Szereg Taylora Javier de Lucas. f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), k! (x x 0 ) k k!

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Szereg Taylora Javier de Lucas. f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), k! (x x 0 ) k k!"

Transkrypt

1 Szereg Taylora Javier de Lucas Zadanie 1. Wyka»,»e e x > 1 + x dla ka»dego x 0. Rozwiazanie: Funkcja f : x R e x R jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna w R. Z tego powodu, dla ka»dych x, x 0 R mo»emy zapisa funkcje f(x) za pomoca wzoru Taylora wokóª x 0 jak: f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), gdzie R n (x, x 0 ) to jaka± funkcja, tzw reszta, taka,»e x0 R n (x, x 0 )/(x x 0 ) n = 0 i f k) (x 0 ) to pochodna stopnia k w punkcie x 0, tj. f k) (x 0 ) d k f/dx k (x 0 ) dla k > 0 i zdeniujemy f 0) (x 0 ) = f(x 0 ). Mówimy,»e f k) (x 0 ) (x x 0 ) k to rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n funkcji f wokóª x 0. Reszte mo»na zapisa na kilka sposobów. Tutaj korzystamy z reszty w postaci Lagrange'a: R n (x, x 0 ) = f n+1) (θ) (n + 1)! (x x 0) n+1, gdzie θ to jaka± liczba miedzy x i x 0, tj. x 0 < θ < x lub x < θ < x 0. Aby rozwiaza zadanie, wystarczy korzysta z wzoru Taylora dla n = 2 wokóª x 0 = 0. W takim przypadku, mamy,»e f 0) (0) = f 1) (0) = 1 i f 2) (θ) = e θ. Wiec, 1 + x + R 1 (x, 0), R 1 (x, 0) = eθ 2! x2. Skoro e θ > 0, to R 1 (x, 0) > 0 dla x 0. Zatem, 1 + x < 1 + x + R 1 (x, 0) = e x, x 0.

2 Zadanie 2. Wyka»,»e e x > 1 + x + x2 2! + x3 3! dla ka»dego x 0. Rozwiazanie: Ju» wiemy,»e funkcja f : x R e x R jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna w R. Wówczas, dla ka»dego x, x 0 R mo»emy zapisa funkcje f(x) za pomoca wzoru Taylora wokóª x 0 jak: f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), gdzie reszte mo»na zapisa jako: R n (x, x 0 ) = f n+1) (θ) (n + 1)! (x x 0) n+1, gdzie θ to jaka± liczba miedzy x i x 0, tj. x 0 < θ < x lub x < θ < x 0. Aby rozwiaza zadanie, wystarczy korzysta z wzoru Taylora dla n = 3 wokóª x 0 = 0. W takim przypadku, mamy,»e f k) (0) = 1 dla k = 0, 1, 2,... i f ) (θ) = e θ. Wiec, 1 + x + x2 2! + x3 3! + R 3(x, 0), R 3 (x, 0) = eθ! x2. Skoro e θ > 0, to R 3 (x, 0) > 0 dla x 0. Zatem 1 + x x x3 < 1 + x x x3 + R 3 (x, 0) = e x, x 0. Zadanie 3. Rozwi«wielomian x 2 5x + 6: a) wokóª punktu x = 1, b) wokóª punktu x = 5. Rozwiazanie: Funkcja f : x R x 2 5x + 6 R jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna w R. Z tego powodu, dla ka»dego x, x 0 R mo»emy zapisa funkcje f(x) za pomoca wzoru Taylora wokóª x 0 jak: f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), gdzie reszte, w postaci Lagrange'a, mo»na zapisa jako: R n (x, x 0 ) = f n+1) (θ) (n + 1)! (x x 0) n, gdzie θ to jaka± liczba miedzy x i x 0. W szczególno±ci dla x 0 = 1 i n > 3 mamy,»e

