Szereg Taylora Javier de Lucas. f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), k! (x x 0 ) k k!
|
|
- Stanisław Kosiński
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Szereg Taylora Javier de Lucas Zadanie 1. Wyka»,»e e x > 1 + x dla ka»dego x 0. Rozwiazanie: Funkcja f : x R e x R jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna w R. Z tego powodu, dla ka»dych x, x 0 R mo»emy zapisa funkcje f(x) za pomoca wzoru Taylora wokóª x 0 jak: f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), gdzie R n (x, x 0 ) to jaka± funkcja, tzw reszta, taka,»e x0 R n (x, x 0 )/(x x 0 ) n = 0 i f k) (x 0 ) to pochodna stopnia k w punkcie x 0, tj. f k) (x 0 ) d k f/dx k (x 0 ) dla k > 0 i zdeniujemy f 0) (x 0 ) = f(x 0 ). Mówimy,»e f k) (x 0 ) (x x 0 ) k to rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n funkcji f wokóª x 0. Reszte mo»na zapisa na kilka sposobów. Tutaj korzystamy z reszty w postaci Lagrange'a: R n (x, x 0 ) = f n+1) (θ) (n + 1)! (x x 0) n+1, gdzie θ to jaka± liczba miedzy x i x 0, tj. x 0 < θ < x lub x < θ < x 0. Aby rozwiaza zadanie, wystarczy korzysta z wzoru Taylora dla n = 2 wokóª x 0 = 0. W takim przypadku, mamy,»e f 0) (0) = f 1) (0) = 1 i f 2) (θ) = e θ. Wiec, 1 + x + R 1 (x, 0), R 1 (x, 0) = eθ 2! x2. Skoro e θ > 0, to R 1 (x, 0) > 0 dla x 0. Zatem, 1 + x < 1 + x + R 1 (x, 0) = e x, x 0.
2 Zadanie 2. Wyka»,»e e x > 1 + x + x2 2! + x3 3! dla ka»dego x 0. Rozwiazanie: Ju» wiemy,»e funkcja f : x R e x R jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna w R. Wówczas, dla ka»dego x, x 0 R mo»emy zapisa funkcje f(x) za pomoca wzoru Taylora wokóª x 0 jak: f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), gdzie reszte mo»na zapisa jako: R n (x, x 0 ) = f n+1) (θ) (n + 1)! (x x 0) n+1, gdzie θ to jaka± liczba miedzy x i x 0, tj. x 0 < θ < x lub x < θ < x 0. Aby rozwiaza zadanie, wystarczy korzysta z wzoru Taylora dla n = 3 wokóª x 0 = 0. W takim przypadku, mamy,»e f k) (0) = 1 dla k = 0, 1, 2,... i f ) (θ) = e θ. Wiec, 1 + x + x2 2! + x3 3! + R 3(x, 0), R 3 (x, 0) = eθ! x2. Skoro e θ > 0, to R 3 (x, 0) > 0 dla x 0. Zatem 1 + x x x3 < 1 + x x x3 + R 3 (x, 0) = e x, x 0. Zadanie 3. Rozwi«wielomian x 2 5x + 6: a) wokóª punktu x = 1, b) wokóª punktu x = 5. Rozwiazanie: Funkcja f : x R x 2 5x + 6 R jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna w R. Z tego powodu, dla ka»dego x, x 0 R mo»emy zapisa funkcje f(x) za pomoca wzoru Taylora wokóª x 0 jak: f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), gdzie reszte, w postaci Lagrange'a, mo»na zapisa jako: R n (x, x 0 ) = f n+1) (θ) (n + 1)! (x x 0) n, gdzie θ to jaka± liczba miedzy x i x 0. W szczególno±ci dla x 0 = 1 i n > 3 mamy,»e
3 f k) (1) (x 1) k + f n+1) (θ) (n + 1)! (x 1)n+1, gdzie θ to punkty miedzy 1 i x (wªacznie). Aby rozwiaza zadanie, wystarczy korzysta z wzoru Taylora dla n > 2 wokóª x 0 = 1. W takim przypadku, mamy,»e f 0) (1) = 2, f 1) (1) = 3, f 2) (1) = 2, f k) (θ) = 0, k > 2, θ R. Wiec, R n (x, 1) = 0 i 2 3(x 1) + (x 1) 2. Wªa±nie, rozwiniecie Taylora stopnia n > n wielomianu P (x) stopnia n to wªa±nie wielomian P (x). To sie dzieje dlatego,»e rozwiniecie Taylora to jest wielomian, który ma takie same pochodne jak funkcja f w pewnym punkcie x 0. Kiedy funkcja to wielomian, to tylko taki wielomian speªnia,»e jego pochodne a» do stopnia n w x 0 sa takie same. Wiec, wielomian Taylora równa sie wielomian P (x). Teraz rozwiniecie Taylora funkcji f(x) dla x 0 = 5 i n > 3 jest f k) (1) (x 1) k + f n+1) (θ) (n + 1)! (x 1)n, gdzie θ to punkty miedzy 5 i x. Aby rozwiaza zadanie, wystarczy korzysta z wzoru Taylora dla n > 2 wokóª x 0 = 5. W takim przypadku, mamy,»e f 0) ( 5) = 56, f 1) ( 5) = 21, f 2) ( 5) = 10, f k) (θ) = 0, k > 2, θ R. Wiec, R n (x, 1) = 0 i (x + 5) 5(x + 5) 2. Skoro reszta równa sie zeru dla n > 2, to rozwiniecie Taylora i wzór Taylora dla n > 2.
