Szereg Taylora Javier de Lucas. f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), k! (x x 0 ) k k!
|
|
- Stanisław Kosiński
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Szereg Taylora Javier de Lucas Zadanie 1. Wyka»,»e e x > 1 + x dla ka»dego x 0. Rozwiazanie: Funkcja f : x R e x R jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna w R. Z tego powodu, dla ka»dych x, x 0 R mo»emy zapisa funkcje f(x) za pomoca wzoru Taylora wokóª x 0 jak: f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), gdzie R n (x, x 0 ) to jaka± funkcja, tzw reszta, taka,»e x0 R n (x, x 0 )/(x x 0 ) n = 0 i f k) (x 0 ) to pochodna stopnia k w punkcie x 0, tj. f k) (x 0 ) d k f/dx k (x 0 ) dla k > 0 i zdeniujemy f 0) (x 0 ) = f(x 0 ). Mówimy,»e f k) (x 0 ) (x x 0 ) k to rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n funkcji f wokóª x 0. Reszte mo»na zapisa na kilka sposobów. Tutaj korzystamy z reszty w postaci Lagrange'a: R n (x, x 0 ) = f n+1) (θ) (n + 1)! (x x 0) n+1, gdzie θ to jaka± liczba miedzy x i x 0, tj. x 0 < θ < x lub x < θ < x 0. Aby rozwiaza zadanie, wystarczy korzysta z wzoru Taylora dla n = 2 wokóª x 0 = 0. W takim przypadku, mamy,»e f 0) (0) = f 1) (0) = 1 i f 2) (θ) = e θ. Wiec, 1 + x + R 1 (x, 0), R 1 (x, 0) = eθ 2! x2. Skoro e θ > 0, to R 1 (x, 0) > 0 dla x 0. Zatem, 1 + x < 1 + x + R 1 (x, 0) = e x, x 0.
2 Zadanie 2. Wyka»,»e e x > 1 + x + x2 2! + x3 3! dla ka»dego x 0. Rozwiazanie: Ju» wiemy,»e funkcja f : x R e x R jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna w R. Wówczas, dla ka»dego x, x 0 R mo»emy zapisa funkcje f(x) za pomoca wzoru Taylora wokóª x 0 jak: f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), gdzie reszte mo»na zapisa jako: R n (x, x 0 ) = f n+1) (θ) (n + 1)! (x x 0) n+1, gdzie θ to jaka± liczba miedzy x i x 0, tj. x 0 < θ < x lub x < θ < x 0. Aby rozwiaza zadanie, wystarczy korzysta z wzoru Taylora dla n = 3 wokóª x 0 = 0. W takim przypadku, mamy,»e f k) (0) = 1 dla k = 0, 1, 2,... i f ) (θ) = e θ. Wiec, 1 + x + x2 2! + x3 3! + R 3(x, 0), R 3 (x, 0) = eθ! x2. Skoro e θ > 0, to R 3 (x, 0) > 0 dla x 0. Zatem 1 + x x x3 < 1 + x x x3 + R 3 (x, 0) = e x, x 0. Zadanie 3. Rozwi«wielomian x 2 5x + 6: a) wokóª punktu x = 1, b) wokóª punktu x = 5. Rozwiazanie: Funkcja f : x R x 2 5x + 6 R jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna w R. Z tego powodu, dla ka»dego x, x 0 R mo»emy zapisa funkcje f(x) za pomoca wzoru Taylora wokóª x 0 jak: f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), gdzie reszte, w postaci Lagrange'a, mo»na zapisa jako: R n (x, x 0 ) = f n+1) (θ) (n + 1)! (x x 0) n, gdzie θ to jaka± liczba miedzy x i x 0. W szczególno±ci dla x 0 = 1 i n > 3 mamy,»e
