Zbiory i odwzorowania

Transkrypt

1 Zbiory i odwzorowania 1

2 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x): {x X : ϕ(x)}. 3) Zbiór sko«czony mo»emy okre±li przez wypisanie jego elementów, np. {n N 1 : n 6} = {1, 2, 3, 6}. 2

3 Zbiór liczb parzystych mo»emy okre±li na dwa sposoby: {2k; k Z} = {n Z : 2 n}. Prost o równaniu y = ax + b mo»emy okre±li jako zbiór punktów o wspóªrz dnych (x, ax + b), gdzie x R: {(x, ax + b); x R} lub jako zbiór tych punktów o wspóªrz dnych (x, y), które speªniaj warunek y = ax + b: {(x, y) R 2 : y = ax + b}. 3

4 Wa»ny przykªad zbiorów stanowi przedziaªy osi liczbowej. (a, b)={x R : x > a x < b}, [a, b)={x R : x a x < b}, (, a)={x R : x < a}. 4

5 Rozwa»my dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B skªada si z wszystkich elementów, które nale» do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Cz ± wspólna (przekrój) A B skªada si z wszystkich elementów, które nale» jednocze±nie do zbioru A i do zbioru B: (x A B) (x A x B). Ró»nica A \ B skªada si z wszystkich elementów, które nale» do zbioru A, ale nie nale» do zbioru B: Oczywi±cie (x A) (x A). (x A \ B) (x A x B). 5

6 Ró»nica symetryczna A B skªada si z wszystkich elementów, które nale» do zbioru A, a nie nale» do B, oraz tych, które nale» do B, a nie nale» do A: (x A B) (x A x B). Zauwa»my,»e A B = (A \ B) (B \ A). 6

7 Przykªady: [0, 2) [1, 3) = [0, 3), [0, 2) [1, 3) = [1, 2), [0, 2) \ [1, 3) = [0, 1), [0, 2) {2} = [0, 2], ( 1, + ) (, 1) = ( 1, 1), [ 1, 1] \ { 1, 1} = ( 1, 1), [ 1, 1] \ {0} = [ 1, 0) (0, 1]. Inny przykªad: {n N 1 : n 12} {n N 1 : n 18} = {n N 1 : n 6}. 7

8 Wªasno±ci dziaªa«na zbiorach Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodz nast puj ce równo±ci: 1) (A B) C = (A C) (B C), 2) (A B) C = (A C) (B C), 3) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), 4) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), 8

9 5) (A \ B) C = (A C) \ B, 6) (A \ B) C = (A C) \ (B \ C), 7) (A \ B) \ C = A \ (B C), 8) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C). Takich równo±ci mo»na dowodzi dwiema metodami rachunku zda«(bardziej formalna) i diagramów Venne'a (bardziej obrazowa). 9

10 Inkluzja zbiorów Mówimy,»e zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co zapisujemy A B, je±li wszystkie elementy zbioru A nale» do zbioru B, czyli dla dowolnego elementu x prawdziwe jest zdanie (x A) (x B). Przykªady: {0} [0, 1) ( 1, 1) [ 1, 1] (, 1], N 1 N Z Q R. 10

11 Wªasno±ci: 1) Je»eli A B i B A, to A = B. 2) Je»eli A B i B C, to A C. 3) Je»eli A C i B C, to A B C. 4) Je»eli A B i A C, to A B C. Zadanie. Wyka»,»e dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodz nast puj ce równowa»no±ci: A B A B = A A B = B. 11

12 Zbiór pusty to zbiór posiadaj cy 0 elementów, oznaczamy go symbolem. Zbiór pusty jest zawarty w ka»dym zbiorze: A. Jest tylko jeden zbiór pusty: ( 1 2 ) ( 2 1 ) ( 1 = 2 ). 12

13 Algebra podzbiorów danego zbioru Przez X oznaczmy dowolny zbiór. Zbiór podzbiorów zbioru X oznaczamy symbolem 2 X, na przykªad: je±li X = {a, b}, to 2 X = {, {a}, {b}, {a, b}}, je±li X = {1, 2, 3}, to 2 X = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Twierdzenie. 2 n elementów. Je±li zbiór X ma n elementów, to zbiór 2 X ma Je±li mamy ustalony zbiór X i rozwa»amy tylko jego podzbiory, to zbiór X nazywamy przestrzeni lub uniwersum. 13