4 Zadanie. Rozwi«za pomoc wzoru Taylora w otoczeniu x 0 = 0 do n-tego stopnia wª cznie nastepuj ce funkcje: e x, sin(x), cos(x), (1 + x) m i m N, (1 + x) 1, 1 + x, (1 + x) 1/2. Rozwiazanie: Funkcja f : x R e x R jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna w R. Z tego powodu, dla ka»dego x, x 0 R mo»emy zapisa funkcje f(x) za pomoca wzoru Taylora wokóª x 0 jak: f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), gdzie reszte, w postaci Lagrange'a, mo»na zapisa jako: R n (x, x 0 ) = f n+1) (θ) (n + 1)! (x x 0) n+1, gdzie θ to jaka± liczba miedzy x i x 0. W szczególno±ci, dla x 0 McLaurina f k) (0) x k + f n+1) (θ) (n + 1)! xn+1. Dla funkcji e x ju» wiemy,»e f n+1) (θ) = e θ i = 0 mamy tzw wzór Zatem, d k f (0) = 1, k N {0}. dxk x k + e θ (n + 1)! xn+1, gdzie θ to punkty miedzy 0 i x, tj. 0 < θ < x. Rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n funkcji f wokóª x 0 = 0 to x k T n f(x, 0) =.
5 Dla funkcji sin(x) mamy,»e d (x) = cos(x) = sin(x+/2), dx 2 f dla k N {0}. Zatem, dla x = 0 otrzymamy dx = sin(x) = sin(x+) dk f (x) = sin(x+k/2) 2 dxk d (0) = 1, dx 2 f dx 2 = 0, i wzór McLaurina przyjmuje posta d 3 f dx = 1 d2k+1 f 2 dx (x) = 2k+1 ( 1)k, d 2k f (x) = 0, k = 0, 1, 2,... dx2k sin(x) = ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! + sin(θ + (2n + 2)/2) x 2n+2, (2n + 2)! gdzie θ to punkty miedzy 0 i x, tj. 0 < θ < x lub x < θ < 0. Rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n to T n f(x, 0) = ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! = x x3 3! + x5 5! x7 7! ( 1)n x 2n+1. (2n + 1)! Warto zawsze pamieta takie rozwiniecie. Dla n + otrzymamy tzw szereg Taylora funkcji sin(x) wokóª punktu x 0 = 0: S(x, 0) = + ( 1) k x 2k+1. (2k + 1)! Kiedy prawa strona istnieje dla pewnego x, to S(x, 0). Je»eli tak jest dla ka»dego punktu x R, mówimy,»e f(x) jest analityczna. Nastepujaco pokazujemy jak rozwiniecie Taylora zbli»a sie do sin(x) dla stopnia 1, 3, 5, 7 i 9.
