Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
|
|
- Franciszek Szymczak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno Przyrodniczy Bydgoszcz Grudzień 2010
2 1 Wyrażenia wymierne 2 Funkcja potęgowa 3 Funkcja logarytmiczna 4 Funkcja wykładnicza
3 W tej części... 1 Wyrażenia wymierne Odwrotna proporcjonalność Funkcja wymierna Funkcja homograficzna Równanie wymierne Nierówność wymierna Zadania
4 Odwrotna proporcjonalność Definicja Wielkości związane zależnością: y = a x gdzie a 0 nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi. Czas przejazdu t z miasta do miasta jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości v: t = s v, gdzie symbol s oznacza drogę.
5 Odwrotna proporcjonalność Definicja Wielkości związane zależnością: y = a x gdzie a 0 nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi. Czas przejazdu t z miasta do miasta jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości v: t = s v, gdzie symbol s oznacza drogę. Liczba litrów benzyny n jest odwrotnie proporcjonalna do ceny c, jeżeli tankujemy za każdym razem za tę samą sumę s: n = s c.
6 Funkcja wymierna Definicja Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, czyli: f (x) = W (x) Q(x), gdzie Q(x) 0. Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór D f = R \ {x 1, x 2,, x k }, gdzie x 1, x 2,, x k są pierwiastkami wielomianu Q(x). Wyznacz dziedzinę funkcji: f (x) = x 4 +1 (x 2 1)(x+2) 2.
7 Funkcja wymierna Definicja Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, czyli: f (x) = W (x) Q(x), gdzie Q(x) 0. Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór D f = R \ {x 1, x 2,, x k }, gdzie x 1, x 2,, x k są pierwiastkami wielomianu Q(x). Wyznacz dziedzinę funkcji: f (x) = x 4 +1 (x 2 1)(x+2) 2. Rozwiązanie Q(x) = (x 2 1)(x + 2) 2 = (x 1)(x + 1)(x + 2) 2 Q(x) = 0 (x 1)(x + 1)(x + 2) 2 = 0 x = 1 lub x = 1 lub x = 2. Zatem D f = R \ { 2, 1, 1}.
8 Definicja Funkcje wymierne postaci: A (x a) 2, Ax+B (x 2 +px+q) m, gdzie n, m N, = p 2 4q < 0, A, B R, nazywamy ułamkami prostymi. Twierdzenie Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę wielomianu i pewnej liczby ułamków prostych.
9 Funkcja homograficzna Definicja Funkcję wymierną postaci: f (x) = ax+b cx+d, gdzie ad bc i c 0 nazywamy funkcją homograficzną. Uwaga Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór: D f = R \ { d c }, gdzie d c jest pierwiastkiem wielomianu cx + d. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola, której asymptotami są proste y = a d c (asymptota pozioma) oraz x = c (asymptota pionowa). Funkcja homograficzna jest różnowartościowa i przedziałami rosnąca (gdy ad bc > 0) lub przedziałami malejąca (gdy ad bc < 0 ).
10 Szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej jest funkcja o wzorze y = a x, gdzie a 0, której asymptotami są osie układu. Dla a > 0 funkcja y = a x jest przedziałami malejąca: y np. y = 2 x ; y = 3 x x Dla a < 0 funkcja y = a x jest przedziałami rosnąca: y np. y = 2 x ; y = 1 x x
11 Wykres funkcji: y = a x α różni się od wykresu funkcji: y = a x tym, że asymptotą pionową przestała być oś Oy, a została prosta x = α (miejsce zerowe mianownika). Gdy α > 0, to wykres funkcji y = a x przesuwamy o α jednostek w prawo: y np. y = 2 x 3 ; y = 3 x 5 x Gdy α < 0, to wykres funkcji y = a x przesuwamy o α jednostek w lewo: y np. y = 2 x+2 ; y = 1 x x
12 Wykres funkcji: y = a x + β różni się od wykresu funkcji: y = a x tym, że asymptotą poziomą przestała być oś Ox, a została prosta y = β. Gdy β > 0, to wykres funkcji y = a x przesuwamy o β jednostek w górę: y np. y = 2 x + 2; y = 3 x + 5 x Gdy β < 0, to wykres funkcji y = a x przesuwamy o β jednostek w dół: y np. y = 2 x 3; y = 1 x 5 x
13 a Wykres funkcji y = x α + β otrzymamy przesuwając wykres funkcji y = a x równolegle do osi Ox o α jednostek w prawo (gdy α > 0) lub w lewo (gdy α < 0) oraz równolegle do osi Oy o β jednostek w górę (gdy β > 0) lub w dół (gdy β < 0). Czyli przesuwamy wykres funkcji y = a x o wektor [α, β]. Asymptotami tej hiperboli są proste x = α (asymptota pionowa) oraz y = β (asymptota pozioma). y = 2 x+2 3, czyli wykres funkcji y = 2 x przesuwamy o wektor [ 2, 3]: y x y = 1 x 2 + 1, czyli wykres funkcji y = 1 x przesuwamy o wektor [2, 1]: y x
14 Uwaga Dzieląc licznik przez mianownik funkcję homograficzną y = ax+b cx+d można zapisać w postaci: y = a x α + β. Mianowicie (ax + b)(cx + d) = a c + b ad c cx+d = a bc ad c + c 2. x+ d c Wystarczy teraz podstawić: a = bc ad, α = d c 2 c oraz β = a c, aby otrzymać żądaną postać. Zapisz funkcję y = 6x+1 1 x w postaci y = a x α + β.
