Podstawy matematyki dla informatyków

Transkrypt

1 Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011

2 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru N oznaczamy symbolem ℵ 0 (alef zero). Mówimy,»e zbiór jest przeliczalny, gdy jest sko«czony lub jest zbiorem mocy ℵ 0. W przeciwnym razie zbiór jest nieprzeliczalny.

3 W poprzednim odcinku... Zbiór A jest niesko«czony wtedy i tylko wtedy, gdy ma podzbiór mocy ℵ 0. Zbiór A jest niesko«czony wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoliczny z pewnym swoim podzbiorem wªa±ciwym.

4 Zbiory przeliczalne Fakt Ka»dy podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny.

5 Zbiory przeliczalne Fakt Ka»dy podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny. Dowód: Wystarczy udowodni,»e ka»dy niesko«czony podzbiór zbioru N jest przeliczalny.

6 Zbiory przeliczalne Fakt Ka»dy podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny. Dowód: Wystarczy udowodni,»e ka»dy niesko«czony podzbiór zbioru N jest przeliczalny. Niech A N b dzie niesko«czony. Deniujemy f : N A: f (n) = min(a f (n)) (*) Wtedy f jest ró»nowarto±ciowa. Poka»emy,»e f jest na A.

7 Zbiory przeliczalne Fakt Ka»dy podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny. Dowód: Wystarczy udowodni,»e ka»dy niesko«czony podzbiór zbioru N jest przeliczalny. Niech A N b dzie niesko«czony. Deniujemy f : N A: f (n) = min(a f (n)) (*) Wtedy f jest ró»nowarto±ciowa. Poka»emy,»e f jest na A. Przypu± my,»e k A Rg(f ). Wtedy dla dowolnego n mamy jednocze±nie k A f (n) i k f (n), a wi c k > f (n). St d Rg(f ) k czyli Rg(f ) jest sko«czony. To niemo»liwe, bo f jest ró»nowarto±ciowa.

8 Przeliczanie przeliczalnego Fakt Niepusty zbiór A jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje surjekcja f : N na A.

9 Przeliczanie przeliczalnego Fakt Niepusty zbiór A jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje surjekcja f : N na A. Dowód: ( ) Je±li A = ℵ 0 to z denicji istnieje bijekcja.

10 Przeliczanie przeliczalnego Fakt Niepusty zbiór A jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje surjekcja f : N na A. Dowód: ( ) Je±li A = ℵ 0 to z denicji istnieje bijekcja. Je±li A = n 0 to jest g : n 1 1 na { h(m) = A, i wtedy h : N na A: g(m), je±li m < n; g(0), w przeciwnym przypadku.

11 Przeliczanie przeliczalnego Fakt Niepusty zbiór A jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje surjekcja f : N na A. Dowód: ( ) Je±li A = ℵ 0 to z denicji istnieje bijekcja. Je±li A = n 0 to jest g : n 1 1 na { h(m) = A, i wtedy h : N na A: g(m), je±li m < n; g(0), w przeciwnym przypadku. ( ) Niech g = λa A. min{i N f (i) = a}. Wtedy g : A 1 1 N, zatem A Rg(g) N.

12 Fakt Niepusty zbiór A jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, Wniosek Je±li A jest przeliczalny i f : A gdy istnieje surjekcja f : N na A. na B, to B jest przeliczalny.

13 Fakt Je±li zbiory A i B s przeliczalne, to A B jest przeliczalne.

14 Fakt Je±li zbiory A i B s przeliczalne, to A B jest przeliczalne. Dowód: Zaªó»my,»e A i B s niepuste (inaczej oczywiste). S f : N na A i g : N na B. Wtedy ϕ : N na A B: { f (k), je±li n = 2k, dla pewnego k; ϕ(n) = g(k), je±li n = 2k + 1, dla pewnego k

15 Fakt Je±li zbiory A i B s przeliczalne, to A B jest przeliczalne.

16 Fakt Je±li zbiory A i B s przeliczalne, to A B jest przeliczalne. Dowód: Zaªó»my,»e A i B s niepuste (inaczej oczywiste). S f : N na A i g : N na B. Wtedy ψ : N na A B: { f (0), g(0), je±li n = 0; ψ(n) = f (i), g(j), je±li n = 2 i 3 j q oraz 2 q i 3 q. Funkcja ψ jest na, bo dla dowolnych a A, b B istniej takie i, j,»e f (i) = a i f (j) = b. A wi c a, b = ψ(2 i 3 j ).

