zbiory silnie miary zero s zamkni te na branie podzbiorów i przeliczalnych sum, zbiory przeliczalne s silnie miary zero. Stwierdzenie Zbiór Cantora jest miary Lebesgue'a zero, ale nie jest silnie miary zero (ε n = 1 3 n+1 ). Hipoteza Borela Nie istniej nieprzeliczalne zbiory silnie miary zero.

4 Intuicja i rozs dek Intuicja Zbiór silnie miary zero jest miary zero wzgl dem ka»dej rozs dnej miary. Wskazania zdrowego rozs dku Rozwa»amy miary mierz ce podzbiory [0, 1]: Denicja znikaj ce na punktach, borelowskie, probabilistyczne, σ-addytywne. Zbiór X [0, 1] jest uniwersalnie miary zero (UMZ), gdy jest miary (zewn trznej) zero wzgl dem ka»dej miary speªniaj cej powy»sze warunki.

5 SMZ implikuje UMZ Stwierdzenie Ka»dy zbiór silnie miary zero jest uniwersalnie miary zero. Lemat Ustalmy miar µ na [0, 1]. Dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 taka,»e dla dowolnego przedziaªu otwartego I o ±rednicy nie wi kszej od δ mamy µ(i ) < ε. Dowód. ka»dy x [0, 1] ma otoczenia dowolnie maªej miary, dla ka»dego punktu x wybieramy otoczenie I x takie,»e µ(i x ) < ε, bierzemy δ > 0 b d c liczb Lebesgue'a tego pokrycia.

6 Charakteryzacja zbiorów uniwersalnie miary zero Denicja Zbiór X [0, 1] jest uniwersalnie miary zero (UMZ), gdy jest miary (zewn trznej) zero wzgl dem ka»dej borelowskiej miary probabilistycznej znikaj cej na punktach. Stwierdzenie Nast puj ce warunki s równowa»ne dla zbioru X [0, 1]: X jest uniwersalnie miary zero, nie istnieje miara na Bor(X ).

7 Obserwacje Pozytywne zbiór co najwy»ej przeliczalny jest uniwersalnie miary zero, podzbiór zbioru uniwersalnie miary zero jest uniwersalnie miary zero, suma przeliczalnie wielu zbiorów uniwersalnie miary zero jest uniwersalnie miary zero. Negatywne Zbiór Cantora C [0, 1] jest miary zero, ale nie jest UMZ. Dowód. C jest homeomorczny z {0, 1} N, w {0, 1} N jest miara borelowska ν (rzucamy niesko«czenie wiele razy monet ).

8 Pytania o zbiory uniwersalnie miary zero Pytanie Czy istniej nieprzeliczalne zbiory uniwersalnie miary zero? Pytanie Czy istniej zbiory uniwersalnie miary zero mocy continuum?

9 Dygresja - dobre porz dki Denicja Porz dek na zbiorze X jest dobry, gdy ka»dy niepusty podzbiór A X ma element najmniejszy. Twierdzenie (Zermelo) Na ka»dym zbiorze X istnieje dobry porz dek. Wniosek Na ka»dym zbiorze X istnieje dobry porz dek taki,»e dla ka»dego x X zbiór O(x) = {y X : y x} ma moc mniejsz ni» X. Denicja Nieprzeliczalny dobry porz dek, w którym ka»dy zbiór O(x) jest co najwy»ej przeliczalny nazwiemy porz dkiem typu ω 1.

10 Dygresja - przykªad zbioru niemierzalnego Przykªad Zaªó»my Hipotez Continuum. Niech b dzie dobrym porz dkiem [0, 1] takim,»e dla ka»dego x [0, 1] zbiór O(x) jest co najwy»ej przeliczalny. Wtedy zbiór = { x, y [0, 1] 2 : x y} nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a. Dowód. Uwaga sekcje poziome s przeliczalne, zatem miary 0, sekcje pionowe s koprzeliczalne, zatem miary 1, sprzeczno± z twierdzeniem Fubiniego. Wystarczy,»e O(x) maj moc < c, wtedy nie trzeba CH.

