Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Transkrypt

1 Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad nie posiada, przynajmniej na pocz tku, charakteru formalnego wykªadu matematycznego. Zakªadamy,»e Czytelnik zna, a przynajmniej rozumie intuicyjnie, takie poj cia geometryczne jak: punkt, odcinek, wektor, prosta i pªaszczyzna w trójwymiarowej przestrzeni Wektory Denicja 1. Przestrzeni euklidesow R 3 nazywamy zbiór wszystkich uporz dkowanych trójek (x, y, z) liczb rzeczywistych R 3 := {(x, y, z) : x, y, z R}. W przestrzeni R 3 rozwa»amy trzy rodzaje obiektów: Punkty. Do oznaczania punktów u»ywamy wielkich liter alfabetu: A, B, C, P, Q. Zapis A = (x, y, z) oznacza,»e punkt A ma wspóªrz dne x, y, z. Wektory zaczepione. Je±li dane s punkty A = (x a, y a, z a ) oraz B = (x b, y b, z b ), to wektor AB jest wektorem zaczepionym w punkcie A (tzn. o pocz tku w punkcie A) i o ko«cu w punkcie B. Wspóªrz dne wektora AB liczymy wedªug wzoru AB := [x b x a, y b y a, z b z a ]. Wektorem zaczepionym jest wi c uporz dkowana para punktów, z których jeden jest pocz tkiem a drugi ko«cem tego wektora. Nale»y jeszcze zwróci uwag,»e dowolny wektor postaci AA, czyli o pocz tku i ko«cu w tym samym punkcie nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy 0. Oczywi±cie 0 := [0, 0, 0]. Wektory swobodne. Ich okre±lenie podamy nieco pó¹niej. 1

2 Denicja 2. Niech dane b d dwa punkty A = (x a, y a, z a ) oraz B = (x b, y b, z b ). Dªugo±ci wektora AB nazywamy dªugo± odcinka AB. Dªugo± wektora AB oznaczamy symbolem AB. Mamy wi c,»e AB := (x b x a ) 2 + (y b y a ) 2 + (z b z a ) 2. Denicja 3. Mówimy,»e dwa wektory niezerowe AB i P Q maj ten sam kierunek je±li proste AB i P Q s równolegªe. Zwrotem wektora AB nazywamy ten z dwu zwrotów prostej AB w którym punkt A poprzedza punkt B. Mo»emy teraz poda wzgl dnie ±cisªe okre±lenie wektora swobodnego. Denicja 4. Wektorem swobodnym, dokªadniej wektorem swobodnym wyznaczonym przez pewien wektor zaczepiony AB, nazywamy zbiór wszystkich wektorów zaczepionych, które maj ten sam zwrot, kierunek i dªugo± co AB. Je±li rozwa»amy jaki± wektor swobodny, to na ogóª uto»samiamy go, na zasadzie abstrakcji, z konkretnym, dowolnie wybranym reprezentantem tego zbioru. Wektory swobodne oznaczamy symbolami a, u, v itd. Denicja 5. Mówimy,»e punkty A, B, C s wspóªliniowe, gdy istnieje prosta k,»e A, B, C k. Mówimy,»e punkty K, L, M, N s wspóªpªaszczyznowe, je±li istnieje pªaszczyzna π,»e K, L, M, N π. Denicja 6. Mówimy,»e wektory niezerowe u, v s równolegªe, co zapisujemy u v, gdy maj te same kierunki. Przyjmujemy dodatkowo,»e wektor zerowy jest równolegªy do ka»dego innego wektora. Wªasno± 1. Niech dane b d wektory u, v. Wówczas u v wtedy i tylko wtedy, gdy istniej takie liczby rzeczywiste α, β,»e α u + β v = 0. Denicja 7. Niech dane b d wektory u 1 = [x 1, y 1, z 1 ], u 2 = [x 2, y 2, z 2 ] oraz liczba rzeczywista α. Sum wektorów u 1 i u 2 nazywamy wektor u 1 + u 2 okre±lony jako: u 1 + u 2 := [x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ]. Ró»nic wektorów u 1 i u 2 nazywamy wektor u 1 u 2 okre±lony jako: u 1 u 2 := [x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2 ]. Iloczynem wektora u przez liczb α nazywamy wektor α u 1 okre±lony jako: α u 1 := [α x 1, α y 1, α z 1 ]. Twierdzenie 1 (Wªasno±ci dziaªa«na wektorach). Niech dane b d wektory u, v, w oraz liczby α, β. Wtedy: 1. u + v = v + u (dodawanie wektorów jest przemienne), 2. u + ( v + w) = ( v + u) + w (dodawanie wektorów jest ª czne), 3. u + 0 = u (wektor zerowy 0 jest elementem neutralnym dodawania), Aktualizacja: 17 listopada