6 Dla funkcji cos(x) mamy,»e d (x) = sin(x) = cos(x+/2), dx 2 f dla k N {0}. Zatem, dla x = 0 otrzymamy, dx = cos(x) = cos(x+) dk f (x) = cos(x+k/2) 2 dxk dx (0) = 0, d 2 f dx = 1, d 3 f 2 dx = 0, d f 3 dx = 1 d2k+1 f dx (x) = 0, d 2k f 2k+1 dx (x) = 2k ( 1)k, dla k = 1, 2, 3,... i wzór McLaurina przyjmuje posta cos(x) = ( 1) k x 2k (2k)! + cos(θ + (2n + 1)/2) x 2n+1, (2n + 1)! gdzie θ to punkty miedzy 0 i x, tj. x < θ < 0 lub 0 < θ < x. Rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n funkcji f wokóª x = 0 to T n f(x, 0) = ( 1) k x 2k (2k)! = 1 x2 2! + x! x6 6! ( 1)n x 2n (2n)!. Warto pamieta taki wzór Dla n + otrzymamy tzw szereg Taylora funkcji sin(x) wokóª punktu x = 0: + ( 1) k x 2k S(x, 0) =. (2k)! Kiedy prawa strona istnieje dla pewnego x, to S(x, 0). Je»eli tak jest dla ka»dego punktu x R, mówimy,»e f(x) jest analityczna. Nastepujaco pokazujemy jak rozwiniecie Taylora zbli»a sie do cos(x) dla stopnia 2,, 6, 8 i 10.
7 Dla funkcji (1 + x) m, gdzie m N, mamy,»e dx (x) = m(1+x)m 1, d 2 f (x) = m(m 1)(1+x)m 2 dx2 dk f m!(1 + x)m k (x) =, k m, dxk (m k)! dla k > m mamy,»e d k f/dx k = 0. Zatem, dla x = 0 otrzymamy, d (0) = m, dx 2 f dx (0) = m(m 1) dk f 2 dx (0) = m! k (m k)!, k m. i wzór McLaurina przyjmuje posta z reszta Lagrange'a: m! m! (m k)! xk + (n + 1)!(m n 1)! (1 + θ)m n 1 x n+1, n m i Dla n m to ( m k ) ( m x k + n + 1 m ( m k ) (1 + θ) m n 1 x n+1 n m. ) x k, n m. poniewa» reszta sie zeruje. Rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n wokóª x 0 = 0 to T n f(x, 0) = ( 1) k x 2k, m n, T n f(x, 0) = m ( 1) k x 2k, m < n. Nastepujaco pokazujemy jak rozwiniecie Taylora zbli»a sie do (1 + x) 11 dla stopnia 2,, 6, 8 i 10. Funkcja jest na niebiesko.
8 Dla funkcji (1 + x) 1 mamy,»e dx (x) = 1 (1 + x) 2, d 2 f dx 2 (x) = 2 (1 + x) 3, d 3 f dx 3 (x) = (1 + x) i d k f dx (x) = k ( 1)k (1 + x) k 1 dk f dx (0) = k ( 1)k. Wzór McLaurina przyjmuje dla f(x) posta : ( 1) k x k + ( 1)n xn+1 (1 + θ) n+1 dla θ miedzy 0 i x. Wówczas, rozwiniecie Taylora funkcji f(x) wokóª x 0 = 0 stopnia n ma posta : T n f(x, 0) = ( 1) k x k. To rozwiniecie mo»na obliczy inaczej: x = 1 1 ( x) = ( 1) k x k. Mo»emy pokaza jak rozwiniecie Taylora zbli»aja do funkcji 1/(1 + x):
9 Dla funkcji 1 + x mamy,»e dx (x) = 1 2 (1 + x) 1/2, i dla k > 0: d 2 f dx (x) = (1 + x) 3/2, d 3 f dx (x) = (1 + 3 x) 5/ d k f dx (x) = k ( 1)k Zatem, dla x = 0 otrzymamy, (2k 3)... (1+x) (2k 1)/2 = ( 1)k+1 (2k 2)! 2 2 k 2 k 1 (k 1)! (1+x) (2k 1)/2. f(0) = 1, d k f ( 1)k+1 (2k 2)! (0) = dxk 2 2k 1 (k 1)!, k > 0. Wzór McLaurina przyjmuje dla f(x) posta : ( 1) k+1 2 2k 1 (2k 2)! (k 1)! xk + R n (x, 0) = ( 1) k+1 2 2k (2k)! (2k 1)() 2 xk + R n (x, 0), i ( 1) k+1 ( 2k (2k 1) k k Rozwiniecie McLaurina funkcji f stopnia n to T n f(x, 0) = ( 1) k+1 ( 2k (2k 1) k k ) x k + R n (x, 0). ) x k.