3 f k) (1) (x 1) k + f n+1) (θ) (n + 1)! (x 1)n+1, gdzie θ to punkty miedzy 1 i x (wªacznie). Aby rozwiaza zadanie, wystarczy korzysta z wzoru Taylora dla n > 2 wokóª x 0 = 1. W takim przypadku, mamy,»e f 0) (1) = 2, f 1) (1) = 3, f 2) (1) = 2, f k) (θ) = 0, k > 2, θ R. Wiec, R n (x, 1) = 0 i 2 3(x 1) + (x 1) 2. Wªa±nie, rozwiniecie Taylora stopnia n > n wielomianu P (x) stopnia n to wªa±nie wielomian P (x). To sie dzieje dlatego,»e rozwiniecie Taylora to jest wielomian, który ma takie same pochodne jak funkcja f w pewnym punkcie x 0. Kiedy funkcja to wielomian, to tylko taki wielomian speªnia,»e jego pochodne a» do stopnia n w x 0 sa takie same. Wiec, wielomian Taylora równa sie wielomian P (x). Teraz rozwiniecie Taylora funkcji f(x) dla x 0 = 5 i n > 3 jest f k) (1) (x 1) k + f n+1) (θ) (n + 1)! (x 1)n, gdzie θ to punkty miedzy 5 i x. Aby rozwiaza zadanie, wystarczy korzysta z wzoru Taylora dla n > 2 wokóª x 0 = 5. W takim przypadku, mamy,»e f 0) ( 5) = 56, f 1) ( 5) = 21, f 2) ( 5) = 10, f k) (θ) = 0, k > 2, θ R. Wiec, R n (x, 1) = 0 i (x + 5) 5(x + 5) 2. Skoro reszta równa sie zeru dla n > 2, to rozwiniecie Taylora i wzór Taylora dla n > 2.

4 Zadanie. Rozwi«za pomoc wzoru Taylora w otoczeniu x 0 = 0 do n-tego stopnia wª cznie nastepuj ce funkcje: e x, sin(x), cos(x), (1 + x) m i m N, (1 + x) 1, 1 + x, (1 + x) 1/2. Rozwiazanie: Funkcja f : x R e x R jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna w R. Z tego powodu, dla ka»dego x, x 0 R mo»emy zapisa funkcje f(x) za pomoca wzoru Taylora wokóª x 0 jak: f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), gdzie reszte, w postaci Lagrange'a, mo»na zapisa jako: R n (x, x 0 ) = f n+1) (θ) (n + 1)! (x x 0) n+1, gdzie θ to jaka± liczba miedzy x i x 0. W szczególno±ci, dla x 0 McLaurina f k) (0) x k + f n+1) (θ) (n + 1)! xn+1. Dla funkcji e x ju» wiemy,»e f n+1) (θ) = e θ i = 0 mamy tzw wzór Zatem, d k f (0) = 1, k N {0}. dxk x k + e θ (n + 1)! xn+1, gdzie θ to punkty miedzy 0 i x, tj. 0 < θ < x. Rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n funkcji f wokóª x 0 = 0 to x k T n f(x, 0) =.

5 Dla funkcji sin(x) mamy,»e d (x) = cos(x) = sin(x+/2), dx 2 f dla k N {0}. Zatem, dla x = 0 otrzymamy dx = sin(x) = sin(x+) dk f (x) = sin(x+k/2) 2 dxk d (0) = 1, dx 2 f dx 2 = 0, i wzór McLaurina przyjmuje posta d 3 f dx = 1 d2k+1 f 2 dx (x) = 2k+1 ( 1)k, d 2k f (x) = 0, k = 0, 1, 2,... dx2k sin(x) = ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! + sin(θ + (2n + 2)/2) x 2n+2, (2n + 2)! gdzie θ to punkty miedzy 0 i x, tj. 0 < θ < x lub x < θ < 0. Rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n to T n f(x, 0) = ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! = x x3 3! + x5 5! x7 7! ( 1)n x 2n+1. (2n + 1)! Warto zawsze pamieta takie rozwiniecie. Dla n + otrzymamy tzw szereg Taylora funkcji sin(x) wokóª punktu x 0 = 0: S(x, 0) = + ( 1) k x 2k+1. (2k + 1)! Kiedy prawa strona istnieje dla pewnego x, to S(x, 0). Je»eli tak jest dla ka»dego punktu x R, mówimy,»e f(x) jest analityczna. Nastepujaco pokazujemy jak rozwiniecie Taylora zbli»a sie do sin(x) dla stopnia 1, 3, 5, 7 i 9.

