punkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:

Transkrypt

1 5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona i ci gªa. Z denicji ci gªo±ci obliczamy granic : lim x f(x) = f() = +4 + = = 5.0. lim x x f(x) = x = (x )(x+) Funkcja f(x) jest funkcj wymiern okre±lon dla warto±ci x 0 x. Zapiszmy j nast puj co: f(x) = (x )(x + ) g(x) = (x )(x + ), oraz h(x) = g(x) jest wielomianem, wi c jest ci gªa dla wszystkich warto±ci x. Zatem: lim x g(x) = g() = ( )( + ) = 3 Natomiast funkcja h(x) nie jest okre±lona w punkcie x = a tym samym nie jest ci gªa w tym punkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = wynosz odpowiednio: lim x 0 lim x +0 Zatem: = (bo dzielimy przez dowolnie maª liczb ujemn ) = + (bo dzielimy przez dowolnie maª liczb dodatni ) lim x 0 f(x) = lim x 0 g(x) lim x 0 h(x) = 3 ( ) = lim x +0 f(x) = lim x +0 g(x) lim x +0 h(x) = 3 (+ ) = + Uwaga! W zadaniu podana jest nieprawidªowa odpowied¹. Byªaby ona poprawna gdyby funkcja f(x)

2 byªa okre±lona wzorem: f(x) = x 4 Jest ona okre±lona równie» dla x. Przeksztaª my j nast puj co: f(x) = x 4 gdzie: = ()() = (x + ) = g(x) h(x) g(x) = x + h(x) = Funkcja g(x) jest okre±lona dla x R i jako wielomian pierwszego stopnia jest ci gªa w tym zbiorze. Zatem: lim x g(x) = g() = + = 4 Funkcja h(x) jest okre±lona dla x R\ i jest nieci gªa dla x =. Dla wszystkich pozostaªych warto±ci z dziedziny jej warto± jest równa. Z tego i z denicji granicy lewostronnej i prawostronnej wynika,»e: lim x 0 h(x) = oraz lim x +0 h(x) = A zatem granica funkcji h(x) w punkcie x = istnieje i wynosi : lim x h(x) = lim x f(x) = lim x g(x) lim x h(x) = 4 = x lim x x+ f(x) = 4x x+ Funkcja f(x) jest funkcj wymiern okre±lon dla: x + 0 x x. Zatem w punkcie x = jest ona nieci gªa. Przeksztaª my j nast puj co: f(x) = 4x x+ = (x )(x+) x+ = (x ) x+ x+ g(x) = (x ), oraz h(x) = x+ x+ Funkcja g(x) jako wielomian stopnia pierwszego jest funkcj ci gª dla wszystkich warto±ci x. Zatem jej granica w punkcie x = istnieje i wynosi:

3 lim x g(x) = g( ) = ( ) = = Natomiast funkcja h(x) jest okre±lona dla x R\{ } i dla ka»dej warto±ci z dziedziny jej warto± wynosi. Z tego i z denicji granicy lewostronnej i prawostronnej wynika,»e: lim x 0h(x) = oraz lim x +0h(x) = A zatem granica funkcji h(x) w punkcie x = istnieje i wynosi : lim x h(x) = lim x f(x) = lim x g(x) lim x h(x) = = 5.. lim x x 3 8 f(x) = x3 8 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern okre±lon dla: x 0 x. Zatem w punkcie x = jest ona nieci gªa. Przeksztaª my j nast puj co korzystaj c z wzoru a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ): f(x) = x3 8 = x3 3 = ()(x + ) g(x) = x + x + = x + x + 4, oraz h(x) = = (x + x + ) Funkcja g(x) jako wielomian stopnia drugiego jest funkcj ci gª dla wszystkich liczb rzeczywistych w tym dla warto±ci x =. Zatem jej granica w tym punkcie istnieje i wynosi: lim x g(x) = g() = = = Natomiast funkcja h(x) jest okre±lona dla warto±ci x R\{} i dla wszystkich tych warto±ci przyjmuje warto± funkcji równ. Z tego oraz z denicji granicy lewostronnej i prawostronnej wynika,»e obie te granice w punkcie x = wynosz : lim x 0 h(x) = oraz lim x +0 h(x) = A zatem granica funkcji h(x) w punkcie x = istnieje i wynosi : lim x h(x) = lim x f(x) = lim x g(x) lim x h(x) = = 3