14 Dopeªnieniem zbioru A (w przestrzeni X) nazywamy zbiór A = X \ A. Dla ka»dego elementu x X prawdziwe jest zdanie x A (x A). Zachodz nast puj ce zale»no±ci: A A =, A A = X, (A ) = A, = X, X =. 14

15 Odnotujmy prawa de Morgana dla zbiorów: (A B) = A B, (A B) = A B. Podobne zale»no±ci zachodz dla wi kszej liczby zbiorów, na przykªad: (A B C) = A B C, (A B C D) = A B C D. 15

16 Iloczyn kartezja«ski zbiorów Rozwa»my dwa zbiory A i B. Z dowolnych elementów a A i b B mo»emy utworzy par (a, b). Zbiór wszystkich takich par oznaczamy symbolem A B i nazywamy iloczynem kartezja«skim zbiorów A i B: przy czym A B = {(a, b); a A, b B}, (a, b) = (a, b ) (a = a ) (b = b ). Uwaga. Je±li zbiory A i B s sko«czone i zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, to zbiór A B ma m n elementów. 16

17 Kwadratem kartezja«skim zbioru A nazywamy zbiór A 2 = A A. Przykªad. R 2 = R R pªaszczyzna (z ukªadem wspóªrz dnych), [0, 3) (1, 2] R 2, [0, 3) (1, 2] = {(x, y); x [0, 3), y (1, 2]}. 17

18 Analogicznie okre±lamy iloczyn kartezja«ski wi kszej liczby zbiorów, na przykªad przy czym A B C = {(a, b, c); a A, b B, c C}, (a, b, c) = (a, b, c ) (a = a ) (b = b ) (c = c ). Zbiór A n = A A... A }{{} n = = {(a 1, a 2,..., a n ); a 1, a 2,..., a n A} nazywamy n-t pot g kartezja«sk zbioru A, na przykªad R 3 to przestrze«trójwymiarowa (z ukªadem wspóªrz dnych) i ogólnie R n to przestrze«n-wymiarowa. 18

19 Funkcje Je»eli mamy dwa zbiory X i Y, i ka»demu elementowi zbioru X przyporz dkujemy jeden i tylko jeden element zbioru Y, to takie przyporz dkowanie nazywamy funkcj. f : X Y, X dziedzina funkcji f, Y przeciwdziedzina funkcji f. 19

20 Przykªady: f : Z Z, f(n) = n + 1, g i : R R, g 1 (x) = ax + b, g 2 (x) = sin x, g 3 (x) = 2 x, g 4 (x) = a n x n a 1 x + a 0, E(x) = [x], np. E : R R lub E : R Z, f : N 1 N 1 N 1, f(m, n) = NWD(m, n), 20

21 g : R 3 R, g(x, y, z) = xy + yz + zx, h: R R 2, h(t) = (cos t, sin t), X zbiór, Id X : X X, Id X (x) = x, T zbiór trójk tów, P : T R, P (ABC) pole trójk ta ABC, ci g a 1, a 2, a 3,... elementów zbioru A to funkcja a: N 1 A, a(n) = a n. 21

22 Zbiorem warto±ci funkcji f : X Y nazywamy zbiór f(x) = {f(x); x X} = {y Y : x X y = f(x)}. Przykªady: f : R R, f(x) = x n, gdzie n N 1, { [0, + ), je±li n jest parzyste, f(r) = R, je±li n jest nieparzyste. g : R R, g(x) = ax + b, gdzie a, b R, { R, je±li a 0, g(r) = {b}, je±li a = 0. 22

23 E : R R, f(x) = [x], E(R) = Z h: R R 2, h(t) = (cos t, sin t), h(r) =? Uwaga. Zbiór warto±ci jest podzbiorem przeciwdziedziny: f(x) Y, nie musi by równy caªej przeciwdziedzinie! 23

24 Denicja. Funkcj f : X Y nazywamy ró»nowarto±ciow lub injekcj, je±li ró»nym elementom zbioru X przyporz dkowuje ró»- ne elementy zbioru Y : Warunek równowa»ny: x1,x 2 X x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). x1,x 2 X f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. 24