15 Uwaga Dzieląc licznik przez mianownik funkcję homograficzną y = ax+b cx+d można zapisać w postaci: y = a x α + β. Mianowicie (ax + b)(cx + d) = a c + b ad c cx+d = a bc ad c + c 2. x+ d c Wystarczy teraz podstawić: a = bc ad, α = d c 2 c oraz β = a c, aby otrzymać żądaną postać. Zapisz funkcję y = 6x+1 1 x w postaci y = a x α + β. Rozwiązanie y = 6x+1 1 x Odp. y = 7 = 6x 1 x 1 x 1 6 = 6(x 1) 7 x 1 = x 1.
16 Określ dziedzinę i monotoniczność funkcji: y = 2 x x+3, a następnie narysuj jej wykres.
17 Określ dziedzinę i monotoniczność funkcji: y = 2 x x+3, a następnie narysuj jej wykres. Rozwiązanie D = R \ { 3}, ad cd = = 3 2 = 5, zatem funkcja jest przedziałami malejąca. a = bc ad c = = 5, α = d c = 3 1 = 3, β = a c = 1 1 = 1. Stąd y = 2 x x+3 = 5 x+3 1 (co mogliśmy także uzyskać dzieląc licznik przez mianownik) y Wystarczy zatem narysować wykres funkcji: y = 5 x, a następnie przesunąć go o wektor [ 3, 1] x
18 Równanie wymierne Definicja Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci: W (x) Q(x) = 0, gdzie W (x) i Q(x) oznaczają wielomiany oraz Q(x) 0. Uwaga Równanie postaci: A(x) B(x) = C(x) D(x), gdzie A(x), B(x), C(x), D(x) są dowolnymi wielomianami oraz B(x) 0 i D(x) 0, rozwiązujemy sprowadzając do postaci: W (x) Q(x) = 0. Następnie korzystamy z poniższego twierdzenia: Twierdzenie W (x) Q(x) = 0 W (x) = 0 i Q(x) 0.
19 Rozwiąż równanie: x x 2 +1 = x2 x+3.
20 Rozwiąż równanie: Rozwiązanie x x 2 +1 = x2 x+3. x D = R \ { 3}; x 2 +1 = x2 x+3 x x 2 +1 x2 x+3 = 0 3x x 4 (x 2 +1)(x+3) = 0 3x x 4 = 0 i x 3 x(3 x 3 ) = 0 i x 3 x = 0 D lub x = 3 3 D. Odp. x = 0 lub x = 3 3. Rozwiąż równanie: 3x 2 1 4x = 5.
21 Rozwiąż równanie: Rozwiązanie x x 2 +1 = x2 x+3. x D = R \ { 3}; x 2 +1 = x2 x+3 x x 2 +1 x2 x+3 = 0 3x x 4 (x 2 +1)(x+3) = 0 3x x 4 = 0 i x 3 x(3 x 3 ) = 0 i x 3 x = 0 D lub x = 3 3 D. Odp. x = 0 lub x = 3 3. Rozwiąż równanie: 3x 2 1 4x = 5. Rozwiązanie D = R \ { 1 3x 2 4 }; 1 4x = 5 3x 2 1 4x 5 = 0 3x 2 5(1 4x) 1 4x = 0 23x 7 = 0 i x 1 4 x = D. Odp. x = 23.
22 Nierówność wymierna Definicja Nierówności postaci: W (x) Q(x) > 0, W (x) Q(x) < 0, W (x) Q(x) gdzie Q(x) 0 oraz W (x) i Q(x) są wielomianami, nazywamy nierównością wymierną. Uwaga Nierówności postaci: A(x) B(x) > C(x) D(x), A(x) B(x) < C(x) D(x), A(x) B(x) C(x) D(x) 0, W (x) Q(x) 0, oraz A(x) B(x) C(x) D(x), gdzie A(x), B(x), C(x), D(x) są dowolnymi wielomianami oraz B(x) 0 i D(x) 0, rozwiązujemy sprowadzając do postaci: W (x) Q(x) > 0, W (x) Q(x) < 0, W (x) Q(x) 0 oraz W (x) Q(x) 0.
23 Uwaga Rozwiązanie nierówności wymiernej sporwadzamy do rozwiązania nierówności algebraicznej, korzystając z następującego twierdzenia: Twierdzenie Następujące nierówności są równoważne: W (x) Q(x) W (x) Q(x) W (x) Q(x) W (x) Q(x) > 0 W (x) Q(x) > 0 i Q(x) 0, < 0 W (x) Q(x) < 0 i Q(x) 0, 0 W (x) Q(x) 0 i Q(x) 0, 0 W (x) Q(x) 0 i Q(x) 0, gdzie Q(x) 0 oraz W (x) i Q(x) są wielomianami.
24 Rozwiąż nierówność: x x 2 +1 x2 x+3.
25 Rozwiąż nierówność: Rozwiązanie x x 2 +1 x2 x+3 x x 2 +1 x2 x x 2 +1 x2 x+3. x+3 0 x(x+3) x 2 (x 2 +1) 0 3x x4 (x 2 +1)(x+3) (x 2 +1)(x+3) 0 (3x x 4 )(x 2 + 1)(x + 3) 0 i x 3 x(3 x 3 )(x 2 + 1)(x + 3) 0 i x 3 x( 3 3 x)( x 2 )(x 2 + 1)(x + 3) 0 i x 3 Wystarczy zbadać znak iloczynu: x( 3 3 x)(x + 3) Odp. x (, 3) [0, 3 3].