4 5.3. lim x 3 7 x 3 x 3 f(x) = 7 x3 x 3 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern okre±lon dla: x 3 0 x 3. Jest wi c w punkcie x = 3 nieci gªa. Przeksztaª my j nast puj co korzystaj c z wzoru a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ): f(x) = 7 x3 = 33 x 3 = (3 x)(3 +3x+x ) x 3 x 3 x 3 g(x) = (3 + 3x + x ) = (9 + 3x + x ), oraz h(x) = x 3 x 3 = (3 + 3x + x ) x 3 x 3 Funkcja g(x) jako wielomian stopnia drugiego jest funkcj ci gª dla wszystkich liczb rzeczywistych w tym dla warto±ci x = 3. Zatem jej granica w tym punkcie istnieje i wynosi: lim x 3 g(x) = g(3) = ( ) = = 7 Natomiast funkcja h(x) jest okre±lona dla warto±ci x R\{3} i dla wszystkich tych warto±ci przyjmuje warto± funkcji równ. Z tego oraz z denicji granicy lewostronnej i prawostronnej wynika,»e obie te granice w punkcie x = 3 wynosz : lim x 3 0 h(x) = oraz lim x 3+0 h(x) = A zatem granica funkcji h(x) w punkcie x = 3 istnieje i wynosi : lim x 3 h(x) = lim x 3 f(x) = lim x 3 g(x) lim x 3 h(x) = 7 = lim x 3 x 4x+3 x 6 f(x) = x 4x+3 x 6 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern okre±lon dla: x 6 0 x 6 x 3, jest wi c w punkcie x = 3 nieci gªa. Zauwa»my,»e x = 3 jest tak»e miejscem zerowym trójmianu kwadratowego w liczniku. Rozªó»my go wi c na czynniki korzystaj c z wzoru: a(x x 0 )(x x ) = x 4x + 3 ale a = oraz x 0 = 3, wi c mamy: (x 3)(x x ) = x 4x + 3 4

5 Ponadto zachodzi: x 0 x = 3 a 3 x = 3 x = Zatem: (x 3)(x ) = x 4x + 3 Funkcja f(x) przyjmuje wi c posta : f(x) = (x 3)(x ) (x 3) g(x) = x, oraz h(x) = x 3 x 3 = x x 3 x 3 Funkcja g(x) jako wielomian stopnia pierwszego jest funkcj ci gª dla wszystkich liczb rzeczywistych w tym dla x = 3. Zatem jej granica w tym punkcie istnieje i wynosi: lim x 3 g(x) = g(3) = 3 = = Natomiast funkcja h(x) jest okre±lona dla warto±ci x R\{3} i dla wszystkich tych warto±ci przyjmuje warto± funkcji równ. Z tego oraz z denicji granicy lewostronnej i prawostronnej wynika,»e obie te granice w punkcie x = 3 wynosz : lim x 3 0 h(x) = oraz lim x 3+0 h(x) = A zatem granica funkcji h(x) w punkcie x = 3 istnieje i wynosi : lim x 3 h(x) = lim x 3 f(x) = lim x 3 g(x) lim x 3 h(x) = = 5.5. lim x x x+ f(x) = x x+ Funkcja f(x) jest funkcj wymiern okre±lon dla: x + 0 x, jest wi c w punkcie x = 3 nieci gªa. Przeksztaª my j nast puj co: 5

6 f(x) = x = (x )(x+) = (x ) x+ x+ x+ x+ g(x) = x, oraz h(x) = x+ x+ Fukcja g(x) jest wielomianem stopnia pierwszego (funkcj liniow ) a wi c jest ci gªa dla wszystkich liczb rzeczywistych. Jej granica w punkcie x = wynosi wi c: lim x g(x) = g( ) = = Natomiast funkcja h(x) jest okre±lona dla warto±ci x R\{ } i w caªej swojej dziedzinie przyjmuje warto± funkcji równ. Z tego oraz z denicji granicy lewostronnej i prawostronnej wynika,»e obie te granice w punkcie x = wynosz : lim x 0 h(x) = oraz lim x +0 h(x) = A zatem granica funkcji h(x) w punkcie x = istnieje i wynosi : lim x h(x) = lim x f(x) = lim x g(x) lim x h(x) = = (W ksi»ce jest bª dna odpowied¹) 5.6. lim x x 5 +3 f(x) = x 5 +3 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern okre±lon dla: x x x 5 5 x, jest wi c w punkcie x = nieci gªa. Przeksztaª my j nast puj co: f(x) = x 5 +3 = x Poniewa» x = jest miejscem zerowym mianownika, wi c jeden z jego czynników ma warto± : (x ( )) = (x + ) i caªy wielomian w mianowniku mo»emy zapisa jako iloczyn powy»szego czynnika przez wielomian stopnia o jeden mniejszego (4-tego): x = (x + )(x 4 + bx 3 + cx + dx + 4 ) = x 5 + bx 4 + cx 3 + dx + 4 x + x 4 + bx 3 + cx + +dx + 5 = x (b + )x 4 + (b + c)x 3 + (c + d)x + (d + 4 )x 6