11 Sk d wzi nieprzeliczalny zbiór uniwersalnie miary zero? Twierdzenie Niech R [0, 1] 2 b dzie relacj borelowsk, a X [0, 1] takim zbiorem,»e R dobrze porz dkuje X w typ ω 1. Wtedy X jest uniwersalnie miary zero. Dowód. Przypu± my,»e µ (X ) > 0 dla pewnej miary µ, ν(a) = µ (A), dla A Bor(X ) jest miar, R (X X ) - borelowski, a zatem mierzalny podzbiór X X, to jest dobry porz dek w typ ω 1, nie mo»e by mierzalny.

12 Relacja borelowska Przestrze«P(N) {0, 1} N C [0, 1] Relacja Niech A, B N b d niesko«czonymi zbiorami. A B A \ B jest sko«czony Podbaza topologii {A N : n A} {B N : n B} Borelowsko± relacji { A, B : A B} = m { A, B : n A n B}. n>m

13 Przykªad z literatury - luka Hausdora Denicja luki Para zbiorów A, B speªniaj ca warunki: a A b B a < b, c a A b B a < c < b. Twierdzenie Istnieje luka Hausdora, czyli ω 1, ω1 -luka w relacji.

14 Przykªad robiony r cznie Przestrze«N - ±ci±le rosn ce funkcje z N w N. Relacja f g m n > m f (n) g(n) Fakt Ka»da przeliczalna rodzina funkcji jest zdominowana w sensie jedn funkcj. Metoda Robimy rosn cy ci g funkcji przez indukcj (pozasko«czon, wzgl dem porz dku typu ω 1 ).

15 Odpowiedzi na pytania o UMZ Twierdzenie Istnieje zbiór uniwersalnie miary zero równoliczny z pewnym zbiorem, który nie jest miary Lebesgue'a zero. Wniosek Istnieje zbiór, który jest Uniwersalnie Miary Zero, ale nie jest Silnie Miary Zero. Twierdzenie Przy zaªo»eniu aksjomatu wªasno±ci pokryciowej CPA nie istniej zbiory UMZ mocy c.

16 Wracamy do SMZ - zbiór Šuzina Przypomnienie Zbiór F [0, 1] jest pierwszej kategorii Baire'a, gdy F n N F n, gdzie F n - domkni te, brzegowe. Denicja Nieprzeliczalny zbiór L [0, 1] jest zbiorem Šuzina, gdy L F jest co najwy»ej przeliczalny dla dowolnego zbioru F [0, 1] pierwszej kategorii Baire'a (równowa»nie: F [0, 1] domkni tego brzegowego). Stwierdzenie Zbiór Šuzina jest silnie miary zero. Stwierdzenie Przy zaªo»eniu Hipotezy Continuum istnieje zbiór Šuzina L [0, 1].

17 Twierdzenie GalvinaMycielskiegoSolovaya Twierdzenie Zbiór X R jest silnie miary zero wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru F R pierwszej kategorii Baire'a X + F R. Obserwacja Równowa»nie: dla dowolnego zbioru g stego zbioru G typu G δ istnieje t R takie,»e X t + G. Dowód w jedn stron Pokry liczby wymierne epsilonowymi przedziaªami i przesun t konstrukcj na nasz zbiór. Twierdzenie (M.K.) Równowa»nie: dla dowolnego zbioru g stego zbioru G typu G δ istnieje zbiór przeliczalny T R taki,»e X T + G.

18 Model Lavera Twierdzenie (Laver, 1976) Hipoteza Borela jest relatywnie niesprzeczna z aksjomatami ZFC: je»eli teoria mnogo±ci jest niesprzeczna, to nie dowodzi istnienia nieprzeliczalnego zbioru silnie miary zero.