26 Zadania Zadanie Wyznacz dziedzinę funkcji wymiernych: a) f (x) = 4x 1 2x 2 6 (odp. D f = R \ { 3, 3}), b) f (x) = 3x5 4 x 2 +x 6 (odp. D f = R \ { 3, 2}), c) f (x) = 2x2 3x+5 x 3 x 2 4x+4 (odp. D f = R \ { 2, 1, 2}). Zadanie Korzystając z wykresów funkcji y = 2 x oraz y = 2 x naszkicuj wykresy funkcji: a) y = 2 x 4, b) y = 2 x + 2, c) y = 2 2 x 1 + 1, d) y = x+3. Określ ich dziedzinę i monotoniczność.
27 Zadanie Rozwiąż równania wymierne: a) 3x 6 x 2 = 2x + 1 (odp. x = 1), b) 4 x + 6 x+1 = 4 (odp. x = 1 2 c) 2x 4x 2 1 = 2 3 (odp. x = 1 4 d) x+2 x x = ). lub x = 2), lub x = 1), + 2x 5 x 4 = 4 x 2 (odp. x = 1 lub x = lub Zadanie Rozwiąż nierówności wymierne: 3 a) x+1 > 2 x 1 (odp. x ( 1, 1) (5, + )), b) x 2 x+2 + x+2 x 2 < 0 (odp. x ( 2, 2)), c) 2x 3 x 2 1 2(odp. x [ , 1) ( 1, 1) (1, ]), d) x2 +3x 1 1 (odp. x (, 5 4 x 2 2 ] [ 1, 1)).
28 W tej części... 2 Funkcja potęgowa Prawa działań na potęgach i pierwiastkach Funkcja potęgowa Wykres funkcji potęgowej Równania potęgowe Nierówności potęgowe
29 Prawa działań na potęgach i pierwiastkach Wzory a 0 = 1 a 1 = a a n = 1 a n ( a b ) n = ( b a )n a 1 n = n a a m n = ( n a) m = n a m a m a n = a m+n a m a = a m n n (a m ) n = a m n (a b) m = a m b n ( a b )m = am b n m a n b = n a b a b = n a n n b y 2 0 = 1, 5 0 = 1, ( 3) 0 = = 2, 5 1 = 5, ( 3) 1 = = 1 2, 5 4 = 1, ( 3) 8 = ( 3) 8 ( 2 3 ) 1 = 3 2, ( 10 7 ) 2 = ( 7 10 ) = 9 = 3, = 3 8 = = ( 3 4) 2 = = 3 16 = = = = = 2 2 = 2 = (2 3 ) 4 = = = 4096 (3 5) 2 = = 9 5 = 45 ( 3 5 )2 = 32 = = 6, = 3 8 = = 4 9 = 2 3, = = 3 5 2
30 Funkcja potęgowa Definicja Funkcję f (x) = x p nazywamy funkcją potęgową, gdzie p R. Własność Dziedzina funkcji potęgowej zależy od wykładnika p. Oznaczenia: R + zbiór liczb rzeczywistych dodatnich,
31 Funkcja potęgowa o wykładniku rzeczywistym y 6 x e 5 x x 3 x x x 1/π x 1.15 x p < 0 0 < p < 1 1 < p D = R + D = R + {0} D = R + {0} malejąca rosnąca rosnąca różnowartościowa dodatnia nieujemna wypukła wklęsła wypukła Uwaga: dla niektórych wykładników dziedzinę funkcji potęgowej można rozszerzyć na liczby ujemne.
32 Wykładniki wymierne o nieparzystych mianownikach Jeżeli p jest liczbą wymierną, która po uproszczeniu jest ułamkiem o nieparzystym mianowniku i nieparzystym liczniku (w szczególności nieparzystą liczbą całkowitą), to można określić wartość funkcji potęgowej dla ujemnych argumentów przyjmując x p = ( x) p. Otrzymana w ten sposób funkcja jest nieparzysta. y x x 1/3 3 x 3 x 5/3 x 3/5 p < 0 0 < p < 1 1 < p 3 x D = R \ D = R D = R x 1/3 {0} przedziałami rosnąca rosnąca malejąca różnowartościowa dodatnia x > 0, ujemna x < 0 zmienia wypukłość w 0
33 Wykładniki wymierne o parzystych mianownikach Jeżeli p jest liczbą wymierną, która po uproszczeniu jest ułamkiem o nieparzystym mianowniku i parzystym liczniku (w szczególności parzystą liczbą całkowitą), to można określić wartość funkcji potęgowej dla ujemnych argumentów przyjmując x p = ( x) p. Otrzymana w ten sposób funkcja jest parzysta. x 4/5 y 3 x 2 2 x 2/5 1 x 4/ x 3 p < 0 0 < p < 1 1 < p D = R \ D = R D = R {0} zmienia monotoniczność w 0 nie jest różnowartościowa dodatnia nieujemna zmienia wypukłość w 0 wypukła
34 Funkcja potęgowa o wykładniku 0 Wykładnik zerowy: p = 0, f (x) = { x 0 x 0 1 x = 0 1, D = R, y x 0 x Uwaga: nie oznacza to, że wyrażenie postaci 0 0 ma sens. W tym przypadku 0 0 jest granicą wyrażeń x 0, kóre są stale równe 1.
35 Równania potęgowe Definicja Równaniem potęgowym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje pod znakiem potęgi. Rozwiąż równanie: x x 1 5 = 28.
