Spis tre±ci. Plan. 1 Pochodna cz stkowa. 1.1 Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów... 3

Transkrypt

1 Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów Ró»niczka zupeªna 4 3 Pochodna zupeªna Wprowadzenie Zale»no± jawna i niejawna Denicja Zadania 7 1 Pochodna cz stkowa POCHODNA CZ STKOWA FUNKCJI SKALARNEJ Przykªady lokalna g sto± masy lub ªadunku ρ ρ(x, y, z) rozkªad temperatur T T (x, y, z) potencjaª pola V V (x, y, z) Uwagi Skªadowe (wspóªrz dne) wielko±ci wektorowych mo»emy traktowa jako wielko±ci skalarne lub ró»niczkowa warto±. Mamy zale»no±ci od innych zmiennych, na przykªad ci±nienie gazu doskonaªego zale»y od obj to±ci V i temperatury T. Wiele z tych wielko±ci zale»y jeszcze od czasu. Bardzo cz sto zale»no± od czasu jest niejawna, tzn. od czasu zale»y, na przykªad, poªo»enie punktu r(t) = [x(t), y(t), z(t)].

2 1.1 Denicja Pochodna cz stkowa Okre±laj c pochodn cz stkow funkcji (skalarnej) f(x 1, x 2,..., x n ) badamy jej zale»no± od poszczególnych zmiennych osobno. Tzn. dla ka»dej z nich badamy granic ilorazu ró»nicowego f(x 1, x 2,..., x j + h,..., x n ) f(x 1, x 2,..., x j,..., x n ) h Pozostaªe zmienne traktujemy jako staªe parametry. Uwaga: Zamiast f(x 1,..., x n ) u»ywamy f( r), r = [x 1,..., x n ]. Denicja i oznaczenia f x f(x 1, x 2,..., x j + h,..., x n ) f( r) j ( r) = lim = f( r) = f h 0 h x j x j 1.2 Przykªady PRZYKŠADY Kilka przykªadów z zyki T p(t, V ) = nrt T V V p(t, V ) = nrt T V = nr V = nrt V 2 ta cos(ωt + kx) = Aω sin(ωt + kx) Namgnesowanie próbki jest funkcj i pola magnetycznego, i temperatury, tak wi c podatno± jest pochodn cz stkow : χ(h, T ) = M(H, T ). pochodna dªugo±ci wektora r = [x, y] = r[cos ϕ, sin ϕ]: y r(x, y) = x2 + y y 2 = 2y 2r = sin ϕ 1.3 Wªasno±ci ZASADY Wzory Dla pochodnych cz stkowych obowi zuj te same wzory i zasady jak dla pochodnej funkcji jednej zmiennej. W szczególno±ci dotyczy to pochodnej sumy, iloczynu i funkcji zªo»onej. Uwaga Poniewa» ró»niczkujemy po jednej (z wielu) zmiennych musimy zaznaczy, któr z nich bierzemy pod uwag. St d w przypadku pochodnej cz stkowej cz ±ciej u»ywmy symboli ni» f(x, y, z,... ), x f(x, y, z,... ), y H f(x, y, z,... ),... z f x(x, y, z,... ), f y(x, y, z,... ), f z(x, y, z,... ),... 2

3 1.4 Pochodne wy»szych rz dów DRUGIE POCHODNE CZ STKOWE Dwa razy po x, dwa razy po y,... Pochodna funkcji f(x, y,... ) po zmiennej x dalej jest jej funkcj, zatem mo»na j zró»niczkowa jeszcze raz: x f x(x, y,... ) = x T pochodn oznaczamy tak»e x 2 f(x, y,... ) = f(x, y,... ) x2 2 x 2 f(x, y,... ) = (f x) x(x, y,... ) = f xx(x, y,... ) POCHODNE MIESZANE Pochodne mieszane Je»eli f x (f y, f z,... ) zró»niczkujemy po innej zmiennej, to otrzymamy tzw. pochodne mieszane: y f x(x, y,... ) = y f(x, y,... ) = 2 x f(x, y,... ) yx lub inaczej (f x) y(x, y,... ) = f xy(x, y,... ) Uwaga! W ogólnym przypadku kolejno± ró»niczkowania jest istotna, tzn. f xy f yx czyli 2 yx f 2 xy f. CIEKAWOSTKA Prawo stanu doskonaªego Prawo pv = nrt mo»na traktowa na trzy sposoby jako p(t, V ) = nrt/v ; jako T (V, p) = pv/nr; jako V (p, T ) = nrt/p; St d a zatem p V p V = nr V 2 T V p T = nr V V 2 nr T p = V nr nr p = nrt pv V T = nr p = 1 (!) 3

