PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:

Transkrypt

1 Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm Macierz homomorzmu Dziaªania Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych: V n α j e j [α 1,..., α n ] F n. j=1 Odwzorowanie to zale»y od wyboru bazy B = { e j 1 j n}. Podprzestrze«Zbiór wektorów W V jest podprzestrzeni przestrzeni V (nad ciaªem F), gdy ka»da kombinacja liniowa wektorów { w k } W (o wspóªczynnikach z ciaªa F) tak»e nale»y do W. HOMOMORFIZM (przestrzeni wektorowych) Odwzorowanie liniowe Niech T : V V b dzie odwzorowaniem z przestrzeni V do V (nad tym SA- MYM ciaªem!). T jest odwzorowaniem liniowym (homomorzmem), gdy T (α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 T ( v 1 ) + α 2 T ( v 2 ). Obraz i j dro (kernel) Ka»dy homomorzm T p.w. wyznacza dwie podprzestrzenie: Im T = { v V v V T v = v } inaczej Im T = {T v v V } T V Ker T = { v V T v = }

2 PRZYKŠADY V = {[a, b] a, b R} Podprzestrze«W = {[a, b] b = a} = {[a, a] a R} α[a, a] + β[b, b] = [αa + βb, (αa + βb)] = [c, c], gdzie c = αa + βb Homomorzm T [a, b] = [a + b,, ] Im T = [c,, ] Ker T = {[a, a]} ROLA BAZY BARDZO WA NE Poniewa» ka»dy homomorzm zachowuje kombinacje liniowe, a ka»dy wektor mo»e by zapisany jako kombinacja liniowa wektorów bazowych, zatem wystarczy okre±li warto±ci homomorzmu T dla wektorów bazowych. Inaczej: Wystarczy okre±li dziaªanie ˆT operatora na wektory bazowe. W przykªadzie: T [1, ] = [1,, ] = T [, 1], zatem T [a, b] = T (a[1, ] + b[, 1]) = (a + b)[1,, ]. 1.1 Macierz homomorzmu MACIERZ HOMOMORFIZMU PRZYKŠAD Niech T [1,, ] = [1, 2], T [, 1, ] = [3, 4], T [,, 1] = [5, 6]. Dla dowolnego wektora [x 1, x 2, x 3 ] R 3 mamy T [x 1, x 2, x 3 ] = T (x 1 [1,, ] + x 2 [, 1, ] + x 3 [,, 1]) = T (x 1 [1,, ]) + T (x 2 [, 1, ]) + T (x 3 [,, 1]) = x 1 T ([1,, ]) + x 2 T ([, 1, ]) + x 3 T ([,, 1]) = x 1 [1, 2] + x 2 [3, 4] + x 3 [5, 6] = [x 1 + 3x 2 + 5x 3, 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 ] = [y 1, y 2 ] R 2 y 1 = 1 x x x 3 y 2 = 2 x x x 3 2

3 MACIERZ HOMOMORFIZMU Macierz homomorzmu T Jest to zbiór liczb zapisanych w postaci Macierz ma dwa wiersze (numerowane jak wektory bazowe w przestrzeni V = R 2 ) oraz trzy kolumny (numerowane jak wektory bazowe w przestrzeni V = R 3 ). Jest to macierz (wymiaru) 2 3. Liczby 1,2,...,6 nazywamy elemtami macierzowymi (ew. macierzy). UWAGA! Zauwa»my,»e kolumny tej macierzy odpowiadaj obrazom wektorów bazowych [1,,], [,1,] i [,,1]. 1.2 Dziaªania MNO ENIE PRZEZ SKALARY Homomorizmów Dla danego T : V V mo»emy okre±li T = αt jako: (αt ) v = α(t v). Macierzy Denicja T jest prawdziwa w szczególno±ci dla wektorów bazowych [1,,..., ] itd. Ich obrazy s kolumnami macierzy, zatem 2 = DODAWANIE Homomorizmów Dla danych T 1 : V V oraz T 2 : V V mo»emy okre±li ich sum T = T 1 T 2 jako: (T 1 T 2 ) v = (T 1 v) + (T 2 v). Macierzy Denicja T jest prawdziwa w szczególno±ci dla wektorów bazowych [1,,..., ] itd. Ich obrazy s kolumnami macierzy, zatem a c e b d f = 1 + a 3 + c 5 + e 2 + b 4 + d 6 + f W dalszej cz ±ci u»ywamy tego samego znaku + dla dodawania liczb, macierzy, wektorów,.... Z kontekstu wnioskujemy z jakiej procedury nale»y skorzysta. 3

4 SKŠADANIE HOMOMORFIZMÓW S : R 2 R 2 Niech homomorzm z R 2 do R 2 (wektory oznaczamy [z 1, z 2 ]) okre±lony b dzie jako z 1 = 2y 1, z 2 = y 1 y 2, czyli jego macierz jest 2 Wyznaczymy zªo»enie homomorzmów S T : R 3 R 2. (cdn.) SKŠADANIE HOMOMORFIZMÓW (c.d.) Wpóªrz dne z 1, z 2 z 1 = 2y 1 = 2(x 1 + 3x 2 + 5x 3 ) = 2x 1 + 6x 2 + 1x 3, z 2 = y 1 y 2 = (x 1 + 3x 2 + 5x 3 ) (2x 1 + 4x 2 + 6x 3 ) = (x 1 2x 1 ) + (3x 2 4x 2 ) + (5x 3 6x 3 ) = x 1 x 2 x 3. Macierz = MNO ENIE MACIERZY Chcemy zatem, aby 2 = Zasada Element (liczba 1) w pierwszym wierszu i trzeciej kolumnie powstaje przez pomno»enie pierwszego wiersza pierwszej macierzy przez trzeci kolumn drugiej macierzy: = 1. WA NE Pierwsza macierz musi mie tyle kolumn, ile druga wierszy. Macierz wynikowa ma tyle wierszy, ile pierwsza oraz tyle kolumn, ile druga. [(m n)(n p) = (m p)] 4