17 Funkcje pary z N N do N t(m, n) = 2 m 3 n (ró»nowarto±ciowa)

18 Funkcje pary z N N do N t(m, n) = 2 m 3 n u(m, n) = 2 m (2n + 1) (ró»nowarto±ciowa) (ró»nowarto±ciowa)

19 Funkcje pary z N N do N t(m, n) = 2 m 3 n u(m, n) = 2 m (2n + 1) u(m, n) = 2 m (2n + 1) 1 (ró»nowarto±ciowa) (ró»nowarto±ciowa) (bijekcja)

20 Funkcje pary z N N do N t(m, n) = 2 m 3 n u(m, n) = 2 m (2n + 1) u(m, n) = 2 m (2n + 1) 1 (ró»nowarto±ciowa) (ró»nowarto±ciowa) (bijekcja) v(m, n) = (m + n)(m + n + 1) 2 + m (bijekcja)

21 Przykªady zbiorów przeliczalnych Zbiór N N jest przeliczalny. Bo to produkt zbiorów przeliczalnych.

22 Przykªady zbiorów przeliczalnych Zbiór N N jest przeliczalny. Zbiór Z wszystkich liczb caªkowitych jest przeliczalny. Bo f : N N na Z, gdzie f m, n = m n.

23 Przykªady zbiorów przeliczalnych Zbiór N N jest przeliczalny. Zbiór Z wszystkich liczb caªkowitych jest przeliczalny. Zbiór Q wszystkich liczb wymiernych jest przeliczalny. Bo f : Z (Z {0}) na Q, gdzie f m, n = m n.

24 Przykªady zbiorów przeliczalnych Zbiór N N jest przeliczalny. Zbiór Z wszystkich liczb caªkowitych jest przeliczalny. Zbiór Q wszystkich liczb wymiernych jest przeliczalny. Zbiór wszystkich punktów pªaszczyzny o wspóªrz dnych wymiernych jest przeliczalny. Bo to po prostu Q Q.

25 Twierdzenie Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna.

26 Twierdzenie Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna. Dowód: Niech A b dzie przeliczaln rodzin zbiorów przeliczalnych. Zaªó»my,»e A oraz A. Wtedy:

27 Twierdzenie Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna. Dowód: Niech A b dzie przeliczaln rodzin zbiorów przeliczalnych. Zaªó»my,»e A oraz A. Wtedy: Istnieje funkcja F : N na A.

28 Twierdzenie Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna. Dowód: Niech A b dzie przeliczaln rodzin zbiorów przeliczalnych. Zaªó»my,»e A oraz A. Wtedy: Istnieje funkcja F : N na A. Istniej funkcje f m : N na F (m).

29 Twierdzenie Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna. Dowód: Niech A b dzie przeliczaln rodzin zbiorów przeliczalnych. Zaªó»my,»e A oraz A. Wtedy: Istnieje funkcja F : N na A. Istniej funkcje f m : N na F (m). Ka»de a A nale»y do pewnego F (m).

30 Twierdzenie Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna. Dowód: Niech A b dzie przeliczaln rodzin zbiorów przeliczalnych. Zaªó»my,»e A oraz A. Wtedy: Istnieje funkcja F : N na A. Istniej funkcje f m : N na F (m). Ka»de a A nale»y do pewnego F (m). Zatem ka»de a jest postaci f m (n).

31 Twierdzenie Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna. Dowód: Niech A b dzie przeliczaln rodzin zbiorów przeliczalnych. Zaªó»my,»e A oraz A. Wtedy: Istnieje funkcja F : N na A. Istniej funkcje f m : N na F (m). Ka»de a A nale»y do pewnego F (m). Zatem ka»de a jest postaci f m (n). Niech G(m, n) = f m (n), dla m, n N. Funkcja G : N N na A, jest na A.