10 Zadanie 5. Rozwi«za pomoc wzoru Taylora w otoczeniu x 0 = 0 do n-tego stopnia wª cznie nastepuj ce funkcje: ln(x), ln(1 + x), arctg x, e 1 x. Rozwiazanie: Funkcje ln(x) i e 1 x nie sa dobrze zdeniowane w punkcie x 0 = 0, wiec, nie mo»na poda wzoru Taylora dla tych funkcji wokóª tego punktu. (Temat zaawanzowany) Natomiast, mo»na poda wzór Taylora dla funkcji f : x ], 0] f(x) R postaci e 1 x dla x < 0 i f(0) = 0. Wªa±nie, je»eli funkcja f : [a, b] R jest ró»niczkowalna stopnia n + 1 na (a, b) R i posiada pochodne rzedów do n + 1 (wªacznie) w (a, b) po prawej stronie w x = a i po lewej w x = b, to mo»emy napisa wzór Taylora dla f dla punktów x [a, b]. W naszym przypadku, dx = 1 x 2 e1/x, Zatem, przez indukcje e1/x = 0, f (0 ) = e 1/x d 2 f dx = 2 2 x 3 e1/x + 1 x e1/x dk f dx = k f k) (x) f k) (0) x x = 0. ( 2k α=0 d k f = 0 = dx. k c α x α ) e 1/x, x < 0. Wtedy, funkcje maja ciagªe pochodne wszystkich rzedów. Wówczas, mamy,»e R n (x, 0). Czyli rozwiniecie Taylora dla ka»dego stopnia n jest zero!!! Ta dziwna funkcja jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna, ale rozwiniecie Taylora nie zbli»a sie do f(x). W takim przypadku, mówi sie,»e taka funkcja nie jest analityczna. Natomiast f(x) jest gªadka. Dla funkcji ln(1 + x) mamy,»e Zatem, dx (x) = x, d 2 f dx (x) = 1 2 (1 + x), d 3 f 2 dx (x) = 2 3 (1 + x), x > 1. 3 d k f dx k (x) = ( 1)k+1 (k 1)!(1 + x) k dk f dx k (0) = ( 1)k+1 (k 1)! x > 1, k > 0
11 i, skoro f(0) = 0, to wzór Taylora dla tej funkcji ma posta k=1 ( 1) k+1 (k 1)! x k + R n (x, 0) = ( 1) k+1 x k + R n (x, 0). k k=1 Wówczas rozwiniecie Taylora wokªoª zera funkcji ln(1 + x) stopnia n jest T n (x, 0) = ( 1) k+1 x k = x 1 k 2 x x2 1 x ( 1)n+1 x n. n k=1 Warto pamieta taka rozwiniecie. Mo»na obliczy to rozwiniecie inaczej. Zadanie 6. Napisa rozwiniecie funkcji e sin x do wyrazów z x 3. Rozwiazanie: Wiemy,»e szereg McLaurina dla e y i sin x to e y = y k, sin x = ( 1) k x 2k+1. (2k + 1)! Zatem e sin x = ( ) k 1 x 2k +1. (2k + 1)! k =0 Rozwiniecie Taylora e sin x trzeciego rzedu, to cze± trzeciego rzedu szeregu Taylora. Skoro ) e sin x = 1+ (x x3 3! + x5 5! ) 2 (x x3 2! 3! + x5 5! ) 3 (x x3 3! 3! + x5 5! to rozwiniecie Taylora funkcji e sin x trzeciego rzedu wokóª x 0 = 0 to T 3 f(x, 0) = 1 + x x2. Zadanie 7. Napisa rozwiniecie funkcji ln(cos x) do wyrazów z x 6.