3 4. u + u = 0 (wektor przeciwny u jest elementem przeciwnym do elementu u), 5. 1 u = u, 6. (αβ) u = α (β u), 7. (α + β) u = α u + β u, 8. α ( u + v) = α u + α v. Wªasno± 2. Dªugo± wektora u = [x, y, z] wynosi u = x 2 + y 2 + z 2. Twierdzenie 2 (Wªasno±ci dªugo±ci wektorów). Niech dane b d wektory u, v oraz liczba α. Wtedy: 1. u 0 oraz u = 0 u = 0, 2. α u = α u, 3. u + v u + v, 4. u v u v. Denicja 8. Ukªadem wspóªrz dnych nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinaj ce si w jednym punkcie O = (0, 0, 0), które s wzajemnie prostopadªe. Taki ukªad wspóªrz dnych oznaczamy przez Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami ukªadu. W zale»no±ci od wzajemnego poªo»enia osi Ox, Oy, Oz wyró»niamy dwie jego orientacje: ukªad prawoskr tny (rys. 3.1) i ukªad lewoskr tny (rys. 3.2). Rysunek 3.1 Ukªad prawoskr tny. Denicja 9. Wektory i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1] nazywamy wersorami odpowiednio osi Ox, Oy, Oz. Aktualizacja: 17 listopada

4 Rysunek 3.2 Ukªad lewoskr tny. Denicja 10. Niech dane b d wektory u, v. Iloczynem skalarnym wektorów u i v nazywamy liczb u v okre±lon wzorem: u v = u v cos φ, gdzie φ jest k tem mi dzy wektorami u i v (rys. 3.3). Rysunek 3.3 K t mi dzy dwoma wektorami. Wªasno± 3 (Wzór na obliczanie iloczynu skalarnego). Niech u 1 = [x 1, y 1, z 1 ] oraz u 2 = [x 2, y 2, z 2 ]. Wtedy u 1 u 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2. Twierdzenie 3 (Wªasno±ci iloczynu skalarnego). Niech dane b d wektory u, v, w oraz liczba α. Wtedy: 1. u v = v u, Aktualizacja: 17 listopada

5 2. (α u) v = α ( u v), 3. u u = u 2, Wykªad 3. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni 4. ( u + v) w = u w + v w, 5. u v u v, przy czym równo± zachodzi u v, 6. u v u v = 0. Denicja 11. Niech u = [x 1, y 1, z 1 ], v = [x 2, y 2, z 2 ] oraz w = [x 3, y 3, z 3 ]. Mówimy,»e trójka wektorów ( u, v, w) tworzy ukªad o orientacji zgodnej z orientacj ukªadu wspóªrz dnych, je»eli x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 > 0. x 3 y 2 z 3 W przypadku, gdy powy»szy wyznacznik jest ujemny, to mówimy,»e wektory u, v, w tworz ukªad o orientacji przeciwnej do orientacji ukªadu wspóªrz dnych. Denicja 12. Niech u i v b d wektorami nierównolegªymi. Iloczynem wektorowym uporz dkowanej pary wektorów u i v w ukªadzie wspóªrz dnych Oxyz nazywamy wektor w = u v speªniaj cy warunki 1. w jest prostopadªy do ka»dego z wektorów u i v (czyli jest prostopadªy do pªaszczyzny rozpi tej na tych wektorach), 2. w = u v sin φ, gdzie φ jest k tem mi dzy wektorami u i v, 3. orientacja trójki wektorów u, v, w jest zgodna z orientacj ukªadu Oxyz. Je±li u v (w szczególno±ci, je±li jeden z nich jest wektorem zerowym), to przyjmujemy,»e u v = 0. Uwaga 1. W ukªadzie prawoskr tnym zwrot iloczynu wektorowego u v okre±la si za pomoc tzw. reguªy prawej dªoni. Je±li w ukªadzie wspóªrz dnych umie±cimy praw dªo«tak, aby zgi te palce wskazywaªy kierunek obrotu od wektora u do wektora v, to wyprostowany kciuk b dzie nam wskazywaª zwrot wektora u v. W ukªadzie lewoskr tnym obowi zuje analogiczna reguªa lewej dªoni. Wªasno± 4 (Wzór na obliczanie iloczynu wektorowego). Je±li u = [x 1, y 1, z 1 ], oraz v = [x 2, y 2, z 2 ], to i j k u v = x 1 y 1 z 1, x 2 y 2 z 2 przy czym przy obliczaniu powy»szego wyznacznika wersory i, j, k nale»y traktowa jak liczby. Aktualizacja: 17 listopada