6 Dla funkcji cos(x) mamy,»e d (x) = sin(x) = cos(x+/2), dx 2 f dla k N {0}. Zatem, dla x = 0 otrzymamy, dx = cos(x) = cos(x+) dk f (x) = cos(x+k/2) 2 dxk dx (0) = 0, d 2 f dx = 1, d 3 f 2 dx = 0, d f 3 dx = 1 d2k+1 f dx (x) = 0, d 2k f 2k+1 dx (x) = 2k ( 1)k, dla k = 1, 2, 3,... i wzór McLaurina przyjmuje posta cos(x) = ( 1) k x 2k (2k)! + cos(θ + (2n + 1)/2) x 2n+1, (2n + 1)! gdzie θ to punkty miedzy 0 i x, tj. x < θ < 0 lub 0 < θ < x. Rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n funkcji f wokóª x = 0 to T n f(x, 0) = ( 1) k x 2k (2k)! = 1 x2 2! + x! x6 6! ( 1)n x 2n (2n)!. Warto pamieta taki wzór Dla n + otrzymamy tzw szereg Taylora funkcji sin(x) wokóª punktu x = 0: + ( 1) k x 2k S(x, 0) =. (2k)! Kiedy prawa strona istnieje dla pewnego x, to S(x, 0). Je»eli tak jest dla ka»dego punktu x R, mówimy,»e f(x) jest analityczna. Nastepujaco pokazujemy jak rozwiniecie Taylora zbli»a sie do cos(x) dla stopnia 2,, 6, 8 i 10.

7 Dla funkcji (1 + x) m, gdzie m N, mamy,»e dx (x) = m(1+x)m 1, d 2 f (x) = m(m 1)(1+x)m 2 dx2 dk f m!(1 + x)m k (x) =, k m, dxk (m k)! dla k > m mamy,»e d k f/dx k = 0. Zatem, dla x = 0 otrzymamy, d (0) = m, dx 2 f dx (0) = m(m 1) dk f 2 dx (0) = m! k (m k)!, k m. i wzór McLaurina przyjmuje posta z reszta Lagrange'a: m! m! (m k)! xk + (n + 1)!(m n 1)! (1 + θ)m n 1 x n+1, n m i Dla n m to ( m k ) ( m x k + n + 1 m ( m k ) (1 + θ) m n 1 x n+1 n m. ) x k, n m. poniewa» reszta sie zeruje. Rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n wokóª x 0 = 0 to T n f(x, 0) = ( 1) k x 2k, m n, T n f(x, 0) = m ( 1) k x 2k, m < n. Nastepujaco pokazujemy jak rozwiniecie Taylora zbli»a sie do (1 + x) 11 dla stopnia 2,, 6, 8 i 10. Funkcja jest na niebiesko.

8 Dla funkcji (1 + x) 1 mamy,»e dx (x) = 1 (1 + x) 2, d 2 f dx 2 (x) = 2 (1 + x) 3, d 3 f dx 3 (x) = (1 + x) i d k f dx (x) = k ( 1)k (1 + x) k 1 dk f dx (0) = k ( 1)k. Wzór McLaurina przyjmuje dla f(x) posta : ( 1) k x k + ( 1)n xn+1 (1 + θ) n+1 dla θ miedzy 0 i x. Wówczas, rozwiniecie Taylora funkcji f(x) wokóª x 0 = 0 stopnia n ma posta : T n f(x, 0) = ( 1) k x k. To rozwiniecie mo»na obliczy inaczej: x = 1 1 ( x) = ( 1) k x k. Mo»emy pokaza jak rozwiniecie Taylora zbli»aja do funkcji 1/(1 + x):