36 Równania potęgowe Definicja Równaniem potęgowym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje pod znakiem potęgi. Rozwiąż równanie: x x 1 5 = 28. Rozwiązanie Ustalmy na początek dziedzinę tej funkcji: D = R. To równanie sprowadzamy do równania kwadratowego wykonując podstawienie: x 1 5 = t; t 0. t 2 + 3t 28 = 0; = 121; = 11, t 1 = 7 / D, t 2 = 4 D x 1 5 = 4, x = 4 5 = Odp. x = 1024
37 Rozwiąż równanie: 4x + 5 2x 6 = 3.
38 Rozwiąż równanie: 4x + 5 2x 6 = 3. Rozwiązanie Ustalmy dziedzinę: 4x i 2x 6 0 x 5 4 i x 6 2 x 3. Czyli D = [3, + ). Wyrażenie podnosimy do kwadratu (lewa i prawa strona jest dodatnia): ( 4x + 5 2x 6) 2 = 9 4x (4x + 5)(2x 6) + 2x 6 = 9 2 8x 2 14x 30 = 6x x 2 14x 30 = 3x 5 Żeby równanie to miało sens muszą zachodzić warunki: x [3, + ) i 8x 2 14x 30 0 i 3x 5 0 x [3, + ) i x ( [ ; 5] ; + ; ) i x 5 3 x [3, + ). Ponownie podnosimy do kwadratu: 8x 2 14x 30 = (3x 5) 2, 8x 2 14x 30 = 9x 2 30x + 25 x x 55 = 0. Czyli: x 1 = 5 [3; + ) oraz x 2 = 11 [3; + ) Odp. x = 5 lub x = 11.
39 Nierówności potęgowe Definicja Nierównością potęgową nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem potęgi. Uwaga Rozwiązując nierówności potęgowe możemy obustronnie pomnożyć nierówności przez x k, gdzie k jest liczbą dodatnią parzystą. Rozwiąż nierówność: x 4 > x 3.
40 Nierówności potęgowe Definicja Nierównością potęgową nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem potęgi. Uwaga Rozwiązując nierówności potęgowe możemy obustronnie pomnożyć nierówności przez x k, gdzie k jest liczbą dodatnią parzystą. Rozwiąż nierówność: x 4 > x 3. Rozwiązanie 1 Aby ustalić dziedzinę, przekształcamy naszą nierówność: x > 1 4 x. 3 Zatem: D = R \ {0}. Możemy teraz pomnożyć obie strony przez x 4 (x 4 > 0 dla każdego x D). Mamy: 1 x > 0 x < 1 Uwzględniając dziedzinę otrzymujemy: x (, 0) (0, 1).
41 Rozwiąż nierówność: x 3 8.
42 Rozwiąż nierówność: x 3 8. Rozwiązanie Ustalamy dziedzinę: D = R \ {0}. Tym razem rozwiążemy tę nierówność w standardowy sposób. 1 Przenosimy wszystko na lewą stronę: x Sprowadzamy do wspólnego mianownika: 1 8x 3 x 0 3 x 3 (1 2x)(1 + 2x + 4x 2 ) 0 i x 0 Ustalamy znak iloczynu zaznaczając pierwiastki na osi: x 1 = 0 i x 2 = 1 2, Uwzględniając dziedzinę otrzymujemy rozwiązanie: x (, 0) [ 1 2, + ).
43 Zadanie Oblicz: a) :9 7 +(0,47) 0, b) 275 :81 4 (2 1 ) 3 ( 9) 2. Zadanie Rozwiąż równania: a) 2x 3 = 3x + 2, b) x 1 = 2x 1 + 2, c) x 2 3 = 9, d) x + x 1 2 = 12. Zadanie Rozwiąż nierówności: a) x 2 > x 3, b) x 1 2 3x > 0, c) 3x 1 6 > x 1 4.
44 W tej części... 3 Funkcja logarytmiczna Definicja logarytmu Prawa działań na logarytmach Wykres funkcji logarytmicznej Przekształcanie wykresu funkcji logarytmicznej Równania logarytmiczne Nierówności logarytmiczne
45 Definicja logarytmu log a b logarytm z liczby b przy podstawie a log 2 8 logarytm z 8 przy podstawie 2 log 100 logarytm dziesiętny z 100 (ma w podstawie 10) ln 6 logarytm naturalny z 6 (ma w podstawie e 2, 718) Definicja Jeżeli a > 0 i a 1 oraz b > 0, to log a b = c a c = b. log 2 8 = 3 dlatego, że 2 3 = 8 log 4 16 = 2 dlatego, że 4 2 = 16 log 1000 = 3 dlatego, że 10 3 = 1000
46 Prawa działań na logarytmach Wzory log a 1 = 0 log a a = 1 log a a k = k log a x k = k log a x a log a x = x log a (x y) = log a x +log a y log a x y = log a x log a y log a b = log c b log c a log a b = 1 log b a y log 3 1 = 0; log 12 1 = 0 log 3 3 = 1; log = 1 log = 3; log = 3 log = 5 log log 3 5 = 5; (12) log 12 7 = 7 log 2 (3 5) = log log 2 5 log = log 2 3 log 2 5 log 2 3 = log 13 3 log 13 2 log 3 8 = 1 log 8 3
47 Wykres funkcji logarytmicznej Definicja Funkcję y = log a x, gdzie a > 0 i a 1 nazywamy funkcją logarytmiczną. Wykres funkcji logarytmicznej zależy od podstawy a: dla a > 1 funkcja logarytmiczna jest rosnąca: dla 0 < a < 1 funkcja logarytmiczna jest malejąca: y = ln x (czerwony); y = log 2 x (niebieski) y = log 1/2 x (czerwony); y = log 0,3 x (niebieski) Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
48 Dziedzina funkcji logarytmicznej w zadaniach Wyznacz dziedzinę funkcji: y = 1 ln(x+1).
49 Dziedzina funkcji logarytmicznej w zadaniach Wyznacz dziedzinę funkcji: y = 1 ln(x+1). Rozwiązanie { x + 1 > 0 ln(x + 1) 0 { x > 1 x + 1) 1 { x > 1 ln(x + 1) ln 1 { x > 1 x 0 Odp. x ( 1; 0) (0; + ).