6 Twierdzenie 4 (Wªasno±ci iloczynu wektorowego). Niech dane b d wektory u, v, w oraz liczba α. Wtedy: 1. u v = ( v u), 2. (α u) v = u (α v) = α( u v), 3. ( u + v) w = u w + v w, 4. u ( v + w) = u v + u w, 5. u v u v, przy czym równo± zachodzi u v, 6. u v u v = 0. Wªasno± 5. Dªugo± iloczynu wektorowego u v równa jest polu równolegªoboku rozpi tego na wektorach u i v (rys. 3.4). Rysunek 3.4 Iloczyn wektorowy w = u v. Denicja 13. Iloczynem mieszanym uporz dkowanej trójki wektorów u, v, w nazywamy liczb ( u, v, w) := ( u v) w. Wªasno± 6 (Wzór na obliczanie iloczynu mieszanego). Je±li u = (x 1, y 1, z 1 ), v = (x 2, y 2, z 2 ) oraz w = (x 3, y 3, z 3 ), to x 1 y 1 z 1 ( u, v, w) = x 2 y 2 z 2. x 3 y 3 z 3 Twierdzenie 5 (Wªasno±ci iloczynu mieszanego). Niech dane b d wektory u, v, w, r oraz liczba α. Wtedy: Aktualizacja: 17 listopada

7 1. ( u, v, w) = ( v, w, u) = ( w, u, v), 2. ( u, v, w) = ( v, u, w), 3. ( u + r, v, w) = ( u, v, w) + ( r, v, w), 4. (α u, v, w) = α( u, v, w), 5. wektory u, v, w le» w jednej pªaszczy¹nie ( u, v, w) = 0 6. ( u, v, w) u v w, przy czym równo± zachodzi wektory te s wzajemnie prostopadªe. Wªasno± 7. Warto± bezwzgl dna iloczynu mieszanego trójki wektorów u, v, w jest równa obj to±ci równolegªo±cianu rozpi tego na tych wektorach. Rysunek 3.5 Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego wektorów = u, v, w Równania pªaszczyzny Twierdzenie 6. Niech dany b dzie pewien niezerowy wektor n = [A, B, C] oraz punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Wówczas równanie pªaszczyzny π przechodz cej przez punkt P 0 i prostopadªej do wektora n jest postaci: π : A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. (3.1) Dowolny punkt P nale»y do pªaszczyzny π wtedy i tylko wtedy, gdy jego wspóªrz dne speªniaj równanie (3.1). Równanie (3.1) nazywa si równaniem normalnym pªaszczyzny π, za± wektor n wektorem normalnym tej pªaszczyzny. Aktualizacja: 17 listopada

8 Wªasno± 8. Ka»de równanie postaci Ax + By + Cz + D = 0, gdzie A 2 + B 2 + C 2 > 0 tzn. A, B, C nie s jednocze±nie zerami przedstawia pªaszczyzn. Twierdzenie 7. Niech dany b dzie pewien punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) oraz wektory u = [a 1, b 1, c 1 ], v = [a 2, b 2, c 2 ] nierównolegªe. Wówczas pªaszczyzna π równolegªa do wektorów u, v i przechodz ca przez punkt P 0 mo»e by opisana za pomoc zale»no±ci x = x 0 + sa 1 + ta 2, π = y = y 0 + sb 1 + tb 2, s, t R. (3.2) z = z 0 + sc 1 + tc 2 Równanie (3.2) nazywa si równaniem parametrycznym pªaszczyzny. Wªasno± 9. Równanie pªaszczyzny przechodz cej przez trzy niewspóªliniowe punkty P 1 = (x 1, y 1, z 1 ), P 2 = (x 2, y 2, z 2 ), P 3 = (x 3, y 3, z 3 ), ma posta : x y z 1 π : x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 = 0. x 3 y 3 z 3 1 Denicja 14. Niech l b dzie kraw dzi (czyli prost b d c cz ±ci wspóln ) dwu nierównolegªych pªaszczyzn π 1 i π 2. Wówczas p kiem pªaszczyzn wyznaczonym przez te dwie pªaszczyzny nazywamy zbiór wszystkich pªaszczyzn zawieraj cych kraw d¹ l. Twierdzenie 8. Niech dane b d dwie nierównolegªe pªaszczyzny π 1 i π 2 o równaniach π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Wówczas, dowolna pªaszczyzna π nale»y do p ku pªaszczyzn wyznaczonego przez te pªaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy ma równanie π : λ 1 (A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 )) + λ 2 (A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 ) = 0, gdzie λ 1, λ 2 s pewnymi liczba rzeczywistymi nierównymi jednocze±nie zero Równania prostej Twierdzenie 9. Równanie prostej l przechodz cej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) równolegªej do wektora v = [a, b, c] jest postaci l : (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t[a, b, c], t R, lub równowa»nie x = x 0 + at l : y = y 0 + bt z = z 0 + ct t R (3.3) Aktualizacja: 17 listopada