9 Dla funkcji 1 + x mamy,»e dx (x) = 1 2 (1 + x) 1/2, i dla k > 0: d 2 f dx (x) = (1 + x) 3/2, d 3 f dx (x) = (1 + 3 x) 5/ d k f dx (x) = k ( 1)k Zatem, dla x = 0 otrzymamy, (2k 3)... (1+x) (2k 1)/2 = ( 1)k+1 (2k 2)! 2 2 k 2 k 1 (k 1)! (1+x) (2k 1)/2. f(0) = 1, d k f ( 1)k+1 (2k 2)! (0) = dxk 2 2k 1 (k 1)!, k > 0. Wzór McLaurina przyjmuje dla f(x) posta : ( 1) k+1 2 2k 1 (2k 2)! (k 1)! xk + R n (x, 0) = ( 1) k+1 2 2k (2k)! (2k 1)() 2 xk + R n (x, 0), i ( 1) k+1 ( 2k (2k 1) k k Rozwiniecie McLaurina funkcji f stopnia n to T n f(x, 0) = ( 1) k+1 ( 2k (2k 1) k k ) x k + R n (x, 0). ) x k.

10 Zadanie 5. Rozwi«za pomoc wzoru Taylora w otoczeniu x 0 = 0 do n-tego stopnia wª cznie nastepuj ce funkcje: ln(x), ln(1 + x), arctg x, e 1 x. Rozwiazanie: Funkcje ln(x) i e 1 x nie sa dobrze zdeniowane w punkcie x 0 = 0, wiec, nie mo»na poda wzoru Taylora dla tych funkcji wokóª tego punktu. (Temat zaawanzowany) Natomiast, mo»na poda wzór Taylora dla funkcji f : x ], 0] f(x) R postaci e 1 x dla x < 0 i f(0) = 0. Wªa±nie, je»eli funkcja f : [a, b] R jest ró»niczkowalna stopnia n + 1 na (a, b) R i posiada pochodne rzedów do n + 1 (wªacznie) w (a, b) po prawej stronie w x = a i po lewej w x = b, to mo»emy napisa wzór Taylora dla f dla punktów x [a, b]. W naszym przypadku, dx = 1 x 2 e1/x, Zatem, przez indukcje e1/x = 0, f (0 ) = e 1/x d 2 f dx = 2 2 x 3 e1/x + 1 x e1/x dk f dx = k f k) (x) f k) (0) x x = 0. ( 2k α=0 d k f = 0 = dx. k c α x α ) e 1/x, x < 0. Wtedy, funkcje maja ciagªe pochodne wszystkich rzedów. Wówczas, mamy,»e R n (x, 0). Czyli rozwiniecie Taylora dla ka»dego stopnia n jest zero!!! Ta dziwna funkcja jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna, ale rozwiniecie Taylora nie zbli»a sie do f(x). W takim przypadku, mówi sie,»e taka funkcja nie jest analityczna. Natomiast f(x) jest gªadka. Dla funkcji ln(1 + x) mamy,»e Zatem, dx (x) = x, d 2 f dx (x) = 1 2 (1 + x), d 3 f 2 dx (x) = 2 3 (1 + x), x > 1. 3 d k f dx k (x) = ( 1)k+1 (k 1)!(1 + x) k dk f dx k (0) = ( 1)k+1 (k 1)! x > 1, k > 0

