ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Transkrypt

1 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15

2 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17 5 Maªe Twierdzenie Fermata 20 6 Twierdzenie Eulera 23 7 Twierdzenie Lagrange'a 27 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 30 9 RSA i gra w orªa i reszk przez telefon Kongruencje wy»szych stopni Liczby pseudopierwsze Pierwiastki pierwotne Istnienie pierwiastków pierwotnych Logarytm dyskretny Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 63 2

3 Wykªad 12 Pierwiastki pierwotne Przypu± my,»e liczby a oraz n > 1 s wzgl dnie pierwsze. Rz dem elementu a modulo n nazywamy najmniejsz liczb dodatni k, tak»e a k 1 (mod n). Zauwa»my,»e, z uwagi na twierdzenie Eulera, k φ(n). B dziemy pisa k = ord n a Przykªad. Rz dem 1 modulo n jest jeden, a rz dem 1 modulo n > 2 jest dwa, ale dla dowolnej liczby nieparzystej l (wi c i dla 1), zachodzi ord 2 l = 1. Obliczaj c kolejne pot gi liczby 2 modulo 31, zauwa»amy,»e ord 31 2 = 5. Podobnie obliczamy ord 31 3 = 30. W tym ostatnim przypadku ord n a = φ(n). Przypu± my,»e x 5 1 (mod n). Zatem ord n x 5. Je±li x 1 (mod n), to rz d elementu x nie mo»e by równy 1. Nie mo»e to by te» 2, bo wówczas x 5 (x 2 ) 2 x x 1 (mod n). Z podobnych przyczyn, rz dem elementu x modulo n nie mo»e by 3 ani 4. Podobnie mo»emy pokaza,»e je±li dla dowolnej liczby pierwszej p, x p 1 (mod n), oraz x 1 (mod n) to wtedy ord n x = p. Poka»emy teraz kilka podstawowych wªasno±ci rz du elementu. W ka»- dym z nast puj cych twierdze«zakªadamy,»e a jest wzgl dnie pierwsza z n Twierdzenie. Przypu± my,»e a m 1 (mod n). Wówczas ord n a m. Dowód. Oznaczmy k = ord n a i zapiszmy m = qk+r, gdzie 0 r < k. Mamy 1 a m (a k ) q a r a r (mod n). Poniewa» r < k, wi c r = 0, bo inaczej mieliby±my sprzeczno± z denicj rz du. Zatem k m. 51

4 12.3 Wniosek. 1. Je±li a i a j (mod n), to i j (mod ord n a), 2. ord n a jest dzielnikiem φ(n). W szczególno±ci, je»eli n jest liczb pierwsz, to ord n a p Je»eli ord n a = k, to 1, a, a 2,..., a k 1 s ró»ne modulo n. Dowód. 1. Przypu± my,»e i j. Skoro a j jest elementem odwracalnym modulo n, wi c istnieje element a i j oraz a i j 1 (mod n). Zatem i j musi by wielokrotno±ci rz du elementu a, czyli i j (mod ord n a). 2. Wynika bezpo±rednio z twierdzenia 12.2 oraz Maªego Twierdzenia Fermata lub Twierdzenia Eulera. 3. Wynika bezpo±rednio z punktu 1. Twierdzenie 12.2 oraz wniosek po nim pozwalaj w istotny sposób uªatwi obliczenie rz du liczby. Dla przykªadu, rozwa»my liczb n = 31. Poniewa» φ(31) = 30, wi c dla liczby a wzgl dnie pierwszej z 31, mamy ord 31 a {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Wystarczy wi c sprawdzi tylko 8 liczb zamiast 30. Je±li ord n a = n 1, to zbiór {0, a, a 2,..., a n 1 } jest peªnym ukªadem reszt modulo n i mo»e on by u»ywany w miejscu {0, 1, 2,..., n 1}, zwªaszcza je±li chcemy bada wªasno±ci multyplikatywne modulo n. Je»eli jest nam znany rz d liczby a modulo n, to dobrze byªoby zna szybk metod wyznaczenia rz du dowolnej pot gi liczby a. Tak metod daje nam nast puj ce twierdzenie Twierdzenie. Je±li NWD(a, n) = 1, to ord n a k = Dowód. Oznaczmy l = ord n a NWD(ord n a, k). Poniewa» ord n a NWD(ord n a, k). (a k ) l a kl (a ord na ) (k/nwd(ord na, k)) 1 (mod n), wi c ord n a k l. Oznaczmy teraz m = ord n a k. Wówczas (a k ) m a km 1 (mod n), wi c ord n a km. Zapiszmy km = c ord n a dla pewnej liczby c. Obie strony ostatniej równo±ci podzielmy przez NWD(ord n a, k). Otrzymamy k NWD(ord n a, k) m = cl. 52