5 UWAGA i PRZYKŠAD Nieokre±lone (niewykonalne) jest mno»enie Mo»na natomiast wyliczy = 3 6 = ( 1) ( 1) ( 1) ODWROTNO CI Trywialne T = at, to dla a mamy T = (1/a)T ; T = T + T, to T = T T = T + ( 1)T ; macierz zerowa: wszystkie elememty macierzowe s rowne. Wniosek: Zbiór macierzy o tych samych wymiarach tworzy przestrze«wektorow (nad ciaªem F). Odwrotno± mno»enia Czy znaj c iloczyn S = T 1 T 2 i jeden z czynników mo»na jednoznacznie okre±li drugi? Na przykªad jako T 2 = T 1 1 S. Inaczej: Kiedy mo»na odwróci homomorzm? PRZYKŠAD Rozwi zywanie równa«mieli±my Wyznaczy y 1, y 2. z 1 = 2y 1, z 2 = y 1 y 2. Z pierwszego: y 1 = z 1 /2 i st d z 2 = z 1 /2 y 2 i dalej y 2 = z 1 /2 z 2. Odpowiada to macierzy 1/2 5

6 MACIERZ JEDNOSTKOWA Sprawdzenie 2 1/2 = 2 1/2 + 1/2 1/2 ( 1) ( 1) I w drug stron 1/2 A oprócz tego 1/ MACIERZ JEDNOSTKOWA (cd.) WA NE = 1 1 = Macierz jednostkowa jest zawsze macierz kwadrtow ; I n. Macierz odwrotna okre±lona jest tylko dla macierzy kwadratowej. Ale to nie oznacza,»e dla ka»dej macierzy kwadratowej istnieje macierz do niej odwrotna. 2 Ukªady równa«macierze i UKŠADY RÓWNA LINIOWYCH Macierzowy zapis dziaªania opertora T Byªo: y 1 = 1 x x x 3 y 2 = 2 x x x 3 Korzystaj c z okre±lenia iloczynu macierzy i zapisuj c wektory jako macierze jednokolumnowe mo»emy to zapisa : y 1 y 2 = x 1 x 2 x 3 6

7 OBRAZ WEKTORÓW JEDNOSTKOWYCH W R 3 mamy wektory jednostkowe 1 e 1 = ˆx = e 2 = ŷ = 1 e 3 = ẑ = Ich obrazy 1 = 1 2 = ODWRACALNE MACIERZE KWADRATOWE 2 x 1 = y 1 x 2 y 2 Zatem x 1 x 2 = 1/2 y 1 y 2 Na przykªad wektory jednostkowe [1, ] oraz [, 1] s, odpowiednio, obrazami wektorów [1/2, 1/2] [, 1] = y 1/2 y 1 /2 y 2 A wektor zerowy [, ] jest obrazem wyª cznie wektora zerowego. MACIERZE PROSTOK TNE Wyznaczamy x 1, x 2, x 3 z zale»no±ci y 1 = x 1 + 3x 2 + 5x 3 Rozwi zanie klasyczne y 2 = 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 Pierwsze mno»ymy przez 2 i dodajemy stronami: y 2 2y 1 = 4x 2 6x 2 + 6x 3 1x 3 = 2x 2 4x 3 2x 2 = 2y 1 y 2 4x 3 dzielimy przez 2 i wstawiamy x 2 = y 1 y 2 /2 2x 3, czyli y 1 = x 1 + 3y 1 3y 2 /2 6x 3 + 5x 3 ; po uporz dkowaniu x 1 = 2y 1 + 3y 2 /2 + x 3 ; x 3 dowolne! SPRAWDZI! 1 1 = 3 4 7

8 PODEJ CIE MACERZOWE Kawaªek odwracalny Wybieramy takie dwie kolumny,»e macierz zbudowana z odpowiednich wspóªczyników (2 2) jest odwracalna. W tym przypadku mo»na wybra dowolnie, ale we¹my 1 i 2: /2 = (sprawdzi ) 2 4 /2 Ukªad równa«zapisujemy w postaci 1 3 x x 2 = y 1 5x 3 y 2 6x 3 ROZWI ZANIE Wykorzystuj c macierz odwrotn znajdujemy x 1 2 3/2 = y 1 5x 3 = 2y 1 + 3y 2 /2 + x 3 x 2 /2 y 2 6x 3 y 1 y 2 /2 2x 3 J dro odwzorowania Dla [y 1, y 2 ] = [, ] mamy [x 1, x 2, x 3 ] = [a, 2a, a], a dowolne; [1, ] mamy [x 1, x 2, x 3 ] = [a 2, 1 2a, a], a dowolne; [, 1] mamy [x 1, x 2, x 3 ] = [a + 3/2, 1/2 2a, a], a dowolne. 3 Zadania ZADANIA Wylicz Wyznacz macierz odwrotn do Sprawd¹ wynik mno» c odpowiednie macierze. Dla T : R 4 R 3 mamy. T e 1 = [, 2, 1], T e 2 = [1, 1, 1], T e 3 = [, 1, 2], T e 4 = [,, 1]. Zapisz macierz tego homomorzmu. Korzystaj c z mno»enia macierzy wyznacz T [1, 1, 1, 1]. 8