50 Wyznacz dziedzinę funkcji: y = log 1 x 4. 2
51 Wyznacz dziedzinę funkcji: y = log 1 x 4. 2 Rozwiązanie log 1 x x 4 > 0 { x 4 1 x 4 Odp. x (3, 4) (4, 5). log 1 2 x 4 { 3 < x < 5 x 4 x 4 log 1 1 2
52 Przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej Naszkicuj wykres funkcji f (x) = log 2 x, a następnie naszkicuj wykres funkcji g(x) symetrycznej do f (x) względem: a) osi Ox b) osi Oy c) prostej y = x d) początku układu współrzędnych Podaj wzór funkcji g(x), D g, W g oraz przedziały monotoniczności.
53 Przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej Naszkicuj wykres funkcji f (x) = log 2 x, a następnie naszkicuj wykres funkcji g(x) symetrycznej do f (x) względem: a) osi Ox b) osi Oy c) prostej y = x d) początku układu współrzędnych Podaj wzór funkcji g(x), D g, W g oraz przedziały monotoniczności. Rozwiązanie a) g(x) = log 2 x, D g = (0, + ), W g = (, + ), funkcja malejąca w całej dziedzinie.
54 Rozwiązanie b) g(x) = log 2 ( x), D g = (, 0), W g = (, + ), funkcja malejąca w całej dziedzinie. c) g(x) = 2 x, D g = (, + ), W g = (0, + ), funkcja rosnąca w całej dziedzinie.
55 Rozwiązanie d) g(x) = log 2 ( x), D g = (, 0), W g = (, + ), funkcja rosnąca w całej dziedzinie.
56 Równania logarytmiczne Uwaga Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych korzystamy z faktu, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa: jeżeli a > 0 i a 1 oraz log a x 1 = log a x 2, to x 1 = x 2. Zadanie Rozwiąż równanie: log 4 [log 3 (log 2 x)] = 0
57 Równania logarytmiczne Uwaga Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych korzystamy z faktu, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa: jeżeli a > 0 i a 1 oraz log a x 1 = log a x 2, to x 1 = x 2. Zadanie Rozwiąż równanie: log 4 [log 3 (log 2 x)] = 0 Rozwiązanie Zał. x > 0 i log 2 x > 0 i log 3 (log 2 x) > 0 x > 2 log 4 [log 3 (log 2 x)] = log 4 1 log 3 (log 2 x) = 1 log 3 (log 2 x) = log 3 3 log 2 x = 3 log 2 x = 3 log 2 2 log 2 x = log x = 2 3 (spełnia założenie x > 2) Odp. x = 8.
58 Nierówności logarytmiczne Uwaga Rozwiązując nierówności logarytmiczne korzystamy z faktu, że funkcja logarytmiczna jest monotoniczna: jeżeli a > 1 oraz log a x 1 > log a x 2, to x 1 > x 2 (f. rosnąca) jeżeli 0 < a < 1 oraz log a x 1 > log a x 2, to x 1 < x 2 (f. malejąca) Rozwiąż nierówność: log 3 ( 1 2x 1+x ) 1.
59 Nierówności logarytmiczne Uwaga Rozwiązując nierówności logarytmiczne korzystamy z faktu, że funkcja logarytmiczna jest monotoniczna: jeżeli a > 1 oraz log a x 1 > log a x 2, to x 1 > x 2 (f. rosnąca) jeżeli 0 < a < 1 oraz log a x 1 > log a x 2, to x 1 < x 2 (f. malejąca) Rozwiąż nierówność: log 3 ( 1 2x 1+x Rozwiązanie Zał. 1 2x ) 1. 1+x > 0 (1 2x)(1 + x) > 0 x ( 1; 1 ( ) 2 ); log 1 2x 3 1+x log x 1+x 3 1 2x 1+x x 3 3x 1+x 0 2 5x 1+x 0 ( 2 5x)(1 + x) 0 i 1 + x 0 ( x 1; 2 5 ( 1; 1 2 )
60 Nierówności logarytmiczno-wykładnicze Rozwiąż równanie: 3 log x = 1 27.
61 Nierówności logarytmiczno-wykładnicze Rozwiąż równanie: 3 log x = Rozwiązanie Zał. x > 0; 3 log x = 3 3 log x = 3 x = 10 3 x = (spełnia założenie x > 0).