11 i, skoro f(0) = 0, to wzór Taylora dla tej funkcji ma posta k=1 ( 1) k+1 (k 1)! x k + R n (x, 0) = ( 1) k+1 x k + R n (x, 0). k k=1 Wówczas rozwiniecie Taylora wokªoª zera funkcji ln(1 + x) stopnia n jest T n (x, 0) = ( 1) k+1 x k = x 1 k 2 x x2 1 x ( 1)n+1 x n. n k=1 Warto pamieta taka rozwiniecie. Mo»na obliczy to rozwiniecie inaczej. Zadanie 6. Napisa rozwiniecie funkcji e sin x do wyrazów z x 3. Rozwiazanie: Wiemy,»e szereg McLaurina dla e y i sin x to e y = y k, sin x = ( 1) k x 2k+1. (2k + 1)! Zatem e sin x = ( ) k 1 x 2k +1. (2k + 1)! k =0 Rozwiniecie Taylora e sin x trzeciego rzedu, to cze± trzeciego rzedu szeregu Taylora. Skoro ) e sin x = 1+ (x x3 3! + x5 5! ) 2 (x x3 2! 3! + x5 5! ) 3 (x x3 3! 3! + x5 5! to rozwiniecie Taylora funkcji e sin x trzeciego rzedu wokóª x 0 = 0 to T 3 f(x, 0) = 1 + x x2. Zadanie 7. Napisa rozwiniecie funkcji ln(cos x) do wyrazów z x 6.

12 Rozwiazanie: Wiemy,»e szereg McLaurina dla ln(1 + y) (dla y > 0) i cos x to ln(1 + y) = ( 1) k+1 y k, cos x = k k=1 ( 1) k x 2k. (2k)! Zatem ln(cos x) = ln(1 + cos x 1) = ( x2 2! + x! x6 ( x2 2! + x! x6 6! +... ) 6! +... ) 3 1 ( x2 2! + x! x6 1 2 ( x2 2! + x! x6 6! +... ) 2 6! +... ) +... Rozwiniecie Taylora ln(cos x) szóstego rzedu, to cze± szóstego rzedu szeregu Taylora. Skoro T 6 (x, 0) = 1 ( 1 2! x2 +! 1 ) ( x ! + 1 2!! 1 ) x 6 = x x 1 5 x6. Zadanie 8. Oblicz za pomoc wzoru Taylora: sin x ln(1 + x), sin x x. Rozwiazanie: Aby obliczy granice za pomoca rozwinie Taylora, trzeba obliczy rozwiniecie licznika i mianownika a» do takiego rzedu, aby nie otrzyma nieoznaczono±ci. Na przykªad, do pierwszego rzedu: sin x = x + O(x), ln(1 + x) = x + O(x), sin x ln(1 + x) = x x = 1 i sin x x = x x = 1. Zadanie 9. Oblicz za pomoc wzoru Taylora: x + ln( ( 1 + x 2 x) 3, x 3 x cos x + 2 ), (1 + x) ln x. x 3 sin x

13 Rozwiazanie: Mamy,»e dla x + ln( 1 + x 2 x) wynika,»e f(0) = 0, f (0) = 0, f (x) = x (1 + x 2 ) 3/2 f (0) = 0, f (x) = 1 2x2 (1 + x 2 ) 5/2 f (0) = 1/6. Zatem rozwiniecie Taylora dla f(x) jest x 3 /6. Korzystajac z tego Dla drugiej granicy: x + ln( 1 + x 2 x) x 3 ( 3 x cos x + 2 ) = x 3 sin x Rozwiniecie piatego stopnia liczniku to = x 3 /6 x 3 = 1 6. ( ) 3 sin x x cos x 2x x sin x 3(x x 3 /3!+x 5 /5!) x(1 x 2 /2+x /!) 2x = 3x 3x x 3 /2+x 3 /2+3x 5 /5! x 5 /! = 2/(5!)x 5 Rozwiniecie piatego stopnia mianowniku to x 5 Zatem ( ) 3 sin x x cos x 2x x 3 sin x = 0 2/(5!)x 5 x 5 = Zadanie 10. Korzystaj c ze wzoru Taylora oblicz granice: cos x cosh x + x 2 x 3 sin 3 x, (tg(x)) tg(2x). Rozwiazanie: Przypominajac,»e sin(x) = x x 3 /3! + O(x 3 ) wynika,»e mianownik ma rozwiniecie Taylora ró»ne od zera dla stopnia n 6. Jednocze±nie, dla licznika l(x) = cos x cosh +x 2 mamy,»e l(0) = 0, dl dx (0) = ( sin x sinh x + 2x)(0) = 0, d 2 l (0) = ( cos x cosh x + 2)(0) = 0, dx2 d 3 l dx (0) = (sin x sinh x)(0) = 0, d l (0) = (cos x cosh x)(0) = 0, 3 dx d 5 l dx (0) = ( sin x sinh x)(0) = 0, d 6 l (0) = ( cos x cosh x)(0) = 2, 5 dx6