12 Rozwiazanie: Wiemy,»e szereg McLaurina dla ln(1 + y) (dla y > 0) i cos x to ln(1 + y) = ( 1) k+1 y k, cos x = k k=1 ( 1) k x 2k. (2k)! Zatem ln(cos x) = ln(1 + cos x 1) = ( x2 2! + x! x6 ( x2 2! + x! x6 6! +... ) 6! +... ) 3 1 ( x2 2! + x! x6 1 2 ( x2 2! + x! x6 6! +... ) 2 6! +... ) +... Rozwiniecie Taylora ln(cos x) szóstego rzedu, to cze± szóstego rzedu szeregu Taylora. Skoro T 6 (x, 0) = 1 ( 1 2! x2 +! 1 ) ( x ! + 1 2!! 1 ) x 6 = x x 1 5 x6. Zadanie 8. Oblicz za pomoc wzoru Taylora: sin x ln(1 + x), sin x x. Rozwiazanie: Aby obliczy granice za pomoca rozwinie Taylora, trzeba obliczy rozwiniecie licznika i mianownika a» do takiego rzedu, aby nie otrzyma nieoznaczono±ci. Na przykªad, do pierwszego rzedu: sin x = x + O(x), ln(1 + x) = x + O(x), sin x ln(1 + x) = x x = 1 i sin x x = x x = 1. Zadanie 9. Oblicz za pomoc wzoru Taylora: x + ln( ( 1 + x 2 x) 3, x 3 x cos x + 2 ), (1 + x) ln x. x 3 sin x
13 Rozwiazanie: Mamy,»e dla x + ln( 1 + x 2 x) wynika,»e f(0) = 0, f (0) = 0, f (x) = x (1 + x 2 ) 3/2 f (0) = 0, f (x) = 1 2x2 (1 + x 2 ) 5/2 f (0) = 1/6. Zatem rozwiniecie Taylora dla f(x) jest x 3 /6. Korzystajac z tego Dla drugiej granicy: x + ln( 1 + x 2 x) x 3 ( 3 x cos x + 2 ) = x 3 sin x Rozwiniecie piatego stopnia liczniku to = x 3 /6 x 3 = 1 6. ( ) 3 sin x x cos x 2x x sin x 3(x x 3 /3!+x 5 /5!) x(1 x 2 /2+x /!) 2x = 3x 3x x 3 /2+x 3 /2+3x 5 /5! x 5 /! = 2/(5!)x 5 Rozwiniecie piatego stopnia mianowniku to x 5 Zatem ( ) 3 sin x x cos x 2x x 3 sin x = 0 2/(5!)x 5 x 5 = Zadanie 10. Korzystaj c ze wzoru Taylora oblicz granice: cos x cosh x + x 2 x 3 sin 3 x, (tg(x)) tg(2x). Rozwiazanie: Przypominajac,»e sin(x) = x x 3 /3! + O(x 3 ) wynika,»e mianownik ma rozwiniecie Taylora ró»ne od zera dla stopnia n 6. Jednocze±nie, dla licznika l(x) = cos x cosh +x 2 mamy,»e l(0) = 0, dl dx (0) = ( sin x sinh x + 2x)(0) = 0, d 2 l (0) = ( cos x cosh x + 2)(0) = 0, dx2 d 3 l dx (0) = (sin x sinh x)(0) = 0, d l (0) = (cos x cosh x)(0) = 0, 3 dx d 5 l dx (0) = ( sin x sinh x)(0) = 0, d 6 l (0) = ( cos x cosh x)(0) = 2, 5 dx6
14 Z tego wynika,»e Natomiast l(x) = 2x 6 /6! + O(x 2 ). m(x) = x 6 + O(x 6 ). Šatwo to udowodni patrzac,»e sin(x) = x + O(x 3 ) i x 3 sin 3 (x) = x 3 (x + O(x 3 )) 3 = x 6 + O(x 6 ). Zatem i cos x cosh x + x 2 x 3 sin 3 x = 2x 6 /6! x 6 = 2 6!, Taka granica mo»na rozwiaza leko inaczej. Wiemy,»e cos x = 1 x2 2 + x! x6 x3 +..., sin x = x 6! 3! + x5 5! x7 7! +... cosh x = 1 + x2 2 + x! + x6 6! Z tego wynika,»e licznik ma rozwiniecie wokóª zera szóstego rzedu: i mianownik ( ) 3 x 3 sin 3 x = x 3 x x3 3! + x5 5! x7 7! +... = x 6 + O(x 6 ) cos x cosh x + x 2 = 2x 6 /6! + O(x 6 ). Zatem cos x cosh x + x 2 x 3 sin 3 x Dla drugiej granicy mamy,»e Aby upro±ci obliczenie granicy piszemy,»e ln (tg(x)) tg(2x) = = 2x 6 /6! x 6 = 2 6!. (tg(x)) tg(2x) = 1 0 (nieoznaczono± ). ln (tg(x)) tg(2x) = tg(2x) ln (tg(x)) = ln (tg(x)) ctg(2x).