3 f k) (1) (x 1) k + f n+1) (θ) (n + 1)! (x 1)n+1, gdzie θ to punkty miedzy 1 i x (wªacznie). Aby rozwiaza zadanie, wystarczy korzysta z wzoru Taylora dla n > 2 wokóª x 0 = 1. W takim przypadku, mamy,»e f 0) (1) = 2, f 1) (1) = 3, f 2) (1) = 2, f k) (θ) = 0, k > 2, θ R. Wiec, R n (x, 1) = 0 i 2 3(x 1) + (x 1) 2. Wªa±nie, rozwiniecie Taylora stopnia n > n wielomianu P (x) stopnia n to wªa±nie wielomian P (x). To sie dzieje dlatego,»e rozwiniecie Taylora to jest wielomian, który ma takie same pochodne jak funkcja f w pewnym punkcie x 0. Kiedy funkcja to wielomian, to tylko taki wielomian speªnia,»e jego pochodne a» do stopnia n w x 0 sa takie same. Wiec, wielomian Taylora równa sie wielomian P (x). Teraz rozwiniecie Taylora funkcji f(x) dla x 0 = 5 i n > 3 jest f k) (1) (x 1) k + f n+1) (θ) (n + 1)! (x 1)n, gdzie θ to punkty miedzy 5 i x. Aby rozwiaza zadanie, wystarczy korzysta z wzoru Taylora dla n > 2 wokóª x 0 = 5. W takim przypadku, mamy,»e f 0) ( 5) = 56, f 1) ( 5) = 21, f 2) ( 5) = 10, f k) (θ) = 0, k > 2, θ R. Wiec, R n (x, 1) = 0 i (x + 5) 5(x + 5) 2. Skoro reszta równa sie zeru dla n > 2, to rozwiniecie Taylora i wzór Taylora dla n > 2.
4 Zadanie. Rozwi«za pomoc wzoru Taylora w otoczeniu x 0 = 0 do n-tego stopnia wª cznie nastepuj ce funkcje: e x, sin(x), cos(x), (1 + x) m i m N, (1 + x) 1, 1 + x, (1 + x) 1/2. Rozwiazanie: Funkcja f : x R e x R jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna w R. Z tego powodu, dla ka»dego x, x 0 R mo»emy zapisa funkcje f(x) za pomoca wzoru Taylora wokóª x 0 jak: f k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0 ), gdzie reszte, w postaci Lagrange'a, mo»na zapisa jako: R n (x, x 0 ) = f n+1) (θ) (n + 1)! (x x 0) n+1, gdzie θ to jaka± liczba miedzy x i x 0. W szczególno±ci, dla x 0 McLaurina f k) (0) x k + f n+1) (θ) (n + 1)! xn+1. Dla funkcji e x ju» wiemy,»e f n+1) (θ) = e θ i = 0 mamy tzw wzór Zatem, d k f (0) = 1, k N {0}. dxk x k + e θ (n + 1)! xn+1, gdzie θ to punkty miedzy 0 i x, tj. 0 < θ < x. Rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n funkcji f wokóª x 0 = 0 to x k T n f(x, 0) =.
5 Dla funkcji sin(x) mamy,»e d (x) = cos(x) = sin(x+/2), dx 2 f dla k N {0}. Zatem, dla x = 0 otrzymamy dx = sin(x) = sin(x+) dk f (x) = sin(x+k/2) 2 dxk d (0) = 1, dx 2 f dx 2 = 0, i wzór McLaurina przyjmuje posta d 3 f dx = 1 d2k+1 f 2 dx (x) = 2k+1 ( 1)k, d 2k f (x) = 0, k = 0, 1, 2,... dx2k sin(x) = ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! + sin(θ + (2n + 2)/2) x 2n+2, (2n + 2)! gdzie θ to punkty miedzy 0 i x, tj. 0 < θ < x lub x < θ < 0. Rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n to T n f(x, 0) = ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! = x x3 3! + x5 5! x7 7! ( 1)n x 2n+1. (2n + 1)! Warto zawsze pamieta takie rozwiniecie. Dla n + otrzymamy tzw szereg Taylora funkcji sin(x) wokóª punktu x 0 = 0: S(x, 0) = + ( 1) k x 2k+1. (2k + 1)! Kiedy prawa strona istnieje dla pewnego x, to S(x, 0). Je»eli tak jest dla ka»dego punktu x R, mówimy,»e f(x) jest analityczna. Nastepujaco pokazujemy jak rozwiniecie Taylora zbli»a sie do sin(x) dla stopnia 1, 3, 5, 7 i 9.