14 Z tego wynika,»e Natomiast l(x) = 2x 6 /6! + O(x 2 ). m(x) = x 6 + O(x 6 ). Šatwo to udowodni patrzac,»e sin(x) = x + O(x 3 ) i x 3 sin 3 (x) = x 3 (x + O(x 3 )) 3 = x 6 + O(x 6 ). Zatem i cos x cosh x + x 2 x 3 sin 3 x = 2x 6 /6! x 6 = 2 6!, Taka granica mo»na rozwiaza leko inaczej. Wiemy,»e cos x = 1 x2 2 + x! x6 x3 +..., sin x = x 6! 3! + x5 5! x7 7! +... cosh x = 1 + x2 2 + x! + x6 6! Z tego wynika,»e licznik ma rozwiniecie wokóª zera szóstego rzedu: i mianownik ( ) 3 x 3 sin 3 x = x 3 x x3 3! + x5 5! x7 7! +... = x 6 + O(x 6 ) cos x cosh x + x 2 = 2x 6 /6! + O(x 6 ). Zatem cos x cosh x + x 2 x 3 sin 3 x Dla drugiej granicy mamy,»e Aby upro±ci obliczenie granicy piszemy,»e ln (tg(x)) tg(2x) = = 2x 6 /6! x 6 = 2 6!. (tg(x)) tg(2x) = 1 0 (nieoznaczono± ). ln (tg(x)) tg(2x) = tg(2x) ln (tg(x)) = ln (tg(x)) ctg(2x).

15 Teraz ctg(2x) = 2x+O(x), ln(tg(x)) = x+o(x) ln (tg(x)) ctg(2x) = 2(x /) 2(x /) = 1. Zatem ln (tg(x)) tg(2x) = 1 (tg(x)) tg(2x) = e 1.

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Informacje pomocnicze:

Informacje pomocnicze: dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )

Bardziej szczegółowo

AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium

AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego

Bardziej szczegółowo

Szkice rozwi za«zada«z egzaminu 1

Szkice rozwi za«zada«z egzaminu 1 Egzamin - szkic rozwi za«sem. zimowy 06/07 AM, Budownictwo, IL PW Szkice rozwi za«zada«z egzaminu. Poda denicj granicy oraz ci gªo±ci funkcji. Def. (Heinego) Liczb g nazywamy granic funkcji f : D R w unkcie

Bardziej szczegółowo

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji

Bardziej szczegółowo

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1 WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

(4) (b) m. (c) (d) sin α cos α = sin 2 k = sin k sin k. cos 2 m = cos m cos m. (g) (e)(f) sin 2 x + cos 2 x = 1. (h) (f) (i)

(4) (b) m. (c) (d) sin α cos α = sin 2 k = sin k sin k. cos 2 m = cos m cos m. (g) (e)(f) sin 2 x + cos 2 x = 1. (h) (f) (i) (3) (e) sin( θ) sin θ cos( θ) cos θ sin(θ + π/) cos θ cos(θ + π/) sin θ sin(θ π/) cos θ cos(θ π/) sin θ sin(θ ± π) sin θ cos(θ ± π) cos θ sin(θ ± π) sin θ cos(θ ± π) cos θ (f) cos x cos y (g) sin x sin