62 Zadania Zadanie Wyznacz dziedzinę funkcji: 1 a) f (x) = 1+log 2 x log 2 x + 5, (odp. D = (0, 1 2 ) ( 1 2, 8) (8, + )) b) f (x) = log 1 (25 x 2 ) (odp. D = ( 5, 3 3, 5)) Zadanie Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = log 3 (x 3), b) y = ln x, c) y = log 1 ( x). 3
63 Zadanie Rozwiąż równania: a) log 2 3 x log 3 x = 0, (odp. x = 3 lub x = 9) b) log 16 x + log 4 x + log 2 x = 7. (odp. x = 16) Zadanie Rozwiąż nierówności: a) log x (x 2 3) log x (x 1) > 0, (odp. x > 3) b) log 2 (x + 1) > 3, (odp. x > 7) c) log 1 3 [log 4(x 2 5)] > 0. (odp. x ( 3; 5) ( 5; 3)) Zadanie Oblicz x: x = log 2 [ab(a b 1 2 ) 2 a b], gdzie log 2 a = 3 oraz log 2 b = 5. (odp. x = 5)
64 Zadanie Wyznacz zbiór tych wartości x, które są rozwiązaniem jednocześnie wszystkich trzech nierówności: a) 2 log 1 (x 1) log 1 (x + 1) 1, 3 3 b) 2 x x + 6 < 5 2 x+1, c) x 2 < 3. (odp. x 2, 5)) Zadanie Dla jakich wartości x, liczby: 3; log 2 2x + 4 x ; log 2 (2 2x ) są trzema kolejnymi, początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego? Oblicz różnicę r tego ciągu i wyznacz dane liczby. (odp. dla x = 0 podane wyrażenia tworzą ciąg arytmetyczny postaci: 3; 1 2, 2; r = 5 2 ).
65 W tej części... 4 Funkcja wykładnicza Definicja i wykres funkcji wykładniczej Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej Równania wykładnicze Nierówności wykładnicze Zadania
66 Definicja i wykres funkcji wykładniczej Definicja Funkcję f (x) = a x, gdzie a > 0 nazywamy funkcją wykładniczą. Wykres funkcji wykładniczej zależy od podstawy a: dla a > 1 funkcja wykładnicza jest rosnąca: dla 0 < a < 1 funkcja wykładnicza jest malejąca: y = 2 x (czerwony); y = e x (niebieski) y = 1 x 2 (czerw.); y = ( 1 e )x = e x (nieb.)
67 dla a = 1 funkcja wykładnicza jest funkcją stałą: Uwaga Dla a > 0 i a 1 funkcja wykładnicza jest różnowartościowa.
68 Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej Na podstawie wykresu funkcji f (x) = 2 x sporządzić wykresy: a) g(x) = 2 x 1, b) h(x) = 2 x, c) F (x) = 2 x, d) G(x) = 2 x.
69 Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej Na podstawie wykresu funkcji f (x) = 2 x sporządzić wykresy: a) g(x) = 2 x 1, b) h(x) = 2 x, c) F (x) = 2 x, d) G(x) = 2 x. Rozwiązanie a) Przesunięcie równoległe o jedną jednostkę w prawo b) Symetria względem osi Ox g(x) = 2 x 1 h(x) = 2 x
70 Rozwiązanie c) Symetria względem osi Oy d) G(x) = 2 x = { 2 x dla x 0 2 x dla x < 0 F (x) = 2 x
71 Równania wykładnicze Uwaga Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych korzystamy z różnowartościowości funkcji wykładniczej: jeżeli a > 0 i a 1 oraz a x 1 = a x 2, to x 1 = x 2. Rozwiąż równanie: 3 5x 8 = 9 x 3.
72 Równania wykładnicze Uwaga Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych korzystamy z różnowartościowości funkcji wykładniczej: jeżeli a > 0 i a 1 oraz a x 1 = a x 2, to x 1 = x 2. Rozwiąż równanie: 3 5x 8 = 9 x 3. Rozwiązanie Zawsze, jeśli to możliwe doprowadzamy do postaci: a x 1 = a x 2. Zapisujemy zatem kolejno: 3 5x 8 = (3 2 ) x 3 3 5x 8 = 3 2x 6 5x 8 = 2x 6 x = 2 3
73 Rozwiąż równanie: 2 16 x 2 4x 4 2x 2 = 15.
74 Rozwiąż równanie: 2 16 x 2 4x 4 2x 2 = 15. Rozwiązanie Przekształcamy lewą stronę nierówności: L = 2 16 x 2 4x 4 2x 2 = 2 (2 4 ) x 2 4x (2 2 ) 2x 2 = = 2 2 4x 2 4x 2 4x 4 = 2 4x x = 2 4x Zatem 2 4x = 15. Stąd 2 4x = 16, co daje 2 4x = 2 4. Więc x = 1.