6 Dla funkcji cos(x) mamy,»e d (x) = sin(x) = cos(x+/2), dx 2 f dla k N {0}. Zatem, dla x = 0 otrzymamy, dx = cos(x) = cos(x+) dk f (x) = cos(x+k/2) 2 dxk dx (0) = 0, d 2 f dx = 1, d 3 f 2 dx = 0, d f 3 dx = 1 d2k+1 f dx (x) = 0, d 2k f 2k+1 dx (x) = 2k ( 1)k, dla k = 1, 2, 3,... i wzór McLaurina przyjmuje posta cos(x) = ( 1) k x 2k (2k)! + cos(θ + (2n + 1)/2) x 2n+1, (2n + 1)! gdzie θ to punkty miedzy 0 i x, tj. x < θ < 0 lub 0 < θ < x. Rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n funkcji f wokóª x = 0 to T n f(x, 0) = ( 1) k x 2k (2k)! = 1 x2 2! + x! x6 6! ( 1)n x 2n (2n)!. Warto pamieta taki wzór Dla n + otrzymamy tzw szereg Taylora funkcji sin(x) wokóª punktu x = 0: + ( 1) k x 2k S(x, 0) =. (2k)! Kiedy prawa strona istnieje dla pewnego x, to S(x, 0). Je»eli tak jest dla ka»dego punktu x R, mówimy,»e f(x) jest analityczna. Nastepujaco pokazujemy jak rozwiniecie Taylora zbli»a sie do cos(x) dla stopnia 2,, 6, 8 i 10.
7 Dla funkcji (1 + x) m, gdzie m N, mamy,»e dx (x) = m(1+x)m 1, d 2 f (x) = m(m 1)(1+x)m 2 dx2 dk f m!(1 + x)m k (x) =, k m, dxk (m k)! dla k > m mamy,»e d k f/dx k = 0. Zatem, dla x = 0 otrzymamy, d (0) = m, dx 2 f dx (0) = m(m 1) dk f 2 dx (0) = m! k (m k)!, k m. i wzór McLaurina przyjmuje posta z reszta Lagrange'a: m! m! (m k)! xk + (n + 1)!(m n 1)! (1 + θ)m n 1 x n+1, n m i Dla n m to ( m k ) ( m x k + n + 1 m ( m k ) (1 + θ) m n 1 x n+1 n m. ) x k, n m. poniewa» reszta sie zeruje. Rozwiniecie/wielomian Taylora stopnia n wokóª x 0 = 0 to T n f(x, 0) = ( 1) k x 2k, m n, T n f(x, 0) = m ( 1) k x 2k, m < n. Nastepujaco pokazujemy jak rozwiniecie Taylora zbli»a sie do (1 + x) 11 dla stopnia 2,, 6, 8 i 10. Funkcja jest na niebiesko.
8 Dla funkcji (1 + x) 1 mamy,»e dx (x) = 1 (1 + x) 2, d 2 f dx 2 (x) = 2 (1 + x) 3, d 3 f dx 3 (x) = (1 + x) i d k f dx (x) = k ( 1)k (1 + x) k 1 dk f dx (0) = k ( 1)k. Wzór McLaurina przyjmuje dla f(x) posta : ( 1) k x k + ( 1)n xn+1 (1 + θ) n+1 dla θ miedzy 0 i x. Wówczas, rozwiniecie Taylora funkcji f(x) wokóª x 0 = 0 stopnia n ma posta : T n f(x, 0) = ( 1) k x k. To rozwiniecie mo»na obliczy inaczej: x = 1 1 ( x) = ( 1) k x k. Mo»emy pokaza jak rozwiniecie Taylora zbli»aja do funkcji 1/(1 + x):
9 Dla funkcji 1 + x mamy,»e dx (x) = 1 2 (1 + x) 1/2, i dla k > 0: d 2 f dx (x) = (1 + x) 3/2, d 3 f dx (x) = (1 + 3 x) 5/ d k f dx (x) = k ( 1)k Zatem, dla x = 0 otrzymamy, (2k 3)... (1+x) (2k 1)/2 = ( 1)k+1 (2k 2)! 2 2 k 2 k 1 (k 1)! (1+x) (2k 1)/2. f(0) = 1, d k f ( 1)k+1 (2k 2)! (0) = dxk 2 2k 1 (k 1)!, k > 0. Wzór McLaurina przyjmuje dla f(x) posta : ( 1) k+1 2 2k 1 (2k 2)! (k 1)! xk + R n (x, 0) = ( 1) k+1 2 2k (2k)! (2k 1)() 2 xk + R n (x, 0), i ( 1) k+1 ( 2k (2k 1) k k Rozwiniecie McLaurina funkcji f stopnia n to T n f(x, 0) = ( 1) k+1 ( 2k (2k 1) k k ) x k + R n (x, 0). ) x k.
