ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Transkrypt

1 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15

2 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17 5 Maªe Twierdzenie Fermata 20 6 Twierdzenie Eulera 23 7 Twierdzenie Lagrange'a 26 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 29 9 RSA i gra w orªa i reszk przez telefon Kongruencje wy»szych stopni Liczby pseudopierwsze Pierwiastki pierwotne Istnienie pierwiastków pierwotnych Logarytm dyskretny Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 61 2

3 Wykªad 6 Twierdzenie Eulera Jak ju» zauwa»yli±my (tw. 3.5), liczba a jest odwracalna modulo n wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Funkcja ϕ, która przyporz dkowuje ka»dej liczbie naturalnej n, ilo± dodatnich i niewi kszych od n liczb odwracalnych modulo n nazywamy funkcj Eulera. Zatem ϕ(n) = # {0 < x n : NWD(x, n) = 1}. 6.1 Przykªad. ϕ(8) = 4, poniewa» tylko liczby nieparzyste s wzgl dnie pierwsze z 8 oraz 8 nie ma dzielników nieparzystych. Je±li p jest liczb pierwsz, to ϕ(p) = p 1, gdy» ka»da liczba dodatnia mniejsza od p jest wzgl dnie pierwsza z p. Je»eli p r jest pot g liczby pierwszej, to jedynymi liczbami, które nie s wzgl dnie pierwsze z p r, s wielokrotno±ci p, czyli liczby p, 2p, 3p,..., (p r 1 1)p. Tych liczb jest w sumie p r 1 1, zatem ( ϕ(p r ) = p r 1 (p r 1 1) = p r p r 1 = p r 1 1 ). (6.1) p Poka»emy,»e przy pewnym zaªo»eniu, ϕ jest funkcj multyplikatywn. Pozwoli nam to wyprowadzi do± por czny wzór na warto±ci ϕ uogólniaj cy (6.1). 6.2 Twierdzenie. Je±li NWD(m, n) = 1, to ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Dowód. Zauwa»my najpierw,»e je±li jedna z liczb m, n jest równa 1, to teza jest prawdziwa. Mo»emy zatem zaªo»y,»e m > 1 i n > 1. Wypiszmy 23

4 wszystkie liczby niewi ksze od mn w nast puj cy sposób: 1, 2,..., r,..., n, n + 1, n + 2,..., n + r,..., 2n, 2n + 1, 2n + 2,..., 2n + r,..., 3n, , ,..., ,...,..., (m 1)n + 1, (m 1)n + 2,..., (m 1)n + r,..., mn. (6.2) Zauwa»my,»e liczby ka»dej z kolumn tablicy (6.2) ró»ni si modulo m od liczb 1, 2,..., m 1 tylko porz dkiem. Istotnie, je±li istniej liczby q 1, q 2, oraz r, takie»e q 1 n + r q 2 n + r (mod m), to poniewa» m i n s wzgl dnie pierwsze, wi c z ostatniej kongruencji wynika q 1 q 2 (mod m) (tw. 3.1). Ale poniewa» q 1 i q 2 s nieujemnymi liczbami mniejszymi od m, wi c q 1 = q 2. Znacznie ªatwiej jest zauwa»y,»e w ka»dym wierszu tablicy (6.2) mamy liczby przystaj ce modulo n, odpowiednio, do 1, 2,..., n 1, 0. Tak wi c w ka»dym wierszu jest ϕ(n) liczb wzgl dnie pierwszych z n, a w ka»dej kolumnie jest ϕ(m) liczb wzgl dnie pierwszych z m. Co wi cej, zauwa»my,»e je»eli w pewnej kolumnie (6.2) mamy liczb, która nie jest wzgl dnie pierwsza z n, to wszystkie liczby tej kolumny nie s wzgl dnie pierwsze z n. Z drugiej strony, je±li jaka± liczba jest wzgl dnie pierwsza z mn, to jest ona wzgl dnie pierwsza z m i wzgl dnie pierwsza z n. Wykre±lmy zatem z (6.2) wszystkie liczby, które nie s wzgl dnie pierwsze z mn. Wówczas w ka»dym wierszu pozostanie nam ϕ(n) liczb, przy czym wykre±limy caªe kolumny. Pozostanie wi c ϕ(n) kolumn z ϕ(m) liczb w ka»dej z nich. Zatem ϕ(mn) = ϕ(n)ϕ(m). Rozwa»my liczb n = k pα i i. Poniewa» wszystkie czynniki w tym iloczynie s parami wzgl dnie pierwsze, wi c po zastosowaniu twierdzenia 6.2, dostajemy ϕ(n) = = = n k k ϕ (p α i i ) p α i i (1 1pi ) k ) (1 1pi Udowodnili±my wi c nast puj cy wniosek. 24