7 eby powy»sza równo± byªa prawziwa, wszystkie wspóªczynniki przy pot gach x (czwartej, trzeciej, drugiej i pierwszej) musz by równe 0: b + = 0 b + c = 0 c + d = 0 d + 4 = 0 b = ( ) + c = 0 c = d = 0 d = 8 ( 8) + 4 = = 0 0 = 0 Ostatecznie wyra»enie x = (x + )(x 4 x 3 + 4x 8x + 4 ) i tym samym funkcja f(x) przyjmuje posta : f(x) = x = ()(x 4 x 3 +4x 8 4 ) = x 4 x 3 +4x 8 4 gdzie g(x) = x 4 x 3 +4x 8 4 oraz h(x) = = g(x) h(x) Funkcja g(x) jest funkcj wymiern. Dla x = jest ona okre±lona i ci gªa a jej warto± wynosi: g( ) = ( ) 4 ( ) 3 +4 ( ) 8 ( )+ 4 = = 5 6 = 80 Z tego i z denicji ci gªo±ci funkcji granica funkcji g(x) w punkcie x = istnieje i jest równa: lim x g(x) = g( ) = 80 Natomiast funkcja h(x) jest okre±lona dla warto±ci x R\{ } i w caªej swojej dziedzinie przyjmuje warto± funkcji równ. Z tego oraz z denicji granicy lewostronnej i prawostronnej wynika,»e obie te granice w punkcie x = wynosz : 7

8 lim x 0 h(x) = oraz lim x +0 h(x) = A zatem granica funkcji h(x) w punkcie x = istnieje i wynosi : lim x h(x) = lim x f(x) = lim x g(x) lim x h(x) = 80 = lim x 4 x x 8 x 90 f(x) = x x 8 x 90 = L M Rozªó»my trójmiany w liczniku i mianowniku na czynniki. W tym celu znajd¹my ich miejsca zerowe: L = b 4ac = ( ) 4 ( 8) = = 36 L = 6 x L = b L a x L = b+ L a x L = ( ) 6 x L = ( )+6 x L = 4 x L = 8 x L = x L = 4 Czyli licznik mo»emy zapisa nast puj co: L = (x 4)(x + ) Znajd¹my teraz iejsca zerowe mianownika i tym samym okre±lmy dziedzin funkcji f(x) : M = b 4ac = ( 9) 4 0 = 8 80 = M = x M = b M a x M = b+ M a x M = ( 9) x M = ( 9)+ x M = 8 x M = 0 x M = 4 x M = 5 Czyli mianownik mo»emy zapisa nast puj co: M = (x 5)(x 4) A wi c f(x) = ()(x 4) (x 5)(x 4) 8

9 Jest to funkcja wymierna okre±lona dla x R\{4, 5} i tym samym nieci gªa w rozpatrywanym punkcie x = 4. Zapiszmy j nast puj co: f(x) = x 4 x 5 x 4 gdzie: g(x) = x 5 oraz h(x) = x 4 x 4 = g(x) h(x) Funkcja g(x) jest funkcj wymiern okre±lon dla x = 4 i ci gª w tym punkcie. Jej granica w punkcie x = 4 wynosi: lim x 4 g(x) = g(4) = = 6 = 6 Natomiast funkcja h(x) jest funkcj wymiern nieokre±lon i nieci gª w punkcie x = 4. Dla wszystkich pozostaªych x jej warto± jest równa. Z tego oraz z denicji granicy lewostronnej i prawostronnej wynika,»e obie te granice w punkcie x = 4 wynosz : lim x 4 0 h(x) = oraz lim x 4+0 h(x) = A zatem granica funkcji h(x) w punkcie x = 4 istnieje i wynosi : lim x 4 h(x) = lim x 4 f(x) = lim x 4 g(x) lim x 4 h(x) = 6 = lim x 5 x 3 +5 x 50 f(x) = x3 +5 x 50 f(x) jest to funkcja wymierna okre±lona dla: x 50 0 (x 5) 0 (x 5)(x + 5) 0 x 5 x 5 Przeksztaª my funkcj f(x) korzystaj c z wzoru: a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) 9

10 f(x) = x3 +5 = x = (x+5)(x 5x+5 ) = x 5x+5 x+5 x 50 (x 5)(x+5) (x 5)(x+5) (x 5) x+5 gdzie: g(x) = x 5x+5 (x 5) oraz h(x) = x+5 x+5 = g(x) h(x) Funkcja g(x) jest funkcj wymiern okre±lon dla x R\{5} i ci gª w caªej swojej dziedzinie. Z tego oraz z denicji ci gªo±ci funkcji wynika,»e jej granica w punkcie x = 5 wynosi: lim x 5 g(x) = g( 5) = ( 5) 5 ( 5)+5 ( 5 5) = ( 0) = 75 0 = 5 4 Natomiast funkcja h(x) jest funkcj wymiern okre±lon dla x R\{ 5} i ci gª dla wszystkich warto±ci z dziedziny. Jej warto± dla wszystkich x 5 jest równa. Z tego oraz z denicji granicy lewostronnej i prawostronnej wynika,»e obie te granice w punkcie x = 5 wynosz : lim x 5 0 h(x) = oraz lim x 5+0 h(x) = A zatem granica funkcji h(x) w punkcie x = 5 istnieje i wynosi : lim x 5 h(x) = lim x 5 f(x) = lim x 5 g(x) lim x 5 h(x) = 5 4 = 5 4 0