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji). Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22 Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28 Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +

Bardziej szczegółowo

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden

Bardziej szczegółowo

ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x

ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo

Bardziej szczegółowo

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna. Lista zadań 10

Analiza Matematyczna. Lista zadań 10 Analiza Matematyczna Lista zadań 10 Zadanie 1 pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1. Zadanie 2 objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ograniczonej krzyw a o równaniu

Bardziej szczegółowo

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAT1317

Analiza Matematyczna MAT1317 Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy

Bardziej szczegółowo

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1 II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Wydział MIiM UW, 2/ 24 października 22 ostatnie poprawki: 9 czerwca 23 Szanowni Państwo, zgodnie z zapowiedzią, na każdym kolokwium w pierwszym semestrze

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Z definicji wyprowadź wzory na pochodne funkcji. Przypominam definicję pochodnej f (x)

Zadanie 1. Z definicji wyprowadź wzory na pochodne funkcji. Przypominam definicję pochodnej f (x) Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Z definicji wyprowadź wzory na pocodne funkcji. Przypominam definicję pocodnej f (x) f (x) lim f(x + ) f(x) przy czym, aby pocodna istniała,

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015. MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015. MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO 1 MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO MARZEC 015 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 17). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z

Rozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z 1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =

Bardziej szczegółowo

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera: Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Praca domowa

Analiza Matematyczna Praca domowa Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x

Bardziej szczegółowo

na egzaminach z matematyki

na egzaminach z matematyki Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które

Bardziej szczegółowo

Informacje pomocnicze

Informacje pomocnicze Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji

Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

Materiaªy do Repetytorium z matematyki

Materiaªy do Repetytorium z matematyki Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania

Bardziej szczegółowo

sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),

sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]), WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

punkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:

punkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio: 5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykªadnicza

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykªadnicza Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykªadnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym ukªadzie wspóªrz dnych wykresy

Bardziej szczegółowo

Fizyka laboratorium 1

Fizyka laboratorium 1 Rozdzia l Fizyka laboratorium.. Elementy analizy matematycznej Funkcje Zmienna y nazywa sie zmienna zależna albo funkcja zmiennej x, jeżeli przyjmuje ona określone wartości dla każdej wartości zmiennej

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi

Bardziej szczegółowo

Wykład 10: Całka nieoznaczona

Wykład 10: Całka nieoznaczona Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm

Bardziej szczegółowo

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci

Bardziej szczegółowo

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie

Bardziej szczegółowo

Lista 1. (e) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę. (f) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę

Lista 1. (e) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę. (f) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę MATEMATYKA Lista 1 1. Zbadać liniową niezależność wektorów. (a) (1, 2, 3), (3, 4, 5), V = R 3 ; (b) (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1), V = R 3 ; (c) (1, 0, 0, 0), ( 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), ( 1, 1 1, 1),

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1

Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Powtórka materiału przed

Bardziej szczegółowo

Pochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Pochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii Pochodne Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 MOTYWACJA Rozpatrzmy gładką funkcję np. y x = x 2 w okolicach punktu (1,1) x 0 = 1, y 0 = f x 0 = 1 powiększmy wykres wokół (x 0, f(x 0

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Zastosowania pochodnych

Zastosowania pochodnych Zastosowania pochodnych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ Przykład: objętość kuli Kulka z łożyska tocznego ma średnicę 2,3 mm, co oznacza, że objętość

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

AM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka

AM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka AM.2 zadania 4 Tekst poprawiony 24 kwietnia 206 r. Zadania 26, 28, 29, 3, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 62 i inne z wykrzyknikiem obok numeru sa obowiazkowe! Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka można napisać

Bardziej szczegółowo

Kolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona

Kolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona Kolokwium 3 0.0. Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e,

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Legalna ±ci ga z RRI 2015/2016

Legalna ±ci ga z RRI 2015/2016 Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy

Bardziej szczegółowo