Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Transkrypt

1 Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy ma ograniczenie dolne (odp. górne). Zbiór nazywamy ograniczonym gdy jest ograniczony z doªu i z góry, tzn. m x M. m,m R Def. 2. Liczb a nazywamy kresem dolnym zbioru X R je±li jest jego najwi kszym ograniczeniem dolnym, tzn. x a i x 0 < a + ε. ε>0 x 0 X Liczb b nazywamy kresem górnym zbioru X R je±li jest jego najmniejszym ograniczeniem górnym, tzn. x b i x 0 > b ε. ε>0 x 0 X Kres dolny zbioru X oznaczamy inf X a górny sup X piszemy równie» inf X = (sup X = ), gdy X nie jest ograniczony z doªu (odp. z góry). Twierdzenie (Aksjomat ci gªo±ci (zbioru liczb rzeczywistych)). Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny. (Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z doªu ma kres dolny.) Ci gi liczbowe Def. 3. Ci giem nazywamy funkcj odwzorowuj c zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych.warto± tej funkcji dla danej liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci gu i oznaczamy a n (b n itp.). Ci g oznaczamy (a n ) a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci funkcji) {a n }. Przykªady:.. a n = ( )n 2n 2, 4, 6, 8, 0,... to ci g okre±lony wzorem, 2. b =, b 2 =, b n+2 = b n+ + b n to ci g okre±lony rekurencyjnie, jest to sªynny ci g Fibbonaciego,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, (c n ) - ci g kolejnych liczb pierwszych to ci g okre±lony opisowo,

2 2, 3, 5, 7,, 3, 7,.... Mówimy,»e ci g (a n ) jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy zbiór {a n } jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z góry) [z doªu]. Ci g (a n ) nazywamy: (i) rosn cym, (ii) niemalej cym gdy odpowiednio: (i) a n < a n+ ; (ii) a n a n+. Analogicznie okre±lamy ci gi: n N n N malej cy i nierosn cy. Ci gi malej ce i rosn ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a nierosn ce i niemalej ce monotonicznymi. Mówimy te» o ci gach monotonicznych od pewnego miejsca. Monotoniczno± ci gu (a n ) okre±lamy badaj c znak ró»nicy kolejnych wyrazów a n+ a n. Je±li ci g (b n ) ma wyrazy dodatnie, to mo»emy te» porównywa iloraz bn+ b n z. Dla ci gów z poprzedniego przykªadu zachodzi: a n jest ograniczony i nie jest monotoniczny, ci g Fibbonaciego b n jest ograniczony z doªu, niemalej cy i rosn cy od drugiego miejsca, ci g c n jest ograniczony z doªu i rosn cy. Granica wªa±ciwa ci gu Def. 4 (granica wªa±ciwa). Mówimy,»e ci g a n jest zbie»ny do granicy a R, co zapisujemy lim a n = a (lub lim n a n = a) gdy Przykªady: 2. ε>0 n 0 N. lim ( )n 2n = 0. n>n 0 a n a < ε. 2. Ci g okre±lony wzorem d n = ( ) n n n+ nie jest zbie»ny do»adnej granicy. Granice niewªa±ciwe Mówimy,»e ci g a n jest zbie»ny do:., co zapisujemy lim a n = gdy M>0 n 0 N n>n 0 a n > M 2

3 2., co zapisujemy lim a n = gdy Przykªady: lim(n n 2 ) =. M>0 n 0 N n>n 0 a n < M. Ci g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci. 3. Ci g a n = ( 2) n nie jest zbie»ny do»adnej granicy. Arytmetyka granic Twierdzenie 2. Je»eli ci gi (a n ) i (b n ) s zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:. lim(a n ± b n ) = lim a n ± lim b n, 2. lim(c a n ) = c lim a n, gdzie c R, 3. lim(a n b n ) = lim a n lim b n, 4. lim a n b n = lim a n lim b n, o ile lim b n 0, 5. lim(a n ) k = (lim a n ) k, gdzie k N, 6. lim k a n = k lim a n. Wyznaczy granice danych ci gów: a n = 3n3 n 2 n 3 + 5n 2 + n ; b n = ( n n + 2 n); c n = n 2 2n + 3. n Twierdzenie 3.. Je±li lima n = ±, to lim a n = 0 ( ± = 0). 2. Je»eli lim a n = 0 i a n > 0 (a n < 0), to lim = ( ) ( a 0 =, + n 0 = ). Podobnie jako twierdzenia o granicach niewªa±ciwych ci gów czytamy skróty: a + = ; a = dla a > 0 ( a = dla a < 0); a = dla a > 0; a = 0 dla a < 0; a = dla a ; a = 0 dla a (, ). 3

4 Wzór na n-t pot g sumy n ( ) n (a + b) n = a n k b k = k k=0 ( ) n a n + na n b + a n 2 b nab n + b n. n 2 Wspóªczynniki wygodnie jest oblicza z tzw. trójk ta Pascala, którego budow tªumaczy wzór: ( ) ( ) ( ) n n n + + = k k + k Twierdzenie 4 (O trzech ci gach). Je»eli lim a n = lim c n = b oraz a n b n c n dla prawie wszystkich n N, to lim b n = b. Przykªady: 4.. lim n n = ; 2. lim n a = dla dowolnego a > 0; 3. Wyznaczy granic ci gu a n = n 2 n + 5 n. Twierdzenie 5 (O dwóch ci gach). Je»eli lim a n = oraz a n b n dla prawie wszystkich n N, to lim b n =. Twierdzenie 6. Je»eli ci g jest rosn cy i ograniczony z góry, to ma granic wªa±ciw. Def. 5. Liczb Eulera e nazywamy granic ci gu x n = ( + n )n. e := lim( + n )n. e 2, 72 2, jest liczb niewymiern. Przykªady: 5. Obliczy granice: lim( + 2n )n ; lim( n )n ; lim ( n+2 n. n+) Twierdzenie 7. Je»eli lim a n = 0, lim b n = ±, to lim( + a n ) an = lim( + b n ) bn = e. 4

5 Def. 6. Szeregiem nazywamy wyra»enie a n = a + a 2 + a , liczb a n nazywamy n-tym wyrazem szeregu, a sum n S n := a k = a + a 2 + a a n k= n-t sum cz ±ciow. Mówimy,»e szereg jest zbie»ny gdy ci g (S n ) jego sum cz ±ciowych jest zbie»ny do granicy wªa±ciwej, rozbie»ny do ± gdy lim S n = ±, rozbie»ny gdy (S n ) nie ma granicy (ani wªa±ciwej ani niewªa±ciwej). Je±li szereg jet zbie»ny, to granic ci gu sum cz ±ciowych nazywamy jego sum i oznaczamy a n (tak samo jak szereg!), czyli a n := lim S n. Twierdzenie 8 (O sumie szeregu geometrycznego). Je»eli q <, to a q. Przykªad:. Wyznaczy sumy danych szeregów: a) 2 n + 5 n 7 n. Twierdzenie 9. Je»eli szeregi a n i b n s zbie»ne, to aq n = n=0 (n + 2)(n + 3) ; b). (a n + b n ) = a n + b n ; 2. ca n = c a n. Uwaga. Je»eli szereg a n jest zbie»ny, to lim a n = 0. 5

6 Uwaga 2. Liczb Eulera mo»na te» zdeniowa jako sum szeregu: e := n! = +! + 2! + 3! + 4! (0! := ) Zbie»no± tego szeregu do e jest znacznie 5! szybsza ni» zbie»no± ci gu a n = ( + n )n. n=o 6