10 Zadanie 5. Rozwi«za pomoc wzoru Taylora w otoczeniu x 0 = 0 do n-tego stopnia wª cznie nastepuj ce funkcje: ln(x), ln(1 + x), arctg x, e 1 x. Rozwiazanie: Funkcje ln(x) i e 1 x nie sa dobrze zdeniowane w punkcie x 0 = 0, wiec, nie mo»na poda wzoru Taylora dla tych funkcji wokóª tego punktu. (Temat zaawanzowany) Natomiast, mo»na poda wzór Taylora dla funkcji f : x ], 0] f(x) R postaci e 1 x dla x < 0 i f(0) = 0. Wªa±nie, je»eli funkcja f : [a, b] R jest ró»niczkowalna stopnia n + 1 na (a, b) R i posiada pochodne rzedów do n + 1 (wªacznie) w (a, b) po prawej stronie w x = a i po lewej w x = b, to mo»emy napisa wzór Taylora dla f dla punktów x [a, b]. W naszym przypadku, dx = 1 x 2 e1/x, Zatem, przez indukcje e1/x = 0, f (0 ) = e 1/x d 2 f dx = 2 2 x 3 e1/x + 1 x e1/x dk f dx = k f k) (x) f k) (0) x x = 0. ( 2k α=0 d k f = 0 = dx. k c α x α ) e 1/x, x < 0. Wtedy, funkcje maja ciagªe pochodne wszystkich rzedów. Wówczas, mamy,»e R n (x, 0). Czyli rozwiniecie Taylora dla ka»dego stopnia n jest zero!!! Ta dziwna funkcja jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna, ale rozwiniecie Taylora nie zbli»a sie do f(x). W takim przypadku, mówi sie,»e taka funkcja nie jest analityczna. Natomiast f(x) jest gªadka. Dla funkcji ln(1 + x) mamy,»e Zatem, dx (x) = x, d 2 f dx (x) = 1 2 (1 + x), d 3 f 2 dx (x) = 2 3 (1 + x), x > 1. 3 d k f dx k (x) = ( 1)k+1 (k 1)!(1 + x) k dk f dx k (0) = ( 1)k+1 (k 1)! x > 1, k > 0
11 i, skoro f(0) = 0, to wzór Taylora dla tej funkcji ma posta k=1 ( 1) k+1 (k 1)! x k + R n (x, 0) = ( 1) k+1 x k + R n (x, 0). k k=1 Wówczas rozwiniecie Taylora wokªoª zera funkcji ln(1 + x) stopnia n jest T n (x, 0) = ( 1) k+1 x k = x 1 k 2 x x2 1 x ( 1)n+1 x n. n k=1 Warto pamieta taka rozwiniecie. Mo»na obliczy to rozwiniecie inaczej. Zadanie 6. Napisa rozwiniecie funkcji e sin x do wyrazów z x 3. Rozwiazanie: Wiemy,»e szereg McLaurina dla e y i sin x to e y = y k, sin x = ( 1) k x 2k+1. (2k + 1)! Zatem e sin x = ( ) k 1 x 2k +1. (2k + 1)! k =0 Rozwiniecie Taylora e sin x trzeciego rzedu, to cze± trzeciego rzedu szeregu Taylora. Skoro ) e sin x = 1+ (x x3 3! + x5 5! ) 2 (x x3 2! 3! + x5 5! ) 3 (x x3 3! 3! + x5 5! to rozwiniecie Taylora funkcji e sin x trzeciego rzedu wokóª x 0 = 0 to T 3 f(x, 0) = 1 + x x2. Zadanie 7. Napisa rozwiniecie funkcji ln(cos x) do wyrazów z x 6.