32 Twierdzenie Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna. Dowód: Niech A b dzie przeliczaln rodzin zbiorów przeliczalnych. Zaªó»my,»e A oraz A. Wtedy: Istnieje funkcja F : N na A. Istniej funkcje f m : N na F (m). Ka»de a A nale»y do pewnego F (m). Zatem ka»de a jest postaci f m (n). Niech G(m, n) = f m (n), dla m, n N. Funkcja G : N N na A, jest na A. Zatem A jest zbiorem przeliczalnym.

33 Twierdzenie Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna.

34 Twierdzenie Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna. Wniosek Je±li alfabet A jest przeliczalny, to zbiór wszystkich sªów A te» jest przeliczalny.

35 Twierdzenie Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna. Wniosek Je±li alfabet A jest przeliczalny, to zbiór wszystkich sªów A te» jest przeliczalny. Dowód: Zbiór A jest sum zbiorów A n, dla n N.

36 Denicja Liczby algebraiczne to pierwiastki rzeczywiste wielomianów o wspóªczynnikach wymiernych.

37 Denicja Liczby algebraiczne to pierwiastki rzeczywiste wielomianów o wspóªczynnikach wymiernych. Fakt Zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest przeliczalny.

38 Denicja Liczby algebraiczne to pierwiastki rzeczywiste wielomianów o wspóªczynnikach wymiernych. Fakt Zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest przeliczalny. Dowód: Wielomian jest wyznaczony przez sko«czony ci g swoich wspóªczynników. Zbiór wielomianów Q[x] jest wi c równoliczny z Q i te» przeliczalny.

39 Denicja Liczby algebraiczne to pierwiastki rzeczywiste wielomianów o wspóªczynnikach wymiernych. Fakt Zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest przeliczalny. Dowód: Wielomian jest wyznaczony przez sko«czony ci g swoich wspóªczynników. Zbiór wielomianów Q[x] jest wi c równoliczny z Q i te» przeliczalny. Wielomian ma sko«czenie wiele pierwiastków, wi c zbiór liczb algebraicznych to przeliczalna suma zbiorów sko«czonych.

40 Nierówno±ci Mówimy,»e moc zbioru A jest mniejsza lub równa mocy zbioru B (i piszemy A B), wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje injekcja f : A 1 1 B.

41 Nierówno±ci Mówimy,»e moc zbioru A jest mniejsza lub równa mocy zbioru B (i piszemy A B), wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje injekcja f : A 1 1 B. Je»eli A B ale zbiory A i B nie s równoliczne, to piszemy A < B i mówimy,»e zbiór A jest mocy mniejszej ni» zbiór B.

42 Nierówno±ci Mówimy,»e moc zbioru A jest mniejsza lub równa mocy zbioru B (i piszemy A B), wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje injekcja f : A 1 1 B. Je»eli A B ale zbiory A i B nie s równoliczne, to piszemy A < B i mówimy,»e zbiór A jest mocy mniejszej ni» zbiór B. Je±li m, n s liczbami kardynalnymi to m n oznacza,»e A B, dla A = m, B = n. Analogicznie rozumiemy m < n.

43 Poprawno± denicji Lemat Je»eli A B i C D oraz istnieje injekcja f : A 1 1 istnieje te» injekcja g : B 1 1 D. C, to

44 Poprawno± denicji Lemat Je»eli A B i C D oraz istnieje injekcja f : A 1 1 istnieje te» injekcja g : B 1 1 D. Dowód: Istniej bijekcje ϕ : B 1 1 na Zatem ψ f ϕ : B 1 1 D. C, to A oraz ψ : C 1 1 D. na A f C ϕ ψ B D

45 Nierówno±ci Je±li A B, to A B.

46 Nierówno±ci Je±li A B, to A B. Dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi n < ℵ 0.

47 Nierówno±ci Je±li A B, to A B. Dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi n < ℵ 0. Dla dowolnego zbioru A zachodzi A P(A). Istotnie, λa. {a} : A 1 1 P(A).