75 Rozwiąż równanie: 2 16 x 17 4 x + 8 = 0.
76 Rozwiąż równanie: 2 16 x 17 4 x + 8 = 0. Rozwiązanie Tutaj nie uda się doprowadzić do postaci: a x 1 = a x 2. Postępujemy następująco: wprowadzamy zmienną pomocniczą t, stosując podstawienie: 4 x = t, gdzie t > 0. 2 t 2 17t + 8 = 0 = 225; t 1 = 1 2 ; t 2 = 8 Oba rozwiązania są dodatnie, zatem: 4 x = 1 2 lub 4x = 8 2 2x = 2 1 lub 2 2x = 2 3 2x = 1 lub 2x = 3 x = 1 2 lub x = 3 2
77 Nierówności wykładnicze Uwaga Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej: 1) jeżeli a > 1 oraz a x1 > a x2, to x 1 > x 2 (f. rosnąca), 2) jeżeli 0 < a < 1 oraz a x1 > a x2, to x 1 < x 2 (f. malejąca). Rozwiąż nierówności: a) ( 1 4 )4x < 1 64, b) 5 x+3 < 7 x
78 Nierówności wykładnicze Uwaga Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej: 1) jeżeli a > 1 oraz a x1 > a x2, to x 1 > x 2 (f. rosnąca), 2) jeżeli 0 < a < 1 oraz a x1 > a x2, to x 1 < x 2 (f. malejąca). Rozwiąż nierówności: a) ( 1 4 )4x < 1 64, b) 5 x+3 < 7 x Rozwiązanie Doprowadzamy, jeżeli można do postaci a x1 < a x2 i korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej (patrz uwaga powyżej). a) ( 1 4 )4x < ( 1 4 )3 4x > 3 x > 3 4 b) 5 x+3 < 7 x < 7 1 x x < 7 1 x 7 7x x 5 < 7 x 5 ( 7 5 )x < ( 7 5 )1 x < 1
79 Zadania Zadanie Bazując na wykresie funkcji y = 2 x naszkicuj wykresy: a) y = 2 x+1, b) y = 2 x, c) y = 2 x, d) y = 2 x + 1. Zadanie Rozwiąż nierówności: a) 3 2 x > 0, (odp. dla każdego x 0) b) 2 x+1 < 4 x 2, (odp. x < 1 lub x > 1 2 ) c) 8 x x x+1. (odp. x [1, )) Zadanie Rozwiąż równania: a) 6 x 5 36 x+3 = 6 16, (odp. x = 1 1 ) b) ( 3 4 )x 1 ( 4 3 ) 1 x = 9 16, (odp. x = lub x = c) 2 x x + 6 < 5 2 x+1, (odp. x (1; + )) d) 3 x + 3 2x + 3 3x + = 1 2. (odp. x = 1) 2 )
MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoKurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoMatematyka dla liceum/funkcja liniowa
Matematyka dla liceum/funkcja liniowa 1 Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Funkcja liniowa Wstęp Co zawiera dział Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 9. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 2017/2018 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 9 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY Dla dowolnej liczby a > 0, liczby
Bardziej szczegółowoKLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6
KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoK P K P R K P R D K P R D W
KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3
Bardziej szczegółowo14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Bardziej szczegółowo'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu
Bardziej szczegółowoPAKIET MathCad - Część III
Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIANY Z MATEMATYKI
SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9
Bardziej szczegółowonie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?
Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda
Bardziej szczegółowoZagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr
Zagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr I. Wyrażenia wymierne: funkcja wymierna - Dziedzina wyrażenia wymiernego. - Skarcenie
Bardziej szczegółowoMatematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi
Bardziej szczegółowoCzas pracy 170 minut
ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,
Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Zadanie (0 ) Opis wymagań pojęcia
Bardziej szczegółowoMatematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II
Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II 1.Uzupełnienie treści ujętych w działach klasy I. 1.Rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2013/2014
WMG DUKCJ Z MTMTK W KLS TRZCJ GMZJUM WG PROGRMU MTMTK Z PLUSM w roku szkolnym 2013/2014 L C Z B OC DOPUSZCZJĄC DOSTTCZ DOBR BRDZO DOBR CLUJĄC zna pojęcie liczby naturalnej, zna pojęcie notacji wykładniczej
Bardziej szczegółowoJan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia
Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 4 do PSO z matematyki
Załącznik nr 4 do PSO z matematyki Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki na poziomie rozszerzonym Charakterystyka wymagań na poszczególne oceny: Wymagania na ocenę dopuszczającą dotyczą
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES I. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie notacji wykładniczej. 2. Zna sposób
Bardziej szczegółowoKOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk
KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: definiuje notację
Bardziej szczegółowoMatematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY II
1 ZAŁOśENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II (zakres podstawowy z rozszerzeniem) Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia DKW-4015-37/01. Liczba godzin nauki
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2. Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MARZEC ROK Czas pracy 150 minut
Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 2008 PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2 Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoFunkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x
Bardziej szczegółowo1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych.
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych LICEUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B Zadanie. (pkt) Rozwiąż
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów
Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI
MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9
Bardziej szczegółowoDZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) TEMAT ZAJĘĆ CELE PODSTAWOWE CELE PONADPODSTAWOWE 1. Lekcja organizacyjna. Uczeń:
DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) TEMAT ZAJĘĆ CELE PODSTAWOWE CELE PONADPODSTAWOWE 1. Lekcja organizacyjna. Uczeń: Uczeń: zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych
PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C
Bardziej szczegółowoARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1
Bardziej szczegółowoRozkład materiału klasa 1BW
Rozkład materiału klasa BW wg podręcznika Matematyka kl. wyd. Nowa Era 2h x 38 tyg. = 76h lekcyjnych LICZBYRZECZYWISTE (7 godz.). Zapoznanie z programem nauczania, wymaganiami edukacyjnymi, zasadami BHP
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowotel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 NIP 7343246017 Regon 120493751
Zespół Placówek Kształcenia Zawodowego 33-300 Nowy Sącz ul. Zamenhoffa 1 tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 http://zpkz.nowysacz.pl e-mail biuro@ckp-ns.edu.pl NIP 7343246017 Regon 120493751 Wskazówki
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I TM w roku szkolnym 2012/2013
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I TM w roku szkolnym 2012/2013 Uczeń otrzymuje ocenę celującą, gdy: a) w 100% opanował treści zawarte w programie nauczania. Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą,
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoZadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3
Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Równanie x2 3x+2 = 0 ma: x 2 4 A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki ZADANIE 2 (1 PKT) Liczba b jest 3 razy większa od liczby a. Wtedy
Bardziej szczegółowoCzy zdążyłbyś w czasie, w jakim potrzebuje światło słoneczne, aby dotrzeć do Saturna, oglądnąć polski hit kinowy: Nad życie Anny Pluteckiej-Mesjasz?