9 Równanie (3.3) nazywa si równaniem parametrycznym prostej. Twierdzenie 10. Równanie prostej l przechodz cej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) równolegªej do wektora v = [a, b, c], a, b, c 0 jest postaci: l : x x 0 a = y y 0 b = z z 0. (3.4) c Równanie (3.4) nazywa si kierunkowym równaniem prostej, wektor v wektorem kierunkowym prostej, natomiast wspóªczynniki a, b, c wspóªczynnikami kierunkowymi prostej. Niech dane b d dwie nierównolegªe pªaszczyzny π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 i π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Wówczas cz ± wspólna obu pªaszczyzn jest oczywi±cie prost, zatem jest ona opisana za pomoc ukªadu { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 l : (3.5) A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Równanie (3.5) nazywa si równaniem kraw dziowym prostej l. Wªasno± 10. Wektor v kierunkowy prostej l (czyli wektor równolegªy do prostej l) o równaniu kraw dziowym l : { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 jest postaci: v = [A 1, B 1, C 1 ] [A 2, B 2, C 2 ] Wzajemne poªo»enie punktów, prostych i pªaszczyzn Denicja 15. Rzutem prostok tnym punktu P na pªaszczyzn π nazywamy taki punkt p tej pªaszczyzny,»e P P π Wªasno± 11 (Wzór na odlegªo± punktu od pªaszczyzny). Odlegªo± punktu P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) od pªaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 wyra»a si wzorem d(p 0, π) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 Wªasno± 12. Niech dane b d dwie pªaszczyzny π 1, π 2 o równaniach: Wówczas: π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. (a) π 1 π 2 A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0, Aktualizacja: 17 listopada

10 (b) π 1 π 2 wspóªczynniki A 1, B 1, C 1 s proporcjonalne do wspóªczynników A 2, B 2, C 2. W szczególno±ci, gdy A 2, B 2, C 2 0, to π 1 π 2 A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2, (c) cos (π 1, π 2 ) = A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 A B C 2 1 A B C 2 2 o ile A B C 2 1 > 0 i A B C 2 2 > 0. Wªasno± 13 (Wzór na odlegªo± mi dzy dwiema pªaszczyznami). Odlegªo± mi dzy dwiema równolegªymi pªaszczyznami π 1, π 2 o równaniach π 1 : Ax + By + C + D 1 = 0, π 2 : Ax + By + Cz + D 2 = 0 wyra»a si wzorem: d(π 1, π 2 ) = D 1 D 2 A2 + B 2 + C 2. Aktualizacja: 17 listopada

11 Skorowidz dªugo± wektora, 2 iloczyn - mieszany trójki wektorów, 6 - skalarny pary wektorów, 4 - wektora przez liczb, 2 - wektorowy pary wektorów, 5 p k pªaszczyzn, 8 przestrze«euklidesowa, 1 punkt, 1 punkty - wspóªpªaszczyznowe, 2 - wspóliniowe, 2 ró»nica - wektorów, 2 równanie - pªaszczyzny normalne, 7 parametryczne, 8 - prostej kierunkowe, 9 kraw dziowe, 9 parametryczne, 9 reguªa prawej dªoni, 5 rzut prostok tny, 9 suma - wektorów, 2 ukªad wektorów o orientacji - przeciwnej, 5 - zgodnej, 5 ukªad wspóªrz dnych, 3 - lewoskr tny, 3 - prawoskr tny, 3 wªasno±ci - dªugo±ci wektorów, 3 - dziaªa«na wektorach, 2 - iloczynu skalarnego, 4 - iloczynu wektorowego, 6 wektor - kierunkowy prostej, 9 - swobodny, 1, 2 - zaczepiony, 1 - zerowy, 1 wektory - maj ce ten sam kierunek, 2 - równolegªe, 2 wersory osi, 3 wspóªczynniki kierunkowe prostej, 9 wzór na obliczanie - iloczynu mieszanego, 6 - iloczynu skalarnego, 4 - iloczynu wektorowego, 5 wzór na odlegªo± - mi dzy dwiema pªaszczyznami, 10 - punktu od pªaszczyzny, 9 zwrot wektora, 2 11