4 2 Ró»niczka zupeªna RÓ NICZKA ZUPEŠNA Jedna zmienna Ró»niczka: df(x) = f (x)dx = df dx dx Zwi zana z przybli»eniem liniowym przyrostu funkcji: f = f(x + h) f(x) = f (x)h + co± maªego Funkcja wielu zmiennych f = f( r + r) f( r) = f x 1 x f x n x n + o( r) r = [ x 1,..., x n ] df( r, r) = n f d r = [dx 1,..., dx n ]; df = [ f,..., f dx n ] d r Uwagi Ró»niczka pierwszego rz du funkcji n zmiennych x 1, x 2,..., x n jest funkcj 2n zmiennych x 1,..., x n oraz dx 1,..., dx n. Jednak, aby wyznaczy ró»niczk drugiego rz du traktujemy j jak funkcj zmiennych x j, 1 j n. Ró»niczka zupeªna drugiego rz du wyst puje w szeregu Taylora dla funkcji wielu zmiennych (z czynnikiem 1/2). Przydatna w badaniu istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych. Oczywi±cie mo»na bada ró»niczki wy»szych rz dów. Wyprowadzenie Dana jest funkcja n zmiennych f(x 1,..., x n ). Jej ró»niczka zupeªna df = g(x 1,..., x n, dx 1,..., dx n ) = Ró»niczka funkcji g (po zmienych x 1,..., x n ) dg = f(x 1,..., x n ) x j. g(x 1,..., x n, dx 1,..., dx n ) x j. Zatem (musi by wprowadzony nowy indeks) dg = d 2 f = x j k=1 f(x 1,..., x n ) x k dx k = j,k=1 2 f x j x k dx k. 4

5 Uwagi i przykªad W ogólnym przypadku kolejno± operatorów /x j oraz /x k nie mo»e by zmieniona. Mo»na natomiast zmienia kolejno± w iloczynie dx k, zatem dla ka»dej pary j < k mamy skªadnik ( 2 ) f + 2 f dx k. x j x k x k x j dla j = k mamy pochodn cz stkow drugiego rz du funkcji f po zmiennej x j : 2 f/x 2 j (pomno»on przez dx2 j ). Dla funkcji dwóch zmiennych, x i y, mamy ( d 2 f = 2 f 2 ) f x 2 dx2 + xy + 2 f dxdy + 2 f yx y 2 dy2. 3 Pochodna zupeªna 3.1 Wprowadzenie WPROWADZENIE PROBLEM W przypadku funkcji wielu zmiennych mamy ró»niczk cz stkow i zupeªn oraz pochodne cz stkowe. Czym jest, o ile istnieje, pochodna zupeªna funkcji wielu zmiennych? Uwagi Nie ma sensu dzielenie wzoru na ró»niczk zupeªn przez sumy czy iloczyny ró»niczek. A przez przez jedn? Cz sto u»ywamy funkcji zmiennych poªo»enia (x, y, z) oraz czasu t. Jednak wspóªrz dne, na przykªad poªo»enie punktu materialnego, mog zale»e od czasu. Wtedy mamy do czynienia z funkcj postaci f(x(t), y(t), z(t), t). 3.2 Zale»no± jawna i niejawna ZALE NO NIEJAWNA Brak jawnej zale»no±ci od czasu Dane s dwa punkty materialne o masach m i M. Ich energia potencjaln ma warto± E = G mm mm = G r x2 + y 2 + z, 2 gdzie x, y, z s wspóªrz dnymi wektora ª cz cego te punkty. We wzorze tym czas t nie wyst puje jawnie, ale energia (potencjalna) mo»e od czasu zale»e. 5

6 ZALE NO JAWNA Jawna zale»no± Je»eli w przewodniku pªynie pr d o nat»eniu I 0 sin ωt, to w odlegªo±ci r od niego nat»enie pola magnetycznego ma warto± H = I 0 2π sin ωt. r Uwaga W drugim przypadku mamy H/t = I 0 cos ωt/2πr. W pierwszym natomiast E/t = 0, cho energia mo»e zale»e od czasu. PROSTY PRZYKŠAD Przykªad: spadek swobodny Punkt materialny o masie m spada z wysoko±ci H bez pr dko±ci pocz tkowej. Jego wysoko± i energia potencjalna dane s wzorami: h(t) = H 1 2 gt2, E(h) = mgh. St d E/t = 0. Ale zast puj c h przez jawn zale»no± h(t) mamy 3.3 Denicja E(t) = mgh 1 2 mg2 t 2, de dt = Ė(t) = mg2 t. PROBLEM i ROZWI ZANIE Pytanie i odpowied¹ Jak to zrobi bez wstawiania? Potraktowa E(h(t)) jak funkcj zªo»on i wyznaczy de dt = E(h) dh(t) = (mg)( gt). h dt UOGÓLNIENIE Funkcja Niech dana b dzie funkcja f(x 1 (t),..., x n (t), t). Pochodna zupeªna Pochodn zupeªn po zmiennej t jest df dt = f dx 1 x 1 dt +... f dx n x n dt + f t = n f x j dt + f t. Uwaga Poniewa» x j traktujemy jako funkcj jednej zmiennej, zatem u»ywamy symbolu /dt, a nie x j /t. 6

7 ENERGIA MECHANICZA Problem A co si dzieje z energi, o któr maleje E p? Zamienia si w energi kinetyczn... Ale E k = mv 2 /2 i E/t = 0. Jednak szybko± v = gt i dv(t)/dt = g oraz E k (v)/t = mv = mgt, zatem de/dt = (g)(mgt) = de p /dt. HURA!!! I tak uratowali±my zasad zachowania energii. 4 Zadania PRZYKŠADOWE ZADANIA Wyznacz pochodne cz stkowe pierwszego i drugiego rz du funkcji g(u, v, w) = sin(u + v 2 ). Podaj ró»niczk zupeªn funkcji f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2. Sprawd¹,»e p T V T V p = 1. 7