5 6.3 Wniosek. Je±li n = k pα i i U»ywaj c wniosku 6.3, dostajemy, to ϕ(n) = n ) k (1 1pi. ϕ( ) = (29 1)(25 5) = 560. Poniewa» ró»nica p k p k 1 jest liczb parzyst, z wyj tkiem przypadku gdy p = 2 oraz k = 1, wi c jedyn nieparzyst warto±ci funkcji ϕ jest 1, która jest przyjmowana dla argumentów 1 oraz 2. Dla liczb wi kszych od 3, funkcja Eulera przyjmuje tylko warto±ci parzyste. Co wi cej, je±li w rozkªadzie liczby n wyst puje dokªadnie k pot g liczb pierwszych, to 2 k 1 ϕ(n). 6.4 Przykªad. Znajdziemy wszystkie liczby n, dla których ϕ(n) = 6. W tym celu rozwa»ymy kilka przypadków. n = p α. Zatem 6 = p α 1 (p 1). Rozwa»aj c kolejne liczby pierwsze, zauwa»amy,»e n = 3 2 = 9, lub n = 7. n = p α q β. Wówczas 6 = (p α p α 1 )(q β q β 1 ). Zauwa»my,»e ró»nica dwóch kolejnych pot g»adnej liczby pierwszej nie jest równa 3, wi c jedna z liczb p α p α 1, q β q β 1 musi by równa 1, czyli p = 2, a druga 6. Rozwa»aj c kolejne liczby pierwsze jako kandydatki na q, otrzymujemy n = = 18 lub n = 2 7 = 14. Z uwagi umieszczonej tu» przed przykªadem, wynika,»e n nie mo»e by iloczynem wi cej ni» dwóch pot g liczb pierwszych. U»ywaj c funkcji Eulera ϕ, sformuªujemy i udowodnimy uogólnienie Ma- ªego Twierdzenia Fermata. Zauwa»my przy tym,»e je±li NWD(a, n) 1, to a k 1 (mod n) dla»adnego k > 1. Istotnie, gdyby tak byªo, to n byªaby dzielnikiem a k 1, czyli istniaªaby liczba caªkowita x, taka»e xn+a a k 1 = 1. Z lematu 3.4 wynika zatem,»e NWD(a, n) = 1, sk d sprzeczno±. Tak wi c, aby otrzyma kongruencj, w której pot ga a przystaje do 1, nale»y rozwa»a tylko te liczby a, które s wzgl dnie pierwsze z n. Je±li n jest liczb pierwsz, to sprowadza si to do liczb, które nie s podzielne przez n, st d zaªo»enia drugiej cz ±ci MTF. Zauwa»my,»e owa druga cz ± MTF jest zawarta w nast puj cym twierdzeniu. 6.5 Twierdzenie (Eulera). Przypu± my,»e NWD(a, n) = 1 dla liczby caªkowitej a oraz n > 2. Wówczas a ϕ(n) 1 (mod n) (6.3) 25

6 Dowód. Wypiszmy wszystkie elementy odwracalne modulo n, które s dodatnie i mniejsze od n. S to r 1, r 2..., r ϕ(n). Skoro a jest odwracalna modulo n, wi c tak»e elementy ar 1, ar 2..., ar ϕ(n) s odwracalne modulo n, oraz»adne dwa z nich nie s równe. Zatem r 1 r 2... r ϕ(n) ar 1 ar 2... ar ϕ(n) (mod n). Korzystaj c z prawa przemienno±ci mno»enia dostajemy a ϕ(n) (r 1 r 2... r ϕ(n) ) (r 1 r 2... r ϕ(n) ) (mod n). Ostatnia kongruencja implikuje (6.3). Dla przykªadu, znajdziemy ostatni cyfr liczby w ukªadzie szestnastkowym. Mamy tu ϕ(16) = 8, a (mod 8). Zatem (mod 16) i ostatni cyfr jest 9. Okazuje si,»e najni»sza pot ga liczby a w Twierdzeniu Eulera jest cz sto mniejsza ni» ϕ(n). Na przykªad ϕ(105) = 48, ale dla a wzgl dnie pierwszych ze 105 mamy a 12 1 (mod 105). Istotnie, 105 = oraz a 6 1 a 12 1 a 4 a 12 1 a 2 1 a 12 1, wi c z Maªego Twierdzenia Fermata, 105 a pokazuje jak ulepszy pot g a. Poni»sze twierdzenie 6.6 Twierdzenie. Przypu± my,»e m = p α 1 1 p α p α k k, gdzie wszystkie liczby pierwsze p i s ró»ne i p α i i jest najwi ksz poteg liczby p i, która dzieli m. Niech n = NWW(ϕ (p α 1 1 ), ϕ (p α 2 2 ),..., ϕ (p α k k )). Wtedy mamy an 1 (mod m) dla ka»dego a wzgl dnie pierwszego z m. Dowód. Z twierdzenia Eulera wynika a ϕ(pα i i ) 1 (mod p α i i ) dla ka»dego i {1, 2,..., k}. Mno» c t kongruencj stronami przez siebie n/ϕ(p α i i ) razy otrzymujemy a n 1 (mod p α i i ) dla ka»dego i. St d bezpo±rednio wynika,»e dla dowolnego i mamy p α i i a n 1. Zatem i m a n 1, a to nam daje tez. Wracaj c do uwagi przed twierdzeniem 6.6, zauwa»my,»e 105 = oraz 12 = NWW(ϕ(3), ϕ(5), ϕ(7)) = NWW(2, 4, 6). 26