5 Ale NWD ( ) k, l NWD(ord n = 1 gdy» istniej takie liczby x oraz y,»e x ord a, k) n a + k NWD(ord na, + xl = 1. Zatem l m, co wobec k) yk = NWD(ord n a, k), czyli y wcze±niej udowodnionego daje nam l = m. U»ywaj c wzoru z powy»szego twierdzenia i wiedz c,»e ord n a = 12, otrzymujemy k ord n a k Niech a b dzie liczb wzgl dnie pierwsz z n. Liczba a jest pierwiastkiem pierwotnym modulo n, je±li ord n a = φ(n). Pierwiastkiem pierwotnym modulo 31 jest liczba 3, ale nie jest nim liczba 2. Poniewa» a 2 1 (mod 8) dla dowolnej liczby a wzgl dnie pierwszej z 8, wi c nie ma pierwiastków pierwotnych modulo 8. Ostatni fakt uogólnimy w nast puj cym twierdzeniu Twierdzenie. Je±li k 3, to nie ma pierwiastka pierwotnego modulo 2 k. Dowód. Przypu± my,»e taki pierwiastek a istnieje. Poniewa» φ(2 k ) = 2 k 1, wi c a, a 2,..., a 2k 1 s ró»nymi elementami modulo 2 k i wszystkie one s odwracalne. Co wi cej, nie ma innego elemnetu odwracalnego modulo 2 k ni» te, które znajduj si na li±cie. Istnieje zatem tylko jeden element modulo 2 k, który ma rz d 2, gdy» je±li ord 2 ka i = 2 k 1 NWD(i, 2 k 1 ) = 2, to NWD( i, 2 k 1 ) = 2 k 2, czyli i = 2 k 2. Poka»emy teraz,»e kongruencja x 2 1 (mod 2 k ) ma przynajmniej 4 rozwi zania, wi c elementów odwracalnych modulo 2 k rz du 2 jest wi cej ni» 1. St d otrzymamy sprzeczno±. Rozwa»my wi c kongruencj x 2 1 (mod 2 k ). Jej pierwiastkami s 1 oraz 1, ale tak»e liczby y 1 = 2 k 1 1 i y 2 = 2 k (porównaj z przykªadem 10.9), poniewa» y 2 i = (2 k 1 ± 1) 2 = 2 2(k 1) ± 2 k (mod 2 k ). 53

6 Udowodnione wªa±nie twierdzenie jest rezultatem negatywnym, poniewa» mówi nam, dla jakich liczb nie nale»y szuka pierwiastków pierwotnych. Zauwa»my,»e dla n = 2 oraz n = 4, pierwiastki pierwotne modulo n istniej. Istnieje te» pierwiastek pierwotny modulo Przykªad. Nie ma elementu rz du 8 modulo 16 (bo 16 = 2 4 oraz φ(16) = 8). Mamy te» 8 elementów odwracalnych modulo 16. Jednym z nich jest element neutralny 1, który ma rz d 1. Mamy te» trzy elementy rz du 2: 7, 9 i 15. Pozostaªe 4 elementy (3, 5, 11, 13) s rz du 4. Je±li istnieje pierwiastek pierwotny modulo n, to z jego pomoc mo»emy rozwi zywa kongruencje wykªadnicze. Dla przykªadu rozwa»my n = 17 oraz liczb 3. Mamy k k mod k k mod Rozwi»emy kongruencj 7 x 4 (mod 17). Poniewa» (mod 17) oraz (mod 17), wi c nasza kongruencja sprowadza si do 3 11x 3 12 (mod 17). Zatem 11x 12 (mod 16), czyli x = k, gdzie k Z. U»ywaj c pierwiastków pierwotnych mo»emy te» ªatwo znale¹ liczb odwrotn do danej. Na przykªad, dla n = 17 oraz a = 3 mamy (mod 17). St d (mod 17). Niestety, okazuje si,»e dla wi kszo±ci liczb zªo»onych nie ma pierwiastka pierwotnego. 54