ZADANIE 1. (4pkt./12min.) Czy zdążyłbyś w czasie, w jakim potrzebuje światło słoneczne, aby dotrzeć do Saturna, oglądnąć polski hit kinowy: Nad życie Anny Pluteckiej-Mesjasz? 1. Wszelkie potrzebne dane
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE W ROKU SZKOLNYM 2014 /2015
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2014 /2015 Wymagania edukacyjne dostosowane są do programu MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
Bardziej szczegółowoXIII KONKURS MATEMATYCZNY
XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY
MATEMATYKA Poziom wyższy TEST DYDAKTYCZNY Maksymalna ilość punktów: 50 Próg zaliczenia: 33 % 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań Test dydaktyczny zawiera 23 zadania. Czas pracy oznaczono w kartach
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymaga egzaminacyjnych Zdaj cy posiada umiej tno ci w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowo7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka
7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka Oczekiwane przygotowanie informatyczne absolwenta gimnazjum Zbieranie i opracowywanie danych za pomocą arkusza kalkulacyjnego Uczeń: wypełnia komórki
Bardziej szczegółowoOdpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem
Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz Zadania zamknięte Numer zadania Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania B W ( ) + 8 ( ) 8 W ( 7) ( 7) ( 7 ) 8 ( 7) ( 8) 8 ( 8) Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest
Bardziej szczegółowoZadania z parametrem
Zadania z paramerem Zadania z paramerem są bardzo nielubiane przez maurzysów Nie jes ławo odpowiedzieć na pyanie: dlaczego? Nie są o zadania o dużej skali rudności Myślę, że głównym powodem akiego sanu
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki kl.i
I Matematyka klasa I - wymagania programowe DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej (K) rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne (K) umie porównywać
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy.
Granice funkcji Definicja (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f() w punkcie = a, co zapisujemy f() = g (.) a jeżeli dla każdego ε > 0 można wskazać taką liczbę (istnieje
Bardziej szczegółowoOpis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej
Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi
Bardziej szczegółowo2.Prawo zachowania masy
2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco
Bardziej szczegółowoNUMER IDENTYFIKATORA:
Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoROK SZKOLNY 2012/2013
PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH ROK SZKOLNY 2012/2013 OPRACOWANY NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM, NR DPN-5002-17/08
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM
Matematyka z plusem dla gimnazjum WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (dp.) P - podstawowy ocena dostateczna (dst.)
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D)
W ka dym z zada.-24. wybierz i zaznacz jedn poprawn odpowied. Zadanie. (0- pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% Zadanie 2. (0- pkt) Wyra enie
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoCzas pracy 170 minut
ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoTemat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo.
Konspekt lekcji Przedmiot: Informatyka Typ szkoły: Gimnazjum Klasa: II Nr programu nauczania: DKW-4014-87/99 Czas trwania zajęć: 90min Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Ksenia Hladysz Własności 2. 3 Zadania 5
Funkcje elementarne Ksenia Hladysz 16.10.014 Spis treści 1 Funkcje elementarne. 1 Własności 3 Zadania 5 1 Funkcje elementarne. Są to funkcje określone wzorami zawierającymi skończoną ilość operacji algebraicznych
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
pobrano z www.sqlmedia.pl ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.
Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono
Bardziej szczegółowoWartość bezwzględna. Funkcja wymierna.
Wartość bezwzględna. Funkcja wymierna. Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt 31 marca 2006 Spis treści 1 Wartość bezwzględna 2 1.1 Własności wartości bezwzględnej..................
Bardziej szczegółowoSurowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x
Przykład: Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby A, B, C, i D. Ograniczeniami są zasoby dwóch surowców S 1 oraz S 2. Zużycie surowca na jednostkę produkcji każdego z wyrobów (w kg), zapas surowca
Bardziej szczegółowoP 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6
XL OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody II stopnia Rozwi zania zada dla grupy elektryczno-elektronicznej Rozwi zanie zadania 1 Sprawno przekszta tnika jest r wna P 0ma a Maksymaln moc odbiornika mo na zatem
Bardziej szczegółowoProgramowanie obrabiarek CNC. Nr H8
1 Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej Laboratorium Programowanie obrabiarek CNC Nr H8 Programowanie obróbki 5-osiowej (3+2) w układzie sterowania itnc530 Opracował: Dr inż. Wojciech
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoRok 2010 wyznaczył datę powrotu do obowiązkowego egzaminu maturalnego z matematyki. Umiejętności, które są sprawdzane na maturze z matematyki,
Skrypt bezpłatny. Opracowany i wydrukowany w ramach projektu W drodze do kariery z Politechniką Świętokrzyską szanse na lepszą przyszłość uczniów szkół ponadgimnazjalnych, współfinansowanego ze środków
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-P1_1P-072 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2007 Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014
Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: rejonowy 8 stycznia 2014 r. 120 minut Informacje dla
Bardziej szczegółowoRekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych
Rekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych PRACA W GODZINACH NADLICZBOWYCH ART. 151 1 K.P. Praca wykonywana ponad obowiązujące pracownika normy czasu pracy, a także praca wykonywana ponad przedłużony
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI
WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI obowiązujące od roku 2015/16 I. Kryteria oceny semestralnej i końcowej dla klasy czwartej. 1. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń,
Bardziej szczegółowo