25 Przykªady injekcji: f : R R, f(x) = ax + b, gdzie a 0, g : [ π 2, π 2 ] R, g(x) = sin x, dowolna funkcja rosn ca f : R R. Pytanie. Dla jakich n funkcja f : R R, f(x) = x n jest injekcj? 25

26 Denicja. Funkcj f : X Y nazywamy funkcj na lub surjekcj, je±li ka»dy element zbioru Y jest przyporz dkowany jakiemu± elementowi zbioru X, czyli y Y x X f(x) = y. Funkcja jest na, gdy jej przeciwdziedzina jest zbiorem warto±ci: f(x) = Y. 26

27 Przykªady surjekcji: f : R R, f(x) = ax + b, gdzie a 0, f : R [ 1, 1], f(x) = sin x, f : R Z, f(x) = [x]. Pytanie. Dla jakich n funkcja f : R R, f(x) = x n jest surjekcj? 27

28 Denicja. Funkcj f : X Y nazywamy wzajemnie jednoznaczn lub bijekcj, je±li jest ró»nowarto±ciowa i na (czyli jest injekcj i surjekcj ). Przykªady bijekcji: f : R R, f(x) = ax + b, gdzie a 0, f : R \ {0} R \ {0}, f(x) = 1 x, f : [ π 2, π 2 ] [ 1, 1], f(x) = sin x, f : R R +, f(x) = a x, gdzie a > 0 i a 1. 28

29 Rozwa»my funkcje f : X Y i g : Y Z. Dla x X mamy y = f(x) Y, wi c mamy równie» g(y) = g(f(x)) Z. W ten sposób okre±lamy zªo»enie funkcji f i g: g f : X Z, (g f)(x) = g(f(x)) dla x X. Przykªad: f, g : R R, f(x) = x + 1, g(x) = x 2, f(g(x)) = x 2 + 1, g(f(x)) = (x + 1) 2. 29

30 Funkcja f : X Y jest bijekcj wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy element y Y jest przyporz dkowany dokªadnie jednemu elementowi x X. Wówczas istnieje funkcja g : Y X taka,»e g(y) = x y = f(x) dla x X, y Y. Funkcja g speªnia warunki: czyli x X g(f(x)) = x i y Y f(g(y)) = y, g f = Id X i f g = Id Y. Funkcj g nazywamy funkcj odwrotn do funkcji f i oznaczamy symbolem f 1. 30

31 Przykªady funkcji odwrotnych: f : R R, f(x) = ax + b, gdzie a 0, f 1 : R R, f 1 (x) = x b a, g : [0, + ) [0, + ), g(x) = x n, gdzie n N, n 2 g 1 : [0, + ) [0, + ), g 1 (x) = n x, h: R (0, + ), h(x) = a x, gdzie a > 0, a 1, h 1 : (0, + ) R, h(x) = log a (x). 31

32 Rozwa»my funkcj f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X okre- ±lamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y okre±lamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 32

33 Przykªady: f : R R, f(x) = x 2 + x + 1, f([ 1, 2]) = [ 3 4, 7], f 1 (( 3 4, 1)) = ( 1, 1 2 ) ( 1 2, 0) g : R R, g(x) = sin 3x, g((0, π 3 )) = (0, 1], g 1 ([ 1, 0)) = =... ( π 3, 0) (π 3, 2π 3 ) (π, 4π 3 )... = k Z( (2k 1)π 3, 2kπ 3 ) E : R R, E(x) = [x], E(( 2, 2)) = { 2, 1, 0, 1}, E 1 (( 2, 2)) = [ 1, 2). 33

34 Zadanie. Rozwa»my funkcj f : Z Z Z, f(x, y) = xy. Znajd¹ obraz zbioru {1, 10, 100, 1000} {1, 10, 100, 1000} oraz przeciwobraz zbioru {1, 2, 3}. 34

35 Wªasno±ci. Niech f : X Y b dzie dowoln funkcj. Wówczas dla dowolnych zbiorów A, B X: a) f(a B) = f(a) f(b), b) f(a B) f(a) f(b), c) f(a) \ f(b) f(a \ B), oraz dla dowolnych zbiorów C, D Y : a) f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D), b) f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D), c) f 1 (C \ D) = f 1 (C) \ f 1 (D). 35