15 Teraz ctg(2x) = 2x+O(x), ln(tg(x)) = x+o(x) ln (tg(x)) ctg(2x) = 2(x /) 2(x /) = 1. Zatem ln (tg(x)) tg(2x) = 1 (tg(x)) tg(2x) = e 1.
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowo1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoSzkice rozwi za«zada«z egzaminu 1
Egzamin - szkic rozwi za«sem. zimowy 06/07 AM, Budownictwo, IL PW Szkice rozwi za«zada«z egzaminu. Poda denicj granicy oraz ci gªo±ci funkcji. Def. (Heinego) Liczb g nazywamy granic funkcji f : D R w unkcie
Bardziej szczegółowoFunkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo(4) (b) m. (c) (d) sin α cos α = sin 2 k = sin k sin k. cos 2 m = cos m cos m. (g) (e)(f) sin 2 x + cos 2 x = 1. (h) (f) (i)
(3) (e) sin( θ) sin θ cos( θ) cos θ sin(θ + π/) cos θ cos(θ + π/) sin θ sin(θ π/) cos θ cos(θ π/) sin θ sin(θ ± π) sin θ cos(θ ± π) cos θ sin(θ ± π) sin θ cos(θ ± π) cos θ (f) cos x cos y (g) sin x sin
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoFunkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Bardziej szczegółowoci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Lista zadań 10
Analiza Matematyczna Lista zadań 10 Zadanie 1 pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1. Zadanie 2 objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ograniczonej krzyw a o równaniu
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Bardziej szczegółowoLista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza
Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Wydział MIiM UW, 2/ 24 października 22 ostatnie poprawki: 9 czerwca 23 Szanowni Państwo, zgodnie z zapowiedzią, na każdym kolokwium w pierwszym semestrze
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Z definicji wyprowadź wzory na pochodne funkcji. Przypominam definicję pochodnej f (x)
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Z definicji wyprowadź wzory na pocodne funkcji. Przypominam definicję pocodnej f (x) f (x) lim f(x + ) f(x) przy czym, aby pocodna istniała,
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015. MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO
1 MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO MARZEC 015 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 17). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowo(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:
Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Bardziej szczegółowona egzaminach z matematyki
Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji
Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowosin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),
WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowoLista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykªadnicza
Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykªadnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym ukªadzie wspóªrz dnych wykresy
Bardziej szczegółowoFizyka laboratorium 1
Rozdzia l Fizyka laboratorium.. Elementy analizy matematycznej Funkcje Zmienna y nazywa sie zmienna zależna albo funkcja zmiennej x, jeżeli przyjmuje ona określone wartości dla każdej wartości zmiennej
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI
Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,
Bardziej szczegółowoKurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoWykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Bardziej szczegółowoCaªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoLista 1. (e) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę. (f) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę
MATEMATYKA Lista 1 1. Zbadać liniową niezależność wektorów. (a) (1, 2, 3), (3, 4, 5), V = R 3 ; (b) (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1), V = R 3 ; (c) (1, 0, 0, 0), ( 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), ( 1, 1 1, 1),
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Powtórka materiału przed
Bardziej szczegółowoPochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Pochodne Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 MOTYWACJA Rozpatrzmy gładką funkcję np. y x = x 2 w okolicach punktu (1,1) x 0 = 1, y 0 = f x 0 = 1 powiększmy wykres wokół (x 0, f(x 0
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoZastosowania pochodnych
Zastosowania pochodnych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ Przykład: objętość kuli Kulka z łożyska tocznego ma średnicę 2,3 mm, co oznacza, że objętość
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoAM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka
AM.2 zadania 4 Tekst poprawiony 24 kwietnia 206 r. Zadania 26, 28, 29, 3, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 62 i inne z wykrzyknikiem obok numeru sa obowiazkowe! Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka można napisać
Bardziej szczegółowoKolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona
Kolokwium 3 0.0. Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e,
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoLegalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Bardziej szczegółowo