12 Rozwiazanie: Wiemy,»e szereg McLaurina dla ln(1 + y) (dla y > 0) i cos x to ln(1 + y) = ( 1) k+1 y k, cos x = k k=1 ( 1) k x 2k. (2k)! Zatem ln(cos x) = ln(1 + cos x 1) = ( x2 2! + x! x6 ( x2 2! + x! x6 6! +... ) 6! +... ) 3 1 ( x2 2! + x! x6 1 2 ( x2 2! + x! x6 6! +... ) 2 6! +... ) +... Rozwiniecie Taylora ln(cos x) szóstego rzedu, to cze± szóstego rzedu szeregu Taylora. Skoro T 6 (x, 0) = 1 ( 1 2! x2 +! 1 ) ( x ! + 1 2!! 1 ) x 6 = x x 1 5 x6. Zadanie 8. Oblicz za pomoc wzoru Taylora: sin x ln(1 + x), sin x x. Rozwiazanie: Aby obliczy granice za pomoca rozwinie Taylora, trzeba obliczy rozwiniecie licznika i mianownika a» do takiego rzedu, aby nie otrzyma nieoznaczono±ci. Na przykªad, do pierwszego rzedu: sin x = x + O(x), ln(1 + x) = x + O(x), sin x ln(1 + x) = x x = 1 i sin x x = x x = 1. Zadanie 9. Oblicz za pomoc wzoru Taylora: x + ln( ( 1 + x 2 x) 3, x 3 x cos x + 2 ), (1 + x) ln x. x 3 sin x
13 Rozwiazanie: Mamy,»e dla x + ln( 1 + x 2 x) wynika,»e f(0) = 0, f (0) = 0, f (x) = x (1 + x 2 ) 3/2 f (0) = 0, f (x) = 1 2x2 (1 + x 2 ) 5/2 f (0) = 1/6. Zatem rozwiniecie Taylora dla f(x) jest x 3 /6. Korzystajac z tego Dla drugiej granicy: x + ln( 1 + x 2 x) x 3 ( 3 x cos x + 2 ) = x 3 sin x Rozwiniecie piatego stopnia liczniku to = x 3 /6 x 3 = 1 6. ( ) 3 sin x x cos x 2x x sin x 3(x x 3 /3!+x 5 /5!) x(1 x 2 /2+x /!) 2x = 3x 3x x 3 /2+x 3 /2+3x 5 /5! x 5 /! = 2/(5!)x 5 Rozwiniecie piatego stopnia mianowniku to x 5 Zatem ( ) 3 sin x x cos x 2x x 3 sin x = 0 2/(5!)x 5 x 5 = Zadanie 10. Korzystaj c ze wzoru Taylora oblicz granice: cos x cosh x + x 2 x 3 sin 3 x, (tg(x)) tg(2x). Rozwiazanie: Przypominajac,»e sin(x) = x x 3 /3! + O(x 3 ) wynika,»e mianownik ma rozwiniecie Taylora ró»ne od zera dla stopnia n 6. Jednocze±nie, dla licznika l(x) = cos x cosh +x 2 mamy,»e l(0) = 0, dl dx (0) = ( sin x sinh x + 2x)(0) = 0, d 2 l (0) = ( cos x cosh x + 2)(0) = 0, dx2 d 3 l dx (0) = (sin x sinh x)(0) = 0, d l (0) = (cos x cosh x)(0) = 0, 3 dx d 5 l dx (0) = ( sin x sinh x)(0) = 0, d 6 l (0) = ( cos x cosh x)(0) = 2, 5 dx6
14 Z tego wynika,»e Natomiast l(x) = 2x 6 /6! + O(x 2 ). m(x) = x 6 + O(x 6 ). Šatwo to udowodni patrzac,»e sin(x) = x + O(x 3 ) i x 3 sin 3 (x) = x 3 (x + O(x 3 )) 3 = x 6 + O(x 6 ). Zatem i cos x cosh x + x 2 x 3 sin 3 x = 2x 6 /6! x 6 = 2 6!, Taka granica mo»na rozwiaza leko inaczej. Wiemy,»e cos x = 1 x2 2 + x! x6 x3 +..., sin x = x 6! 3! + x5 5! x7 7! +... cosh x = 1 + x2 2 + x! + x6 6! Z tego wynika,»e licznik ma rozwiniecie wokóª zera szóstego rzedu: i mianownik ( ) 3 x 3 sin 3 x = x 3 x x3 3! + x5 5! x7 7! +... = x 6 + O(x 6 ) cos x cosh x + x 2 = 2x 6 /6! + O(x 6 ). Zatem cos x cosh x + x 2 x 3 sin 3 x Dla drugiej granicy mamy,»e Aby upro±ci obliczenie granicy piszemy,»e ln (tg(x)) tg(2x) = = 2x 6 /6! x 6 = 2 6!. (tg(x)) tg(2x) = 1 0 (nieoznaczono± ). ln (tg(x)) tg(2x) = tg(2x) ln (tg(x)) = ln (tg(x)) ctg(2x).