48 Nierówno±ci Je±li A B, to A B. Dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi n < ℵ 0. Dla dowolnego zbioru A zachodzi A P(A). Istotnie, λa. {a} : A 1 1 P(A). Zbiór A jest niesko«czony wtw, gdy ℵ 0 A.

49 Nierówno±ci Fakt Dla dowolnych niepustych zbiorów A, B nast puj ce warunki s równowa»ne: 1) A B; 2) Istnieje g : B na A; 3) Zbiór A jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru B.

50 Nierówno±ci Fakt Dla dowolnych zbiorów A, B, C : A A;

51 Nierówno±ci Fakt Dla dowolnych zbiorów A, B, C : A A; Je±li A B i B C to A C.

52 Nierówno±ci Fakt Dla dowolnych zbiorów A, B, C : A A; Je±li A B i B C to A C. Czy je±li A B i B A to A = B?

53 Twierdzenie (Cantora-Bernsteina) Je±li A B i B A to A = B. Inaczej: Je±li f : A 1 1 B oraz g : B 1 1 na to istnieje h : A 1 1 B. A,

54 Przykªad Zawierania K A L implikuj równoliczno±. K L A

55 Przykªad Przedziaªy (0, 1) i [0, 1] s równoliczne, bo (0, 1) [0, 1]; [0, 1] ( 1, 2) (0, 1).

56 Dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina A f g B

57 Dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina

58 Dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina

59 Dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina

60 Inny dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina Lemat: Je±li ϕ : A 1 1 C A to C A. A C

61 Moc continuum Denicja Moc zbioru wszystkich liczb rzeczywistych nazywamy continuum i oznaczamy przez C.

62 Moc continuum Denicja Moc zbioru wszystkich liczb rzeczywistych nazywamy continuum i oznaczamy przez C. Twierdzenie C = P(N) = {0, 1} N = N {0, 1}.

63 Moc continuum Denicja Moc zbioru wszystkich liczb rzeczywistych nazywamy continuum i oznaczamy przez C. Twierdzenie C = P(N) = {0, 1} N = N {0, 1}. Dowód: Cz ± ªatwa: Bijekcja F : P(N) 1 1 (N {0, 1}) na mo»e by okre±lona tak: F (A) = λn:n. if n A then 1 else 0.

64 Moc continuum Denicja Moc zbioru wszystkich liczb rzeczywistych nazywamy continuum i oznaczamy przez C. Twierdzenie C = P(N) = {0, 1} N = N {0, 1}. Dowód: Cz ± ªatwa: Bijekcja F : P(N) 1 1 (N {0, 1}) na mo»e by okre±lona tak: F (A) = λn:n. if n A then 1 else 0. Uwaga: Funkcja F (A) to funkcja charakterystyczna zbioru A. Bywa oznaczana symbolem χ A.

65 N {0, 1} R Dowód: Okre±lamy funkcj H : (N {0, 1}) 1 1 [0, 1): H(f ) = f (i) 10 i+1 i=0 Na przykªad H( ) = 0, Dwa ró»ne ci gi f i g daj dwie ró»ne liczby H(f ) i H(g). Ale nie ka»da liczba w (0, 1) jest postaci H(f ).

66 R P(Q) Dowód: Deniujemy G : R 1 1 P(Q): G(r) = Q (, r) Je±li r 1 < r 2 to r 1 < q < r 2 dla pewnego q Q. Wtedy q G(r 2 ) G(r 1 ).

67 Moraª: P(N) R

68 Moraª: P(N) R Dowód: Po pierwsze, P(N) = N {0, 1} R = C.

69 Moraª: P(N) R Dowód: Po pierwsze, P(N) = N {0, 1} R = C. Po drugie, C = R P(Q) = P(N).

70 Moraª: P(N) R Dowód: Po pierwsze, P(N) = N {0, 1} R = C. Po drugie, C = R P(Q) = P(N). Z twierdzenia Cantora-Bernsteina zbiory P(N) i R s równoliczne.

71 Nieprzeliczalno± Twierdzenie Zbiór R jest nieprzeliczalny (inaczej, ℵ 0 < C).

72 Nieprzeliczalno± Twierdzenie Zbiór R jest nieprzeliczalny (inaczej, ℵ 0 < C). Dowód: Przypu± my,»e liczby z przedziaªu (0, 1) mo»na ustawi w ci g niesko«czony,

73 Nieprzeliczalno± Twierdzenie Zbiór R jest nieprzeliczalny (inaczej, ℵ 0 < C). Dowód: Przypu± my,»e liczby z przedziaªu (0, 1) mo»na ustawi w ci g niesko«czony, np. tak: r 1 = 0, r 2 = 0, r 3 = 0, r 4 = 0,

74 Nieprzeliczalno± Twierdzenie Zbiór R jest nieprzeliczalny (inaczej, ℵ 0 < C). Dowód: Przypu± my,»e liczby z przedziaªu (0, 1) mo»na ustawi w ci g niesko«czony, np. tak: r 1 = 0, r 2 = 0, r 3 = 0, r 4 = 0,

75 Nieprzeliczalno± Twierdzenie Zbiór R jest nieprzeliczalny (inaczej, ℵ 0 < C). Dowód: Przypu± my,»e liczby z przedziaªu (0, 1) mo»na ustawi w ci g niesko«czony, np. tak: r 1 = 0, r 2 = 0, r 3 = 0, r 4 = 0, Wtedy liczba 0, na pewno w tym ci gu nie wystepuje!

76 Nieprzeliczalno± Twierdzenie Zbiór P(N) jest nieprzeliczalny. Dowód: Przypu± my,»e P(N) = {A n n N}. Niech B = {n n A n }.

77 Nieprzeliczalno± Twierdzenie Zbiór P(N) jest nieprzeliczalny. Dowód: Przypu± my,»e P(N) = {A n n N}. Niech B = {n n A n }. Wtedy B = A k, dla pewnego k.

78 Nieprzeliczalno± Twierdzenie Zbiór P(N) jest nieprzeliczalny. Dowód: Przypu± my,»e P(N) = {A n n N}. Niech B = {n n A n }. Wtedy B = A k, dla pewnego k. Je±li k B, to k A k, wi c k B, sprzeczno±.

79 Nieprzeliczalno± Twierdzenie Zbiór P(N) jest nieprzeliczalny. Dowód: Przypu± my,»e P(N) = {A n n N}. Niech B = {n n A n }. Wtedy B = A k, dla pewnego k. Je±li k B, to k A k, wi c k B, sprzeczno±. Je±li k B, to (k A k ), czyli k A k = B, sprzeczno±.

80 Uogólnienie: Twierdzenie (Cantora) Dla dowolnego zbioru A zachodzi A < P(A). Dowód: Przypu± my,»e F : A 1 1 P(A). Niech na B = {x A x F (x)}.

81 Uogólnienie: Twierdzenie (Cantora) Dla dowolnego zbioru A zachodzi A < P(A). Dowód: Przypu± my,»e F : A 1 1 P(A). Niech na B = {x A x F (x)}. Istnieje takie b A,»e F (b) = B.

82 Uogólnienie: Twierdzenie (Cantora) Dla dowolnego zbioru A zachodzi A < P(A). Dowód: Przypu± my,»e F : A 1 1 P(A). Niech na B = {x A x F (x)}. Istnieje takie b A,»e F (b) = B. Je±li b B, to b F (b) = B, sprzeczno±.

83 Uogólnienie: Twierdzenie (Cantora) Dla dowolnego zbioru A zachodzi A < P(A). Dowód: Przypu± my,»e F : A 1 1 P(A). Niech na B = {x A x F (x)}. Istnieje takie b A,»e F (b) = B. Je±li b B, to b F (b) = B, sprzeczno±. Je±li b B, to b F (b), sprzeczno±.

84 Paradoks fryzjera F : A P(A) F (x) = {y x goli y} Nie mo»e istnie takie b,»e: x(b goli x x nie goli x) x(x F (b) x F (x))