15 Teraz ctg(2x) = 2x+O(x), ln(tg(x)) = x+o(x) ln (tg(x)) ctg(2x) = 2(x /) 2(x /) = 1. Zatem ln (tg(x)) tg(2x) = 1 (tg(x)) tg(2x) = e 1.
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Informacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Szkice rozwi za«zada«z egzaminu 1
Egzamin - szkic rozwi za«sem. zimowy 06/07 AM, Budownictwo, IL PW Szkice rozwi za«zada«z egzaminu. Poda denicj granicy oraz ci gªo±ci funkcji. Def. (Heinego) Liczb g nazywamy granic funkcji f : D R w unkcie
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
(4) (b) m. (c) (d) sin α cos α = sin 2 k = sin k sin k. cos 2 m = cos m cos m. (g) (e)(f) sin 2 x + cos 2 x = 1. (h) (f) (i)
(3) (e) sin( θ) sin θ cos( θ) cos θ sin(θ + π/) cos θ cos(θ + π/) sin θ sin(θ π/) cos θ cos(θ π/) sin θ sin(θ ± π) sin θ cos(θ ± π) cos θ sin(θ ± π) sin θ cos(θ ± π) cos θ (f) cos x cos y (g) sin x sin
1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Podstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań
1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Analiza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Analiza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Analiza Matematyczna. Lista zadań 10
Analiza Matematyczna Lista zadań 10 Zadanie 1 pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1. Zadanie 2 objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ograniczonej krzyw a o równaniu
Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067
Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć
Analiza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza
Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy
Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Wydział MIiM UW, 2/ 24 października 22 ostatnie poprawki: 9 czerwca 23 Szanowni Państwo, zgodnie z zapowiedzią, na każdym kolokwium w pierwszym semestrze
Zadanie 1. Z definicji wyprowadź wzory na pochodne funkcji. Przypominam definicję pochodnej f (x)
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Z definicji wyprowadź wzory na pocodne funkcji. Przypominam definicję pocodnej f (x) f (x) lim f(x + ) f(x) przy czym, aby pocodna istniała,
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015. MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO
1 MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO MARZEC 015 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 17). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego
Rozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:
Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Analiza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
na egzaminach z matematyki
Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które
Informacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji
Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),
WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa
3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
punkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykªadnicza
Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykªadnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym ukªadzie wspóªrz dnych wykresy
Fizyka laboratorium 1
Rozdzia l Fizyka laboratorium.. Elementy analizy matematycznej Funkcje Zmienna y nazywa sie zmienna zależna albo funkcja zmiennej x, jeżeli przyjmuje ona określone wartości dla każdej wartości zmiennej
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI
Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,
Kurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Wykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Lista 1. (e) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę. (f) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę
MATEMATYKA Lista 1 1. Zbadać liniową niezależność wektorów. (a) (1, 2, 3), (3, 4, 5), V = R 3 ; (b) (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1), V = R 3 ; (c) (1, 0, 0, 0), ( 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), ( 1, 1 1, 1),
Analiza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Powtórka materiału przed
Pochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Pochodne Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 MOTYWACJA Rozpatrzmy gładką funkcję np. y x = x 2 w okolicach punktu (1,1) x 0 = 1, y 0 = f x 0 = 1 powiększmy wykres wokół (x 0, f(x 0
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Zastosowania pochodnych
Zastosowania pochodnych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ Przykład: objętość kuli Kulka z łożyska tocznego ma średnicę 2,3 mm, co oznacza, że objętość
Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
AM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka
AM.2 zadania 4 Tekst poprawiony 24 kwietnia 206 r. Zadania 26, 28, 29, 3, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 62 i inne z wykrzyknikiem obok numeru sa obowiazkowe! Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka można napisać
Kolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona
Kolokwium 3 0.0. Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e,
1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Legalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy